第3章圆的基本性质单元测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章圆的基本性质单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.下列说法中，不正确的是() A.直径是圆中最长的弦 B.圆的两条平行弦所夹的弧相等 C.任意一个三角形有且只有一个外接圆 D.平分弦的直径垂直于弦 2.如图，△ABC内接于⊙0，CD是⊙0的直径，连接BD,∠DCA=39°，则∠ABC的度数是() B A A.39° B.45° C.49° D.51° 3如图，AB是⊙0 直径，BC-D=D ；∠C0D=36 ,则∠O “的度数为() A.72° B.36° C.54° D.18 4.如图，圆柱形水管内积水的水面宽度AB=8cm,C为弧AB的中点，圆柱形水管的截面内半径为5cm, 则此时水深CD的值为()cm。 B A.3 B.2 C.1 D.4 5.如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为4Om.则这钢梁圆弧的半径长为() 试卷第1页（共3页） 金 8 D 0 A.29m B.28m C.25m D.20m 6.直角三角形的两条边长分别是6,8，则这个三角形的外接圆半径是() A.4 B.5 C.4或5 D.3或4 OAB,OB=√2 ∠AOB=130°C.AB 7.如图，在扇形 中， ,圆心角 ’是 上的点， ∠CAB=20° ,则阴影部分 的面积为(). B A.4 +1 C.-1 01 8.点A是半径为5的⊙0内一点，OA=4,则过点A且长度为正整数的弦有() A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 9.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB=4,射线I与正六边形的 边交于点P.将射线1从与OA重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转30°，则第2025秒时，点P 的坐标为() D A.(0,23 B.(0,-25) c.(2-23 D.（-223 10.如图，等边△ABC边长为4，以A为圆心作半径为2的圆，分别交边AB、AC于D、E两点.点F 试卷第2页（共3页） 是⊙A上的动点（点F不与点D,点E重合），连接CF,点G为线段CF的中点.给出下面四个结论： ①连接EG,EG的长度为定值： ②连接DF、EF,∠DFE的度数是30°； ③CF的长可能是 W10 ④连接BG,BG的长不可能是5. 上述结论中，所有正确结论的序号为() A.① B.①② C.①③ D.①④ 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11.如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙0，则它的边心距为一 E D 12.如图，AB为⊙O的直径，C,D为OO上的点，若∠ABC=a,则∠BDC的度数为一.（用含a 的式子表示) B D 13.如图，AB是OO的直径，CD是⊙O的弦，BA、DC的延长线相交于点E,CE=OB,若 试卷第3页（共3页） ∠BOD=78°，则∠E= D 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，以AC为直径的半圆O分别交AB,BC于点D,E,若 AB=18,则图中弧EC的长为一· 15.如图.AB是o0的弦，0C1B,垂足为C,将劣弧4B沿弦4B折叠交OC于点D,0D=0C, 3 若AB=10,则⊙0的半径为. C B 16。如图，在平面直角坐标系中，以点G0,v)为圆心，半径为25的圆与x轴交于么B两点，与y轴 交于C,D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F,则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的 最小值为 试卷第4页（共3页） Y D 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆 弧上任取两点4，B,送按B,作B的垂直平分线CD空B于点D,交于点C,测出 AB=40 cm CD=10cm C D B (I)利用直尺和圆规确定圆形工件的圆心O;(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求圆形工件的半径. 18,如图，C是O0的直径4B上一点，过点C作弦DE,若D为35”，B=35° D (1)求证：CD=CO (2)求弧AE的度数. 19.如图，四边形ABCD是正方形，以边CD为直径作OO,点E在BC边上，连接DE交OO于点F, 连结CF并延长交AB于点G. 试卷第5页（共3页） 0 G B E (1)求证：CE=BG； ②若∠DBC=5°，0C=6,求CF的弧长（结果保留”） 20.如图，已知AB是O0的直径，弦AD与半径OC平行. B ()求证：点C是D 的中点： (2)若AD=OC=3,求阴影部分的面积. 21.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=80m,拱高PD=20m. A' B' D (1)求圆弧所在圆的半径的长 (2)已知当洪水上涨到跨度只有48n时，需要采取紧急措施.某时刻拱顶离水面只有4m(图中AB位 置)，即PE=4m时，是否需要采取紧急措施？ 22.课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径.这座古桥拱由横截面为矩形 的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图 1).实地勘测后标记拱弧上两点A、B.点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗 岩条石的棱角顶点（如图2). 小组现场测量：单块花岗岩条石长2m,高lm. 试卷第6页（共3页） 2m m 图1 图2 (I)通过观察，拱桥跨度BC的长为m;A到BC的距离为_m: (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径. 23.如图1，四边形ADBC内接于⊙O,E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC. E D 图1 图2 (I)求证：AB=AC: (2)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E,且DB=AE=2,求OO的半径， 24.如图，AB是OO的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A,B重合），连接CA,CB.∠ACB的平 分线CD与⊙O交于点D C ⊙ D (备用图) (I)求∠ACD的度数： (2)探究CA,CB,CD三者之间的等量关系，并证明： (3)E为OO外一点，满足ED=BD,AB=5,AE=3,若点P为AE中点，求PO的长 试卷第7页（共3页） 第3章圆的基本性质单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列说法中，不正确的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．圆的两条平行弦所夹的弧相等 C．任意一个三角形有且只有一个外接圆 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】D 【详解】解：直径是圆中最长的弦，圆的两条平行弦所夹的弧相等，任意一个三角形有且只有一个外接圆，故A、B、C均正确； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法未排除弦为直径的情况，故D错误． 2．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 3．如图，AB是直径，， ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， ， ， 则的度数为． 4．如图，圆柱形水管内积水的水面宽度，为弧的中点，圆柱形水管的截面内半径为，则此时水深的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理得到垂直平分弦，，继而根据勾股定理解直角三角形，得到，继而得到． 【详解】解：点是的中点， 垂直平分弦，即， 圆柱形水管的截面内半径为，即， 在中，， ． 5．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里：设圆心为 、半径为 ，则半弦长 、圆心到弦 的距离 ，由勾股定理列方程即可求 ． 【详解】解：如图，设钢梁圆弧所在圆的圆心为 ，半径为 ，则 ，． ∵ 是拱高， 是跨径， ∴ ，，且点 是 的中点， ∴ ． ∵ 、、 三点在同一条直线上， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ． ∴ ，解得 ． ∴ 这钢梁圆弧的半径长为 ． 6．直角三角形的两条边长分别是6，8，则这个三角形的外接圆半径是（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】未明确两条已知边是否为直角边，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：直角三角形外接圆半径等于斜边长的一半， 当6和8均为直角边长时， 斜边长为， 外接圆半径为； 当8为斜边长时， 外接圆半径为； 综上，该三角形外接圆半径为4或5． 7．如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 8．点 A 是半径为 5 的内一点，，则过点 A 且长度为正整数的弦有（     ） A．6 条 B．7 条 C．8 条 D．9 条 【答案】C 【分析】先确定过点A的弦的长度取值范围，再按整数长度分类统计弦的数量． 【详解】解：过点A的最长弦为的直径，长度为，仅1条． 过点A作垂直于的弦，由垂径定理和勾股定理得，最短弦长的一半为，故最短弦长为，仅1条． 设过点A的弦长为，则，其中正整数为6，7，8，9，10． 弦长为7，8，9时，每个长度对应2条关于对称的弦． 总条数为． 9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，，射线l与正六边形的边交于点P．将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交y轴于点H，得到是等边三角形，得到，又由，可知射线l每旋转12秒为一周，由，可得第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，射线l与y轴负半轴重合，即点P与点重合，求出结论即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，连接，设交y轴于点H， 由题意可知，， ∴都是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴射线l每旋转12秒为一周， ∵， ∴， ∴第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，此时射线l与y轴负半轴重合， 即此时点P落在点位置， ∵点与点H关于原点对称， ∴点的坐标，即点的坐标． 10．如图，等边边长为4，以为圆心作半径为2的圆，分别交边、于、两点．点是上的动点（点不与点，点重合），连接，点为线段的中点．给出下面四个结论： ①连接，的长度为定值； ②连接、，的度数是； ③的长可能是； ④连接，的长不可能是5． 上述结论中，所有正确结论的序号为（     ） A．① B．①② C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】连接，，根据中位线的性质求出，即可判断①正确；分点F在优弧和劣弧上两种情况分别求出的度数，即可判断②错误；求出的最大值和最小值，即可判断③错误；求出的最大值和最小值，即可判断④正确． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， 根据作图可知：， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴的长度为定值，故①正确； 当点F在优弧上时，如图所示： 此时； 当点F在劣弧上时，如图所示： 此时； 综上，或，故②错误； 根据题意得：的最大值为，最小值为， ∵，，且， ∴， ∴的长不可能是，故③错误； 连接，如图所示： ∵，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴点G在以点E为圆心，1为半径的圆上， ∴的最大值为，最小值为， ∵，，且， ∴， ∴， ∴的长不可能是5，故④正确； 综上，正确的结论有①④． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，先求出中心角，再得到是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵边长为的正六边形内接于， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴它的边心距为． 12．如图，为的直径，，为上的点，若，则的度数为_____．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】连接得，利用同弧所对圆周角相等得出，再计算即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ． 13．如图，是的直径，是的弦，、的延长线相交于点，， 若，则______． 【答案】/26度 【分析】连接，得到，继而得到，再根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 14．如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，若，则图中弧的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据为半圆O的直径，可得，再由等腰三角形的性质可得，，然后根据圆周角定理可得，再根据弧长公式解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆O的直径， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴弧的长为． 15．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为________． 【答案】 【分析】延长，交劣弧于点，连接，由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：延长，交劣弧于点，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，即， 解得：（负根舍去）， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，取的中点，说明点F在以为直径的上运动，根据点到圆的距离，求出最小值即可． 【详解】解：连接，连接，取的中点， ， ， 点F在以为直径的上运动， 当点在的延长线上时，即图中点处时，最小， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ，即， 的半径为， ， ，即最小值为． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，． (1)利用直尺和圆规确定圆形工件的圆心；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆形工件的半径． 【答案】(1)如图，点即为所求 (2)圆形工件的半径为 【分析】（1）根据圆的两条弦的垂直平分线交点为圆心，在圆弧上取一点，作的垂直平分线即可； （2）由垂径定理可得，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在圆弧上取一点，作的垂直平分线，这条垂直平分线和直线的交点即为圆心； 连接，，，则， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，即点为圆心； （2）解：∵，， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即圆形工件的半径为． 18．如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，， (1)求证：． (2)求弧的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用等边得出等角，利用弧和圆心角的度数得出相等的角，最后利用等角对等边得出相等的边； （2）利用角的和差求出圆心角，然后利用圆心角和弧的关系求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 19．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连接交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的弧长（结果保留） 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 是的直径， ， ， ， ， ． 在和中 ， ， (2) 【分析】第问利用正方形性质、直径所对的圆周角是直角，结合同角的余角相等推导角相等，通过证明三角形全等，证得线段相等； 第问先在直角三角形中求出圆周角，结合等腰三角形性质、三角形外角性质求出圆心角，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】（1）证明见答案 （2）解：如图所示：连接 ， ， ， ， ， ， 的长为． 20．如图，已知是的直径，弦与半径平行． (1)求证：点C是的中点； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴点C是的中点． (2) 【分析】（1）证明，由得到，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，则，根据扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连结， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴ 21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度，拱高． (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)已知当洪水上涨到跨度只有48m时，需要采取紧急措施．某时刻拱顶离水面只有4m（图中位置），即时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】(1) (2)需要采取紧急措施 【分析】（1）由垂径定理和圆的性质可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）由垂径定理和圆的性质可得，米，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设点O为该圆弧所在的圆的圆心，连接， ∵米，米，且， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆弧所在的圆的半径r的长为； （2）解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵，则， ∴需要采取紧急措施． 22．课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合花岗岩条石的数量计算即可； （2）设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 可知拱桥跨度的长为， A到的距离为； （2）解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则， 设圆的半径为，由（1）可知，， ∵，即， ∴，， ∴， 解得：， 即圆的半径为． 23．如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ． ∴， 又， ， ． (2) 【分析】（1）由题意易得，结合圆的内接四边形对角互补，然后可得，接着利用同弧所对的圆周角相等，进而可得，则问题可求证； （2）连接并延长，交于点H，交于点K，则，由题意易得，，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接并延长，交于点H，交于点K，则， ，经过圆心O， ，则， ，． ∵是的直径， ，即． ，， ， ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ． 在中，，，， ， 的半径为． 24．如图，是的直径，点是上一点（点不与，重合），连接，．的平分线与交于点． (1)求的度数； (2)探究，，三者之间的等量关系，并证明； (3)为外一点，满足，，，若点为中点，求的长． 【答案】(1) (2) ，连接延长与圆交于点G，连接、，延长、交于点F，如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， （由（1）可知）， ， ， 中，由勾股定理得：， ， ， 在和中，， ， ， ， ，， ． (3) 【分析】（1）直径所对的圆周角是直角，用角平分线的定义求解； （2）连接延长与圆交于点G，连接、，延长、交于点F，利用平行线的性质和三角形内角和定理得到和是等腰直角三角形，用勾股定理求得，用证明，进而得到，借助图形线段之间的关系进行求解． （3）过点A作，过点B作交延长线于点N，一线三垂直模型证明，根据三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等，可得出是等腰直角三角形，勾股定理求出的长度，全等性质和等量代换可得，用勾股定理方程思想可得出和的长度，结合全等性质和线段之间的关系，得出和的长度，用勾股定理求出的长度，用三角形中位线的性质可以得到的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 平分， ； （2）略 （3）过点A作，过点B作交延长线于点N，连接，如下图所示， 是的直径， ， 又， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ，， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 是中点，O是中点， ． 【点睛】直径所对的圆周角相为直角，构造等腰直角三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $