江西省赣州市多所重点中学联考2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 二选择组：本殖共3小题，每小愿5分，共8分在每小给出的选项中，有多项符合题目要 ”求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 一，选择题：本题共8小题，每小源5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 g.已知椭圆C,。十。1，则 题目要求的. Aa可以取” B当a=时，C的焦点在y轴上 1.桶圆C:+片1的焦距是 C当。-于时：C的焦点在x轴上 D,当。=时，C的焦点在x轴上 A.3 C.6 D.12 2.已知直线1：mr十y-10-0与1：(m-1)x+2y-12=0平行，则m 10.如图，B轴，AE1AC点D在线登BC上，且AB=AD,且直 A.-1 线AB,AC,AD的顿斜角分别为55a4,则 B.-2 C.2 D.3 Aa月=20 3.“a>2”是“方程x+y2一ax+3a=0表示图”的 B.a月-25 八充分不必要条件 且必要不充分条件 C.tan a·taig=1 C充要条件 D既不充分也不必要条件 D.tana·twng-2 4若双确线M,号-1a>0)的新近线方裂为y=士2，则。- 1L,已知点P在圆0+y-16上若点N,H分别是直线3x+4y+20=0与直线23x +4y一40一0上的动点，别 A.8 B.4 C.2 D.1 A.日驴1的最大值为12 点已知△ABC的周长为6若顶点A,B分别是精调0后+若-1。>6)的左，右焦点，预点 BHP的最小值为4 CHP+HN的最小值为15 C在n上，期细A牛BC D.仅存在唯一的点P,使得H币+H取得最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. A.20 B28 C.24 D.22 12.已知直线2x十y一1=0与直线1m十4y一m=0垂直，则m 6如图，将圆O:x+y一10在直线1y=一1下方的部分沿着1向上稠折至1的上方，若直线 13.如图，某温冰场呈椭圆形，分别以其长轴，短轴所在直线为x轴、y轴 y江与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则k的取值范调为 建立平面直角坐标系Oy,坐标系中一个单位长度代表1米，得到该椭 A(-是》 圆的标准方程为？0十6L现在该温冰场上划定一个各个顶点 a(号ou(3+) 均在泡冰场边界上的矩形区域ABCD,则矩形ABCD面积的最大值为 一A平方米 c(-∞，-)u[o.) 14.设双曲线C:号卡=1>0)的左：右焦点分别为F,F,过F:的直线交C的右支于点 n.(-o,-)U(号+) M,N.若MF=3MF,MN=3MFl.则C的离心率为▲ 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知A,B,C.D分别为桶圆M:后十y=a>1)的左右，上下顶点，P为M上异于顶点 15.(13分) 的任意一点.若直线PA.PB,PC,PD的斜率之积为则M的长轴长为 ①者曲线C后六=1为双线求所的取值范国 (2)已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，实轴长为2，且C经过点A(√30， A.4 B.8 C.6 D.10 8.过抛物线y=2x(p>0)的焦点F作直线1，直线I交该抛物线于A,B两点(B在第一象 一)，求C的标准方程 限)，且BF一2AF1,若直线/的倾斜角为a,则cosa= A3-22 B.4-√15 C.2-1 D.2-3 【高二数学第1页（共4页）】 【高二数学第？页（共4页月 16.(15分) 已知直线1：a-y十2-0与椭圆C:苦+x-1相交于A.B两点 18(17分y (1)求：的取值范围： (2)若a一2，求线段AB的长. 已知点A(0,A).B(0,一2)，动点P满足PA-2PB. (1)求点P的轨连. 2)设调C:u-a)+(y-√-ay=4 (1)证明：圆C过定点. (1)记圆C的圆心的轿速为r,M为r上的动点，求MP的最大值与最小值 17.(15分) 19.17分) 如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D在C上，DF⊥OF(0为坐标原点)， △ODF的面积为1， 设地物线0的顶点为坐标原点O,焦点为F,且线段OF的中点为（号0）(p>0), (1D求C的方程 (1)当p=87时，求0的准线方程 (2)设C的准线与x轴的交点为E,过F的直线与C交于A,B两点，若斜率为3的直线1 (2)点A为口上一动点，过A作口的准线1的重线，垂足为H,设过A,F,H三点可作双曲 线C,且C的两个焦点均在x轴上 与直线E1,BAB轴依次交于点G.H,M.N,且满足- (|)着C过点O,求C的方程： ()证明：A,B两点的纵坐标之积为定值. ()求C的离心率的取值范围 (!)求1在x轴上的截距的取值范围. 【高二数学第3页（共4页）】 【高二数学第4页（共4页】高二数学参考答案 1.C因为c2=a2-b2=20-11=9,所以c=3,故2c=6. 2.A由m×2-1×(m-1)=0,解得m=一1.经验证，m=一1符合题意， 3.A由(-a)2-4(3-a)>0,解得a<-6或a>2,所以“a>2”是“方程x2+y2一ax十3-a =0表示圆”的充分不必要条件. 4.B因为M的渐近线方程为y=土号x=士2x,所以a=4. 5.D由题意可知|CA|+|CB|+|AB|=2a十2c=36,所以a十c=18.因为b=√a2-c2=6, 解得a-c=2,所以a=10,c=8,由正弦定理可得2sinA+2sinB+3sinC= sin A+sin B-sin C 21CB+2CA+31AB|_4a+6c-88-2. 1CB|+|CA|-|AB|2a-2c4 6.A令y=一1，得x=士3.设圆O与l交于A,B两点，由对称性可设 A(一3，一1)，B(3,一1).因为直线y=kx恒过原点O,所以直线y= x与折委后得到的两段孤恰有4个交点时，m<k<,即一了<及 7.C设P(,).则+好-1，所以号=62(1-3,4m yo yo xo+a xo-a 产·若女司9周M的长猫长 2a=6. 8.A如图，分别过点A,B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C,D,过点A作 BD的垂线，垂足为E.根据抛物线的定义可知AF|=|AC引，BF|=|BDI.设 AF|=m,则|BF|=2m,所以|BE|=|BD|-|DE|=|BF|-|AC|= (W2-1)m,则cosa=cos∠ABE= BE IABI 2-1)m=W2-1)2=3-22. (W2+1)m 次当。一子时血。=a-夏，C不类箱周A洁说当。一音时血6分心。-怎 2 sna<osa,C的焦点在y轴上，B正确当a=晋时，s血a- 2,cos a=1 2,sin acosa,C 42,cos a>cos 2 的焦点在x轴上，C正确，当a-晋时，sina<sin平-号 42,sin a<cos a,C 的焦点在y轴上，D错误 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 10.AC依图可知∠ABD=55°，因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=55°，则B=180°-55° =125°.又AB⊥AC,所以∠ACB=90°-55°=35°，则α=180°-35°=145°，故a-B=20°. 因为tan3=-tan55°，tan55°·tana=-1,所以tana·tanB=1. 11.BCD圆O是以O(0,0)为圆心，4为半径的圆，因为点O 到1，的距离d,=一0=8>4，所以H市1的最小值为 /9+16 d1一4=4，无最大值，A错误，B正确.因为点O到l1的距 20 离d2= /9+16 =4,点0到直线L:3x十4y-20=0的距 离d3= 20 =4，所以1，均与Γ相切.设点T为1 √9+16 上的动点，则根据对称性可得线段NT的中点M在直线l4:3x十4y=0上，因为T在l3的 左下方（除切点外），在1的右上方（除切点外），所以线段PN的中点K位于L1与14之间 (含这两条直线)，所以HP+HN1=2R|的最小值为l4与12间的距离的2倍，即2d3 =2×一40-0-16，C正确.当H驴+HN取得最小值时，点K在4上，此时点P在1 w/9+16 上，因为点P在Γ上，且L3与Γ相切，所以P为l3与Γ的切点，D正确. 12.-2由2m十1×4=0，解得m=-2. n 3,400设D(mmm>0,n>0,则20001，根据对称性可得矩形ABCD的面 m2 n2 m n 为2m·2m=4mn.因为2500十1600≥2√2500‘1600，所以mm≤1000，当且仅当4m= 5n=100√2时，等号成立，所以4mn≤4000.故矩形ABCD面积的最大值为4000平方米， 14.号 由lMF1l=3MFzl,MF|-|MF2|=2a=6,得|MF|=9,|MF2=3,所以|MN .NF,-27-3-24.1NF,=246=0.因为P--8∠M= NFMF ∠F1MF2,所以△MF1F2p△MNF1,则 F F2MF2 =3,即F1F2|=10,所以C的离 心率e=￡=5 a 3 1返.解：（因为曲线C:若+m”5-1为双曲线，所以m0m一15<0…4分 2+y2 解得∈(0,15).…6分 ②设C的标准方程为号若-10a>0,60. _x2 8分 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 2a=2, 则1630 10分 la?b2 =1, a=1, 解得 12分 62=2, 故C的标准方程为y一 21. …13分 [ax-y+2=0, 6,解：1)由y+2=1, 得(a2十2)x2十4a.x十2=0.…3分 因为1与C相交于A,B两点，所以△=16a2一8(a2十2)>0，…5分 解得a<一√2或a>√2，即a的取值范围为（一∞，一√2）U(√2，十∞).…7分 2x-y+2=0, (2)设A(x1y1),B(x2y2).由 得3x2+4x+1=0, …9分 2十x2=1, (方法一)则x1十x2=一 3x1x2=3, …11分 所以AB1-V1+0·G+》-4-1中×，√一含》-4x写-25，即线段 A8的长为25. …15分 1 (方法二)解得x1=一1，x2=一 3… 11分 所以M81=+a1x-后x号=25 15分 17.(1)解：易知D(会，±p: …1分 因为△ODF的面积为1，所以号·专·p=1, 2分 解得p=2,… 3分 故C的方程为y2=4x.… …4分 (2)(i)证明：由(1)知E(-1,0),F(1,0). 设直线AB的方程为x=y十1(t≠3)，A(1y,B(x2).…5分 |x=ty+1, 由 消去x得y2一4ty一4=0，… 6分 y2=4x, 所以y1十y2=4t,y1y2=一4，则A,B两点的纵坐标之积为定值. …7分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 （)邂：直线EA的方程为y一汁女十1》… 8分 设L的方程为x=日十m,G(g,H(Hym> 3y+m, 3(m+1)y2 由 =6同理特= …10分 21+7x+1), 1 设M(xM,yM).由 =y十得w- 2 3(m-1) 3t-1 …11分 x=ty+1, 因为-所以ANP=GNI·HN, 则y2=一yayH,化简得m=1)=m+1) (3t-1)29t2+8 gg8。。。n。eaeeeeneeee。eee。a▣00g。2 易知m≠1，所以m-1)2_(3t-1) (m+1)29t2+8 13分 因为及-(+号+当=时等号成立，…1分 t 3 所以0m+1)2、8 m-)≥9，解得m≤-17-12√2或m>-17+122且m≠1. 故1在x轴上的截距的取值范围为（一∞，-17-12√2]U[一17+12√2,1）U(1,+∞). ………15分 18.(1)解：设点P(x,y.由PA=2PB,即√x2+(y-4)=2√x2+(y+2)7,…1分 整理得x2十(y十4)2=16，…3分 所以点P的轨迹是以点(0，一4)为圆心，4为半径的圆。…4分 (2)(i)证明：由(x-a)2+(y-√4-a2)2=4, 得x2十y2-2ax-2W4-a2y=0,… 5分 -2x=0, 令一2y=0,得x=y=0, …7分 x2+y2=0, 所以圆C过定点(0,0). 8分 [注]若将x=0,y=0代人C的方程的左边，得a2+4一a2=4=右边，所以圆C过定点(0， 0),不扣分 (i)解：设圆C的圆心为C(x,y),则x=a,y=√4一a,…9分 所以x2十y2=4,………10分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 又√4-a2≥0，所以C的轨迹方程为x2十y2=4(y≥0)，…11分 则C的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆的上半部分（包含点（一2,0），(2,0).… ……12分 如图，设点D(0,一4). 对于同一个点M,当P运动时，|MP|的最大值为MD|+4, …13分 |MD|的最大值为2+|DO=6,所以|MP|的最大值为6+4= -6-420 46 10. …14分 对于同一个点M,当P运动时，|MP|的最小值为MD|一4， …15分 由图可知，当点M与点(2,0)或点（一2,0）重合时，MD取得最小值，且最小值为√2十4 =25,…16分 所以MP|的最小值为2√5一4.… …17分 19.解：(1)当=8√7时，依题意得F的坐标为(4√7,0)，…1分 所以2的准线方程为x=一4√7.…2分 (2)(i)因为C的两个焦点均在x轴上，且C经过A,H,F,O,所以由 对称性可知，C的中心为线段OF的中点，即0(2,0），实半轴长为 4 4分 -) 设C的方程为 6=1(6>0). 5分 () H的横坐标为一号，A,H均在C上，则A的横坐标为号×2-（一号）=p,…6分 -)月 2p2 设A(p,yo),又A在2上，所以y=22,代入C的方程，得 b2 =1,解得b2= …8分 (x- C的方程为 9分 16 (i)由题知，F(名，0)，设Ax9),则)=2px,H(-台y). 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 当x≤号时，过A,H,F三点不能作双曲线 ，…10分 当xo= 乎时，线段AH中点的横坐标与F的横坐标相等，过A,H,F三点不能作双曲线， 则>号且≠驴 2 …11分 因为C的两个焦点均在x轴上，所以可设C的方程为》-芳-1a>0,b>0。 a2 将F,H,A的坐标代入C的方程，得（号-h)‘=a2①，a @, 1③，= …12分 @-@得(+号》”-(。，因为>号所以6-2。色 4 …13分 0得a=(号-b)=(号-2，-p 16 068p21-22。p0 曲浴普--1面4-之膜2 3p-2x)2,代 入6=2p,得62=2(8p-2x2 …15分 4(2x0-p) ,6x0一卫-3十2x0-p' -1+g-1计0p器名 2p …16分 由0>号且x≠号，得e2>3且e≠4 故C的离心率的取值范围为(W3,2)U(2,十∞).…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】