精品解析：广东珠海市紫荆中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

珠海市紫荆中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初三年级 数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：B． 3. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的一般形式（为常数，）解答即可； 【详解】解：A选项：中的次数为，不是反比例函数； B选项：的分母为，不是反比例函数； C选项：符合的反比例函数形式，是反比例函数； D选项：是正比例函数，不是反比例函数． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是抛物线顶点式， ∴对称轴为直线． 5. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的定义，根据旋转对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角”是解题的关键． 【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分， ∴每部分的度数为， ∴旋转角至少为，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合， 故选：． 8. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据表格数据确定二次函数对称轴和开口方向，再结合函数值的变化确定方程解的范围． 【详解】解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴二次函数开口向上，对称轴右侧随增大而增大， ∵时，，时，，可得， ∴一元二次方程的一个解在之间， 根据二次函数的对称性，可得另一个解的取值范围是． 9. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 10. 如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，过点M作的平行线，交折线于点N，设点M运动的时间为x（s），的面积为，下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段讨论：当时，为等边三角形，面积为关于的二次函数，开口向上；当时，求出的面积表达式，为关于的二次函数，开口向下； 【详解】解：连接交于点， 在菱形中，，， 是等边三角形，，， ∴， ∴， 当时，点在上，点在上， ， ， 是等边三角形，边长， ， ，图象为开口向上的抛物线，排除A，C项； 当时，点在上，点在上， 令与交于点， 点运动路程为， ，， ，  ， ，， ， ， ， ， 图象为开口向下的抛物线，排除D项， 综上，只有选项B符合题意． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点和关于原点对称，则________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，先确定、的取值，再计算的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴两点的横、纵坐标分别互为相反数， ∴，， ∴． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，所得的抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为， 再向左平移6个单位长度得到的抛物线的解析式为． 13. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数图象位于第一、三象限时，其比例系数为正数，据此列不等式求解a的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴ 解得． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根的定义得到的取值，再利用根与系数的关系得到两根之积的值，通过整体代入化简计算所求代数式的值； 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴将代入方程可得， 整理得， ∵，是该一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 15. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论：①；②；③对任意实数t，总成立；④若点，在抛物线上（其中），则．正确的是________．（填写序号） 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴，， ∴，，即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知， ∴， 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴， 当时，，则， 此时，， 当时，，则， 此时，，则， 综上，时，， ∴，故④正确． 三、解答题（共8题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分） 16. 用合适的方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 或 【解析】 【分析】（1）方程左边可直接提取公因式，通过因式分解求解； （2）方程两边存在公因式，移项后提取公因式，通过因式分解求解； 【小问1详解】 解：， 提取公因式得， ∴或， 解得：或； 【小问2详解】 解： 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得：或． 17. 如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． （1）如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； （2）如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 【答案】（1） 如图1中， 即为所求． （2） 如图2中，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）作出点A的对应点D，连接，即可； （2）线段，的垂直平分线的交点P即为所求，直接根据旋转角即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的一般形式，代入点的坐标求解比例系数； （2）将代入已求得的反比例函数解析式，解方程得到的值． 【小问1详解】 解： 设该反比例函数的解析式为（为常数，）， ∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得， 解得， ∴ 该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 将代入， 得， 解得． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论n为何值，方程总有两个实数根； （2）等腰三角形的两边的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为3，求n的值． 【答案】（1） 证明：在一元二次方程中，，，， . ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 的值为． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒大于等于0即可得证； （2）先求出方程的两个根，结合等腰三角形的性质分类讨论，再利用三角形三边关系验证求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 解得，， ∵等腰中，为方程的两个实数根，， ∴分两种情况讨论： ① 当时，， 解得， 此时三边长为1，1，3， ∵，不符合三角形三边关系，舍去； ② 当其中一腰长为3时，（不成立）， 解得， 此时三边长为3，3，1， ∵，符合三角形三边关系， 综上所述，的值为． 20. 某公园准备制作一款对称造型的景观装饰书签，书签轮廓可以近似看成由一段抛物线沿直线折叠而形成． （1）确定书签一侧轮廓：如图，建立平面直角坐标系，书签一侧轮廓线可以看作是一次函数的一部分，已知该抛物线的图象过原点，且对称轴是直线，求抛物线的解析式； （2）研究书签尺寸：在（1）的条件下，已知直线（点P为挂件尖端，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为，求线段的长度． 【答案】（1） （2）线段为 【解析】 【分析】（1）根据题干信息，结合对称轴以及经过原点的信息，可分别求出a、c的值，即可得出抛物线的解析式； （2）过点P作垂直抛物线对称轴，且交对称轴于点F，易得，先求出点D的坐标，设点P的坐标为，可根据线段长度关系得出，可解出m的值，最终可求出的长度． 【小问1详解】 解：对称轴是直线， 解得， ∴函数表达式为， 该抛物线的图像过原点， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作垂直抛物线对称轴，且交对称轴于点F，如下图所示： 轴，直线（点P为挂件尖端，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为， 点D为抛物线顶点，且对称轴为， 将代入，得， 点， ，， ， ∴ 解得（舍去）或， ， ∴， ∴线段的长度为． 21. 养殖户准备用铁丝网搭建矩形鸡笼，鸡笼一边靠墙，墙最大可用长度为12米，鸡笼中间设置一道隔网．如图1，铁丝网总长33米，设垂直于墙的边长为x米，鸡笼面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示________． （2）若，求x的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（出入口不需要铁丝网），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）x的值为9 （3）当时，S有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质列式求出即可； （2）根据矩形面积公式求出S，再根据，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，矩形鸡笼的面积为； 当时， 解得，， 墙长为12米， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， 墙长为12米，铁丝网长为33米， ， ， ， 当时，S有最大值，最大值为． 22. 已知：在中，，点D在边上． （1）[问题初探]如图1，当点D是中点时，内一点E，连接并绕点A逆时针旋转得，连接，，求证：； （2）[推广应用]如图2，当时，过点D作交于点E，使，把绕点C旋转，当A、D、E三点共线时，直接写出的值是________； （3）[拓展探究]如图3，当时，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】（1）证明：连接，如图： 在中，，D是的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可得，，， ∴． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）或 （3），S的最大值为 【解析】 【分析】（1）在中，D是中点且，可得为等边三角形，即、；由旋转得、，推导，通过证，即可得； （2）设，先由直角三角形边角关系与，求得、；当A、D、E共线时，分D在线段上、E在线段上两种情况，分别计算与的长度，进而即可求出的值； （3）将绕点B逆时针旋转得，可得等边；将转化为，代入边长表达式得；结合确定，进而根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． 在中，，， ∴． ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∵， 在中， 解得（负值舍去）， ∴， 将绕点C旋转后，， 当A、D、E三点共线时，则直线， ∴， ∴为直角三角形． 取的中点O，连接，如图： ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D在线段上时，此时D在A、E之间，如图： 由旋转可得，， 又∵， ∴此时点D在线段上， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 当点E在线段上时，此时E在A、D之间，连接，如图： ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∴， ∴； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到，过点B作于点H，过点D作于G，如图： 由旋转可得，，，，． ∴是等边三角形． ∵H为中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴射线与重合，即A，Q，P三点共线，且Q在的延长线上， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴． ∴ ， ∵，且，， ∴ 解得， 又∵点D在边上， ∴， ∴ 解得， ∵二次项系数， ∴该二次函数开口向下，对称轴为， ∴当时，S取得最大值，． 23. 综合实践：探秘黄金分割 【背景材料】黄金分割是把一条线段分成两段，其中较长段全长较短段较长段黄金比，黄金分割是经典的数学美学，在黄金三角形、黄金矩形等图形中广泛出现，其中黄金三角形是底腰（或腰底）比为黄金比的等腰三角形；底角平分线分出的小三角形也是黄金三角形．黄金矩形是宽长比为黄金比的矩形；截去一个正方形，剩余仍是黄金矩形． 下面开展探究活动： 活动一：操作感知——黄金分割的尺规构造 （1）如图1，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点P就是线段的黄金分割点．若，则________； 活动二：逻辑推理——黄金比例代数论证 （2）小紫和小荆同学从正五边形与斐波那契螺旋图形中提炼出基本图形（1）（2）：他们通过多次测量，研究发现：它们可由三条不等线段组成，不妨设长度分别为a，b，c，满足，同时满足和，试着从代数计算的角度证明c与b的比值是黄金比； 活动三：综合运用——抛物线中的黄金矩形 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点A，在直线上截取，当点M和点A不重合时，以为边，在的右侧作黄金矩形，且黄金矩形的边的长为2．当黄金矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值． 【答案】（1） （2）证明如下： ∵，， ∴ ， 设，则， 代入中，得 解得， 由题意得，， ， 则，故舍去， ∴，即， ∴c与b的比值是黄金比； （3）0或或 【解析】 【分析】（1）由且，在中由勾股定理得；根据作图规则，则可得，又，故； （2）将代入，通分整理得到二次齐次方程；设比值，代入降次为，取正根解得，即为黄金比； （3）设，由得C、D横坐标为；分点B在A上方、下方两类情况，分别令顶点落在抛物线上列方程，最终即可得解． 【小问1详解】 解：， ． ，， ． 在中，， ， ， ∴， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，点A的横坐标为m，且点A在抛物线上， ∴， ∴， 由题意得，直线为竖直线，， ∵黄金矩形在右侧，且， ∴， ∴当时， ， 当点B在点A的下方时，此时，，， 当点D在抛物线上时，则 解得； 当点C在抛物线上时，则 解得； 当点B在点A的上方时，此时，，， 当点D在抛物线上，则 解得； 当点C在抛物线上时， 解得； 综上所述，m的值为0或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市紫荆中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初三年级 数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ） A. B. C. D. 8. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 9. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，过点M作的平行线，交折线于点N，设点M运动的时间为x（s），的面积为，下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点和关于原点对称，则________． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，所得的抛物线的解析式为________． 13. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是________． 14. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图，点P是抛物线的顶点．下列结论：①；②；③对任意实数t，总成立；④若点，在抛物线上（其中），则．正确的是________．（填写序号） 三、解答题（共8题，16-18题每题7分，19-21题每题9分，22题13分，23题14分） 16. 用合适的方法解方程． （1）； （2）． 17. 如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． （1）如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； （2）如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 18. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求x的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论n为何值，方程总有两个实数根； （2）等腰三角形的两边的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为3，求n的值． 20. 某公园准备制作一款对称造型的景观装饰书签，书签轮廓可以近似看成由一段抛物线沿直线折叠而形成． （1）确定书签一侧轮廓：如图，建立平面直角坐标系，书签一侧轮廓线可以看作是一次函数的一部分，已知该抛物线的图象过原点，且对称轴是直线，求抛物线的解析式； （2）研究书签尺寸：在（1）的条件下，已知直线（点P为挂件尖端，点D为抛物线的顶点）与x轴的夹角为，求线段的长度． 21. 养殖户准备用铁丝网搭建矩形鸡笼，鸡笼一边靠墙，墙最大可用长度为12米，鸡笼中间设置一道隔网．如图1，铁丝网总长33米，设垂直于墙的边长为x米，鸡笼面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示________． （2）若，求x的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（出入口不需要铁丝网），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 22. 已知：在中，，点D在边上． （1）[问题初探]如图1，当点D是中点时，内一点E，连接并绕点A逆时针旋转得，连接，，求证：； （2）[推广应用]如图2，当时，过点D作交于点E，使，把绕点C旋转，当A、D、E三点共线时，直接写出的值是________； （3）[拓展探究]如图3，当时，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值． 23. 综合实践：探秘黄金分割 【背景材料】黄金分割是把一条线段分成两段，其中较长段全长较短段较长段黄金比，黄金分割是经典的数学美学，在黄金三角形、黄金矩形等图形中广泛出现，其中黄金三角形是底腰（或腰底）比为黄金比的等腰三角形；底角平分线分出的小三角形也是黄金三角形．黄金矩形是宽长比为黄金比的矩形；截去一个正方形，剩余仍是黄金矩形． 下面开展探究活动： 活动一：操作感知——黄金分割的尺规构造 （1）如图1，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点P就是线段的黄金分割点．若，则________； 活动二：逻辑推理——黄金比例代数论证 （2）小紫和小荆同学从正五边形与斐波那契螺旋图形中提炼出基本图形（1）（2）：他们通过多次测量，研究发现：它们可由三条不等线段组成，不妨设长度分别为a，b，c，满足，同时满足和，试着从代数计算的角度证明c与b的比值是黄金比； 活动三：综合运用——抛物线中的黄金矩形 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点是x轴上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点A，在直线上截取，当点M和点A不重合时，以为边，在的右侧作黄金矩形，且黄金矩形的边的长为2．当黄金矩形同时有两个顶点落在此抛物线上时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $