辽宁大连市育明高级中学2026--2027学年高一上学期期中数学试卷

大连育明高级中学 2026~2027 学年（上）期中考试 高一　数学试卷 命题人：惠俊烜　　校对人：林津名 满分 150 分　　时间 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3．非选择题，用 0.5mm 黑色签字笔书写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效。 4．画图清晰，并用 2B 铅笔加深。 第Ⅰ卷　（共 58 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知命题 ：，，则 是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．若函数 为偶函数，则实数 的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．函数 单调增区间为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 的最小值为 ，则自然数 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 ，记 ，，，……，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 是定义在 上的奇函数，且 时，，则存在（　　）个不同的区间 ，使得 ． A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知关于 的方程 的解集为 ，则（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 中只有一个元素时， 可以取值个数为 D．当 中只有一个元素时， 可以取值个数为 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象有对称中心 B． 的值域为 C． 且 ，不都有 D．关于 的方程 有 个不等实数根 11．已知函数 ， 的定义域均为 ，，，，则（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷　（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若函数 ，则 ______． 13．若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为______（用区间表示）． 14．如图，矩形 的周长为 24，在 和 边上分别取点 和 ，将四边形 沿 折叠，使点 与点 重合，此时点 的对应点为 ．则 面积的最大值为______． 四、解答题（共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 13 分）已知关于 ， 的方程组 （1）如果方程组只有一组解，求实数 的值； （2）如果方程组有两组解 ， 且 ，求实数 的值． 16．（本题满分 15 分）已知 ，且 的解集为 ． （1）若 ，求 解析式中 的值； （2）求不等式 的解集． 17．（本题满分 15 分）若在函数 的定义域内存在 ，使得 成立，则称 具有性质 ． （1）判断函数 和 是否具有性质 ，并说明理由； （2）若函数 ，当 为何值时，函数不具有性质 ； （3）若函数 具有性质 ，求实数 的取值范围． 18．（本题满分 17 分）若函数 的图象在定义域区间 上连续不断，且对任意 ，，若恒有 ，则称函数 是区间 上的凸函数；若恒有 ，则称函数 是区间 上的凹函数。已知函数 ，。 （1）记函数 ，求 在区间 上的最小值 的表达式，其中 。 （2）已知函数 ，。 ①利用“凸函数”和“凹函数”的定义，判断和证明 在单调区间上的凹凸性； ②若 恒成立，求正实数 的取值范围。 19．（本题满分 17 分）定义在 上的函数 ，对于 ，记 ，， （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，证明：，其中 ； （3）已知函数 有最大值，且 ，判断两个命题“ 是奇函数”与“对任意的 ，都有 ，其中 ”之间充分必要条件关系，并说明理由。 高一数学学科试卷　第 6 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连育明高级中学 2026~2027 学年（上）期中考试 高一数学　参考答案与评分标准 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B C A 二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 ABC BD AC 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） （12） （13） （14） 四、解答题（15~17 题，其余题待补） 15．（13 分）解：由 得 ； 2 分 （1）方程组只有一组解，即 ，解得 或 ； 6 分 （2）由题意 ，； 8 分 ； 10 分 即 ，解得 或 ； 12 分 又需 ，即 或 ，故 ． 13 分 16．（15 分）解：（1）由 的解集为 知 ，且 ， 是 的两根； 3 分 所以 ，由 得 ； 5 分 于是 ； 7 分 （2） 即 ； 9 分 化简得 ，解得 ； 12 分 所以解集为 ． 13 分 17．（15 分）解：（1）对 ：由 得 ，，故 具有性质 ； 3 分 对 ：由 整理得 ，，无解，故 不具有性质 ； 7 分 （2）由 得 ； 9 分 所以当 时，函数 不具有性质 ； 11 分 （3），令 ，则 ，； 13 分 由 得 有正根； 14 分 当 时，两根之积 ，恰有一个正根； 15 分 当 时，需 且两根之和 ，即 且 ； 16 分 综上，． 17 分 18．（17 分）解：（1）； 2 分 由 得 ，且 时 ， 时 ； 4 分 所以 的表达式为：当 时，；当 时，； 7 分 当 时，；当 时，； 9 分 （2）①当 时，，，单调递增； 11 分 当 时，，单调递减； 12 分 在 上，由 知 满足 ，故 是凹函数； 14 分 在 上，，即 ，故 是凸函数； 15 分 所以 在递增区间 上是凹函数，在递减区间 上是凸函数； 15 分 ② 时 ，不等式显然成立； 16 分 时需 ，且 在 处最紧，由 得 ； 17 分 综上，． 17 分 19．（17 分）解：（1），，由 得 ，故 ； 3 分 ，由 得 ，故 ； 6 分 （2）， 9 分 所以 ； 11 分 又 ，得 ； 13 分 取相反数即得 ； 14 分 （3）两个命题互为充要条件； 15 分 ①若 为奇函数，则 ，，故 ； 16 分 ②反之，由 得：对任意 ，，，即 与 诱导相同的顺序，进而 ，故 为奇函数． 17 分 高一数学（参考答案）　第 3 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $