1.3 三角函数的计算（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 1.3 三角函数的计算 专项练习**（沿用同一个模板：满分 60 分、16 题、约 1600 字。因为本节需要用到计算器，所有近似值我都提前核对过） --- # 北师大版数学九年级下册 1.3 三角函数的计算 专项练习 （满分 60 分　建议用时 40 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、知识梳理 - 本节把三角函数从“特殊角”延伸到“任意锐角”，方法是查表，或者用计算器求值。 - 求值操作：先确认计算器处于角度制（屏幕上出现 D 或 DEG），再按 sin、cos 或 tan 键，输入角的度数后读数。 - 由值求角：按 SIN⁻¹、COS⁻¹、TAN⁻¹（或 shift 加对应键）功能键，输入函数值，读出角度。 - 精度要求：“精确到 0.0001”看小数点后第 4 位，“精确到 0.01”看第 2 位，“精确到 1°”看整数度；关键是多算一位再四舍五入。 - 结果范围：锐角的正弦、余弦值都小于 1，正切值可以为任意正数；若题目给出 sinA=1.5，说明这样的锐角不存在。 - 近似计算同样要先代值、后运算，中间结果多留 2 至 3 位，最后一步才按要求取近似。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 用计算器求 sin35° 的值，精确到 0.0001 是（　　） A. 0.8192　　B. 0.7002　　C. 0.5736　　D. 0.5878 2. 用计算器求 tan48° 的值，精确到 0.01 是（　　） A. 1.11　　B. 0.7431　　C. 0.90　　D. 1.48 3. 已知锐角 A 满足 sinA=0.7880，则∠A 约为（精确到 1°）（　　） A. 38°　　B. 42°　　C. 62°　　D. 52° 4. 已知锐角 B 满足 cosB=0.6428，则∠B 约为（精确到 1°）（　　） A. 40°　　B. 50°　　C. 60°　　D. 30° 5. 用计算器求 sin30°+sin60° 的值，精确到 0.01 是（　　） A. 0.87　　B. 1.50　　C. 1.37　　D. 1.73 6. 已知锐角 A 满足 tanA=1.3764，则∠A 约为（精确到 1°）（　　） A. 36°　　B. 54°　　C. 64°　　D. 45° 7. 下列各式中，不存在对应的锐角的是（　　） A. sinA=0.5　　B. cosA=0.5　　C. tanA=0.5　　D. cosA=1.5 ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 用计算器求 sin17°，结果精确到 0.0001 是＿＿＿。 9. 用计算器求 tan63°，结果精确到 0.01 是＿＿＿。 10. 已知锐角 A 满足 cosA=0.8660，则∠A 约为＿＿＿（精确到 1°）。 11. 已知锐角 A 满足 tanA=0.4040，则∠A 约为＿＿＿（精确到 1°）。 12. 用计算器计算 sin²35°+cos²35°，结果精确到 0.001 是＿＿＿。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 用计算器求下列各式的值（精确到 0.001）：(1) sin48°；(2) cos25°；(3) tan70°。 14. 已知锐角 A 满足下列条件，分别求∠A（精确到 1°）：(1) sinA=0.9272；(2) cosA=0.4540；(3) tanA=0.7002。 15. 一架长 5.6 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子与地面所成的角为 68°。求梯子顶端离地面的高度（精确到 0.1 m）。 16. 一段斜坡的坡角为 32°，坡面长为 12 m。求这段斜坡的铅直高度与水平宽度（各精确到 0.1 m）。 ## 五、参考答案与解析 1. C。sin35°≈0.5736，所以选 C。选项 A 的 0.8192 是 cos35° 的值，求正弦却把余弦的结果抄上去，是本节最常见的错误。 2. A。tan48°≈1.1106，精确到 0.01 得 1.11。取近似时多看一位，1.1106 的第三位是 0，故不进位。 3. D。sin52°≈0.7880，所以∠A≈52°。由值求角要用 SIN⁻¹ 功能，读出的度数再按要求取整到 1°。 4. B。cos50°≈0.6428，所以∠B≈50°。余弦值随角增大而减小，若误用 SIN⁻¹ 键，会读出约 40°，恰好是选项 A 的陷阱。 5. C。sin30°=0.5，sin60°≈0.8660，相加得 1.3660，精确到 0.01 为 1.37。中间值多保留 4 位再取近似，可以减少累计误差。 6. B。tan54°≈1.3764，所以∠A≈54°。也可先判断 45°<∠A<60°，因为 tan45°=1、tan60°≈1.73，再由计算器精确定位。 7. D。锐角的余弦值一定小于 1，cosA=1.5 不可能成立。正弦、余弦的取值范围都要在 0 与 1 之间，正切则不受这个范围限制。 8. 0.2924。sin17°≈0.29237，精确到 0.0001 得 0.2924。保留四位小数，末尾的 0 不能省略。 9. 1.96。tan63°≈1.9626，精确到 0.01 得 1.96。63° 靠近 60°，正切值明显大于 1，可以先估一估再按键。 10. 30°。cos30°≈0.8660，所以∠A≈30°。这个值其实也是特殊值，说明 0.8660 就是 √3/2 的近似。 11. 22°。tan22°≈0.4040，所以∠A≈22°。正切小于 1，说明这个锐角小于 45°，可以用这一点做检验。 12. 1.000。sin²35°+cos²35°=1 恒成立，计算器上会把结果显示为 0.9999…，按要求取到 0.001 就是 1.000。平方关系与角的具体大小无关。 13. (1) sin48°≈0.743；(2) cos25°≈0.906；(3) tan70°≈2.747。这三问都要先确认计算器处于角度制，否则 sin48° 会算出弧度值 0.8253，与答案相差较大。 14. (1) sinA=0.9272，用 SIN⁻¹ 得∠A≈68°；(2) cosA=0.4540，用 COS⁻¹ 得∠A≈63°；(3) tanA=0.7002，用 TAN⁻¹ 得∠A≈35°。三小问分别用到三种功能键，按键前要先分清题目给的是正弦、余弦还是正切。 15. 梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长为斜边，梯顶高度是 68° 角的对边，所以高度=5.6×sin68°≈5.6×0.9272≈5.19（m），精确到 0.1 m 为 5.2 m。如果错用成余弦，算出的 2.1 m 是梯脚到墙的距离。 16. 铅直高度=12×sin32°≈12×0.5299≈6.36（m），取 6.4 m；水平宽度=12×cos32°≈12×0.8480≈10.18（m），取 10.2 m。这两问一个用正弦、一个用余弦，要先分清哪条边是坡角的对边，再按键。 ## 六、方法小结 这一节真正要练的是两件事：会用计算器，会估结果。用之前先看屏幕上的角度制标志，D 或 DEG 出现才说明输入的是度数，否则算出来的是弧度值，差得很远。求值时按键顺序是“函数键、度数、等号”，由值求角则用 SIN⁻¹、COS⁻¹、TAN⁻¹ 反查，切勿把正弦值与余弦值混着查。估算能力很关键：正弦、余弦都小于 1，正切在 45° 时为 1，角越大正切越大，先估大致范围再看读数，读数离谱就说明按键或模式错了。取近似时，中间结果多留两三位，只在最后一步按题目要求取舍；应用题则先画出边角关系，判断已知的是斜边、对边还是邻边，再决定用正弦还是余弦，最后别忘了写单位。 --- 分值核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 一一对应；全文不含“如图”“按图”等依赖插图的表述，可以直接复制打印。下一节是 1.4 解直角三角形，需要的话我接着做。 北师大版（新教材）数学九年级下册 1.3 三角函数的计算 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.能够运用科学计算器进行有关三角函数值的计算。 2.能够运用科学计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。 学习目标 2 问题 如图，在登山缆车的吊厢经由点A到达点B的过程中，它行驶了200 m。已知缆车吊厢由点A到点B的行驶路线与水平面的夹角∠α = 16°，那么缆车吊厢垂直上升的距离是多少(结果精确到0.01m)? 1.缆车垂直上升的距离是线段　　　　的长度。 2.本题的已知条件是　 　　　。 3.这三个量之间的关系是　　 　　。 ∠α＝16°，AB＝200 m BC sin α＝ 情境导入 问题 如图，在登山缆车的吊厢经由点A到达点B的过程中，它行驶了200 m。已知缆车吊厢由点A到点B的行驶路线与水平面的夹角∠α = 16°，那么缆车吊厢垂直上升的距离是多少(结果精确到0.01m)? 根据题意可知，在△ABC中，∠ACB = 90°， BC = ABsin 16°。 探究新知 你知道sin 16°是多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值。 知识点1 三角函数值的计算 探究新知 怎样用科学计算器求三角函数值呢? 用科学计算器求三角函数值，要用到sin、cos和tan键。例如，用某型号科学计算器求sin 16°，cos 72°38′25″和tan 85°的按键顺序如下表所示。 三角函数 按键顺序 显示结果 sin 16° cos 72°38′25″ tan 85° 0.275 637 355 8 0.298 369 906 7 11.430 052 3 知识点1 三角函数值的计算 说明： 与具有第二功能的键组合能使用相应的第二功能，如按键 可使用 键的第二功能°′ "（度分秒），EXE键表示输出结果。 探究新知 返回 A 举一反三 7 返回 D 举一反三 8 知识点1 三角函数值的计算 问题 如图，在登山缆车的吊厢经由点A到达点B的过程中，它行驶了200 m。已知缆车吊厢由点A到点B的行驶路线与水平面的夹角∠a = 16°，那么缆车吊厢垂直上升的距离是多少(结果精确到0.01m)? 根据题意可知，在△ABC中，∠ACB = 90°， BC = ABsin 16°。 利用科学计算器可以求得 BC = 200sin 16°≈ 200×0.275 6= 55.12(m)。 注意：如无特殊说明，用科学计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位。 探究新知 观察·思考 在缆车吊厢继续由点B到达点D的过程中，它又行驶了200 m，缆车吊厢由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角∠β = 42°，由此你还能计算什么? 还能计算缆车吊厢从点B到点D垂直上升的距离 和水平移动的距离。 设∠β的一边与∠D的一边相交于点 E， ∵∠BED = 90°， ∴BE = BD·cos β = 200×cos 42 °= 200×0.743 1≈ 148.62(m)， DE = BD·sin β = 200×sin 42 °= 200×0.669 1≈ 133.82(m) 。 知识点1 三角函数值的计算 E 探究新知 操作·思考 为了方便行人推非机动车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道(如图)。如何求这条斜道的倾斜角呢? 在Rt△ABC中，sinA = = = 。 要解决这个问题，我们可以借助科学计算器。 知识点1 三角函数值的计算 ∠A是多少度呢? 探究新知 已知三角函数值求角度，要用到sin、cos、tan键的第二功能“sin⁻¹”“cos⁻¹” “tan⁻¹” 和 键。例如，已知sin A，cos B，tan C，用某型号科学计算器求∠A，∠B，∠C的度数，按键顺序如下表所示。 上表的显示结果是以“度”为单位的。再按 键即可显示以“度、 分、秒”为单位的结果。 三角函数 按键顺序 显示结果 sin A = 0.981 6 cos B = 0.860 7 tan C = 56.78 78.991 840 39 30.604 730 07 88.991 020 49 知识点1 三角函数值的计算 探究新知 操作·思考 为了方便行人推非机动车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道(如图)。如何求这条斜道的倾斜角呢? sin A = = ， 利用科学计算器可以求得 ∠A≈ 14°28′39″。 知识点1 三角函数值的计算 注意：如无特殊说明，用科学计算器根据三角函数值求角度时，计算结果一般精确到1″。 探究新知 在全校的手工大赛中，王同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机支架。如图所示，卡槽的宽度DF与△ABC的边AB相等。已知AC = 20 cm，BC = 18 cm，∠ACB = 50°， 一部手机的最长边为16 cm，王同学能否将此手机立放入卡槽内?请说明你的理由。 例1 知识点1 三角函数值的计算 探究新知 解：王同学能将手机立放入卡槽DF内 。 理由：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D。 在Rt△ACD中，∠ADC = 90°，∠C = 50°，AC = 20， ∴AD = AC·sin 50°≈ 20×0.766 0 = 15.32(cm)， CD = AC·cos 50°≈ 20×0.642 8 = 12.856(cm)， ∴DB = BC−CD = 18−12.856 = 5.144(cm)， ∴AB = = ≈ 16.16(cm)， ∴DF = AB = 16.16 cm>16 cm， ∴王同学能将手机立放入卡槽DF内。 知识点1 三角函数值的计算 探究新知 返回 38°13′　 37°5′32″ 举一反三 16 返回 0.671 8 举一反三 17 返回 5.85 km 举一反三 18 94.6 举一反三 19 返回 举一反三 15.3 m 举一反三 21 【解】∵sin 25°＋sin 46°≈0.423＋0.719＝1.142， sin 71°≈0.946，∴sin 25°＋sin 46°＞sin 71°. 举一反三 22 【解】 sin α＋sin β＞sin(α＋β)． 举一反三 23 举一反三 24 返回 举一反三 三角函数的计算 求一般锐角的三角函数值 借助科学计算器计算 由三角函数值求锐角的度数 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1. [2025烟台期中]用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(　　) 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(　　) 3. (1)已知cos A＝0. 785 7，用计算器计算锐角∠A≈________(精确到1′). (2)已知sin α＝0. 603 1，用计算器求锐角α≈____________(精确到1″). 4. 用计算器计算：sin 12°30′＋cos 82°17′5″＋tan 17°48′≈________(结果精确到0. 000 1). 5. 如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点. 已知坡角为20°，山高BC＝2 km. 用科学计算器计算小路AB的长度为__________. (结果精确到0. 01 km) 6. [2025苏州模拟]如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60 m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，则铁塔的高度为________m(结果精确到0. 1 m). 【点拨】 如图，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，根据题意得BD＝60 m，∴AE＝BD＝60 m.在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠DAE＝60·tan 30°＝20(m)．在Rt△ACE中，CE＝AE·tan∠CAE＝60·tan 45°＝60(m)，∴CD＝CE＋DE＝(60＋20) m ≈94.6 m，∴铁塔CD的高度为94.6 m. 7. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站. 中国空间站上的机械臂的一种工作状态的示意图如图所示，当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，可得A，B两点间的距离为________. (结果精确到0. 1 m，参考数据：sin 50°≈0. 766，cos 50°≈0. 643， tan 50°≈1. 192) 8. (1)用计算器计算sin 25°＋sin 46°与sin 71°之间的大小关系； (2)若α，β，α＋β都是锐角，猜想sin α＋sin β与sin (α＋β)的大小关系； (3)请借助如图所示的图形说明(2)中的猜想. 【解】由题图得sin α＋sin β＝＋，sin (α＋β)＝. ∵OA＞OB，∴＞. ∴＋＞＋＝. ∵AB＋BC＞AE，∴＞.∴＋＞. ∴sin α＋sin β＞sin (α＋β)． $