精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十九中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

哈39中学2026—2027学年度上学期九学年综合素养提升训练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、"考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点也在此图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，则(　　) A. B. C. D. 5. 在每一象限内，双曲线，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 8. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 11. 将用科学记数法可表示为________． 12. 方程的解是________． 13. 两个三角形的相似比是，则它们的面积比是________． 14. 二次函数的最小值是________． 15. 如图：点A为双曲线上一点，轴，，则双曲线的解析式是________． 16. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_______. 17. 如图，在中，为直角，于点，，，则________． 18. 如图，在直角坐标系中，轴于点B，点，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．则为________． 19. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________． 20. 如图，在正方形中，，E是边上的一个动点，连接，在上截取，连接，分别交于点G，H．有如下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是________（填序号）． 三、解答题（共计60分，其中21-22题7分；23-24题8分；25-27题10分） 21. 先化简，再求代数式÷﹣的值，其中x=4sin60°﹣2． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，请按下列要求画图．（请用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，体现作图过程）． （1）在图1中，确定线段上一点D，使得； （2）在图2中，确定线段上一点E，使得． （3）直接写出图2中线段的长． 23. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如：，，．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①________；②________； （2）若，求x的值． 24. 已知：在矩形中，是对角线，于点E，于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 26. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D在第二象限的抛物线上，连接交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接，过点C作轴，交的延长线于点G，连接，点P在y轴正半轴上，点Q在射线上，若，，，，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈39中学2026—2027学年度上学期九学年综合素养提升训练 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、"考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：项中与不是同类项，不能合并，原式运算错误，不符合题意； 项中，原式运算错误，不符合题意； 项中，原式运算错误，不符合题意； 项中，原式运算正确，符合题意． 2. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案. 【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律. 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点也在此图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 、、选项中各点横纵坐标的乘积均为，不等于，不符合， 选项中，符合． 4. 在中，，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据已知和锐角三角函数表示出三角形各边,进而得出答案． 【详解】如图所示：∵，， ∴设，则， 故， 则． 故选C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，正确表示出各边长是解题关键． 5. 在每一象限内，双曲线，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：每一象限内的双曲线中，随的增大而增大， ，解得． 6. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键． 先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， ∴给出的三角形的三边长分别为：， A、三角形三边长分别为：， ， A选项不符合题意； B、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， B选项不符合题意； C、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， C选项不符合题意； D、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， D选项符合题意. 故选：D 7. 如图,中，点是边的中点，交对角线于点，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，证明AD∥BC，AD=BC；得到△DEF∽△BCF，进而得到；证明BC=AD=2DE，即可解决问题． 【详解】四边形为平行四边形， ； ， ； 点是边的中点， ， ．故选B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键． 8. 如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 9. 如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可依次排除选项． 【详解】解：∵， ∴A、由可判定，故不符合题意； B、由可判定，故不符合题意； C、由不能判定，故符合题意； D、由可判定，故不符合题意； 故选C． 10. 如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，则四边形是矩形，推出，则．①当时，点在上，此时，利用三角函数求出，，，得出是关于的二次函数；②当时，点在上，此时，四边形是矩形，则，，得出是关于的一次函数． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ①当时，点在上，此时， ，， ， ； ②当时，点在上，此时， ， ， 四边形是矩形， ，。 ， 当时，函数图象是开口向下的抛物线，当时，函数图象是直线． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 11. 将用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照科学记数法的表示规则，确定满足范围的系数与对应指数即可得到结果． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，其中，n为整数， 是绝对值大于的整数， 需将其转化为满足的系数，取， 原数的整数位数为位， 正整数指数， 用科学记数法可表示为． 12. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法即可求解． 【详解】解：由因式分解法， 可得x－2＝0或x＋3＝0， 因此解得x1＝2，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握各种方法是解一元二次方程的关键． 13. 两个三角形的相似比是，则它们的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴当两个三角形的相似比为时， 面积比为． 14. 二次函数的最小值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为. 15. 如图：点A为双曲线上一点，轴，，则双曲线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】设出双曲线的解析式与点A的坐标，结合求解即可． 【详解】解：设双曲线的解析式是， 设点，由图可知，， ∵点A为双曲线上一点， ∴点满足，即， ∵轴， ∴点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴双曲线的解析式是 ． 16. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_______. 【答案】9.6 【解析】 【详解】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解. 设树的高度为x米，由题意得 解得 则树的高度为9.6米． 考点：本题考查的是比例式的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式. 17. 如图，在中，为直角，于点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，然后根据相似三角形的对应边的比相等列比例式求解即可． 【详解】解：∵为直角，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 18. 如图，在直角坐标系中，轴于点B，点，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．则为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，则可得反比例函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：∵轴于点，点， ∴， ∵点是的中点，且， ∴，即， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴． 19. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在矩形内一点处，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意对进行分类讨论，当时，可知必落在射线上；当时，，必落在上----这与已知条件“点落在矩形内一点处”产生矛盾即不符合题意舍去，只有当时符合题意，此时利用勾股定理以及折叠的性质即可求解． 【详解】解：如图，使为直角三角形，必有一角为，可分类讨论： ①当时，可知必落在射线上，不符合题意； ②当时，． 又，四边形为矩形 ∴必落在上，不符合题意； ③当时， ∵ ∴ ∴落在上， ∴ 又在上，， ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了矩形，图形翻折以及勾股定理等相关知识，对进行分类讨论的同时也要正确理解“点落在矩形内一点处”，是解题的关键． 20. 如图，在正方形中，，E是边上的一个动点，连接，在上截取，连接，分别交于点G，H．有如下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用可证明；再由全等三角形的性质可得，从而得到；根据E是边上的一个动点，，则的度数无法确定，无法确定与的大小关系；根据勾股定理求出，再由，可得，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，，，， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∵E是边上的一个动点，， ∴点F为上的一个动点，则的度数无法确定， ∴无法确定与的大小关系，则无法确定与的大小关系，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题（共计60分，其中21-22题7分；23-24题8分；25-27题10分） 21. 先化简，再求代数式÷﹣的值，其中x=4sin60°﹣2． 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：先将分式的除法转化为乘法，同时将x2－2x＋1利用完全平方公式分解因式，约分化简后，再进行分式的减法运算，得出最简结果后，将化简后的x值代入计算即可． 试题解析： 解：＋ － = = = ， 当x=4sin60°－2=4×= －2时， 原式= ． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，请按下列要求画图．（请用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，体现作图过程）． （1）在图1中，确定线段上一点D，使得； （2）在图2中，确定线段上一点E，使得． （3）直接写出图2中线段的长． 【答案】（1） （2） （3）线段的长为 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接，交于D点．由图知，则可得，，进而可得，则，是等腰直角三角形，，因此． （2）取格点M，N，连接交于E点，先证，则可得，进而可得，由与的高相同，可得． （3）根据勾股定理求出的长，则可得的长． 【小问1详解】 解：如图，取格点E，连接，交于D点，则．理由如下： 由图知，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴． 【小问2详解】 解：如图，取格点M，N，连接交于E点，则，理由如下： 由图知， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵与的高相同， ∴． 【小问3详解】 解：根据勾股定理可得， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握以上知识，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 23. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如：，，．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①________；②________； （2）若，求x的值． 【答案】（1）① ② （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据所表示的意义进行计算即可； ②计算相关锐角三角函数值，根据的定义即可解答； （2）根据的意义，列方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 即， ， 解得，． 24. 已知：在矩形中，是对角线，于点E，于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵于点，于点， ∴ ∴， ∴ （2）、、、 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）设，则，证明，根据三角函数可求得的值，即可证明的面积等于矩形面积的，再利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可写出其他三个符合题意的三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 设，则， 矩形的面积为， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 可得， ， 的面积为， 的面积等于矩形面积的， ， ，的面积等于矩形面积的， 和等底同高，和等底同高， ∴和的面积等于矩形面积的， 综上，、、、都符合条件． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）篮球的单价为60元，足球的单价为50元． （2）购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元”这个关键条件，可列二元一次方程组求解； （2）首先设购买足球个，那么篮球为个；因为足球个数不超过篮球个数的3倍，所以可列出不等式确定的取值范围；再根据总价=单价×数量，建立总费用关于的一次函数，利用一次函数的性质求花费最少时的值和最少费用． 【小问1详解】 设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：，解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 【小问2详解】 设该学校购买足球个，则购买篮球个， 根据题意得：， 解得 的整数． 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意得：， ，随的增大而减小， 且为非负整数， 当时，最小，最小值为1050． 答：购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 26. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件先证得四边形是平行四边形，再由角平分线的性质证得，进一步得出，从而得证结论； （2）由菱形的性质结合已知条件证得是等边三角形，进一步证得，利用全等三角形的性质得出，从而得证结论； （3）延长至点K，使，连接，由（2）的结论先证得点D，C，E三点共线，再证明，结合等边三角形的性质得出，设，通过倒角得出，证出，再进一步证得，利用相似三角形对应边成比例求得，进一步得到最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点K，使，连接， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，C，E三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D在第二象限的抛物线上，连接交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接，过点C作轴，交的延长线于点G，连接，点P在y轴正半轴上，点Q在射线上，若，，，，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先令，得到点坐标，然后可得点坐标，代入求出，进而得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，由题可知，再由可得，然后可得即可求解； （3）由题可得，则，再由相似的性质可得，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，证明，再得到，设，然后可得，过点作，分别解、进行求解即可． 【小问1详解】 解：，令，解得， ∴，， ∵， ∴，则， 把代入中，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点作轴于点， ∵点在抛物线上，且点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， 抛物线，令，解得或， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点， 则，，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍），， ∴，， ∵ 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ∴， ， ∴， 设直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴直线（即的垂直平分线）的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $