广东汕头市部分校2026-2027学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学参考答案 题序 9 10 11 12 13 14 答案 B BC AC ACD 3-31 7 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3】第12题，凡与答案不符的均不得分；第13题，答案还可以写成“0.7”；第14题，答对第一空 得2分，答对第二空得3分。 1.C【解析】本题考查上四分位数，考查数据处理能力， 因为6×75%=4.5，所以这组数据的上四分位数是95677元. 2.A【解析】本题考查直线的倾斜角，考查数学运算的核心素养 设1的领斜角为a(0C。<.由0Ca<子，得0≤ana<1,所以1的斜率可能为号 3.D【解析】本题考查圆的一般方程，考查数学运算的核心素养 由题意得(-a)2+(-2a)2-4×5>0,得a<-2或a>2. 4.A【解析】本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养】 因为OA=(-1,3,1),OB=(-1,-2,2),所以点A到直线OB的距离为 0-( A·02=√/0. 5.C【解析】本题考查两条平行直线间的距离，考查数学运算的核心素养. 由题意得8a=-4×6,得a=一3.由-3x-4y+5=0,得6x十8y-10=0,所以l1与l2之间 的距离为 1-10-513=-1 √62+822 2a. 6.B【解析】本题考查四点共面，考查数学运算的核心素养， x=1, y=1, 设AD=xAB+yAC,则(1,3，t)=(x,2x十y,-x十y),得2x十y=3,得x=1, -x+y=t,t=0. 7.C【解析】本题考查光线的反射、点与圆的位置关系，考查直观 y 想象与数学运算的核心素养 如图，设该光线与x轴交于点A.由题意得P关于x轴对称的 点为P1(-3,一1)，易得|PA=P1A|,PM=5,所以该光 线所经过的路程为|PA|+AQI=PA|+|AQ=|PQ|≥ 【高二数学·参考答案第1页（共8页）】 |P,M一1=4.故该光线所经过的路程的最小值为4. 8.B【解析】本题考查三角恒等变换、解三角形、均值不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养. 2cos2A+cos A+cos(B-C)=2(1-sin2A)-cos(B+C)+cos(B-C)=2-2sin2A++ 2 sin Bsin C=2,所以sinA=sin Bsin C.由正弦定理得a2=bc,则cosA= 2+c2-a2= 2bc 厂bc-6C-)>%-?=,当且仅当6=c时，等号成立，所以osA的最小值 2bc 为经又A∈0，，所以A的最大值为行， 9.BC【解析】本题考查空间直角坐标系、异面直线所成的角，考查数学运算的核心素养与空间 想象能力 由题意得E(2,1,0),C1(0,2,2),B(2,2,0),F(0,0,1),则EC=(-2,1,2),BF=(-2, ECi·BF 一2,1)，所以异面直线EC1与BF所成角的余弦值为 4 ECIBF =9B,C均正确，A,D 均错误 10.AC【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养】 设fx)的最小正周期为T,则T=2红.由f()=f(z+),得T=2kr=x∈D,则o 2ke.由x∈[o,],得ar-∈[-，。-] 因为函数y=x在[吾，]上单调递增，所以管。吾≤受，得0<4， 综上，w=2或4. 11.ACD【解析】本题考查新定义、二次函数、分段函数、函数的单调性、不等式、直线与圆，考 查数学抽象、逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养， 当-3≤x≤-1时，由y=-√一x-4x-3,得(x+2)2+y2=1(y≤0)，此时，f(x)的图 象是圆心为C(一2,0)，半径为1的圆的下半部分.当x<0时，作出f(x)的大致图象，如图 所示 由图可知，当直线OA与圆的下半部分相切时，斜率最大.此时设直线 0A的方程为y=x,则点C(-2,0)到直线OA的距离d=261 √k2十1 =1,解得=士由图可知，应取友=5若1<0，则D(x1) eRoW≥f==eRre》 当<-3时，f0)=-:-≥，得≤-3-当-3≤-1时，f0<0,不符合题 【高二数学·参考答案第2页（共8页）】 意当>-1时10=8≥9-9，得≥2 综上，Dx)-(-,-39]U[+o）. 放-4ED(x),-日∈D(x),2∈D(a),-2ED(x. 12.3一3i【解析】本题考查复数的模、四则运算，考查数学运算的核心素养. |3-4i-2-3i=5-2-3i=3-3i 13.0【解析】本题考查古典概型，考查应用意识 将雕塑类中的石湾公仔、潮州木雕、广州榄雕分别编号为1,2,3，非雕塑类中的东莞莞香、肇 庆端砚分别编号为a,b.这个试验的样本空间为{(1,2)，(1,3)，(1，a),(1,b),(2,3),(2,a), (2,b),(3,a),(3,b),(a,b)},共包含10个样本点.记事件A=“该游客至少买到一件非雕 塑类伴手礼”，则A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)},包含7个样本点， 所以P(A)= 145;号 【解析】本题考查用空间向量求球的半径，考查数学运算的核心素养与空间想象 能力 由题意得A,B,C均在平面Oxy上.设△ABC外接圆的半径为r,球M的半径为R.由题意 得BA=(-3,-1,0),BC=(0,-4,0),AC=(3,-3,0),得c0sBA,BC)= BA·BC BABCI ,AC=3w2,则sin(BA,BC)-3西 W10 IACI 10,所以r= 2sin(BA,BC) =√5.设点D在平面a 上，且平面a∥平面ABC,则平面a与平面ABC间的距离为3.设点M到平面ABC的距离 (r2+x2=5十x2=R2, 为x,点M在平面&上的投影为点M1, DM+(3-x)=R,消去R,得6x=4+DM. 当点D与点M重合时，x取得最小值，R取得最小值，且x的最小值为号，R的最小值 为好 15.【解析】本题考查直线的方程、直线的垂直，考查数学运算的核心素养， 3-21 解：(1)因为直线AB的斜率kAB=2二(-)=3' 2分 所以所求直线的方程为y=3(x十1)十2， 4分 一般式方程为x一3y十7=0.… 6分 (2)由题意得1的斜率为2 =一3， 8分 【高二数学·参考答案第3页（共8页）】 则l:y=一3x十4.…10分 4 令y=0,得x=3令x=0,得y=4.…12分 故1与两坐标轴所围成的三角形的面积为2×号×4-S 3 …13分 【评分细则】 第(1)问还可以这样求直线的方程： 因为直线AB的两点式方程为号-专二书， 3分 所以所求直线的一般式方程为x一3y十7=0.…6分 16.【解析】本题考查空间向量的线性运算与数量积、二面角，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养 解：(1)AF-AE+E京=A立+AB, 2分 AC-AF+FC-AE+AB+F心.… 4分 (2)因为FC⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF,二面角A-EFC为直二面角，所以FC ⊥平面ABFE. …5分 因为AEC平面ABFE,所以FC⊥AE. 。。。。。。。。,。,里004.09年。0。。6广 故AF.AC=(A它+E)·(Ai+AB+FC)=A2+A它.AB+A2.FC+E京.A2+ EF.AB+EF.FC=1十2X2=5.… …9分 (3)设AE与FC的夹角为a(0<a<x). 因为AC1=√(AE+AB+FC)2 =√AE2+AB2+FC+2AE·AB+2AE·FC+2AB·FC =V/1十4+1+2X1X1Xc0sa=√7，…12分 所以cosa=2· 0 13分 又0<a<r,所以a= 3 …14分 因为FC⊥EF,BF⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF, 所以二面角A-EF-C的平面角为∠BFC, 所以二面角A-EF-C的大小为π一a= 2π 3 …15分 【评分细则】 第(2)问还可以这样解答： 因为FC⊥EF,平面ABFE∩平面EFCD=EF,二面角A-EF-C为直二面角，所以FC⊥平 面ABFE.… …5分 因为AFC平面ABFE,所以FCLAF.…6分 易得AF=√5，AC在A京上的投影为A疗，所以A.AC=A2=5.…9分 【高二数学·参考答案第4页（共8页）】 17.【解析】本题考查圆的轨迹方程、圆与圆的位置关系、直线被圆截得的弦长，考查数学运算的 核心素养与分类讨论的数学思想， 解：(1)设M(x,y).由题意得MO=2MB|,则W/x2十y2=2√(x-3)2+y2,…2分 化简得x2一8x十y2+12=0,即曲线C的方程为(x一4)2十y2=4.…4分 (2)因为圆O的圆心为O(0,0),半径为1，圆C的圆心为C(4,0),半径为2，且|OC1=4>2 十1=3，…6分 折所以曲线C与圆O外离。…8分 (3)设点C到l的距离为d.由|EF|=2W4一d2=2√3，得d=1.…10分 当l的斜率不存在时，l:x=3,符合题意.…11分 当1的斜率存在时，设l:y=b(x一3)一2，即l:kx一y一3k一2=0.…12分 由d12=1,得=所以1：9=}名 ………14分 √Wk2+1 4 放的方程为红-3或y--名 …15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，曲线C的方程也可以写成“x2一8x十y2+12=0”. 【2】第(2)问中，只写了“曲线C与圆O外离”，未说明理由，给1分；直接写“因为OC引=4> 2十1=3，所以曲线C与圆O外离”，不扣分 【3】第(3)问中，1的方程也可以写成“x=3或3x一4y一17=0” 18.【解析】本题考查线面平行、点到平面的距离、线面角，考查数学运算、逻辑推理的核心素养与 空间想象能力， (1)证明：因为D是AB的中点，所以OD⊥AB.以O为原点，DO,OC,OO1所在直线分别 为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， …1分 则E(2,4,0),O3(0,4,4),得E03=(-2,0,4). …2分 B 易得平面ODD1O1的一个法向量为n=(0,1, 0). …3分 因为EO3·n=0,所以EO3⊥n.…4分 又EO3中平面ODDO1,所以EO3∥平面 ODD1O1.…5分 A (2)解：由(1)得O2(0,4,0).设P(-2,0,a),0≤ a≤4，得E02=(-2,0,0),02P=(-2,-4,a). …6分 (m·EO2=-2x=0, 设平面PEO2的法向量为m=(x,y,之)，则 …8分 m·O2P=-2x-4y十az=0, 得x=0,取y=a,则之=4，得m=(0,a,4).…9分 ①当PD=3PD1时，a=3,m=(0,3,4).因为C1(0,6,4),O2C1=(0,2,4),…10分 【高二数学·参考答案第5页（共8页）】 所以点C1到平面PEO2的距离为 O2C1·m 22 …12分 m ②由(1)得B(0,2,0),BO3=(0,2,4), 13分 √5 a+8 以直线BO3与平面PEO2所成角的正弦值为 BO3·m」 9√85 BO3m 5 Wa2+16 85 …15分 化简得4a2-17a十13=0，得a=1或 ……16分 故品-号 17分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样证明： (方法二)如图，连接O2O3.…1分 D A B 因为O2O3∥OO1,O2O3中平面ODD1O1,OO1C平 面ODD1O1,所以O2O3平面ODD1O1.…2分 因为O2E∥OD,O2E平面ODD1O1,ODC平面 ODD1O1,所以O2E/平面ODD1O1.…3分 D 因为O203∩O2E=O2,O2O3,O2EC平面 O2O3E,所以平面O2O3E平面ODD1O1.… …4分 因为EO3C平面O2O3E,所以EO3/平面ODD1O1· ……5分 (方法三)如图，连接OD1,OE,DO2,D1O3,O2O3 …1分 A 因为OD/O2E,OD=O2E,所以四边形ODO2E是 平行四边形，所以OE/DO2,OE=DO2.·2分 因为DD1∥O2O3,DD1=O2O3,所以四边形 DD1O3O2是平行四边形，所以D1O3DO2,D1O3 =DO2,… …3分 所以D1O3/OE,D1O3=OE,所以四边形D1O3EO是平行四边形，所以EO3/OD1.… 因为EO3中平面ODD1O1,OD1C平面ODD1O1,所以E03平面ODD1O1.…5分 【2】第(2)问中，平面PEO2的法向量不唯一，只要是与m=(0,a,4)平行的非零向量即可. 【3第(2)问还可以这样解答： ①由(1)得02(0,4,0)，P(-2,0,3),C1(0,6,4),得E02=(-2,0,0),O2户=(-2，-4， 3),O2C1=(0,2,4).…6分 m·EO2=-2x=0, 设平面PEO2的法向量为m=(x,y,之)，则 …7分 m·O2P=-2x-4y+3x=0, 【高二数学·参考答案第6页（共8页）】 得x=0,取y=3,则之=4，得m=(0,3,4),…8分 所以点C1到平面PEO2的距离为 O2C1·m22 m 5 …10分 ②由(1)得B=(0,2,0).设P(-2,0,a),0≤a≤4，得O2P=(-2,-4,a),B0=(0,2,4). ……………11分 w·E02=-2x'=0, 设平面PEO2的法向量为M=(x',y',z),则 …12分 u.02p=-2x'-4y'+az=0, 得x=0,取y=a,则之=4，得u=(0,a,4),…13分 所以直线BO3与平面PEO2所成角的正弦值为 B03·u_5 a+8 9√85 BOu 5 Wa2+16 85 …15分 化简得4u-17a+13=0,得a=1或号 …16分 放品-始是 …17分 19.【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查数学运算与数学抽象的核心 素养。 (1)解：由题意得线段CD的中点为(2，一1)，则线段CD的中垂线方程为y=一1.…1分 由y=一22’得x=2,则圆M的圆心坐标为(2，一1)，半径为2-(-1)=3，…2分 y=-1, 所以圆M的标准方程为(x一2)2十(y十1)2=9.… …3分 x十y-4=0, (2)①证明：由tx+(t+1)y-4t=0,得(x+y-4)t+y=0,令 得x=4,… y=0, 5分 所以1经过定点(4,0).… 6分 因为(4-一2)2十(0十1)2<9，所以点(4,0)在圆M内，所以1与圆M相交.…8分 ②解：当1的斜率存在时，≠一1，由红十u中1Dy一=0，得y=千x+, 4t 因为=一1士，十≠1，所以L的斜率不为-1…9分 当l的斜率为0时，点E与点F重合，不符合题意.…10分 当l的斜率不为0时，设点A(x1y1),B(x2,y2),l:x=my+4,m≠一1. |x=my+4, 由z-2)+(y+1)2=9 得(m2+1)y2+(4m+2)y-4=0,…11分 得y十y= 4m+2 4 m2+1y1y2=一m2+ ……12分 由一，B(-2）得-6产6得y:= 8y1 8y1 8y1 x1-6=一my1+4-6=一my1-2 ………13分 【高二数学·参考答案第7页（共8页）】 同理可得y4= 8y2 ny2-2 则ly十y4= m-2+m22-8400-2)+2(my-2 8y1 8y2 (my1-2)(my2-2) 4 4m+2 ·2m+2· 2my1y2-2(y1+y2) m2+1 m2+1 8 =8 n'yy2-2m(0y1+2)+4=8 4m2 2m2+m+1 m2+1 +2m· 4m+2+4 m2+1 15分 2m++ 因为2(m+)+名≥所以0< 8 64 2mt222t了7116分 又m≠一1，且m可取号，所以十的取值范围为0,1 …17分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样证明： 6=- 2a, 设M:(红-a)2+(0-b)2=R2.由题意得（2-a)2+(2-b)2=R, …1分 (2-a)2+(-4-b)2=R2, a=2, 得b=-1, 2分 R2=9, 所以圆M的标准方程为(x一2)2十(y十1)2=9.… 3分 【2第(2)①问还可以这样证明： 圆心M到1的距离d=2t-+1)一4_32+1 4分 √t2+(t+1)2 √2t2+2t+1 d-3=131+1-3W20+2五.因为(36+1)2-9(2x2+2+1D=-92-121-8=-9(c wW2t2+2t+1 +f）月-4K0,… 6分 所以(3t十1)2<9(2t2十2t十1)，得|3t十1<3W2t2十2t十1，…7分 所以d-3=13+13v2牛2中<0，得d<3.故1与圆M相交…8分 wW2t2+2t+1 【高二数学·参考答案第8页（共8页）】谷前面对而封间下 中其， 高二数学 注意事项：人，人阳 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第二章。 弥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.2020~2025年我国人均国内生产总值（单位：元）分别为73338,83111,87385,91746， 95677,99665,则这组数据的上四分位数是 A83111元 B.91746元 C.95677元 D.87385元 2.已知直线1的倾斜角小于牙，则1的斜率可能为 封 A号 B c-号 D.- 3.已知圆M:x2十y2一ax-2ay十5=0，则a的取值范围为 径T)e A.(-1,1) B.(-o∞，-1)U(1,十∞) C.(-2,2) D.(-o∞，-2)U(2,+o∞) 4.在空间直角坐标系Oxyz中，A(-1,3,1),B(-1,一2,2)，则点A到直线0B的距离为 A.√/10 B.10 C.5 D.5 5.若直线l1:ax-4y+5=0与直线l2:6x十8y十5=0平行，则l1与l2之间的距离为 线 A.-a 6.已知空间向量AB=(1,2,-1),AC=(0,1,1),AD=(1,3,t),且A,B,C,D四点共面，则= 紧 A-1 B.0 C.1 D.2 7.一条光线从点P(-3,1)射出，经过x轴反射之后，射到圆M:(x-1)2+(y-2)2=1上的点 Q,则该光线从点P到点Q所经过的路程的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 【高二数学：第1页（共4页）】 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A十cosA+cos(B-C)=2,则A的 最大值为 A开 B号 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD,中，E,F分别为AB,DD,的中点，以{2DA, D心，DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A.E的坐标为(1,2,0) B.B的坐标为(2,2,0) CEC=(一2,1,2)a出A#,生0中mG1AH举的 D异面直线BC,与B即所成角的余弦值为号 10.已知函数f(x)=sin(ax- )w>0,且f)=f+0fx)在[0，器]上单调，则。 的值可能为 A.2 B.3 C.4 D.6 -x-3,x<-3, 11.已知函数f(x)= 一√一x2一4x-3,-3≤x≤-1，对任意x0∈R,定义集合D(x)= 3,x>-1, {t∈Rxof(t)≤f(xo).设O为坐标原点，点A(x1,f(x1)(x1<0),当直线OA的斜率 取得最大值时，则 ,离的(0，)日 1 A.-4∈D(x1) B.-2∈D(x1) C.- 2∈D(x) D.2ED(z) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13-4i-2-3i=▲， 13.某游客计划从雕塑类中的石湾公仔，潮州木雕，广州榄雕与非雕塑类中的东莞莞香、肇庆端 砚这五件伴手礼中随机购买两件，则该游客至少买到一件非雕塑类伴手礼的概率 为▲ 14.在空间直角坐标系Oxyz中，A(-1,1,0),B(2,2,0),C(2,-2,0),D(a,b,3)均在球M的 球面上，则△ABC外接圆的半径为▲ ,球M半径的最小值为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 二文答 四、解答题：本题共5小题，共？分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 的大扇 15.(13分) 已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,2),B(2,3),C(0,4). (1)求直线AB的一般式方程： (2)设边AB上的高所在直线为1，求1与两坐标轴所围成的三角形的面积. ,:点中的过，A成食中a3区0风0阳3大小价阴过 俱，来清最直同的的不亡每，京交五种代0西。5示 (0.8过有生的3 16.(15分) 已知EF是边长为2的正方形纸片ABCD的中位线，将该纸片沿EF折成二面角AEF-C, 如图所示 长道部余的调好是阻道面其 (1)用基底(A正，AB,F心)表示向量A京，AC; (2)若二面角A-EF-C为直二面角，求A庐，AC; 0<0行一=(1城而5. (3)若AC1=√7，求二面角A-EF-C的大小 长动西面的 a ,8>，8 一(a0合果义宝，列9x意由惊，上一>≥>8一，8一小一 率端始0是直岂，(0>)(，x)1,1x)A点，点别清坐成0野，()10八19 17.(15分) 限，和有大量醉知 已知圆O:x2+y2=1,动点M与点O的距离是它与点B(3,0)的距离的2倍.记点M的轨 迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 公1共，食层小册，层心共圆本：醒空其，三 (2)判断曲线C与圆O的位置关系，并说明理由； (3)若过点(3，-2)的直线1与曲线C交于E,F两点，且EF1=23,求1的方程.某1 学易的年升类里服非州 0.(0,89日，0,1,1一)人，中0亲坐当闻空本 18.(17分) 将底面半径为2的圆柱沿过中心轴的平面截成两个半圆柱，将其中一个半圆柱沿截面所在 的平面向右水平平移4个单位长度，得到的立体图形如图所示，且正方形ABB:A1, BCC,B,分别为半圆柱O01,O,O,的轴截面，D,D1,E分别是AB,A1B1,BC的中点。 (1)证明：E0/平面ODD,0,.P,0中t,8的5件 (2)已知P为线段DD1上的一个动点. 司布计器的作，年必的 ①若PD=3PD1,求点C1到平面PEO,的距离； 凉的。1温溶 √/85 ②若直线BO,与平面PEO2所成角的正弦值为 PD 85,求0D的值. D 合等显尽一高只，中章数个四的出性国小心母立仓中共，A C 时，8以8，C时大限示：动单)道自 0元2 元5089 B队O 19.(17分) 状则的南原始。期.一7十 已知圆M的圆心M在直线y=一2x上，且圆M经过C(2,2),D(2,一4)两点 1 (1)求圆M的标准方程。 八，一H,,,1一人，中0冷利出m的 (2)已知直线：x十(t十1)y-4=0. ot at ①证明：l与圆M相交，博.t ②若1与圆M交于A,B两点，点P(6,0),直线PA,PB分别与直线x=一2交于不重 合的点E,F,且点E,F的纵坐标分别为y,y4,求y:十y的取值范围， 广鞋音m点两O量1以心 【高二数学第4页（共4页）】