第三章位置与坐标 第 3 课时 轴对称与坐标变化 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

3 轴对称与坐标变化 第三章 位置与坐标 1.探索图形坐标变化的过程.掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.（重点） 2.运用坐标特征建立方程（组），求解含参数的对称点问题，利用轴对称性质解决最短路径等实际应用问题（难点） 学习目标 y O 1 x 1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 5 -1 -2 -3 2 3 4 1.直线与 x 轴平行，直线上点的特点： ____________; 直线与 y 轴平行，直线上点的特点： ____________; 第二象限 第三象限 第四象限 2.四个象限内的点有什么特征？ (-，﹢) (-，-) (﹢，-) 纵坐标相同 横坐标相同 3.如何建立合适的平面直角坐标系？ 第一象限 (﹢，﹢) 复习回顾 什么叫轴对称图形？ 什么叫两个图形成轴对称？ 新课导入 沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。 如果两个图形沿着一直线对折后，能够完全重合；则称这两个图形成轴对称。 (1) 两面小旗有怎样的位置关系？ 在如图所示的平面直角坐标系中，第一、第二象限内各有一面小旗。 关于 y 轴成轴对称. 探索新知 探究点一： 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 A A1 B C C1 B1 D D1 (2，6) (-2，6) 其它对应点也有这个特点吗？ 对应点的纵坐标相等 对应点的横坐标互为相反数 （2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1、点 D 与 D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？ D1： C1： B1： A1： D： C： B： A： 关于 y 轴成轴对称. (2) 在这个平面直角坐标系中画出小旗 ABCD 关于 x 轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系？ 横坐标相同，纵坐标互为相反数。 A（2，6） C（2，4） B（5，4） D（2，0） A2（2，-6） C2（2，-4） B2（5，-4） D2（2，0） A2 （2，-6） A （2，6） B2 （5，-4） C （2，4） B （5，4） C2 （2，-4） D （2，0） D2 （2，0） 关于 x 轴对称的两个点的坐标之间有什么关系？关于 y 轴对称的两个点呢？ 思考·交流 2. 关于 y 轴对称的两个图形上点的坐标特征： (x ，y) (-x ，y) 1. 关于 x 轴对称的两个图形上点的坐标特征： (x ，y) (x ，-y) 横坐标相同，纵坐标互为相反数 横坐标互为相反数，纵坐标相同 2. 已知点 A (a，1) 与点 A1 (5，b) 关于 y 轴对称，则 a = ，b = 。 1. 平面直角坐标系中，点 P( 2，3)关于 x 轴对称的点的坐标为 。 【练一练】 ( 2 ，-3) 探究点一：两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一象限内有一面小旗.完成下列问题： （1）在这个坐标系里你能画出小旗ABCD关于x轴的对称图形吗？ 探究新知（二） （2）所画小旗的各个“顶点”的坐标与原来小旗各个“顶点”的坐标有什么关系？与同伴交流。 2.分别写出图中点A，B的坐标.观察图形，并回答问题： (3,2) (3,-2) -2 -1 4 3 2 1 -3 -4 -4 y 1 2 3 -3 -1 -2 0 （1）点A与点B的坐标有什么 关系? （2）点A与点B的位置有什么 特点? A B 探究新知（一） 关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相等，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称. 讲授新课 提炼精髓 横对称，横不变，纵相反； 纵对称，纵不变，横相反． 讲授新课 巧记精髓 在平面直角坐标系中依次连 接下列各点：(0, 0), (5, 4),(3, 0), (5, 1), (5, -1), (3, 0), (4, -2), (0, 0), 可以得到一幅美丽的小鱼图案， 若将所得图案的各个“顶点”的纵 坐标保持不变，横坐标分别乘-1， 依次连接这些点，试猜想你会得 到怎样的图案？这个图案与原图 案又有怎样的位置关系？ 例1 学以致用 典例分享 解：纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，所得各点的坐标依次 是（0,0）, （-5, 4）, （-3, 0）, （-5, 1）, （-5, -1）, （-3, 0）, （-4, -2）, （0, 0）, 依次连接这 些点，所得图案如图所示，它与原图案关于y轴对称. 学以致用 典例分享 已知点A (2a+b，5+a)，点B(2b-1 ， -a+b). (1)若点A，点B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，点B关于y轴对称，求（4a+4b）2 021 的值. 解：（1）因为点A，B 关于x 轴对称， 所以2a+b=2b-1，5+a-a+b=0，解得a= -3，b= -5. （2）因为点A，B 关于y 轴对称， 所以2a+b+2b-1=0，5+a=-a+b，解得 a= ，b= . 所以（4a+4b）2 021=（-7+6）2 021=（-1）2 021=-1. 例2 学以致用 典例分享 1.点A（2，- 3）关于x轴对称的点的坐标是 . 2.点B（ - 2，1）关于y轴对称的点的坐标是 . 3.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x轴对称 C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系 4.点（m，- 1）和点（2，n）关于x轴对称， 则m n等于( ) A.- 2 B.2 C.1 D.- 1 (2，3) (2，1) B B 小试牛刀 自我检测，当堂训练 5. 已知A，B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3）， 则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 大显身手 自我检测，当堂训练 （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽 水站P，使得抽水站P到A，B两个村庄的距离之和最 小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值. 6.A,B两个村庄在如图所示的平面直角坐标系中，那么： 拓展提升： 超越自我 自我检测 当堂训练 解： 作出点B关于x轴的对称点B1，连接AB1，与x轴的交点就是抽水站P的位置，理由如下： 连接PB，则PB=PB1，有AP+PB=AB+PB1； 根据两点之间线段最短知：AP+PB的最小值即为线段AB1的长度。 分别过点A、B1作x轴、y轴的垂线，交点为C，得到Rt△AB1C. AC=3，B1C=4，根据勾股定理可得AB1=5. 所以，AP+PB的最小值为5. 当堂练习 1. 点P(－8，2)关于y轴对称的点的坐标为(　C　) A. (8，－2) B. (－8，－2) C. (8，2) D. (－8，2) 2. 在直角坐标系中，点A(1，2)的纵坐标乘－1，横 坐标不变，得到点B，则点A与B的关系是(　A　) A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 不确定 C A 当堂检测 3. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中， Rt△ABC的顶点都在格点上.将Rt△ABC沿y轴翻折 到第二象限，则点A的对应点的坐标是 ⁠ ⁠. (－1， 2) 4.若P（x，y）的坐标满足等式（x-2）2＋| y-1 |＝0，点P与P1（x1，y1）关于y轴对称，则x1，y1的对应值为（ ） A.-2，1 B.2，-1 C.2，1 D.-2，-1 A 5. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，4)， B(－3，1)，C(0，0)，△ABC关于x轴对称的 图形为△A'B'C'，则点B'的坐标为 ⁠. (－3，－1)　 第5题 6.已知点A(a＋2b，1)，B(-2，2a-b). (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值。 (1) 因为A，B关于x轴对称， 所以ɑ＋2b＝-2，2ɑ-b=-1， 所以ɑ＝ ，b＝ 。 解 (2) 因为A，B关于y轴对称， 所以ɑ＋2b＝2，2ɑ-b＝1， 所以ɑ＝ ，b＝ ， 所以ɑ＋b＝ 。 课堂小结 轴对称与坐标变换 关于坐标轴对称 作图 —— 关于轴对称变化 点到坐标轴的距离 关于x轴对称 横同纵反 关于y轴对称 横反纵同 布 置 作 业 基础作业：课本P70-71随堂练习题及 习题3.3 1-4题 拓展作业：在坐标纸上设计一个图案，画出它关于x轴、y轴的对称图案，并写出关键点的坐标。 祝福语，与同学们共勉： 对称藏规律，坐标定方向，少年当自强！ $