精品解析：北京市第五十七中学2026-2027学年八年级第一学期期中数学试卷

八年级第一学期期中数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若， ，则下列说法不一定正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 与的周长相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴且，则选项A正确，不符合题意； ∵与关于直线对称，， ∴， ∵， ∴，则选项B正确，不符合题意； 由轴对称的性质可知，，，无法证明，则选项C不一定正确，符合题意； ∵与关于直线对称， ∴的三边与的三边分别相等， ∴与的周长相等，则选项D正确，不符合题意． 3. 如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的中线，而不是角平分线，故A不符合题意； B、由折叠可知不是的角平分线，故B不符合题意； C、由折叠可知是的角平分线，故C符合题意； D、由折叠可知是的高线，故D不符合题意． 4. 如图，平分和，则的依据是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出两组对应角相等，结合公共边，符合全等三角形判定定理或． 【详解】解：平分和， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 综上所述，则的依据是或． 5. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】分的角为顶角、底角两种情况，根据等腰三角形两底角相等，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，底角度数为， 当的角为等腰三角形的顶角时，底角度数为， 综上，这个等腰三角形的底角度数为或． 6. 如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图及角平分线的性质，掌握基本的尺规作图和角平分线的性质是解题的关键．过作,根据作角平分线的基本作法可得平分,根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图：过作, 由作图可得平分,, 的面积为. 故选：C 7. 如图，在中，，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵在中，，． ∴．　 ∵平分．　 ∴．　 ∴．　 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键． 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：①作图是，无法证明一定是等腰三角形，不符合题意； ②作图得到，一定是等腰三角形，符合题意； ③作图是的垂直平分线，则，一定是等腰三角形，符合题意； ④作图是的角平分线，不能判定一定是等腰三角形，不符合题意； 综上可知，能判断一定是等腰三角形的图形有②③． 10. 如图，边长为4的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质即可判断①正确；由①可得垂直平分，则，再结合等边三角形的性质即可判断②正确；证明即可判断③错误；作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，，，由轴对称的性质可得，再结合两点之间线段最短，以及等边三角形的性质，计算即可判断④错误． 【详解】解：①∵为等边三角形，是边的中点， ∴，，，故①正确； ②由①可得垂直平分， ∴， ∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故的大小不随着点的移动而变化，故③错误； ④作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，，， 由轴对称的性质可得，，， ∴周长， 由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时（即点与点重合时），的值最小，为， ∵，， ∴为等边三角形， ∵是边的中点， ∴， ∴当周长最小时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②． 二、填空题（共20题，每题2分） 11. 若等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系验证能否组成三角形，再计算周长． 【详解】解：情况一：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系， 此时周长为． 情况二：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系， 此时周长为． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标规律，点横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，可得点关于轴对称的点的坐标是. 13. 若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一，3，4，5都正确） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出x的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， 化简得， 可取的整数值为3，4，5（答案不唯一）． 14. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15. 在中，是边上的中线，，若的长为整数，的长为___________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】延长到点E，使得，连接，证明，，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边的关系可得， ∴，即， ∴， ∵的长为整数， ∴的长为1或2． 16. 如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由题意易得和都是等腰三角形，然后由三角形周长公式及等量代换进行求解即可． 【详解】解： ，分别是和的角平分线， ， ，， ， ， 同理可得， ， ； 故答案为：． 17. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，则等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理；由条件可求得，，根据三角形内角和定理可求得，则可求得，再利用角的和差可求得． 【详解】解：垂直平分， ， ， 同理， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，垂足为，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．先在小直角三角形中求出，再在大直角三角形中由求出斜边，层层递进． 【详解】解：， ． 在中，， ∴． 根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”： 在中，，， ． ． 19. 如图，把纸片折叠，点落在处，折痕为，则、、满足的等量关系为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，根据三角形的外角的性质，可得，，可求、、满足的等量关系． 【详解】解：如图，设与的交点为， 折叠， ， ，， ， ． 20. 如图，与是全等的两个等边三角形，在同一条直线上，为线段上一动点，若的最小值为5，则等边三角形的边长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时，最小值为，再由的最小值为5，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与是全等的两个等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时，最小值为， ∵的最小值为5， ∴， ∴， ∴等边三角形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（共50分，第21-22题每题6分，第23-24题每题5分，第25-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 如图，A、B、C的顶点均在正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺完成作图． （1）在图1中作出的角平分线． （2）在图2中作出点B关于直线的对称点D，并直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 即为所求； （2） 如图，点即为所求， 20 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识点． （1）取格点，则由勾股定理可得，，再由得到，则； （2）取格点，连接，交于点，则，则，而，则，故点B关于直线的对称点为D，再由四边形的面积求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求；顶点的坐标为； （2） （3） 如图，点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据割补法即可求的面积； （3）连接与x轴交点即为点P的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 23. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 24. 已知：如图，在中，于点D，点在上，点在上，且． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰直角三角形得到，，然后根据同角的余角相等得到，然后运用证明，进而得到结论． 【详解】略 25. 如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2） 证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接． （1）如图1，若，求和的度数； （2）如图2，的平分线交于点M，交于点N，连接． ①补全图2； ②若，求证：． 【答案】（1），；（2）①作图见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）结合等腰三角形和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB，从而求解出角度后，再计算∠BDF即可； （2）①根据尺规作图作角平分线的方法画出的平分线即可； ②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题． 【详解】（1）∵，为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴由“三线合一”知，， ∴； （2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP，交于点M，交于点N； ②如图所示，连接， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， 在等边三角形中， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用各类图形的性质进行综合分析． 28. 在平面直角坐标系中，点P，Q分别在线段，上．如果存在点使，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”．如图1，点是线段的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是_____； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_____． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点P，Q分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】（1）；； （2） 证明∶ 如图中， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵点是线段（即）的“关联点”， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； ． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． （）画出图形，利用图象法解决问题； 画出图形发现点与点重合时满足条件； （）证明，推出，可得结论； 当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是菱形，则可求出周长． 【小问1详解】 解∶如图中， 观察图形可知， 点是线段的“关联点”， 故答案为：； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴当点与重合时，满足条件， 此时， 故答案为：； 【小问2详解】 略 如图，当点与重合时，得到， 同理可得是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时， 线段的“关联点”形成的区域是四边形，周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一学期期中数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若， ，则下列说法不一定正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 与的周长相等 3. 如图，某同学在“做·中·学”课上，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则一定是的一条角平分线的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平分和，则的依据是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 6. 如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，边长为4的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点的移动而变化；④当周长最小时，，上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（共20题，每题2分） 11. 若等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 13. 若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 14. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 15. 在中，是边上的中线，，若的长为整数，的长为___________ 16. 如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是______________． 17. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，则等于______________． 18. 如图，在中，，，，垂足为，若，则________ 19. 如图，把纸片折叠，点落在处，折痕为，则、、满足的等量关系为__________________． 20. 如图，与是全等的两个等边三角形，在同一条直线上，为线段上一动点，若的最小值为5，则等边三角形的边长为______________． 三、解答题（共50分，第21-22题每题6分，第23-24题每题5分，第25-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 21. 如图，A、B、C的顶点均在正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺完成作图． （1）在图1中作出的角平分线． （2）在图2中作出点B关于直线的对称点D，并直接写出四边形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 23. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 24. 已知：如图，在中，于点D，点在上，点在上，且． 求证：． 25. 如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 26. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 27. 在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接． （1）如图1，若，求和的度数； （2）如图2，的平分线交于点M，交于点N，连接． ①补全图2； ②若，求证：． 28. 在平面直角坐标系中，点P，Q分别在线段，上．如果存在点使，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”．如图1，点是线段的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是_____； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_____． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：； ②当点P，Q分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $