第4章相似三角形单元测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章相似三角形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为 黄金比(MaC>BC 时，可以敲击出音符“sol”的声音.若AB=8cm,且敲击时发出音符“sol”的声音， 则液面高度AC为() B 8cm ?cm A A.(85-8)em B.(45-4cm c.(（45-2cm D.(25-小em 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可. 【详解】解：“液面高度1C与瓶高4B之比为黄金比(1C>BC), 4c=5号-58=5-4m 2.如图， 1I3IAB=3.DE=5,BC=6,则EF的长度是() A D E A.14 B.12 C.10 D.8 【答案】C AB DE 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，从而列出比例式BC=EF,求得EF的长度. 试卷第1页（共3页） AB DE 【详解】解：己知，，，根据平行线分线段成比例的性质可得BC=EF, 将AB=3,DE=5,BC=6代入比例式可得， 35 6EF,解得EF=10: 3.如图，点D是△ABC边AB上一点，连接CD.若添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△CBD 则这个条件是() B A.∠BDC=∠BCA B.∠A=∠DCB BD CD AB BC C.BCAC D.CBBD 【答案】C 【详解】解：A、由∠B=∠B,∠BDC=∠BCA,故A能判定△ABC∽△CBD,不符合题意： B、∠B=∠B,∠A=∠DCB,故B能判定△ABC∽△CBD,不符合题意： BD CD C、BCAC,但∠BDC不一定等于∠ACB,故C不能判定△ABC∽△CBD,符合题意； AB BC D、∠B=∠B,CB=BD,故D能判定△ABC∽△CBD,不符合题意； 故选：C 4.若△ABCOAA'B'C',AD和A'D是它们的对应角平分线，己知AD=8cm,A'D'=3cm,则△ABC与 △A'B'C 的对应高的比为() 9 3 8 64 A.64 B.8 C.3 D. 【答案】C 【详解】解：△ABC∽aAB'C',AD和AD'是它们的对应角平分线，AD=8cm,A'D'=3cm, AD 8 :△ABC与△AB'C的相似比为AD=3, 试卷第2页（共3页） 8 △ABC与△4'BC的对应高的比为3， 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O.若点 -2, 的对应点为 D(-42),则点C(-13 的对应点F的坐标为() A.（2,6) B.（35) c.(2,6) D.(3-5) 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质解答即可， 【详解】解：：△MBC与△DBF是位似图形，点 (-2,1) 的对应点为D(42) ∴.△ABC与△DEF的位似比为2， (-1,3) 点 的对应点F的坐标为 1x2,3x2）.即-2,6) 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，连接AB、 CE CD交于点E,那么DE的值是() 1 2 5 A.3 B.3 C.2 D.3 【答案】B 试卷第3页（共3页） 【详解】解：，BC∥AD ∴.△BCEAADE, BC=2,AD=3, CEBC_2 ·DEAD3 5-1 7.宽与长的比是2的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、 匀称的美感.现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形ABCD;第二步：分别取AD、BC的中 点MN,连接MN;第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E;第四步：过 点E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.则下列四个矩形中是黄金矩形的是()， A.矩形NCDM B.矩形CEFD C.矩形BCDA D.矩形NEFM 【答案】B 【分析】设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理求出ND的长，进而得到NE和CE的长，计算矩形 CEFD的宽与长的比即可判断， 【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a ,点N为BC的中点， ∴.C=a,CD=2a, 在RtANCD中，ND=VNC2+CD2=Va2+(2a}=V5a. NE=ND=5a 由作图可知 CE=NE-NC=5a-a=(5-1)a cE_(5-a5-1 对于矩形CEFD,CD2a 2，是黄金矩形 NC a 1 对于矩形NCDM,CD2a2,不是黄金矩形： 试卷第4页（共3页） 对于矩形BCDA,是正方形，宽长比为1，不是黄金矩形： MN 2a 25 对于矩形NEFM,NE√5a5,不是黄金矩形. 8.如图，正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形AB'C"D' 与正方形4CD是以4C的中点0为中心的位似图形，已知4C=35,若点《的坐标为L2)） ,则正方 形AB'CD'与正方形ABCD的相似比是() D A D B'C (B)O C 1 1 A.6 B.3 C.2 D子 【答案】B 【分析】延长A'B'交BC于点E,根据△A'CE∽aACB,可得CA':AC=2:3,即可求解. 【详解】解：如图，延长A'B交BC于点E, D 6 (B)O E C 在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=90° :AC=√AB+BC=V2AB=2BC :4C=3V2 .'BC=AB=3. :点A的坐标为 1,2) 试卷第5页（共3页） ..OE=1,EC=A'E=3-1=2 ,CE:BC=2:3, :正方形A'B'CD'与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形， ∴.∠B'A'C'=∠BAC=45°， ..A'Ell AB. ∴.△A'CE△ACB, ..CA':AC=CE:BC=2:3. :正方形AB'CD与正方形ABCD是以AC的中点O'为中心的位似图形， .'.AA'=CC, .AA'=CC=A'C', .A'C':AC=1:3, 1 .正方形AB'C'D与正方形ABCD的相似比是3· 9.如图，四边形ABCD与四边形4BCD是以原点O为位似中心的位似图形.若B'(2,0,B(4,0) AB'= ,则B=() B B A.8V5 B.6V5 C 4V5 D.25 【答案】D 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可. 【详解】解：·B"(2,0)B(4,0) .0B=2,OB=4, ,四边形ABCD与四边形A'B'CD'是以原点O为位似中心的位似图形， 试卷第6页（共3页） A'B'OB' 52 .ABOB,即AB4, AB=25 10.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的三等分点( CG<DG BD,BG BD,GE H DH:BH )，连结 相交于点“.则 为() G B 423 B.V5:2 c.2w2:v10 D.4:5 【答案】D 【分析】设CG=x,则DG=2x,根据正方形的性质以及勾股定理表示出相关线段的长度，根据正方形 的性质得出相等的角，证明△BGH∽△BDG,得出对应线段成比例，然后表示出相关线段，即可求出比值 【详解】解：设CG=x,则DG=2x,正方形ABCD的边长为3x, ∴由勾股定理得BD=3V2x,BG=VBC2+CG=V1Ox 由正方形性质得∠BGH=∠BDG=45°，又LGBH=∠DBG, .△BGH∽aBDG, BG BH ·BDBG' BG=BD·BH, 52 BH== x 3 DH=BD-BH=42、 故DH:BH=4:5 试卷第7页（共3页） 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） l1.如图，已知a‖b‖c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于 点D,E,F,AC=7,BC=5,EF=4,则DF的长为 m A D a B E 6 【答案】5.6 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果， 【详解】解：allbllc, AC DF ∴.BCEF· :AC=7,BC=5,EF=4, 7 DF .54 .DF=5.6 BD 1 12.如图，AABC中，AB=5,D是AB延长线上一点，连接CD,若∠DCB=∠A,CD2,则AD的 长为 B D 【答案】 20 3 【分析】根据已知角相等和公共角证明△DCB∽aDAC,利用相似三角形对应边成比例得出 CD2=BD·AD ,结合已知比例关系和线段和差建立方程求解. 【详解】解：·∠DCB=∠A,∠D=∠D, ADCBADAC, 试卷第8页（共3页） BD CD CDAD· 即CD=BDAD, BD 1 CD 2 ..CD=2BD. ∴.(2BD)2=BD·AD .4BD2=BD·AD, :BD≠0. .AD =4BD, :D是AB延长线上一点， ∴.AD=AB+BD, .4BD=5+BD. .3BD=5, .BD=5 3 AD=4x3-20 33· 1B.如图，在平面直角坐标系中，矩形O1BC的顶点坐标分别是DQ0),4(6,0),B64,CQ,4) 已知矩形OABC与矩形OABC位似，位似中心是原点O,且矩形OABC面积等于矩形OABC面积的4， 则点B的坐标为 B A 【答案】 (32列或-3，-2刘 【详解】解：，矩形OAB'C与矩形OABC位似，位似中心是原点O,且矩形OAB'C'等于矩形OABC面 试卷第9页（共3页） 1 积的4， ,矩形OAB'C与矩形OABC位似，且位似比为2， B64) r重o(引》 、点B的坐标为 3,2)（-3-2) 或 1A.图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点0：点E在AD边上.且E-号4D,连接G~CE分 别交OA、OD于点G、F.若口ABCD的面积为10，则图中阴影部分的面积为 B 【答案】0.5 【分析】先根据平行四边形性质，得到S.0m=4S。D;由ADBC证两组相似三角形，求出线段比例： 再用等高三角形面积比等于底之比，算出△AEG、△DEF、△OGF的面积，用△AOD面积减去这三块面积 得到阴影面积。 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，SAn=10, .AD//BC.AD=BC.OA=OC.OB=OD. w10=-25, .S.OD= :B= :DE-2AD】 3 AD/IBC, ∴.AAEG∽ACBG 试卷第10页（共3页） AG AEAE 1 CG BC AD3· 0G1 4G=AC=20A,O42 4 ADlIBC, ∴ADEF∽ACBF DF DE 2 BF BC 3 :.DF=2BD=4OD OF 1 5 ￥OD5, 11 x2.5=5 S。ABG=23 12 ×2.5=4 42 S.DEF=53 3 11 1 -×2.5= S.0Gr=25 4 Sw=2.5-5_41 1234 55163 2121212 3024 1212 6 -12 =0.5 15.如图， AC⊥BCAC=BC=2V ,过点A作4∥BC,连接PB,PC.将△PBC沿PC折至 aPEC,连接E,柜交C于点F.则∠CFE 度数为 若F=4V2 则P的长度为 试卷第11页（共3页） 45 5 【答案】 145度 【分析】设∠ACP=a,则∠BCP=90°+a,结合折叠的性质得：∠ACE=∠ACP+∠PCE=90°+2a, AC=CE=2 5,从而得到∠C1E=∠CB1=45°-a,再由三角形外角的性质可得∠CFE 的度数：过点C 作CG1AB 点G,过点P作m1MC于点H,则16=2BC.可设G=CG=,则CF=V2x BG=45-x,在RwCEG 中，利用勾股定理可得r的值，从而得到CG=FG=2,4G=EG=32 AF=AG-FG=2N2,再由△FAH∽aCAG,可得 HI=61 FH=25 Γ5， 5,然后根据aCFH∽aCPA,即 可求解. 【详解】解：设∠ACP=a, :AC⊥BC,即∠ACB=90°， ∴.∠BCP=90°+a, 由折叠的性质得：∠ECP=∠BCP=90°+a,BC=EC, ∴.∠ACE=∠ACP+∠PCE=90°+2C, ÷AC=BC=2V5 AC=CE=25 ∠CMB=∠CBA=080-∠ACE)=45-a, ∴.∠CFE=∠CAE+∠ACP=45°： 如图，过点C作CG L AE于点G,过点F作FH⊥AC于点H,则AE=2EG, 试卷第12页（共3页） B E :.△CFG为等腰直角三角形， 可设PG=CG=x,则CF=2x,BG=42-x, 在RtACEG中，CE2=CG+EG, 即(25=2+42-x, 解得：x=V23V2 或 :∠ACE=90°+2a,则△ACE为钝角三角形， :4E>AC=2V5 当x=35时G=5,北时4B=22,不符合题意，合去， CG=FG- AG=EG=3V2 此时 AF-AG-FG-2 :∠AHF=∠AGC=90°，∠FAH=∠CAG. ∴，△FAH∽aCAG, AF AH FH 22 AH FH ∴，AC AG CG,即2√532√2， AH=65 FH=25 5. 5, 试卷第13页（共3页） CH=4V5 5 AP∥BC,AC⊥BC, AP⊥AC, .FH∥AP, ∴.aCFH∽aCPA, 254V5 ∴FH_CH,即5=5， AP AC AP-25 AP=5 16.如图是由边长为1的小正方形组成的5×3的网格，△ABC的顶点及点M,N都是格点，AB与格线 CN 点D,MC与MN 交于点， 交于点B.则有以下四个结论：04B=V2MW:@CB=2ME,③ ∠ADE=∠ACB:④∠ACB=45°.其中正确的结论是 (填序号). 【答案】 ①②③ AB=10 MN=5 【分析】由勾股定理得出 ,即可判断O:连接M、CW,则MM=l,CN=2,证 明△AEM∽aCEN,由相似三角形的性质即可判断②：取格点G、H,连接AH、DG、BH,则AG=2, AD AG2AD_AE AH=3,证明ADGPAABH,得出AB=A3,求出AC=AB,结合∠EAD=∠BAC,得出 △EAD∽△BAC,即可判断③：取格点P、Q,连接P巴，则由勾股定理逆定理得出△PCQ是直角三角形， 且∠CP2=90°，推出∠AC0=∠P2C=45°，即可判断④. 【详解】解：由勾股定理可得：B=P+3=0.MW=VP+2=5 试卷第14页（共3页） AB-2 .MN 5 AB=√2MN 故①正确： 如图，连接AM、CN,则AM=1,CW=2, G B ..AM IICN. .aAEM∽aCEN, AE AM 1 “CECN2' 、CE=2AE,故②正确： 取格点G、H,连接AH、DG、BH,则AG=2,AH=3, :DG∥BH, .△ADGAABH, AD AG 2 :.AB AH 3' 、AD=2AB=210 3 3, AE 1 CE2' .AF= -AC=IAC 1+2 3 AC=V22+4=25 :HE35 3, 试卷第15页（共3页） 2W5 2W10 .AE 3 2 AD 3 2 AB V103 AC 2W5 3 AD AE ·ACAB: ∠EAD=∠BAC, .△EAD∽△BAC, ∴.∠ADE=∠ACB,故③正确： 取格点P、e,连接Pe,则P0=PC=+2=5, P92+PC2=5+5=10 C0=P+32=10 PO2+PC2=CO2 ∴△PC0是直角三角形，且∠CPp=90°， .∠AC0=∠P2C=45°， ∠ACB≠∠ACQ, ,∠ACB≠45°，故④错误： 综上所述，正确的有①②③， 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） AB BC AC 17.如图，在A4BC和ADCE中，DC=CE=DE,若∠B=52°，∠D=48,求∠ACB的度数. D B 【答案】80° 【分析】由三边对应成比例，判定△MBC∽△DCE,，得到对应角相等，再利用三角形内角和计算∠ACB 试卷第16页（共3页） AB BC AC 【详解】解：：DC CE DE, ∴.△MBC∽△DCE. ∠A=∠D=48°， 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-48°-52°=80° 18.如图，在平面直角坐标系中，△1BC的顶点坐标分别为1(3,4)、B(4,1)、C(2,2) 4 3 2 9876543211 5 6 C) Q)以原点O为位似中心，画出△1BC的位似图形△48G(点4、B、C的对应点分别是点4、 使得△44G与4MBC的相似比为2斗，且点4在轴下方，并与出点品的坐标， (2)在(1)的条件下，△ABC与△4BG的面积比为 【答案】(1)解：以O为位似中心，对应点位于原点两侧，且到原点的距离扩大为原来的2倍，故(x,) 变为(-2x,-2y), 4(-6,-8),B,(-8,-2),C1(-4,-4) 4(3×(-2),4×(-2)=(-6,-8) 试卷第17页（共3页） B(4×(-2),1×(-2)=(-8,-2) C(2×(-2),2×(-2)=(-4,-4) B (-8,-2) 所求图形如下，点 的坐标为 依次连接 ,B,C,即为 ABC 43 B 987-654321 34$ (2)解：相似比为1：2， 面积比(1：2}-1：4 【分析】(1)根据位似的性质作图即可： (2)相似图形面积比等于相似比的平方， 【详解】(1)略 (2)略 19.如图，在△ABC中，点D在AB边上，过点D作DE∥BC交AC于点E,点F在BC边上，连接AF AD 3 GF 交DE于点G,BD4,AE=12:求AF的值以及AC的长. G 试卷第18页（共3页） GF 4 【答案】AF=7,AC=28 AD 3 【分析1由DE/BC,利用平行线分线段成比例，先得到0-把，结合品-号架出比创：再代 GF 入4B=12求出AC,最后求出AF. AD 3 【详解】解：BD4, .设AD=3k,BD=4,则AB=AD+BD=7k, AD 3k 3 AB7k7 :DE∥BC AD AEAG3 ABAC AF 7' 123 “AB=12:AC7, .AC=28, AG 3 又：AF=7,GF=AF-AG, 611 :.AF AF 77 20.如图，AB与CD相交于点O,且AC∥BD,AE⊥DC,BF⊥DC,垂足分别为E,F. (I)求证：AE.BD=AC.BF: OE (②若4C=7,BD=4求OF的值.。 【答案】(I)证明：：AC∥BD, ∠C=∠D ,AE⊥DC,BF⊥DC. .∠AEC=∠BFD=90°. 试卷第19页（共3页） ,△AEC∽△BFD. AE AC :.BF BD' ∴，AEBD=AC·BF; 7 24 【详解】(1)略 (2)解：AC=7,BD=4, AE AC 7 ·BFBD4' .∠AEC=∠BFD=90°，∠AOE=∠BOF, ∴.△AEO∽△BF0. OE AE 7 .OFBF4· 21.如图是燃烧的蜡烛AB经凸透镜MN在屏幕上成像CD的光路示意图，AE∥BD.点B、O、D在同 一直线上，点A、O、C在同一直线上，且AB、CD、OE都与BD垂直，EC交OD于点F.若 AB=8cm OB=26 cm OF=10cm M E 8 F D AO (1)求co的值： (2)求成像CD的长 8 【答案】四5： (2)成像CD的长为5cm 【分析】(1)根据矩形的判定与性质得到OE=8cm,证明△OEF∽aCDF,△4OBACOD,得出 OB OF 2610 ODDF,设DF=xcm'则OD=(10+xcm,得到10+xx,求解即可得出答案： 试卷第20页（共3页） AB AO (2)由AOBACOD,得到CDCO, 即可得出答案。 【详解】(I)解：AB⊥BD,OE⊥BD,AE∥BD ∴四边形ABOE是矩形， ∴.OE=AB=8cm, OE⊥BD,CD⊥BD ∴.OE∥CD AOEF△DCF, OF OE DF CD' :AB⊥BD,CD⊥BD .AB∥CD .△AOB∽△COD OB AB OD CD' .AB=OE=8cm, OB OF OD DF' 设DF=xcm,则 OD=(10+x)cm 2610 10+xx 解得x=6.25, ∴.0D=10+6.25=16.25(cm) A0 OB 26 8 C00D16.25-5: (2)解：由(1)得△AOB∽aCOD, AB AO CD CO' 试卷第21页（共3页) AB =8cm, A0 8 C05 8_8 CD5 ∴.CD=5cm 22.如图，已知正方形ABCD的面积是2，E为BC边延长线上一点，若CE=2,连接AE,与正方形另 外一边CD交于点F,连接BF并延长，与线段DE交于点G,求BG的长. D C E 2V10 【答案】3 【分析】延长AD,BG相交于点H,根据己知条件可得到点F是CD的中点，再证明DH=BC,利用 DH HG 1 △HDG△BEG,得到BEBG2,最后利用勾股定理求得BH的长即可解答. 【详解】解：如图，延长AD,BG相交于点H, H :正方形ABCD的面积是2， AB=BC=CD=DA=2 :AB∥FC, ∴.△EFC∽△EAB」 EC FC EC 1 EB AB BC+EC 2' :.FC=14B=IDC 2 2 ..DF=FC, ..AH I BE 试卷第22页（共3页） ∠H=∠FBC,∠BCF=∠HDF=90°， ∴.ABCF≌△HDF(AAS) DH=BC=2 ..AH II BE ∴△HDG∽ABEG. DH HG 1 BEBG-2 在Rt△MBH中，BH=VAB+AH=ViO 3 3 23.【问题提出】 如图1，在△ABC中，AB=8,P是AB上一点（点P不与点A,B重合），PO∥BC交AC于点2，连 接CP.设△ABC的面积为S,△POC的面积为S. 图1 图2 (1)当AP=6,S=16时，则S'的值为 S”-2+8t (2)设4P=1求证：S=64, 【问题解决】 (③)如图2，某社区规划了一块四边形ABCD花坛用于绿化，AD∥BC,且1D-2BC,MB=4·为了方 2 便灌溉，园林工人在AB上选取一点P(点P不与点A,B重合)，过点P铺设一条小路P№，P№∥BC 交CD于点D,连接CP,将aCPO区域规划为兰花种植区.设AP=a,四边形ABCD的面积为S, 试卷第23页（共3页） △PQC的面积为S,请用含字母a的代数式表示S· 【答案】(1)3 (2)证明：P2∥BC, .△APOAABC. AP AO AB=8,AP=1. .Ag-tS四=2 A0=8’S64’ AQ 1 2 C08-1:8m-64 S. SM2=Ag_【 .S”C08-t, S-2+81 ”S64 -a2+16 (3)48 【分析】(I)证明△AP2△ABC,根据相似三角形的性质，求出△AP巴的面积，再根据同高三角形的面 积比等于底边比，求出S”的值即可； (2)同(1)法即可得出结论： (3)延长BA,CD交于点E,同(I)法即可得出结果 【详解】(1)解：：Pg∥BC. ∴.△APOPAABC, 试卷第24页（共3页) AP AO .AB AC,S ,AB=8,AP=6,S=16, ,Ag_3S№=9 …AC4’1616' .A9=3,Se=9 ·Cg S,areA0=3 .S”Cg S=3: (2)略 (3)解：延长BA,CD交于点E, E A D B .AD∥BC, .△ADEABCE, EA AD 4D .EB BC, S.ADE SAWCE= BC AD-IBC 2 ,AB=4 EB=BC-2.S.40:.c= EA AD1 4 .EA=EB-AB=4.S.m.w. 1 2 3 六BE=8,四边形ABCD的面积为4SCs=S, 试卷第25页（共3页） .S.= .AP=a. ∴，EP=AE+AP=4+a, S'-(4+a2+8(4+a) 64 同2)法可得：，了 S'-(4+a)2+8(4+a）-a2+16 S 48 48. 24.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.这里，根据已学的相似三角形的知识，易 CD AC 证：BD-BC.在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件：如图2，点E是直线AC上一动点，连 接DE,过点D作FD⊥ED:交直线BC于点F,设BCm A D E E 图1（备用图） 图2 图3 图4 DE ()探究发现：如图②，若m=n,点E在线段AC上，则DF (2)数学思考： DE ①如图3，若点E在线段AC上，则DF=(用含m,n的代数式表示)： ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明： 拓展应用：若4C=5,BC=25,DF=4W5,请计算出CE的长 【答案】()1 n (②0m:②成立，证明如下： 如图， 试卷第26页（共3页） :∠ACB=90° .∠A+∠ABC=90°， 又：CD⊥AB ∴.∠DCB+∠ABC=90°， ∴.∠A=∠DCB :∠FDE=∠ADC=90° ∴.∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE, 即∠ADE=∠CDF, .△ADEACDF, DE AD ∴DFDC, '∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°， ∴.ADCACDB AD AC n DC BC m' DE n :DF m' ③cE=25或E-25 5 【分析】(I)先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF,∠A=∠DCB,得到△ADE∽aCDF,再判断出 △ADCACDB即可. (2)方法和(I)一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF,∠A=∠DCB,得到△ADE∽aCDF,再判 断出△ADCACDB即可 (3)由(2)的结论得出△ADE∽aCDF,判断出CF=2AE,求出EF,再利用勾股定理，分三种情形分 别求解即可 【详解】(I)解：当m=n时，即：BC=AC, .∠ACB=90° 试卷第27页（共3页） ∠A+∠ABC=90°， :CD⊥AB .∠DCB+∠ABC=90° ∴.∠A=∠DCB :∠FDE=∠ADC=90° ∴.∠FDE-∠CDE=∠ADC-CDE, 即∠ADE=∠CDF, ∴△ADEACDF. DE AD ∴.DFDC, :∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°， ∴.AADC∽ACDB. AD AC ∴.DCBC DE=1 ∴DF (2)①解：∠ACB=90°， ∠A+∠ABC=90°， :CD⊥AB .∠DCB+∠ABC=90° ∴.∠A=∠DCB :∠FDE=∠ADC=90°， ∴.∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE, 即∠ADE=∠CDF, .AADEACDF. DE AD ∴DFDC, :∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°， ∴.ADCACDB」 ②略 (3)解：由(2)可知，△ADE∽aCDF恒成立， 试卷第28页（共3页） DE AC 1 .DF BC2, ADAEDE1 ∴.CD CF DF2, ∴.CF=2AE 在Rt△DEF中， DE=22 DF=42 EF=DE+DF-(2+(4210 O当E在线段4C上时，在RLCEF中，CF=2AE=2(1C-CE)=2N5-CE）,EF=20, 根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2, CE2+[2(5-cE订=40 E 2√5 CE=25或 5(舍去) 而1C=v5<CE ∴此种情况不存在， ②当E在AC延长线上时， 在RtACEF中， CF=24E=2(AC+CE)=2(5+CE) EF=2√10 根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2, :CE2+[2(5+CE]=40, CE- 5,或CE=-25(舍)， ③如图，当点E在CA延长线上时， 试卷第29页（共3页） D BCF=2AE=2(CE-AC)=2(CE-5) EF=2√10 根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2, cE+[2(CE-5=40 5 :.CE=2W5或 p CF=- 5(舍去) 即：CE=25或 t CE=2V5 5 试卷第30页（共3页）第4章相似三角形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1,玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符，实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为 黄金比(aC>BC) ，可以敲击出音符：sol”的声音.若4B=8cm,且敲击时发出音符“sol”的声音， 则液面高度AC为() B 8cm ?cm A A(85-8)m B.(45-4cm c.(4/5-2)cm D.(25-1jcm 2.如图， 1I2I3AB=3DE=5,BC=6,则EF的长度是() A八D B E A.14 B.12 c.10 D.8 3.如图，点D是△ABC边AB上一点，连接CD.若添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△CBD, 则这个条件是() D A.∠BDC=∠BCA B.∠A=∠DCB BD CD AB BC C.BC-AC D.CB=BD 试卷第1页（共3页） 4.若△ABC△A'B'C',AD和AD是它们的对应角平分线，己知AD=8cm,A'D'=3cm,则△ABC与 △A'B'C 的对应高的比为() 9 A.64 B.8 c.3 D. 三如图。在平面直角坐标系中，△M6C与ADBF是位似图形，位似中心为点0.若点4(-2，) 的对应点为 D(-4,2),则点C-13 的对应点F的坐标为() A.（-26) B.(3,5) c.(2,6) D.(8-5) 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，连接AB、 CE CD交于点E,那么DE的值是() 2 1 5 A.3 B.3 C.2 D.3 5-1 7.宽与长的比是2的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、 匀称的美感.现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形ABCD;第二步：分别取AD、BC的中 点M、N,连接MN;第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E;第四步：过 试卷第2页（共3页） 点E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.则下列四个矩形中是黄金矩形的是()· M D A.矩形NCDM B.矩形CEFD C.矩形BCDA D.矩形NEFM &.如图，正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形AB'CD (1,2) 与正方形ABCD是以4C的中点0为中心的位似图形，己知AC=3W2,若点4的坐标为 则正方 形AB'CD'与正方形ABCD的相似比是() D D B'C (B)O A C.Z 9.如图，四边形4BCD与四边形4B'CD是以原点O为位似中心的位似图形.若 B'(2,0)B(4,0) AB'= ,则AB=() D B A A.8V5 B.6V5 C.45 D.25 1O.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的三等分点( 试卷第3页（共3页） CG<DG BD,BG BD,GE ),连结 证相交于点H.则DH:BH 为() G E A.23 B.3:2 c.22:vi0 D.4:5 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 1l.如图，已知abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于 点D,E,F,AC=7,BC=5,EF=4,则DF的长为 m n D -a B b R BD 1 12.如图，△ABC中，AB=5,D是AB延长线上一点，连接CD,若∠DCB=∠ACD2,则AD的 长为一 B D 1B.如图，在平面直角坐标系中，矩形01BC的顶点坐标分别是O(0,0),1(6,0),B(6,4),C(0,4)】 1 己知矩形OAB'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O,且矩形OAB'C'面积等于矩形OABC面积的4， 则点B的坐标为 试卷第4页（共3页） B 14.如图，在ABC0中，对角线AC、BD交于点0：点E在AD边L,且E-号4D,连接BE~CE分 3 别交OA、OD于点G、F.若口ABCD的面积为10，则图中阴影部分的面积为 D F B 15.如图，4C⊥BC,AC=BC=2V 5,过点4作AP I BC,连接PB,PC.将△PBC沿PC翻折至 PBC,连接，E交CP于点F.则∠CE EF=4V2 的度数为 ,则4P的长度为 16.如图是由边长为1的小正方形组成的5×3的网格，△ABC的顶点及点M,N都是格点，AB与格线 交于点D,AC与MW交于点E.则有以下四个结论： CN AB=N2MN.@CE=2ME,③ :② ∠ADE=∠ACB:④∠ACB=45°.其中正确的结论是 一（填序号）. 试卷第5页（共3页） B 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） AB BC AC 17.如图，在AABC和ADCE中，DC=CE=DE,若∠B=52,∠D=48,求∠ACB的度数. D B C 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 (3,4)B(4,1)C(2,2) 4 B 9876543211 234$ ↓2 6 -8 B、G) )以原点O为位似中心，画出△MBC的位似图形△48G(点4、B、C的对应点分别是点4、 B 48G与△MBC的相似比为2，且点在轴下方，并写出点的坐标： A 使得 (2)在(1)的条件下，△ABC与△4BG的面积比为. 19.如图，在△ABC中，点D在AB边上，过点D作DE∥BC交AC于点E,点F在BC边上，连接AF 试卷第6页（共3页） AD 3 GF 交DE于点G,BD4:AB=12:求A的值以及AC的长. 20.如图，AB与CD相交于点O,且AC∥BD,AE⊥DC,BF⊥DC,，垂足分别为E,F B (I)求证：AE·BD=ACBF: OE (②)若AC=7,BD=4:求OF的值. 21.如图是燃烧的蜡烛AB经凸透镜MN在屏幕上成像CD的光路示意图，AE∥BD.点B、O、D在同 一直线上，点A、O、C在同一直线上，且AB、CD、OE都与BD垂直，EC交OD于点F.若 AB=8cm OB=26 cm OF=10cm M E 8 F D 0 AO ()求Co的值； (2)求成像CD的长. 22.如图，已知正方形ABCD的面积是2，E为BC边延长线上一点，若CE=2,连接AE,与正方形另 外一边CD交于点F,连接BF并延长，与线段DE交于点G,求BG的长. 试卷第7页（共3页） G B C H 23.【问题提出】 如图1，在△ABC中，AB=8,P是AB上一点（点P不与点A,B重合），PO∥BC交AC于点Q,连 接CP.设△ABC的面积为S,△POC的面积为S”. 图1 图2 (1)当AP=6,S=16时，则S'的值为 S”-2+8t (2②)设4P=1:求证：S=64· 【问题解决】 ⊙如图2，某社区提划了一块四边形CD花坛用于绿化.ADBC·日4D-号C.MB-4为了方 便灌溉，园林工人在AB上选取一点P(点P不与点A,B重合)，过点P铺设一条小路P№，PO∥BC 交CD于点Q,连接CP,将aCPO区域规划为兰花种植区.设AP=a,四边形ABCD的面积为S, △PQC的面积为S·请用含字母a的代数式表示S· 24.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.这里，根据己学的相似三角形的知识，易 CD AC 证：BDBC,在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件；如图2，点E是直线4C上一动点，连 AC n 接DE,过点D作FD⊥ED:交直线BC于点F,设BCm: 试卷第8页（共3页） D D B F 图1（备用图） 图2 图3 图4 DE (1)探究发现：如图②，若m=n,点E在线段AC上，则DF (2)数学思考： DE ①如图3，若点E在线段AC上，则DF=(用含m,n的代数式表示)： ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明； 3)拓展应用：若4C=5,BC=25,DF=4W2, 请计算出CE的长 试卷第9页（共3页）