第23章解直角三角形单元测试卷2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第23章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.如果把一个Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值() A.扩大为原来的2倍 B.保持不变 1 C.缩小为原来的2 D.不能确定 A0 1 2.如图，点P是锐角∠BAC的边AB上任意一点，过点P作PQ1AC于点.若P吧2，则cosA= ) 5 25 A.2 B.2 C.5 D.5 i=1: AC 3.如图，小华沿着坡度为 3的斜坡1AB练习滑雪，若小华从A滑到B,竖直下降的高度AC为200 米，则斜坡AB的长为() B A.2003米 B.400米 C.4003米 D.(200+200W3米 4.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C是网格线交点，则snA=(). 试卷第1页（共3页） B 1 2 A.2 B.1 C.2 D.2 5.若a+B=90°，下列结论错误的是() A.sin'a+sinB=1 B tan a.tan B=1 C.sin2a+cos2B=1 tana=Sina D. sin B 6.如图，在菱形4ABCD中，DE⊥AB,cOs4、J 15,AE=3,则BE的长是() D B 5 A.5 B.2 C.2 D.2V5 7.如图是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分残片，依据图中的数据，则AC的长为() 42 1109 B145o C=C 4 4 A.4c0s25° B.4sin25 C. cos25° D.sin25 8.如图是某商场自动扶梯的示意图.自动扶梯AB与地面的坡角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶 梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m,则自动扶梯的垂直高度BD=() 试卷第2页（共3页） B 30° 60 A长 C D 6m A 3m B 4m C.33m D.4/3m 9.一段东西方向的海岸线MN上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西15°方向，向东走300米到达点B 处，测得灯塔C位于北偏西60°方向，点A到灯塔C的距离AC为() 北 →东 60 A.100V3 米 B.100V6 米 c.1505米 D.200米 10.如图，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，AB=4,AD=2.当对角线AC最大时， tan∠ABD的值为() 5 5 5 A.3 B.3 c.5 D.2 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡4B的坡度=1：5 ,堤坝高 BC=15m ,则迎水坡AB的长度是 m 试卷第3页（共3页） B 2.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AB,B.若AB=8,∠DME-,则BE D E 8整角c中若m+mc0数 4在BC中，m6-号：A-=5:AC-25,剥BC的长为 15.若规定：锐角a,B满足a+B=30°，则称锐角&，B互为六分平角.在△ABC中，∠A,∠B互为 AC-5BC 六分平角，且 2 ,如图，则sinA= B 16.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是AB的中点，连接CD,过A作 AE⊥CD,与BC交于点E,则an∠AEC的值为 D 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 试卷第4页（共3页） 17.计算： (a)os30°+tan45°-tan60.cos2450 ②cos60°+5如45°-3am230r+sin30e-l 2 1 18.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线4B:y=- 2+4与x轴交于点B,与y轴交于点A, 线段OB上有一点C,连接AC,设直线AB与x轴的夹角∠ABC=a. B (I)求tana的值； (2)若BC=5,求tan2a的值 19,如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯4改建为4D,其坡度由1：改为：5 ,己知 原滑梯AB的长为 v2m “,点D、B、C在同一水平面上 R (1)∠ABC= o,tanD= (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 20.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长 39m，斜坡的坡角为67.5°，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘 当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡.（取m67.5°≈ 2.tan50°≈写) 6 测， 5 昌 A E D (1)求BE的高度： 试卷第5页（共3页） (2)如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡 3 21.如图，R△ABC中，∠ACB=90°，simB=亏，点D、E分别在边AB、BC上，AD:DB=2:3, DE⊥BC (①)若BC=8,求DE的长. (2)求∠DCE的正切值。 22.如图，在△ABC中，∠C是锐角，BC=a,AC=b,面积为S. 1 (I)求证：S=。absinC 2 (2)若a=3,b=4,∠C=60°，请求出三角形ABC的面积： 3)若a=4b 5,且面积为55，求C的度数 23.已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC,点O是AC的中点，连接OB,过C点作CD⊥OB,交BO的延长 3 线于垂足D,BC=8,sina=5: A D B☑ C (1)线段OC的长： (2)cos∠OCD的值. 24.如图，四边形ABCD中，延长AD,BC相交于点E,AC,BD相交于点F,G是AB上一点，GD 试卷第6页（共3页） 交AC于点H,△ECD∽aEAB且AB=AC,BG=DG, A G H C E (I)求证：△EBD∽△EAC: (2)求证：DH2=HF.HC: ③若am∠4BC=5,MD=2DE,CD=26,求MGH的月长 试卷第7页（共3页） 第23章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如果把一个的三边都扩大为原来的倍，那么锐角的余弦值（     ） A．扩大为原来的倍 B．保持不变 C．缩小为原来的 D．不能确定 【答案】B 【分析】设的三边长分别为、、，，，根据三边都扩大为原来的倍，结合勾股定理逆定理得出新三角形是直角三角形，可得，即可得出答案． 【详解】解：设的三边长分别为、、，，， ∵的三边都扩大为原来的倍， ∴新三角形的三边长分别为、、， ∵， ∴新三角形是直角三角形， ∴， ∴锐角的余弦值保持不变． 2．如图，点是锐角的边上任意一点，过点作于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据已知比例设边长，用勾股定理求出斜边，再结合余弦的定义计算即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∵，设，则， ∴在中，根据勾股定理得， ∴． 3．如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（     ） A．米 B．400米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先由坡度求出水平边的长度，再在中用勾股定理求斜边长． 【详解】解：由题意得，米， 坡度， ， 解得米． 在中， 米． 4．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设每个正方形网格的边长为，根据勾股定理得到的长度，进而根据，，得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设每个正方形网格的边长为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 5．若，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用的互余关系，表示出各角相应的三角函数后验证各选项． 【详解】解：如图，在中，， ，， 设，， 则，，，， A．，故该选项正确，不符合题意； B．，故该选项正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，符合题意； D．，故该选项正确，不符合题意． 6．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 7．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分残片，依据图中的数据，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 8．如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯与地面的坡角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再根据三角函数定义即可求解． 【详解】解：， 又， ， ， 在中， ． 故选C． 9．一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 10．如图，在四边形中，，，，．当对角线最大时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题属于定角定比（旋转相似/瓜豆）最值模型，已知固定角，一组定边，通过构造辅助点，得到，实现线段和的定比转化；再利用两点之间线段最短，，当，，三点共线时，取得最大值；最后回到已知线段，作垂线构造直角三角形，求，核心思路是构造旋转相似转移线段，结合三角不等式求最值，最后解直角三角形求值． 【详解】解：过点作的垂线，在该垂线上取点，使，如图所示， ， ， ， 即， ， ， 同理，在中，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， 由三角不等式：， 当，，三点共线时取等号，此时最大， 当，，三点共线时，如下图所示， ， ， 由相似，， 过点作，交的延长线于点，如下图， ， 在中： 由，得：， ， 在中：． 【点睛】本题是典型瓜豆原理（旋转相似）最值题，难点在于主动构造含的直角三角形，创造相似三角形把转化为定长线段；再利用“两点之间线段最短”锁定最大的位置，最后作高构造直角三角形计算三角函数值，充分考查相似转化、最值思想和解直角三角形． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度，堤坝高，则迎水坡的长度是________m． 【答案】30 【分析】根据的坡度求出的度数，利用角的直角三角形性质解答． 【详解】解：根据题意可知， 迎水坡的坡度， ， ， ， ． 12．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 【答案】10 【分析】先根据正切的定义求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴，， 在中，， 解得， ∴， ∴在中，． 13．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 14．在中，，，，则的长为_______________． 【答案】或 【分析】过点作，垂足为，结合已知的值与长度求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再分垂足在线段上、垂足在线段的延长线上两种情况，进而计算的长． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在中，， ∴设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 由勾股定理得 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时，； ②当垂足在线段的延长线上时，． 综上所述，的长为或． 15．若规定：锐角，满足，则称锐角，互为六分平角．在中，，互为六分平角，且，如图，则⁠___________． 【答案】 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据新定义得出 ，利用三角形内角和定理求出 ；结合已知边长比例和勾股定理求出与 的关系，最后利用正弦定义求解． 【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ， ， 互为六分平角， ， ． 设 () ， ， ， 在 中，，， ， ， ． 在 中，由勾股定理得 ， ． 16．如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作，与交于点，则的值为___________． 【答案】3 【分析】过点B作交的延长线于点F，和相交于点H，利用同角的余角相等证明，进而证得，结合D是的中点可得得出，再利用得出，过点A作于M，得出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点B作交的延长线于点F，和相交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点A作于M， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， ． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，线段上有一点C，连接，设直线与x轴的夹角． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出点A和点B的坐标，即可得到与的值，按照正切值的定义求解即可； （2）用勾股定理求出的长，可得为等腰三角形，利用三角形外角性质得，按照正切值的定义求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则，解得：， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，，，， ； （2），， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 在中，，，， ． 19．如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． (1)________，_________． (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理结合已知条件得出，，进一步得出，；利用等边对等角以及三角形的内角和定理得出，，根据正切的定义得出； （2）由（1）可知，，，再利用勾股定理得出的长度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在中，，， ，， ， 解得（负值舍去）， ， ． 在中，， ，． （2）解：由（1）可知，，， 在中，， ． 答：改善后的滑梯会加长米． 20．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡角为，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．（取，） (1)求的高度； (2)如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡． 【答案】(1)的高度为 (2)坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡 【分析】（1）在中，利用勾股定理得到，求解即可得到； （2）作，交于，过点作于， 如图所示，得到四边形为矩形，在中，利用，列出式子求出，从而得到答案． 【详解】（1）解：斜坡的坡角为， ∴，即， 设， ， 由勾股定理得：， 解得：或（负值舍去）， ，； （2）解：作，交于，过点作于，如图所示： 四边形为矩形， ，， ∵， ， 在中，，则， 解得：， ， ， 答：坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． 21．如图，中，，，点、分别在边、上，，． (1)若，求的长． (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由勾股定理求解，然后通过求解即可； （2）先由平行线分线段成比例定理求解，即可求解，再由正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，在中，是锐角，，，面积为． (1)求证：． (2)若，，，请求出三角形的面积； (3)若，，且面积为，求的度数． 【答案】(1)证明：过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，根据，求出，再根据三角形的面积公式，即可求证； （2）由（1）可得，根据，把，，代入三角形的面积公式，即可求出面积； （3）由（1）可得，把，，代入三角形的面积公式，得到的值，即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴当，，时，； （3）解：∵， ∴， 解得： ∴． 23．已知：在中，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于垂足，，． (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由，设，则，由勾股定理得出方程，解方程得出，即可求出； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得出，设，则，由勾股定理得出方程，得出，继而根据勾股定理求出，最后由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 设，则， ， 即， 解得：，（不合题意舍去）， ， 点是的中点， ； （2）解：在中，，点是的中点， ， 设，则， ， ， 即， 解得， ∴， ∴， ． 24．如图，四边形中，延长，相交于点，，相交于点，是上一点，交于点，且，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，，求的周长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵，； ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即； (3) 【分析】（1）先由得到对应边成比例，结合公共角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）先由两组相似三角形得到对应角相等，结合三角形外角的性质和角度的和差可推出，然后根据等边对等角通过等量代换得到，从而证明，即可证得结论； （3）先通过两组等边对等角和相似三角形的对应角相等，结合三角形外角的性质和角度的和差可推出，可知，从而把的周长转化为求的长度；然后证明，得到，设，则，，表示出，再结合的长度求得；接着过点作于点，根据，利用正切值可知，最后在中利用勾股定理求得，进而在中利用勾股定理求得的值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴（舍去负值）， ∴，， 在中，，即， ∴（舍去负值）， ∴， ∴的周长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $