精品解析：浙江杭州外国语学校2026-2027学年上学期八年级11月期中考数学试卷

杭州外国语学校2026—1初二年级期中考试数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．答题一律用蓝色、黑色的钢笔、水笔或圆珠笔． 3．本次考试不得使用计算器． 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知，则下列不等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题关键在于掌握①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、， ，正确，不符合题意； B、， ，正确，不符合题意； C、， ， ，正确，不符合题意； D、， 当时， ，原选项错误，符合题意； 故选：D． 2. 下列能判定为等腰三角形的是（　　） A. B. C. D. ，周长为13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 3. 如图，中，，，直接使用“”可判定（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 4. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（ ） A. 11 B. 15 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得且为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，结合中点定义求出、的长，进而求得的周长． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ， ∴的周长为：． 5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出各选项的逆命题，再结合初中几何知识判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：A、原命题为等腰三角形的底角相等，逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，根据等腰三角形判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意； B、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，对应角相等的两个三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，此逆命题是假命题，符合题意； C、原命题为面积相等的两个三角形一定是全等三角形，逆命题为“全等的两个三角形面积一定相等”，此逆命题是真命题，不符合题意； D、原命题为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，根据线段垂直平分线的判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意． 6. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这道题主要考查了几何图形折叠问题，其中长方形每个内角都为直角，即，再根据折叠的性质，折痕为对称轴，折叠前后对应角相等即和，再利用已知角建立方程求解． 【详解】解： ∵根据题意，以、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、， ∴利用折叠对称性，设，； ∵长方形中， ∴， 即， ∵折叠后， 即， ． 7. 学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 8. 已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 9. 如图，与都是直角三角形，其中与是直角．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为、、、，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理及圆面积公式，分别表示出、、及，结合即可求解． 【详解】解：设，，，，，，， 由勾股定理得：，，  ， ，，  ， 由图可知为以为直径的半圆面积减去以为直径的半圆面积，  ，  O为中点， ，即， ， ． 10. 如图，在四边形中，，，为上一点，连接，，，，若，则四边形的面积为（ ） A. 70 B. 64 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于，证明，得出，设，则，，利用勾股定理得出，从而得出，，求出，，最后根据计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积，理解等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全熟练掌握等三角形的判定和性质，勾股定理和三角形的面积公式是解决问题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “的倍与的差不小于”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，从而正确列出不等式是解题的关键． “的倍与的差”表示为，“不小于”意思是大于或等于，据此列不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 12. 如图，点在一条直线上，，，，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和差，由，，则，，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若不等式组的解集为，则不等式的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原不等式组的已知解集确定参数、的取值，再代入目标不等式求解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∵已知该不等式组的解集为， ∴， 解得， 代入不等式， 得， 移项得， 两边同时除以4，得． 14. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 在中，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得，即， ∴（负值已舍）， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、两点之间线段最短、垂线段最短、含45°角直角三角形的性质等知识点，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 15. 如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为________________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】设，根据折叠性质可得， ，．根据点的位置不同分两种情况讨论：当点在线段上时，用表示出的三个内角，根据等腰三角形性质列方程求解；当点在延长线上时，判断出为钝角三角形，根据等腰三角形性质求解． 【详解】解：设， ∵沿直线翻折得到， ∴，，， 在中，， ∴， ∵． 分两种情况讨论： ①当时，点在线段上，此时， ∴， 在中，是外角， ∴， 在中，， 若，则， ∴， 解得， 若，则， ∴， 解得， 若，则， ∴， 解得（舍去）． ②当时，点在的延长线上， 此时， ∴， 此时点在线段的延长线上， ∴， ∵为钝角， ∴只能，即， ∴， 又∵， ∴， 解得， 综上所述，的度数为或或． 16. 如图，已知，平分，若，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的延长线上取点E，使，连接，在的延长线上取点E，使，连接，先证明为等边三角形，得到，，再证明，得到，，，则．再证是等边三角形，则，过点C作于点H，即可得到，则，则，由勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，在的延长线上取点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于点H，则， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 三．解答题（本大题共8小题， 17. 解不等式与不等式组． （1）解不等式：．并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组： 【答案】（1）． 解集在数轴上表示如图： （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，在数轴上表示即可； （2）分别解不等式，取公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，， 去括号，， 移项，合并同类项，． 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， 所以，． 18. 在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． （1）观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的____（填序号），射线是的_____（填序号）；（①角平分线；②垂直平分线） （2）在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 【答案】（1）②，①； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形面积的计算，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据基本作图的方法即可得到结论； （2）过E作于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 解：由作图痕迹知，直线是的线段的垂直平分线，射线是的平分线． 故答案为：②，①； 【小问2详解】 解：过E作于H， ∵是的平分线， ∴ ∴的面积． 19. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 20. 如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴与都是直角三角形． 在与中 ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可解决问题． （2）首先证明，进而证明，即可解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴． 21. 已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． （1）解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； （2）求整数的值． 【答案】（1）方程组的解为 （2）的整数值为 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【小问1详解】 解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 22. 某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元． （1）求每个A型足球和B型足球各多少元； （2）若该学校准备购买A、B两种足球共20个（每种至少买一个）；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由． （3）在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？ 【答案】（1）每个A型足球和B型足球各是200元和300元 （2）解：至少购买A型足球10个，理由如下： 设购买A型足球a个，由题意得： ， 解得， 答：至少购买A型足球10个； （3）当时选择甲店，当时两家一样，当时选择乙店 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意； （1）设A型足球每个x元，B型足球每个y元，然后可根据题意列出方程进行求解即可； （2）设购买A型足球a个，由题意易得，然后问题可求解； （3）由题意可得在甲店所需费用：；在乙店所需费用：，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：设A型足球每个x元，B型足球每个y元，由题意得： ， 解得：。 答：每个A型足球和B型足球各是200元和300元； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在甲店所需费用： 在乙店所需费用：， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：； 所以当时选择甲店，当时两家一样，当时选择乙店． 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【解析】 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点． （1）求证：． （2）当时，求的度数． （3）如图，当时，，，求四边形的面积． （4）如图，若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． （2） 的度数为． （3） 四边形的面积为． （4）的值为． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，可得，，，可得，证明，可得， 设，则，，由三角形的内角和定理可得，即可证得结论； （2）由等腰直角三角形的性质，结合勾股定理，可得，，由三角形全等的性质，可得，结合已知可得，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，即可得的度数； （3）过点作于点，与相交于点，证明，根据勾股定理求出，然后根据即可求解； （4）由等腰直角三角形的性质，结合勾股定理，可得，，由，结合勾股定理可得，，，，等量代换可得，由三角形的面积公式，等量代换可得，代入已知条件计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 【小问3详解】 解：过点作于点，与相交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【小问4详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，，， ∴ ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州外国语学校2026—1初二年级期中考试数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．答题一律用蓝色、黑色的钢笔、水笔或圆珠笔． 3．本次考试不得使用计算器． 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 已知，则下列不等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列能判定为等腰三角形的是（　　） A. B. C. D. ，周长为13 3. 如图，中，，，直接使用“”可判定（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（ ） A. 11 B. 15 C. 12 D. 14 5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 6. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与都是直角三角形，其中与是直角．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为、、、，（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，为上一点，连接，，，，若，则四边形的面积为（ ） A. 70 B. 64 C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “的倍与的差不小于”用不等式表示为_____． 12. 如图，点在一条直线上，，，，若，，则的长度为______． 13. 若不等式组的解集为，则不等式的解是________________． 14. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 _____． 15. 如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点．若是等腰三角形，则的度数为________________． 16. 如图，已知，平分，若，，，则的长是________． 三．解答题（本大题共8小题， 17. 解不等式与不等式组． （1）解不等式：．并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组： 18. 在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． （1）观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的____（填序号），射线是的_____（填序号）；（①角平分线；②垂直平分线） （2）在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 19. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的度数． 21. 已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． （1）解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； （2）求整数的值． 22. 某校计划为足球兴趣小组重新购买A、B两种足球．经调研得知：购买1个A型足球和2个B型足球共需800元，购买3个A型足球和2个B型足球共需1200元． （1）求每个A型足球和B型足球各多少元； （2）若该学校准备购买A、B两种足球共20个（每种至少买一个）；要求总费用不超过5000元，则对购买A型足球在数量上有什么要求？说明理由． （3）在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种足球，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型足球按原价80%收费，B型足球不优惠；在乙店购买A型足球不优惠，但购买B型足球按原价80%收费；则学校到哪家商店购买足球花费少？ 23. 综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点． （1）求证：． （2）当时，求的度数． （3）如图，当时，，，求四边形的面积． （4）如图，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $