广东省上进联考2026-2027学年度上学期高二年级11月供题训练数学

高二年级11月供题训练·数学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C B D A D B C AC ACD ACD 12.－ 13.y＝－x－4 14.x2＋y2－3y＋1＝0　（第一空2分，第二空3分） 15.解：（1）由a＝（1，－2）为直线l的方向向量， 可得l的斜率为＝－2，（3分） 因为直线l过点C（2，－1）， 所以直线l的方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.（7分） （2）因为圆C与l'相切，所以圆C的半径等于点C到直线l'的距离，（9分） 所以圆C的半径r＝＝，（11分） 所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝10.（13分） 16.解：（1）因为＝a，＝b，＝c， 所以＝－＝c－a，（3分） ＝＋＝＋＝c－a＋b.（6分） （2）由题意知，△ABB1，△AA1B1都是边长为2的正三角形， 所以＜a，b＞＝120°，（8分） 又＝＝＝2， 所以a·b＝cos＜a，b＞＝－2，（10分） 由＝＝3，得（c－a）2＝8－2a·c＝9， 所以a·c＝－，（12分） 又＝c－b，（13分） 所以·＝（c－b）·（c－a＋b）＝c2－b2－a·c＋a·b ＝4－4－＋（－2）＝－.（15分） 17.解：（1）由已知得＝（1，0，1），＝（2，1，0），（1分） 所以＝12＋02＋12＝2，＝22＋12＋02＝5，（2分） ·＝1×2＋0×1＋1×0＝2，（3分） 以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是△AOB面积的2倍， S△AOB＝sin∠AOB＝× ＝＝×＝.（6分） 所以以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为.（7分） （2）由（1）知，△AOB的面积为，＝（1，2，－1）， 设平面AOB的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 取x＝1，得n＝（1，－2，－1），（10分） 所以点C到平面AOB的距离为＝＝＝，（12分） 所以V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝××＝.（15分） 18.（1）证明：因为·＝， 所以·－＝·（＋）＝·＝0， 所以AA1⊥AC.（2分） 因为四边形ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，（3分） 因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC，（4分） 因为AA1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.（5分） （2）由（1）及AB⊥AC，可得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，2，0），C1（0，2，），（6分） 所以＝（，0，0），＝（0，2，－），＝（－，2，0），＝（0，0，），（7分） 设D（0，s，），则＝（0，s，）， 因为A1C⊥AD，所以·＝2s－2＝0，解得s＝1， 所以＝（0，1，）.（8分） 设平面ABD的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 取z＝1，得n＝（0，－，1），（10分） 设＝t（0≤t≤1），则＝t＝（－t，2t，0）， ＝＋＝（－t，2t，0）＋（0，0，）＝（－t，2t，）.（11分） （i）解：因为EC1∥平面ABD，所以⊥n， 所以·n＝－2t＋＝0，（12分） 所以t＝，即＝.（13分） （ii）解：由已知得sin θ＝＝＞，（14分） 整理得45t2－48t＋11＞0，即（3t－1）（15t－11）＞0， 因为0≤t≤1，所以t的取值范围是∪， 即的取值范围是∪.（17分） 19.（1）解：设M（s，t），则s2＋t2＝r2， 由＝m，得＝＝＝m2，（2分） 所以＝＝m2，（3分） 因为m＞0，r＞0，所以m＝2，r＝2.（5分） （2）（i）证明：由对称性，不妨设C（0，－2），D（0，2），设P（p，4），p≠0， 则直线PC的斜率kPC＝＝，直线PD的斜率kPD＝＝， 所以kPC＝3kPD，（6分） 由CD为圆O直径，可得PC⊥ED，所以kPC·kDE＝3kPD·kDE＝－1， 所以kPD·kDE＝kDF·kDE＝－，（7分） 设E（x1，y1），F（x2，y2），直线EF的方程为y＝kx＋b（－2＜b＜2）， 代入x2＋y2＝4，得（1＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，（8分） 所以kDF·kDE＝·＝·＝－，（9分） 即（1＋3k2）x1x2＋3k（b－2）（x1＋x2）＋3（b－2）2 ＝（1＋3k2）·＋3k（b－2）·＋3（b－2）2＝0，（10分） 整理得（b－1）（b－2）＝0， 因为－2＜b＜2，所以b＝1，（11分） 所以直线EF的方程为y＝kx＋1，该直线过定点（0，1）.（12分） （ii）解：因为b＝1，所以x1＋x2＝，x1x2＝－＜0，（13分） 所以四边形CEDF的面积S＝＝×4· ＝2＝2＝4 ＝4，（15分） 因为0＜≤1，所以0＜4≤4， 即四边形CEDF面积的取值范围是（0，4].（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级11月供题训练 数学参考答案 1.【答案】B 【得折】由a6共线得名-质以m=6=3m=-9放连取 2.【答案】C 【解析】直线x+ay-1=0的斜率k==n60°=5，所以a=- a 3故选C 3.【答案】B 【解析】圆0的圆心为0(0,0)，半径r1=2,圆C的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=9,所以圆C的圆心C(3,-4),半 径2=3，所以|0C|=√32+(-4)7=5=r1+r2,两圆外切.故选B. 4.【答案】D 【解折1由题可知60，且两直线不重合斜率分别为合，云所以号么整理得=2心，所以合±反故 选D 5.【答案】A 【解析10=(2，-2,1)-(1，-1,0)=(1，-1,1).0°=12+(-1)2+1=3，亚n1 =三，所以点P到直线I的距离为 n 故选A. 6.【答案】D 【解析】由 -10得=2 所以点(2,1)在直线'上，在1上取点P(1,0),则点P关于直线x-2y=0的对称点 x-2y=0. y=1, 「b 1 3 =-1 4 a-12 5 1 Q(a,b)必在直线'上，所以 解得 故Q 34 a+1 b 55 所以直线'的方程为y-1= 3(x-2), 2 20, 2 b= 即x-7y+5=0.故选D. 7.【答案】B 【解析】圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,C(1,-2),圆C的半径为1，点P在直线y=x+1上，点C到直线 y=+1的距离为1+21=2E,所以PCl≥22.连接C4,CB,则C41PH,CB1PB,∠APB=2∠APC. 2 1 22 sin∠APC= PO≤号<号.LAPC<牙，所以m∠APC最大时，LAPC最大，LAPB也最大.m∠APB最大当 Sm∠APCE2时.LAPC=T-sinLAPC=4,sin LAPB=-sm2LAPC=2sim∠APcs∠APG=2X 214_7 4 4 4 4 故选B. 广东·高二数学第1页（共6页） 8.【答案】C 【解析】如图，构造长方体ABCD-A,B,C,D2,使得棱A42,BB2,CC2,DD2的中点分别为A1,B1,C,D1,以A为原点， AB,AD,A4,所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系，则P(x,y,),由0≤x≤y≤1,0≤z≤2，可得点P在三 棱柱ACD-A,C,D,的表面或内部，结合y≤：，可得点P又在平面ABC,D,上或其上方，所以点P的轨迹是由三棱 锥4，GD及三梭柱AGn,-4GL,组成的组合体，所以所求体积为了宁1宁1=子放走C B C2 D 9.【答案】AC(每选对1个得3分) 【解析】由a,b,c构成空间的一个基底，可得A正确，D错误；因为a-b+b-c+c-a=0,所以a-b,b-c,c-a共面， 3=x, 不能构成空间的一个基底，故B错误；假设存在x,y使得c+3a=xa+y(b+2c),则0=y,无解，所以a,b+2c,c+3a 1=2y, 不共面，可构成空间的一个基底，故C正确.故选AC. 10.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】当直线的倾斜角为90时斜率不存在，故A正确：当，=%或，=为时，=没有意义，故B错 x2-x12y1 误；过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，故C正确：设P(x,y)是以AB为直径的圆上任意一点，易得 A.B成=0，即x(x-1)+y(y-1)=0,故D正确.故选ACD. 11.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】把(0,0)代入l的方程得cos0+2sin0=3,因为cos0+2sin0=√/5sin(0+p)≤5<3，所以满足cos0+2sin0=3 的0不存在，故A正确：当0e(受，0）时，sm0c0,s0>0,1在y轴上的截距3-m0血0<0,1在轴上的裁 sin 0 距3-c0s9-2sim00,所以直线1经过第一三，四象限，故B错误；设C(-1,-2).则点C到直线(x+1)c0s+ cos 0 3 (y+2)sin0=3的距离为 =3，所以对V0∈R,l与以点C为圆心3为半径的圆相切，故C正确；l在 √cos0tsin0 ,y轴上的截距之比为2，可得3-c0s02in0=2.3-c0-2血0，所以im0=2s.代入1的方程，可得 cos 0 sin 6 (x+2y+5)cos0=3,满足该方程的x,y一定不满足x+2y+5=0,即1与直线x+2y+5=0没有公共点，故D正确. 故选ACD. 广东·高二数学第2页（共6页） 12I答案1号 【解析1配=亦-花=之花+而店，所以x=子=2y= 1 1 2 1a【答案1=7-4或=子+1) 【解折1由，的一个方向向量的坐标为(2，-1)，可得4，的斜率为，因为4，山平行，所以6=2设4的方程为 x+2y+1=0,因为14,4之间的距离为，5，所以31=5，解得1=8或-2，所以1的方程为x+2y+8=0或 5 x+2y-2=0,化为斜截式为y= 2-4或y=2+1 14【答案14-y+1=0写成24(-引=也正陶 7,瓜（第一室2分，第二空3分） 10 【解析】由已知可得九点圆经过AB的中点(1,1)，4G的中点 2为)，c的申点22》 设△ABC的九点圆方 2+D+E+F=0. 11 -D+E+F=0. 程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则222 解得D=0,E=-3,F=1,所以九点圆的方程为x2+y2-3y+1=0.该 (22D+2E+f=0, 11 1 圆的圆心坐标为0，引，半径为直线G的斜宰为行，因为4C1BG,所以AC的斜率为-3，直线AC的方程 为3+y1=0,圆心到4C的距离为 10 7/10 20 ,所以该九点圆截直线AC所得弦长为2× 20 10 15解：()由a=(1,-2)为直线1的方向向量，可得1的斜率为子-2.(3分) 因为直线1过点C(2,-1), 所以直线l的方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.(7分)》 (2)因为圆C与相切.所以圆C的半径等于点C到直线'的距离，(9分) 所以圆C的半径=6+生3到=而，(1分) /10 所以圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=10.(13分) 16.解：(1)因为AB=a,A4=b,AC=c, 所以B元=A元-A店=c-a,(3分)》 BC=BC+CC;=BC+AA;=c-a+b.(6) (2)由题意知，△ABB,,△A4,B,都是边长为2的正三角形， 所以a,b〉=120°，(8分) 又la=lb|=lcl=2, 所以a·b=allblcos(a,b)=-2,(10分) 广东·高二数学第3页（共6页） 由|BC1=|c-a=3,得(c-a)2=8-2a·c=9, 所以a·c=,(2分) 又A,元=c-b,(13分) 所以A,C.BC=(c-b)·(c-a+b)=c2-b2-a·ctab =44+(-2)=是(15分) 17.解：(1)由已知得0A=(1,0,1),02=(2,1,0),(1分) 所以02=12+02+12=2,0B2=22+12+02=5,(2分) 0.03=1×2+0×1+1×0=2,(3分) 以OA,OB为邻边的平行四边形的面积是△AOB面积的2倍， Saam=21Oi10成inLA0B=2x√.0(1-sZA0B -m.0-(o.v257-5(6分) 所以以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为√6.(7分) （2②)由（①)知，△408的面积为.元-1.2，-1). 设平面AOB的法向量为n=(x,y,z), m·0i=0. 「x+2=0. 则 即 n·0B=0,2xty=0, 取x=1,得n=(1,-2,-1),(10分) +(-2)+(后3，(12分) 所议点C到平面40B的距离为，01X1-2x2-1X-子6 所以y=cm兮*55-行15分》 18.(1)证明：因为A,C·A元=A心 所以A,C.A元-AC=A元.(A,C+C)=A元.A,A=0, 所以A4,⊥AC.(2分) 因为四边形ABB,A1是正方形，所以AA1⊥AB,(3分) 因为AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以AA1⊥平面ABC,(4分) 因为AM,C平面ABBA1,所以平面ABB,A1⊥平面ABC.(5分) (2)由(1)及AB⊥AC,可得AB,AC,A4,两两垂直，以A为原点，AB,AC,A4,所在直线分别为x,y,z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,√2)，C(0,2,0),C(0,2,2),(6分) 所以A=(2,0,0),AC=(0,2,-2),B元=(-2,2,0)，CC=(0,0,2),(7分) 设D(0,s,√2)，则A⑦=(0，s,√2)， 广东·高二数学第4页（共6页） 因为A,C⊥AD,所以A,C·AD=2s-2=0,解得s=1,所以AD=(0,1,√2).(8分) 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), m·AB=0,「2x=0, 则 即 n·Ad=0,y+2z=0, 取x=1,得n=(0,-√2,1)，(10分)》 设6C1(0≤1≤D,则EC=BC=(-2,2,0 EC=E元+CC=(-√2t,2,0)+(0,0,N2)=(-√21,2,2).(11分) (i)解：因为EC,平面ABD,所以EC⊥n, 所以EC·n=-22+2=0,(12分) 所以宁即瓷（15分》 (i)解：由已知得sin0= 匹a7·g6(14分) |EC·nl|-22+21 整理得452-481+11>0，即(31-1)(151-11)>0， 因为0≤1≤1，所以1的取值范围是[0，)u(侣] 的取值范围是o,)u(信小(17分) BC A 19.(1)解：设M(s,),则s2+2=r2, 由阳=m,得s4）"产+”-8+16一8s+16+产 （s-1)产n2+2-2+1-2s+1+=m,(2分) 所u受6gm(3分剂 因为m>0,r>0,所以m=2,r=2.(5分) (2)(i)证明：由对称性，不妨设C(0,-2),D(0,2),设P(p,4),P≠0 则直线PC的斜率c=4-2=6,直线PD的斜率m=4名2 P-0 p p-0 P 所以kpc=3km,(6分)】 由CD为圆O直径，可得PC⊥ED,所以kc·kns=3ko·kE=-1, 广东·高二数学第5页（共6页） 所以kpm·kne=kr·kne=3,(7分) 设E(x1,y,),F(x2y2),直线EF的方程为y=kx+b(-2<b<2), 代入x2+y2=4,得(1+2)x2+2hx+b2-4=0, b2-4 所以x,+x2= 1+6253 1+,(8分) 所以·6c2.-2_c,6-2.c6-2 3,(9分) 即(1+3k2)x1x2+3k(b-2)(x1+x2)+3(b-2)2 =0+36-2》36-2e0.0分) 整理得(b-1)(b-2)=0, 因为-2<b<2,所以b=1,(11分) 所以直线EF的方程为y=x+1,该直线过定点(0,1).(12分) （国解：因为61，所议场路0(B分 -2k 所以四边形CDF的面积S=CD1(x+,=子×4·x 4k212 =2V/（x1+x2)2-4x1x2=2 4 0+21+=4√1+1+ =4e4.(5分) 1+≤1，所以0<4 因为0< 即四边形CEDF面积的取值范围是(0,45].(17分) 广东·高二数学第6页（共6页）高二年级11月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.若向量a=(1,2,-1)与向量b=(-3,m,n)共线，则m-n= A.9 B.-9 C.3 D.-3 2.直线x+ay-1=0的倾斜角为60°，则a的值为 得 B.√3 3 D.-√3 3.圆0：x2+y2=4与圆C:x2+y2-6x+8y+16=0的位置关系是 A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 4若直线41：a+6y-3=0与直线2：bx+2ay=0平行，则2 A.√2 C.±2 D.±√2 5.已知直线1的一个方向向量n=(-1,0,2),点Q(1,-1,0)在1上，则点P(2,-2,1)到l的距离为 A.0 35 14 B 5 5 5 0.5 广东·高二数学第1页（共4页） 6.若直线'与直线1：x-y-1=0关于x-2y=0对称，则'的方程为 A.2x-y-3=0 B.7x-y-11=0 C.x-7y-5=0 D.x-7y+5=0 7.过点P(a,a+1)作圆C:x2+y2-2x+4y+4=0的两条切线，切点分别为A,B,则sin∠APB的最大 值为 4分 ·8 B分 D.5 4 c 8 8.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，动点P满足AP=xAB+yAD+zAA,且0≤x≤y≤1，y≤z≤2， 则点P轨迹构成的几何体的体积为 c号 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则 A.a,b,c一定不共面 B.a-b,b-c,c-a可构成空间的一个基底 C.a,b+2c,c+3a可构成空间的一个基底 D.存在不全为0的实数x,y,3,使得xa+yb+zc=0 10.下列结论正确的是 A.不是每条直线都有斜率 B.过不同两点A(x),B(2)的直线方程为-名= x2-x1y2-y1 C.圆x2+y2=1关于直线y=2x对称 D.以点A(0,0),B(1,1)为直径的圆的方程为x(x-1)+y(y-1)=0 11.已知直线l:(x+1)cos0+(y+2)sin0=3,则 A.H0∈R,直线l不过原点 B当0=受0时，直线1经过第一二三象限 C.存在圆C,对H0∈R,l与C相切 D.当1在x,y轴上的截距之比为2时，l与直线x+2y+5=0没有公共点 广东·高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在三棱锥A-BCD中，点E,F分别为AB,CD的中点，若EF=xAB+yAC+zAD,则x-y+z= 13.已知l,的一个方向向量的坐标为(2，-1)，且与直线l2:x+by+3=0平行，若l1,l2之间的距离为5， 则1，的一个斜截式方程为 14.数学家欧拉曾发现：在任意三角形中，三边的中点、三条高的垂足、垂心与三个顶点连线的中点共 圆，这个圆称为该三角形的九点圆.若A(0,1),B(2,1),△ABC的垂心为G(-1,0),则△ABC的九 点圆的方程为 ;该九点圆截直线AC所得弦长为 .(第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知点C(2,-1). (1)若直线l过点C,且一个方向向量为a=（1,-2),求l的方程； (2)求以C为圆心且与直线'：3x-y+3=0相切的圆C的方程. 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,B1C中，AB=a,A4=b,AC=c. (1)用a,b,c表示BC; (2)若|a=b|=c|=2,|BC1=3,|ABI=2,求AC.BC 17.(15分)已知空间四点0(0,0,0)，A(1,0,1),B(2,1,0),C(1,2,-1) (1)求以OA,OB为邻边的平行四边形的面积； (2)求三棱锥O-ABC的体积 广东·高二数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，A,C·AC=AC=4,四边形ABB,A,是边长为2的正方形 (1)证明：平面ABB,A1⊥平面ABC; (2)已知AB⊥AC,过点A作A,C的垂线交A,C,于D,点E为棱BC上一动点（含端点）. (i)若EC,平面ABD,求BC EC EC ()设直线C,E与平面MBD所成角为0，若sim>石，求元的取值范围. A B 公 1Q,(17分)已知圆0：+y=(>0,点A1,0,B(4,0),对圆0上任意一点M,均有B-=m (m为常数，且m>0). (1)求m与r的值； (2)已知圆O与y轴交于点C,D,动点P在直线y=4上，且不在y轴上，直线PC,PD分别与圆0 交于点E,F ()证明：直线EF过定点，并求出该点坐标； (i)求四边形CEDF面积的取值范围. 广东·高二数学第4页（共4页）▣▣ 高二年级11月供题训练 数学答题卡 准考证号 姓 名 考场号 座位号 [o[o][O][o[o][o][o[O][o][o] [)[[1)[[[[[1[1][ [212121[221[2[2[2][21 [2 (条形码粘贴处) [3[3131[33][31[3 [3][3] [3] [④[41[4[4[4[4[4[4][4] [55]51[55][5[5[5][51 [ [6[6][6[6[6[6] [6 [6J 1.答题前，考生先将白己的姓名、考场号、座位号，准考证号 [6] [6 注 填写清楚。 [☑71[7[77[71[刀[7[7 [☑ 2选择题使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号：非选择题使用黑色碳素笔书写，字体T整，笔遗 [8[8][8][8[8[8][8[8[8 [8 意事 皆楚按照题号顺在各腰日的答题区域内作答，超答题区 [9[9][9][9[9][9][g[9[9][9 域写的答案无效：在草稿纸试卷上答题无效。 3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 填涂范例 正确填涂：■ 错误填涂：X一[中] 缺考标记口 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1 [A][B][C]ID]3 [A][B][C][D]5 [A][B][C][D]7 [A][B][C][D] 2NB剧[CD4BCD6A[B周CD 8 [A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9NBgD]10 A][B][C][D]11A周CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 广东·高二数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) A D B 人 C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 广东·高二数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 高二年级11月供题训练·数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量a＝（1，2，－1）与向量b＝（－3，m，n）共线，则 m－n＝ A. 9 B. －9 C. 3 D. －3 【答案】B 【解析】由a，b共线得 ＝ ＝ ，所以m＝－6，n＝3，m－n ＝－9.故选B. 2. 直线x＋ay－1＝0的倾斜角为60°，则a的值为 A. B. C. － D. － 【答案】C 【解析】直线x＋ay－1＝0的斜率k＝－ ＝tan 60°＝ ，所以a＝ － .故选C. 3. 圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－6x＋8y＋16＝0的位置关系是 A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 【答案】B 【解析】圆O的圆心为O（0，0），半径r1＝2，圆C的标准方程为 （x－3）2＋（y＋4）2＝9，所以圆C的圆心C（3，－4），半径 r2＝3，所以 ＝ ＝5＝r1＋r2，两圆外切.故选B. 4. 若直线l1：ax＋by－3＝0与直线l2：bx＋2ay＝0平行，则 ＝ A. B. － C. ±2 D. ± 【答案】D 【解析】由题可知ab≠0，且两直线不重合，斜率分别为－ ， － ，所以－ ＝－ ，整理得b2＝2a2，所以 ＝± .故选D. 5. 已知直线l的一个方向向量n＝（－1，0，2），点Q（1，－1， 0）在l上，则点P（2，－2，1）到l的距离为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ＝（2，－2，1）－（1，－1，0）＝（1，－1，1）， ＝12＋（－1）2＋12＝3， ＝ ，所以点P到直线l的距离 为 ＝ ＝ .故选A. 6. 若直线l'与直线l：x－y－1＝0关于x－2y＝0对称，则l'的方程为 A. 2x－y－3＝0 B. 7x－y－11＝0 C. x－7y－5＝0 D. x－7y＋5＝0 【解析】由 得 所以点（2，1）在直线l'上， 在l上取点P（1，0），则点P关于直线x－2y＝0的对称点Q（a，b）必在直线l'上，所以 解得 故Q ，所以直线l'的方程为y－1＝ （x－2），即x－7y＋5＝0.故选D. 【答案】D 7. 过点P（a，a＋1）作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切 线，切点分别为A，B，则 sin ∠APB的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝1，C（1， －2），圆C的半径为1，点P在直线y＝x＋1上，点C到直线y＝x＋1 的距离为 ＝2 ，所以 ≥2 .连接CA，CB，则 CA⊥PA，CB⊥PB，∠APB＝2∠APC， sin ∠APC＝ ≤ ＜ ，∠APC＜ ，所以 sin ∠APC最大时，∠APC最大，∠APB也最大， sin ∠APB最大.当 sin ∠APC＝ 时， cos ∠APC＝ ＝ ， sin ∠APB＝ sin 2∠APC＝ ＝2× × ＝ .故选B. 8. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点P满足 ＝x ＋y ＋z ，且0≤x≤y≤1，y≤z≤2，则点P轨迹构成的几何体的 体积为 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】如图，构造长方体ABCD－A2B2C2D2，使得棱AA2，BB2，CC2，DD2的中点分别为A1，B1，C1，D1，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 P（x，y，z），由0≤x≤y≤1，0≤z≤2，可得点P 在三棱柱ACD－A2C2D2的表面或内部，结合y≤z，可得点P又在平面ABC1D1上或其上方，所以点P的轨迹是由三棱锥A－A1C1D1及三棱柱A1C1D1－A2C2D2组成的组合体，所以所求体积为 × ×1＋ ×1＝ .故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9. 若{a，b，c}构成空间的一个基底，则 A. a，b，c一定不共面 B. a－b，b－c，c－a可构成空间的一个基底 C. a，b＋2c，c＋3a可构成空间的一个基底 D. 存在不全为0的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0 【答案】AC（每选对1个得3分） 【解析】由{a，b，c}构成空间的一个基底，可得A正确，D错误； 因为a－b＋b－c＋c－a＝0，所以a－b，b－c，c－a共面，不 能构成空间的一个基底，故B错误；假设存在x，y使得c＋3a＝xa ＋y（b＋2c），则 无解，所以a，b＋2c，c＋3a不共 面，可构成空间的一个基底，故C正确.故选AC. 10. 下列结论正确的是 A. 不是每条直线都有斜率 B. 过不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线方程为 ＝ C. 圆x2＋y2＝1关于直线y＝2x对称 D. 以点A（0，0），B（1，1）为直径的圆的方程为x（x－1）＋ y（y－1）＝0 【答案】ACD（每选对1个得2分） 【解析】当直线的倾斜角为90°时斜率不存在，故A正确；当x1＝x2 或y1＝y2时， ＝ 没有意义，故B错误；过圆心的任意一条 直线都是圆的对称轴，故C正确；设P（x，y）是以AB为直径的圆 上任意一点，易得 · ＝0，即x（x－1）＋y（y－1）＝0，故D正确.故选ACD. 11. 已知直线l：（x＋1） cos θ＋（y＋2） sin θ＝3，则 A. ∀θ∈R，直线l不过原点 B. 当θ∈ 时，直线l经过第一、二、三象限 C. 存在圆C，对∀θ∈R，l与C相切 D. 当l在x，y轴上的截距之比为2时，l与直线x＋2y＋5＝0没有公 共点 【答案】ACD（每选对1个得2分） 【解析】把（0，0）代入l的方程得 cos θ＋2 sin θ＝3，因为 cos θ＋ 2 sin θ＝ sin （θ＋φ）≤ ＜3，所以满足 cos θ＋2 sin θ＝3的θ不存 在，故A正确；当θ∈ 时， sin θ＜0， cos θ＞0，l在y轴上的 截距 ＜0，l在x轴上的截距 ＞0，所以直线 l经过第一、三、四象限，故B错误；设C（－1，－2），则点C到直 线（x＋1） cos θ＋（y＋2） sin θ＝3的距离为 ＝3，所以对∀θ∈R，l与以点C为圆心、3为半径的圆相切，故C正确； l在x，y轴上的截距之比为2，可得 ＝2· ，所以 sin θ＝2 cos θ，代入l的方程，可得（x＋2y＋5） cos θ＝3，满足该方程的x，y一定不满足x＋2y＋5＝0，即l与直线x＋2y＋5＝0没有公 共点，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥A－BCD中，点E，F分别为AB，CD的中点，若 ＝x ＋y ＋z ，则x－y＋z＝ 　　　　. 【答案】－ 【解析】 ＝ － ＝ － ，所以x＝－ ，y＝z ＝ ，x－y＋z＝－ . 13. 已知l1的一个方向向量的坐标为（2，－1），且与直线l2：x＋by ＋3＝0平行，若l1，l2之间的距离为 ，则l1的一个斜截式方程 为 　　　　. 【答案】y＝－ x－4 【解析】由l1的一个方向向量的坐标为（2，－1），可得l1的斜率为 － ，因为l1，l2平行，所以b＝2.设l1的方程为x＋2y＋t＝0，因为 l1，l2之间的距离为 ，所以 ＝ ，解得t＝8或－2，所以l1的 方程为x＋2y＋8＝0或x＋2y－2＝0，化为斜截式为y＝－ x－4或 y＝－ x＋1. 14. 数学家欧拉曾发现：在任意三角形中，三边的中点、三条高的垂 足、垂心与三个顶点连线的中点共圆，这个圆称为该三角形的九点 圆.若A（0，1），B（2，1），△ABC的垂心为G（－1，0），则△ABC的九点圆的方程为 　　　　；该九点圆截直线AC所得弦长为 　　　　　　　　　　　　.（第一空2分，第二空3分） 【答案】x2＋y2－3y＋1＝0 　 （第一空2分，第二空3分） 【解析】由已知可得九点圆经过AB的中点（1，1），AG的中点 ，BG的中点 ，设△ABC的九点圆方程为x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0，则 解得D＝0，E＝ －3，F＝1，所以九点圆的方程为x2＋y2－3y＋1＝0. 该圆的圆心坐标为 ，半径为 ，直线BG的斜率为 ，因为AC⊥BG，所以AC的斜率为－3，直线AC的方程为3x＋y－1＝0，圆心到AC的距离为 ，所以该九点圆截直线AC所得弦长为2× ＝ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. （13分）已知点C（2，－1）. （1）若直线l过点C，且一个方向向量为a＝（1，－2），求l的方 程； 解：（1）由a＝（1，－2）为直线l的方向向量， 可得l的斜率为 ＝－2，（3分） 因为直线l过点C（2，－1）， 所以直线l的方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.（7分） （2）求以C为圆心且与直线l'：3x－y＋3＝0相切的圆C的方程. 解：（2）因为圆C与l'相切， 所以圆C的半径等于点C到直线l'的距离，（9分） 所以圆C的半径r＝ ＝ ，（11分） 所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝10.（13分） 16. （15分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， ＝a， ＝ b， ＝c. （1）用a，b，c表示 ； 解：（1）因为 ＝a， ＝b， ＝c， 所以 ＝ － ＝c－a，（3分） ＝ ＋ ＝ ＋ ＝c－a＋b.（6分） （2）若 ＝ ＝ ＝2， ＝3， ＝2，求 · . 解：（2）由题意知，△ABB1，△AA1B1都是边长为2的正三角形， 所以＜a，b＞＝120°，（8分） 又 ＝ ＝ ＝2， 所以a·b＝ cos ＜a，b＞＝－2，（10分） 由 ＝ ＝3，得（c－a）2＝8－2a·c＝9， 所以a·c＝－ ，（12分） 又 ＝c－b，（13分） 所以 · ＝（c－b）·（c－a＋b）＝c2－b2－a·c＋a·b ＝4－4－ ＋（－2）＝－ .（15分） 17. （15分）已知空间四点O（0，0，0），A（1，0，1），B（2，1，0），C（1，2，－1）. （1）求以OA，OB为邻边的平行四边形的面积； 解：（1）由已知得 ＝（1，0，1）， ＝（2，1，0），（1分） 所以 ＝12＋02＋12＝2， ＝22＋12＋02＝5，（2分） · ＝1×2＋0×1＋1×0＝2，（3分） 以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是△AOB面积的2倍， S△AOB＝ sin ∠AOB＝ × ＝ ＝ × ＝ .（6分） 所以以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为 .（7分） （2）求三棱锥O－ABC的体积. 解：（2）由（1）知，△AOB的面积为 ， ＝（1，2，－1）， 设平面AOB的法向量为n＝（x，y，z）， 则 取x＝1，得n＝（1，－2，－1），（10分） 所以点C到平面AOB的距离为 ＝ ＝ ＝ ，（12分） 所以V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝ × × ＝ .（15分） 18. （17分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， · ＝ ＝ 4，四边形ABB1A1是边长为 的正方形. （1）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC； （1）证明：因为 · ＝ ， 所以 · － ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＝0， 所以AA1⊥AC. （2分） 因为四边形ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，（3分） 因为AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， 所以AA1⊥平面ABC，（4分） 因为AA1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC. （5分） （2）已知AB⊥AC，过点A作A1C的垂线交A1C1于D，点E为棱BC 上一动点（含端点）. （i）若EC1∥平面ABD，求 ； （ii）设直线C1E与平面ABD所成角为θ，若 sin θ＞ ，求 的取值 范围. （2）由（1）及AB⊥AC，可得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原 点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A（0，0，0），B（ ，0，0），A1（0，0， ），C（0， 2，0），C1（0，2， ），（6分） 所以 ＝（ ，0，0）， ＝（0，2，－ ）， ＝（－ ，2，0）， ＝（0，0， ），（7分） 设D（0，s， ），则 ＝（0，s， ）， 因为A1C⊥AD，所以 · ＝2s－2＝0，解得s＝1， 所以 ＝（0，1， ）.（8分） 设平面ABD的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 取z＝1，得n＝（0，－ ，1），（10分） 设 ＝t（0≤t≤1），则 ＝t ＝（－ t，2t，0）， ＝ ＋ ＝（－ t，2t，0）＋（0，0， ）＝ （－ t，2t， ）.（11分） （i）解：因为EC1∥平面ABD，所以 ⊥n， 所以 ·n＝－2 t＋ ＝0，（12分） 所以t＝ ，即 ＝ .（13分） （ii）解：由已知得 sin θ＝ ＝ ＞ ，（14分） 整理得45t2－48t＋11＞0，即（3t－1）（15t－11）＞0， 因为0≤t≤1，所以t的取值范围是 ∪ ， 即 的取值范围是 ∪ .（17分） 19. （17分）已知圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），点A（1，0），B（4，0），对圆O上任意一点M，均有 ＝m（m为常数，且m＞0）. （1）求m与r的值； （1）解：设M（s，t），则s2＋t2＝r2， 由 ＝m，得 ＝ ＝ ＝m2，（2分） 所以 ＝ ＝m2，（3分） 因为m＞0，r＞0，所以m＝2，r＝2.（5分） （2）已知圆O与y轴交于点C，D，动点P在直线y＝4上，且不在y 轴上，直线PC，PD分别与圆O交于点E，F. （i）证明：直线EF过定点，并求出该点坐标； （ii）求四边形CEDF面积的取值范围. （2）（i）证明：由对称性，不妨设C（0，－2），D（0，2）， 设P（p，4），p≠0， 则直线PC的斜率kPC＝ ＝ ， 直线PD的斜率kPD＝ ＝ ， 所以kPC＝3kPD，（6分） 由CD为圆O直径，可得PC⊥ED，所以kPC·kDE＝3kPD·kDE＝－1， 所以kPD·kDE＝kDF·kDE＝－ ，（7分） 设E（x1，y1），F（x2，y2），直线EF的方程为y＝kx＋b（－2＜ b＜2）， 代入x2＋y2＝4，得（1＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0， 所以x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，（8分） 所以kDF·kDE＝ · ＝ · ＝－ ，（9分） 即（1＋3k2）x1x2＋3k（b－2）（x1＋x2）＋3（b－2）2 ＝（1＋3k2）· ＋3k（b－2）· ＋3（b－2）2＝0，（10 分） 整理得（b－1）（b－2）＝0， 因为－2＜b＜2，所以b＝1，（11分） 所以直线EF的方程为y＝kx＋1，该直线过定点（0，1）.（12分） （ii）解：因为b＝1，所以x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ＜0， （13分） 所以四边形CEDF的面积S＝ ＝ ×4· ＝2 ＝2 ＝ 4＝4 ，（15分） 因为0＜ ≤1，所以0＜4 ≤4 ， 即四边形CEDF面积的取值范围是（0，4 ].（17分） 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