精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2026-2027学年上学期八年级数学期中试卷

2026～2027学年度第一学期初二年级期中练习 数学 说明： 1．本试卷共三道大题28道小题，共4页，满分100分，练习时长100分钟． 2．请在答题纸的密封区域内填写个人信息，请将答案全部填涂在答题纸上． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承．下列纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A的纹样、选项B的纹样、选项D的纹样，都找不到这样一条能让对折后两侧完全重合的直线，不属于轴对称图形；选项C的纹样，沿正中间的竖直直线对折后，直线左右两侧的部分可以完全重合，符合轴对称图形的特征． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 3，5，9 C. 3，6，8 D. 3，6，9 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度，即可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A. 因为，故不能组成三角形，本选项不符合题意； B. 因为，故不能组成三角形，本选项不符合题意； C. 因为，能组成三角形，本选项符合题意； D. 因为，故不能组成三角形，本选项不符合题意． 3. 如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误； 故选C． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则，将所求代数式展开，把与的值整体代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 7. 如图，在中，分别是边上的高和中线，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义，三角形的面积，先理解题意得出，再结合三角形面积公式，代入数值进行计算得，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵分别是边上的高和中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， 则， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 10. 已知，给出下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造完全平方式，结合平方的非负性推导变量间的关系． 【详解】解：∵ ，，. ∴ ； ∵，， ∴，， 即，，故①②正确； ∵，， ∴，， ∴，故③正确； ∴正确结论的个数为个． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 11. 若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等的性质，结合周长为三边长度之和的定义，通过周长减去两腰长度和计算底边长． 【详解】解：∵等腰三角形的两条腰长度相等， ∴两腰的总长度为， ∵三角形的周长为三边长度的总和， ∴底边长为． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 13. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14. 展开后不含x的一次项，则a的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先将原式展开，合并同类项后根据多项式不含的一次项，可得的一次项系数为，由此列方程求解即可，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：， 该多项式展开后不含的一次项， ， 解得． 15. 在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 16. 如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，于，，，M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，可证明垂直平分，得到，则当C、N、M三点共线，且时，有最小值，最小值为线段的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当C、N、M三点共线，且时，有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴当时，， ∴的最小值为3． 18. 利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当_______时，该多项式取得最小值． 【答案】 【解析】 【分析】将多项式变形为完全平方式与常数的和的形式，结合平方的非负数性质，确定多项式取最小值时对应的的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值， 此时， 解得． 19. 如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是________________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，由都是等边三角形，是的中点，得，，，证明，所以，从而得在过并且垂直的线上运动，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，然后通过等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵都是等边三角形，是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在过并且垂直的线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，， ∴， ∴如图，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 20. 如图，在中，，的角平分线和的邻补角的平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论为_______ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①因为是的角平分线，是邻补角的平分线，所以可利用三角形外角性质与角平分线定义，推导与的数量关系，进而判断的度数；②因为，结合角平分线的性质同角的余角相等，证明三角形全等，推导与的长度关系；③因为涉及线段差的等量关系，所以可通过等量代换转换成，只需通过三角形全等证得即可；④由、、、为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质与逐步转化即可． 【详解】解：∵平分，平分的领补角， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∴①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，即 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴④正确． 三、解答题（第21至26小题，每小题6分；第27至28小题，每小题7分．共50分） 21. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则分别计算两个乘方项的结果，再依据同底数幂的乘法法则将两个结果相乘得到最终化简式． （2）使用多项式乘多项式的法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项完成化简． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 已知，求的值． 【答案】2030 【解析】 【详解】解： ， ， ∴， ． 23. 已知：如图，是等边三角形，D，E分别是，上的点，，与交于点，于点． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）证明： 是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）因为是等边三角形，所以可得，，结合已知，可利用判定，进而得到对应角相等．可推出，结合，可推导的度数． （2）因为，所以，在直角三角形中，结合的度数，可求出的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∴在中，． 24. 如图，在和中，，与相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 平分． （2）9 【解析】 【分析】（1）由，可得，再由，，可得，则，即得结论； （2）延长交延长线于点F，证明，可得，可证明，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交延长线于点F， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 由（1）， 在和中， ， ， ， ， ， ． 25. 阅读材料：已知，，求的值． 解：． 参考上面的方法求解下列问题： （1）若，，求的值； （2）如图，已知长方形的周长为，正方形与正方形的面积之和为．连接，，． ①求长方形的面积； ②求的面积． 【答案】（1） （2）①长方形的面积为；② 【解析】 【分析】（1）将，，代入中，求值即可． （2）设，，①由长方形的周长可得，由正方形的面积和为，得到，根据代入求出即可；②根据求出面积，变形后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，即， ． 【小问2详解】 解：设，， ①长方形的周长为， ，即， 正方形与正方形的面积之和为， ， 由得，， ， 即长方形的面积为； ②根据题意可得，，， 根据①可得，，长方形的面积为， ． 26. 在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． （1）求证：； （2）若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求． 【答案】（1）证明：∵，， ； （2）证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 27. 课堂上，我们探究过三角形中角平分线的交点．数学学习小组的同学们课下继续思考了下列问题． （1）问题1：如图1，已知，分别是的内角，的平分线，设，则的大小为_______． （2）问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用三角形内角和与角平分线的定义，把用表示，再在中求出与的关系； （2）在的延长线上取点使，把、看成的两条内角平分线，用（1）的结论求出，再证与全等，把转化为边上的高求面积． 【小问1详解】 解：∵、分别平分、， ∴，． ∵， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：在的延长线上取点，使，连接，如图． ∵， ∴平分． ∵平分，在的延长线上， ∴平分． 由（1）知，在中，两内角平分线的交角满足． ∵，在上， ∴． ∴． ∴，即． ∴是的边上的高． ∵， ∴． ∵在上， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 28. 对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：如果点P满足，那么点P就是线段的“关联点”．其中，当时，称P为线段的“远关联点”；当时，称P为线段的“近关联点”，当时，称P为线段的“强关联点”． （1）如图1，当点A，B坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有________． （2）如图2，点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，．如果点P为线段的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是________． （3）点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段的“强关联点”，若，，则所有点P构成的区域的面积为________． 【答案】（1）， （2）或 （3）16 【解析】 【分析】（1）由A、B关于y轴对称，，可得P点在y轴上，再根据“近关联点”的定义，即可求解； （2）作点A关于x轴的对称点C，作点C关于的对称点D，连接，可得是等边三角形，是等边三角形，再根据“远关联点”的定义，即可求解； （3）由题意可得所有点P构成的区域为四边形和四边形，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，再根据“强关联点”的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，取点，连接，， ∵，， ∴，关于轴对称，，， ∴当点在轴上时，， ∴，，是线段的“关联点”， 当时，， ∴， ∴， ∴是线段的“近关联点”； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是线段的“近关联点”； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的“远关联点”； 综上所述，，是线段的“近关联点”． 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点C，作点C关于的对称点D，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点C与点D关于对称， ∴，， ∴， ∴垂直平分，是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为6， 由题意可知，线段的“关联点”在的垂直平分线上，且， 在直线上点的上方取点，此时点的纵坐标， ∵，， ∴， ∴点是线段的“远关联点”； 在直线上点的下方取点，此时点的纵坐标， ∵，， ∴， ∴点是线段的“远关联点”； 综上所述，或． 【小问3详解】 解：如图，当，时，， 当点在的垂直平分线上，且时，点是线段的“强关联点”，在的垂直平分线上取点、，使，点、即为对应的点； 当，时，， 当点在的垂直平分线上，且时，点是线段的“强关联点”， 在的垂直平分线上取点、，使 ，点、即为对应的点； 当，时，， 当点在的垂直平分线上，且时，点是线段的“强关联点”， 在的垂直平分线上取点、，使 ，点、即为对应的点； 当，时，， ∴点与点重合； ∴所有点构成的区域为四边形和四边形，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 当，时，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵轴， ∴，轴， ∴， 当，时，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵轴， ∴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由平移可得，当点固定，点从0移动到4时，点从点沿着移动4个单位长度到点， ∴， 当点固定，点从0移动到4时，点从点沿着移动4个单位长度到点， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴所有点P构成的区域的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期初二年级期中练习 数学 说明： 1．本试卷共三道大题28道小题，共4页，满分100分，练习时长100分钟． 2．请在答题纸的密封区域内填写个人信息，请将答案全部填涂在答题纸上． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承．下列纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 3，5，9 C. 3，6，8 D. 3，6，9 3. 如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别是边上的高和中线，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 2 8. 如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 9. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 已知，给出下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 11. 若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 13. 如图，，若，，则的度数为______． 14. 展开后不含x的一次项，则a的值是__________． 15. 在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 16. 如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 17. 如图，在中，于，，，M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______． 18. 利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当_______时，该多项式取得最小值． 19. 如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是________________． 20. 如图，在中，，的角平分线和的邻补角的平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论为_______ 三、解答题（第21至26小题，每小题6分；第27至28小题，每小题7分．共50分） 21. 化简： （1）； （2）． 22. 已知，求的值． 23. 已知：如图，是等边三角形，D，E分别是，上的点，，与交于点，于点． （1）求证：； （2）求的大小． 24. 如图，在和中，，与相交于点，． （1）求证：平分； （2）若，，求的面积． 25. 阅读材料：已知，，求的值． 解：． 参考上面的方法求解下列问题： （1）若，，求的值； （2）如图，已知长方形的周长为，正方形与正方形的面积之和为．连接，，． ①求长方形的面积； ②求的面积． 26. 在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． （1）求证：； （2）若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求． 27. 课堂上，我们探究过三角形中角平分线的交点．数学学习小组的同学们课下继续思考了下列问题． （1）问题1：如图1，已知，分别是的内角，的平分线，设，则的大小为_______． （2）问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 28. 对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：如果点P满足，那么点P就是线段的“关联点”．其中，当时，称P为线段的“远关联点”；当时，称P为线段的“近关联点”，当时，称P为线段的“强关联点”． （1）如图1，当点A，B坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有________． （2）如图2，点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，．如果点P为线段的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是________． （3）点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段的“强关联点”，若，，则所有点P构成的区域的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $