精品解析：甘肃兰州市永登县第六中学2026-2027学年高三上学期11月数学测试卷

甘肃省永登县六中2026-2027学年高三上学期11月数学测试卷 （本试卷共4页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则 （　　） A. B. C. D. 3. 已知，，且 ，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，则 A. B. C. D. 5. 设，， ，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（　　） A. B. C. D. 8. 已知随机变量，若，，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知，且 ，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 不等式 的解集为 11. 一组样本数据为2，4，5，5，6，7，8，11，则下列结论正确的是（　　） A. 平均数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 极差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为_____________． 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ______. 14. 已知数列满足，，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知数列满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与交于两点，且（为原点），求到的距离. 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省永登县六中2026-2027学年高三上学期11月数学测试卷 （本试卷共4页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和指数不等式化简集合，再由交集的定义求解. 【详解】由得，即；由得，即. 所以. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，故． 3. 已知，，且 ，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由 得 ，即，所以， 于是， 因为，所以与的夹角为 . 4. 已知，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的余弦公式即可求得式子的值. 【详解】因为，，所以， 则，答案为A. 【点睛】主要考查同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式的运用.属于基础题. 5. 设，， ，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，而，所以． 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】依次对每个选项举出反例或者利用空间线面位置关系的判定定理进行判断，排除错误命题，即可得到正确选项. 【详解】对于A，若，，直线可能平行、相交或者异面，故A错误； 对于B，若，，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； 对于C，若，，平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，若，，，可以都平行于两个平面的交线，此时两直线平行而非垂直，故D错误. 7. 已知双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得 ，故，所以， 代入公式得该双曲线的离心率为. 8. 已知随机变量，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差与概率计算；用先解. 【详解】由，得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知，且 ，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，且，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故A 正确； 对于B，由A知，则，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，由，则，故D正确. 10. 设函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的图象关于原点对称 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 不等式 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A 正确； 对于B，，设，且， 则 ， ，，即，又，， 所以，即，所以， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，，因为，所以，即， 所以，的值域为，故C正确； 对于D，等价于，可得，解集是，故D错误. 11. 一组样本数据为2，4，5，5，6，7，8，11，则下列结论正确的是（　　） A. 平均数为 B. 众数为 C. 中位数为 D. 极差为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，平均数，故A正确； 对于B，出现两次且次数最多，所以众数为，故B正确； 对于C，中间两个数是和，所以中位数为，故C错误； 对于D，极差 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为_____________． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式定理，展开式中要出现常数项即需要消掉，不难发现，当的次方为4次方时即可为常数项. 【详解】常数项为：. 故答案为：240. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先求切点坐标，再根据导函数求出切线斜率，得到切线方程. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又由，可得，即切线斜率为， 所以切线方程为，即. 14. 已知数列满足，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】由题意可知，当且时，，，，，， 累加得， 所以. 也满足，故对任意的，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理及三角恒等变换求解即可； （2）结合（1）及余弦定理，可求得，再由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即, 又因为，所以， 所以， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 又因为，， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 16. 已知数列满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1）数列满足 ， ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ，即； ∴ 【小问2详解】 解：， ， ， ， 17. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接交 于点. 因为正方形对角线互相平分，则是的中点；是 的中点， 故在中.又平面，平面， 所以 平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建系，则，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取.又， 故. 18. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与交于两点，且（为原点），求到的距离. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)利用椭圆的定义求出，结合算出，即可得到椭圆标准方程. (2)分直线斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合的向量条件建立关系式，再用点到直线距离公式即可求出原点到直线的距离. 【小问1详解】 因为，，点在椭圆上. 所以， 所以. 又，. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线不垂直于轴时，设直线：. 联立，整理得. 设，， 则①，②. 因为，所以，即. 把，，代入， 得.③ 把①②代入③化简得. 原点到直线的距离，结合， 得. 当直线垂直于轴时，设. 由，可得，代入椭圆方程， 解得，原点到直线距离. 综上所得，原点到直线的距离为. 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求，将分为，两类进行讨论即可； （2）由（1）得当时，不符合题意；当时，要使对任意恒成立，则，设，，利用导数计算出使的的范围即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，恒成立，则在区间上单调递增； 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递增，且. 所以当时，，不能保证恒成立，故不符合题意； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 则. 若对任意恒成立，则恒成立. 设，，则. 令，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值，最大值为. 即对一切都有，等号仅在时成立. 所以不等式恒成立当且仅当. 当时，，最小值为，满足题意. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $