☆ 问题解决活动：利用三角函数测高（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 章末复习**（满分 60 分、16 题、约 1600 字） --- # 北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 章末复习 （满分 60 分　建议用时 45 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、全章知识框架 - 锐角三角函数：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边，三者都只与角的大小有关。 - 特殊值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3；sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1；sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。 - 三条关系：sin²A+cos²A=1，sinA=cos(90°-∠A)，tanA=sinA/cosA。 - 增减性：锐角的正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。 - 解直角三角形：三个角和三条边（去掉直角）共五个元素，已知一边一角或两边即可求出其余元素，工具是勾股定理、互余关系和三角函数。 - 实际应用：仰角俯角、坡度坡角、方位角，一律先画图认边，再选函数；坡度等于坡角的正切值。 - 常用易错：把斜边与邻边认错、正弦余弦混用、忘记角制、近似值取舍过早。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=3/5，则 tanA 的值为（　　） A. 3/5　　B. 4/5　　C. 3/4　　D. 4/3 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. sin50°>sin40°　　B. cos50°>cos40°　　C. tan50°<tan40°　　D. sin50°<sin40° 3. 计算 2cos30°-tan45° 的结果是（　　） A. 1　　B. √3+1　　C. √3/2　　D. √3-1 4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=2，c=2√2，则∠A 的度数为（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 75° 5. 在地面上一点测得楼顶的仰角为 30°，该点到楼底的水平距离为 30 m，则楼高为（　　） A. 10√3 m　　B. 15 m　　C. 30√3 m　　D. 30 m 6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，b=4，则 c 的长为（　　） A. 4　　B. 8√3　　C. 4√3　　D. 8 7. 下列说法正确的是（　　） A. 锐角的三角函数值与三角形的边长有关 B. 若 A、B 都是锐角且 sinA=cosB，则∠A+∠B=90° C. 锐角的正切值一定小于 1 D. 对任意锐角 A 都有 sinA+cosA=1 ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=√3，则∠A=＿＿＿。 9. 计算：sin²42°+cos²42°-tan45°=＿＿＿。 10. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，c=10，则 a+b=＿＿＿（保留根号）。 11. 若锐角 α 满足 tanα=1，则 α=＿＿＿；若锐角 α 满足 sinα=√3/2，则 α=＿＿＿。 12. 一段坡面长为 10 m，坡度 i=1:√3，则坡角为＿＿＿，铅直高度为＿＿＿。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 计算：(1) sin45°·cos45°+tan60°·tan30°；(2) (2sin30°+tan45°)/cos60°。 14. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=4/5，AC=12。求 BC 的长与 tanA 的值。 15. 在 A 处测得塔顶的仰角为 30°，沿直线向塔前进 20 m 到达 B 处，测得塔顶的仰角为 60°。求塔高（结果保留根号）。 16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，∠A=30°，CD⊥AB 于点 D。求 CD 的长。 ## 五、参考答案与解析 1. C。sinA=3/5 说明对边与斜边之比为 3:5，邻边占 4 份，所以 tanA=3/4。选项 D 是把对边和邻边的位置写反了。 2. A。正弦随锐角增大而增大，50°>40°，故 sin50°>sin40°；余弦随角增大而减小，所以 cos50°<cos40°，B 错；正切也随角增大而增大，tan50°>tan40°，C 错。 3. D。2cos30°=2×√3/2=√3，tan45°=1，故原式=√3-1。选项 B 是把减号看成加号的结果。 4. B。sinA=a/c=2/(2√2)=√2/2，所以∠A=45°。也可由 a:b:c=1:1:√2 判断这是等腰直角三角形。 5. A。楼高是 30° 角的对边，30 m 是邻边，楼高=30×tan30°=10√3（m）。已知邻边求对边用正切。 6. D。c 是斜边，b 是∠A 的邻边，c=b/cos60°=4÷1/2=8。 7. B。cosB=sin(90°-∠B)，故 sinA=cosB 时 sinA=sin(90°-∠B)，得∠A+∠B=90°；三角函数值与边长无关，正切可大于 1，sinA+cosA≠1，A、C、D 均错。 8. 60°。tan60°=√3，所以∠A=60°。注意 tan30°=√3/3，两者互为倒数。 9. 0。sin²42°+cos²42°=1，tan45°=1，所以原式=0。 10. 5+5√3。c=10 为斜边，a=c·sin30°=5，b=c·cos30°=5√3，所以 a+b=5+5√3。求两条直角边时，一条用正弦、一条用余弦。 11. 45°；60°。tan45°=1；sin60°=√3/2。这两问都是由三角函数值求角，别把正弦与余弦的特殊值混淆。 12. 30°；5 m。坡度等于坡角的正切值，tanα=1:√3=√3/3，故 α=30°；铅直高度=10×sin30°=5（m）。水平宽度则为 5√3 m。 13. (1) sin45°·cos45°=(√2/2)²=1/2，tan60°·tan30°=√3×√3/3=1，所以原式=3/2。(2) 2sin30°+tan45°=1+1=2，cos60°=1/2，所以原式=2÷1/2=4。两小题都要先代入函数值，再按运算顺序计算。 14. sinA=4/5 说明对边与斜边之比为 4:5，邻边占 3 份，即 a:b:c=4:3:5。已知 b=AC=12 对应 3 份，每份 4，所以 BC=a=16，c=20，tanA=BC/AC=16/12=4/3。 15. 设塔高 h，塔底为 O。由 tan30°=h/AO 得 AO=h√3，由 tan60°=h/BO 得 BO=h/√3。因 AO-BO=20，故 h√3-h/√3=20，即 2h/√3=20，解得 h=10√3（m），约为 17.3 m。两次观测共用同一条铅直边，这是列方程的关键。 16. 由 ∠A=30°，c=10 得 a=BC=10×sin30°=5，b=AC=10×cos30°=5√3。由面积关系 1/2×a×b=1/2×c×CD 得 CD=ab/c=(5×5√3)/10=5√3/2，约 4.3。也可先求 AD，再在 Rt△ACD 中用勾股定理。 ## 六、复习小结 本章的骨架可以概括为“一个定义、一张表、三条关系、两类应用”。定义提醒我们三角函数是边与边的比值，会随角的变化而变化，所以要先把对边、邻边、斜边准确对应清楚，尤其在换到 ∠B 时更要重新对应一遍；那张表指 30°、45°、60° 的九个值，按角成行背，忘了就用 1:√3:2 与 1:1:√2 的三边比现场推。三条关系中，平方关系用于已知一个函数值求另一个，互余关系用于正弦余弦互换与判断两角互余，商的关系用于把正切化为正弦与余弦之比。两类应用是解直角三角形与实际测量：前者练“已知一边一角”和“已知两边”两种套路，后者练画图认边，仰角俯角标清上下、坡度译成正切、方位角从正北起转。复习时把错题重做一遍，看清自己栽在哪一步：认错边、用错函数，还是取值过早、忘写单位。 --- 配分核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 一一对应；全文不含“如图”“按图”等依赖插图的表述，可直接复制打印。若需要把这一章的五份练习合并成一份完整单元卷或做成答案单独成页的版本，我可以再整理。 北师大版（新教材）数学九年级下册 ☆ 问题解决活动：利用三角函数测高 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.经历完整的问题解决过程，体会解决实际问题的基本流程和方法策略。 2.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。 学习目标 2 问题 我们曾经测量过学校旗杆的高度。当在地面上不能直接测得测点与被测旗杆的底部之间的距离时(这种情况称为“底部不可以到达”)，你能利用三角函数的有关知识测量旗杆的高度吗? 情境导入 3 知识点1 利用三角函数测高 选择一个底部不可以到达的物体，测量它的高度。 探究新知 理解问题 (1)“底部不可以到达”会给测量物体的高度带来哪些困难? 如图，无法获取测点A 与被测物体MN 底部 N 之间的水平距离，即AN 的长 度，而AM的长是无法测量的，这样就无法知道Rt△AMN中的一条边，只知道从点A处到点M 的仰角，无法解直角三角形。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 理解问题 (2)还记得九年级上册相似三角形章节中“刘徽与《海岛算经》”中的方法吗？我们有哪些可以借鉴的经验？ 如图，“刘徽与《海岛算经》”中的方法是设置了两个测点，并且知道两个测点之间的距离，这样就用两条未知线段HF，HG的线段差，完美解决了“底部不可以到达”的困难。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 理解问题 (3)如何利用三角函数的有关知识克服这些困难? 采用“类比”策略，借鉴“刘徽与《海岛算经》”中的方法，设置两个测点，分别测出两个测点到物体最高点的仰角，及两个测点之间的距离，然后就可以利用三角函数进行测高。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案一 示意图 测量工具 皮尺、测角仪(如测倾器) 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案一 测量步骤 ①在点A处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠α； ②在测点A和物体MN之间的点B处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠β； ③用皮尺测得AB之间的距离l。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 方案一 计算过程 测高表达式 在Rt△AMN中，AN = ，在Rt△BMN中，BN = ， ∵AN-BN = AB = l，∴- = l， 解得MN = 。 MN = 。 知识点1 利用三角函数测高 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 探究新知 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案二 示意图 测量工具 知识点1 利用三角函数测高 皮尺、测角仪、标杆 探究新知 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 方案二 测量步骤 知识点1 利用三角函数测高 ①在点A处安置测角仪，测得此时点M的仰角∠α； ②在测点A设置一个垂直于地面的标杆，在标杆的顶端B处测得此时点M的仰角∠β； ③用皮尺测得A，B之间标杆的长度l。 探究新知 方案二 计算过程 测高表达式 知识点1 利用三角函数测高 在Rt△AMN中，MN = AN·tanα， 在Rt△BMC中，MC = BC·tanβ。 易知四边形ABCN是矩形，∴CN = AB = l，AN = BC，∵MN-MC = CN = l，∴AN·tanα-AN ·tanβ = l， 解得AN = ，∴MN = AN·tanα = 。 MN = 。 拟定计划 (1)小组合作，讨论各种测量方案及其可行性。 (2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图，写出被测物体高度的表达式。 探究新知 实施计划 (1)各小组进行实地测量，做好数据记录。 (2)梳理测量过程并撰写活动报告。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 回顾反思 (1)你们在实地测量过程中遇到了哪些困难，是如何克服的? 在测量仰角或长度时，不同的小组成员测得的数据会有偏差。 方案二中标杆要保证与地面垂直，不同的小组成员操作起来有一定的偏差。 首先制定统一的测量标准，其次考虑多次测量求平均值。 如果采用方案二，标杆下面安装一个垂 直地面的底座，保证标杆与地面垂直。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 回顾反思 (2)各小组汇报展示活动成果，共同讨论减小测量误差的策略。 两个组采用了不同的测量方案，可以一起讨论各自方案的测量标准， 以及测量数据的合理性。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 请你解决下列问题。 1. 如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何利用三角函数的有关知识测量某测点到该物体的水平距离? 如图所示，可以在测点A处测出M的仰角∠MAN = ∠α， 通过AN = (MN是已知的或容易测量的)得到测点A到 物体MN的水平距离AN。 知识点1 利用三角函数测高 探究新知 2.到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法?请举例说明各种方法的特点，并整理成一篇小短文。 知识点1 利用三角函数测高 全等三角形、相似三角形、三角函数这三种测量高度的方法。 探究新知 举一反三 19 返回 举一反三 举一反三 21 返回 举一反三 举一反三 23 返回 举一反三 举一反三 25 返回 举一反三 B 举一反三 27 返回 举一反三 举一反三 29 返回 举一反三 举一反三 31 举一反三 举一反三 返回 举一反三 方案一 方案二 示意图 测高 表达式 MN = 。 MN = 。 利用三角函数测高--“底部不可以到达” 谢谢观看 THANKS 类型1 已知两条直角边解直角三角形 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，斜边上的高CD＝，BD＝1，解此直角三角形. (求出直角三角形的其他元素) 【解】∵CD是斜边上的高，∴∠CDB＝90°. ∵CD＝，BD＝1， ∴由勾股定理得BC＝＝＝2. ∵sin B＝＝，∴∠B＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－60°＝30°， ∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝＝2. 故∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝2，AB＝4，BC＝2. 类型2 已知一条直角边和斜边解直角三角形 2. 如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离. 【解】∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝5. ∴sin ∠BAC＝＝. 过点B作BD⊥MC于点D. ∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BCM＝sin ∠BAC. ∴sin ∠BCM＝＝，即＝. ∴BD＝，即点B到直线MC的距离为. 3. [2025邯郸期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20. 求sin A的值. 【解】在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10， ∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝20， ∴sin A＝＝＝. 类型3 已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长. 【解】∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3， ∴易得CD＝3. ∵∠A＝30°，BC＝3， ∴tan A＝＝＝.∴AC＝3. ∴AD＝AC－CD＝3－3. 类型4 已知斜边和一个锐角解直角三角形 5. 如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个等腰三角形的面积为(　　) A. 4. 5 cm2　　　　　 B. 9 cm2 C. 18 cm2 D. 36 cm2 【点拨】 如图，作底边上的高AD.∵∠B＝30°，AB＝6 cm，∠ADB＝90°，∴AD＝AB·sin B＝6×＝3(cm)，BD＝AB·cos B＝6×＝3(cm)．∴BC＝2BD＝6 cm. ∴S△ABC＝AD·BC＝×3×6＝9(cm2)． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长. 【解】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin 30°＝4×＝2. 又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°. ∴cos ∠CAD＝＝＝.∴AD＝4. 类型5 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 7. 如图，AD，AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知BC＝8，tan B＝，∠C＝45°. (1)求AD的长； 【解】∵AD是△ABC边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵tan B＝，∠C＝45°，∴BD＝3AD，CD＝AD. ∵BC＝BD＋CD＝4AD＝8，∴AD＝2. 【解】过点E作EF⊥AB于点F，如图． ∵AE是△ABC边BC上的中线， ∴CE＝BE＝BC＝4. ∵tan B＝，∴＝. ∴BF＝3EF. (2)求sin ∠BAE的值. ∵BF2＋EF2＝BE2，∴10EF2＝BE2＝16. ∴EF＝. ∵CD＝AD＝2，∴DE＝CE－CD＝2. ∴AE＝＝＝2. ∴sin∠BAE＝＝＝. $