专题05 柱体（高效培优专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题05 柱体 题型一 柱体的结构特征与辨析 题型二 正棱柱及有关计算 题型三 柱体展开图与最短路径问题 题型四 与棱柱的体积有关计算 题型五 与棱柱的表面积有关计算 题型六 圆柱的轴截面有关计算 题型七 与圆柱的体积有关计算 题型八 与圆柱表面积有关计算 题型一：柱体的结构特征与辨析 1．下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义、直棱柱和斜棱柱的性质，逐一分析各选项的正误，最终确定正确答案. 【详解】选项A：反例：将两个全等的斜棱柱沿底面拼接得到的几何体， 满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”， 但不满足“所有相邻四边形的公共边互相平行”，不属于棱柱，故A错误， 选项B：平面多边形（含内部）沿某一方向平移时，初始和终止位置的两个多边形平行且全等， 多边形各边平移形成的面均为平行四边形，且所有侧棱互相平行，完全符合棱柱的定义，故B正确， 选项C：直棱柱的定义为侧棱与底面垂直的棱柱，若仅存在一个侧面与底面垂直，仅能推出侧棱垂直于底面的一组平行边， 无法推出侧棱与底面整体垂直，因此不是直棱柱，故C错误， 选项D：斜棱柱的侧棱与底面不垂直，侧面为矩形的充要条件是底面对应边与侧棱垂直， 在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形，则存在一条侧棱与底面多边形至少三条边所在直线平行， 但是底面最多有两条平行边与侧棱垂直，所以这些边所在直线必存在两条相交直线， 从而可知该侧棱与底面垂直，即棱柱为直棱柱，矛盾， 故斜棱柱侧面最多有个矩形，不可能超过个，故D错误. 2．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】底面是正方形的直棱柱是正四棱柱，底面是长方形的直棱柱是长方体， 底面是四边形的直棱柱是直四棱柱，底面是正方形的直棱柱，且侧面也是正方形的是正方体， 所以 . 3．在正方体中，点、分别为、的中点，平面将正方体截成两部分，这两部分分别为（   ） A．一个棱柱和一个棱台 B．一个棱锥和一个棱台 C．两个棱柱 D．两个棱台 【答案】C 【详解】设正方体棱长为.点、分别为、中点，则且.又（均等于棱长），故四边形为平行四边形.平面与正方体交于该平行四边形.该平面将正方体截成两部分，每一部分侧棱互相平行，均可看作棱柱，而非棱台或棱锥. 因此这两部分分别为两个棱柱. 4．下列结论错误的是（    ） A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 【答案】BCD 【详解】在如图所示的平行六面体中，    侧面及侧面都是矩形，且平面及平面都与底面ABCD垂直，故D错误； 截面可能为矩形，故A正确； 将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误； 侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误． 5．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】用棱柱的特点判断AD，利用举例法判断BC. 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 题型二：正棱柱及有关计算 6．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】作出几何图形，利用正三棱柱的结构特征及勾股定理列式求出答案. 【详解】如图，正三棱柱中，， 点分别在棱上， 且是以为斜边的等腰直角三角形， 设，则， 作于，于，于， 则，， ， 在中，， 即，解得， 所以该三角形的面积为. 故选：A    7．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 8．在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，连接，先证明，得，再求出即可求解. 【详解】如图所示，设，连接． 因为， 且几何体为正四棱柱， 所以． 因为平面与交于点， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C.    9．在各棱长均为的正三棱柱中，则点到平面的距离为______． 【答案】 【详解】取的中点，连接， 由正三棱柱的结构特征可知，侧棱平面， 又平面，因此， 底面为边长等于2的正三角形，为中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 因此线段的长度即为点到平面的距离， 在正中，，， 由勾股定理得， 因此点到平面的距离为. 10．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 【答案】/ 【分析】取的中点，根据题意可知与侧面所成角即为，根据已知条件求解即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 故与侧面所成角即为， 由侧棱长为，底面三角形的边长为，可得，， 故，所以， 所以与侧面所成的角是. 题型三：柱体展开图与最短路径问题 11．如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将半平面沿翻折到，使得与平面位于同一平面，连接，得到即为的最小值，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】将半平面沿翻折到，且平面与平面位于同一平面， 截面如图所示，连接，与交于点，此时即为的最小值， 因为，可得， 在直角中，可得， 所以， 则， 可得，所以的最小值为. 12．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【分析】将长方体中分别位于两个相邻面的点沿公共棱展开到同一平面，把空间折线段最小值问题转化为平面内两点间线段最短问题，再结合勾股定理与余弦定理计算最短长度． 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面，将原问题转化为平面问题， 连接，为线段上不含端点的一个动点， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， ，， 则， 在中，由余弦定理 ， 故， 所以的最小值为． 13．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则最小值为______． 【答案】 【分析】将平面沿翻折至与平面同一平面，结合平面几何性质运算求解即可. 【详解】将平面沿翻折至与平面同一平面，如图所示： 则，即四边形为正方形， 可得，所以最小值为. 14．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 15．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【分析】将长方体的表面展开为平面图，将原问题转化为平面问题，利用两条直线之和共线时长度最小即可求解. 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面（如下图所示），将原问题转化为平面问题. 本题所求必在下图所示的图中，从而连接，为线段上的一个动点（不含端点）， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， 由可得， 则， 所以的最小值为. 题型四：与棱柱的体积有关计算 16．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为________． 【答案】 【详解】设正四棱柱底面边长为，高为，由题知底面四边形为正方形， 由， ， ， ， 由， ， ， . 17．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 【答案】 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故， 由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 18．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 【答案】 【分析】设棱的中点为，连结，，利用线面垂直可得. 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，进一步求出体积. 【详解】设棱的中点为. ，. 因点在平面上的射影是的中点， 故平面. 因平面， 故. 因底面是边长为2的正三角形，且为中点， 故三角形面积，. 因， 故在直角三角形中，. 故三棱柱的体积. 故答案为： 19．如图，在长方体中，，过点的平面分别交棱于.已知四边形为菱形，且，则__________.；长方体被平面所截得的上下两部分体积之比为__________.    【答案】 【分析】（1）设，利用长方体性质与菱形性质计算即可得； （2）过点作与底面平行的平面，则由长方体对称性可得等于平面与底面所夹长方体的体积的一半，再利用长方体体积公式计算即可得. 【详解】设，则， 则， 由四边形为菱形，则，即有， 解得，即； 设长方体被平面所截得的上下两部分体积分别为、， 过点作与底面平行的平面，由长方体对称性可得： 等于平面与底面所夹长方体的体积的一半，即， 则，则. 故答案为：；. 20．如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过的中点，则______． 【答案】4 【分析】根据棱柱的体积公式即可求解. 【详解】当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设的面积为，则． 如图所示，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是等腰梯形，则，，所以，则． 故答案为：4 题型五：与棱柱的表面积有关计算 21．现用一根铁丝恰好可围成一个长为，宽为，高为的长方体框架，其中且该长方体的体积为，表面积为，则铁丝的长度为______cm，______cm． 【答案】 【详解】由题意可得，即， 可知，即，代入得， 则铁丝长度为， 可得，因为，解得. 22．正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 【答案】 【详解】因为正三棱柱底面为正三角形，所以单个底面面积， 单个侧面面积， 故表面积. 23．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 【答案】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 24．有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：    当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为；    ②边长为的边合在一起时，表面积为； ③边长为的边合在一起时，表面积为.    当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：    图④的表面积， 图⑤的表面积，    图⑥的表面积， 图⑦的表面积. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是. 故答案为：. 25．已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为__________． 【答案】 【分析】由题设及斜二测法知 在原图上的对应边长分别为 、 ，根据直棱柱侧面积公式求其侧面积即可． 【详解】由题意知： ， 斜二测法知：原直三棱柱中， 的对应边长为 ， 对应边长为 ，且 对应边长不变， 故底面周长为 ，而直三棱柱的侧棱长为，故其侧面积为 ． 故答案为： . 题型六：圆柱的轴截面有关计算 26．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________. 【答案】 【分析】由圆柱的底面直径即为轴截面的边长，进而可以求解. 【详解】因为圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是， 所以此正方形的边长为，即圆柱的底面直径为， 所以圆柱的底面的面积为. 故答案为：. 27．已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是，那么这个圆柱的体积是____．（结果中保留） 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由题可得，，然后利用圆柱体积公式即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的轴截面是正方形，它的面积是， 所以，， 所以这个圆柱的体积是. 故答案为：. 28．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______. 【答案】20 【分析】轴截面为矩形，根据矩形的长和宽求出面积. 【详解】轴截面为矩形，两边长分别为5和4，故轴截面的面积为. 故答案为：20 29．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为___________. 【答案】 【分析】根据圆柱轴截面为矩形直接求解即可. 【详解】圆柱的轴截面面积. 故答案为：. 30．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由圆柱轴截面为正方形的性质求出底面半径和高，再代入圆柱表面积公式计算得结果 【详解】过直线的平面截得的截面为圆柱的轴截面。设圆柱的底面半径为，高为. 因为轴截面是正方形，所以轴截面的边长等于底面直径，也等于圆柱的高，即. 由正方形面积为32，可得，解得. 根据圆柱表面积公式： 两底面面积和： 侧面积： ,因此，故选C. 题型七：与圆柱的体积有关计算 31．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 32．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案. 【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 33．如果圆柱轴截面的周长为定值12，那么该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆柱的底面半径和高，根据已知条件求得底面半径和高的关系式，结合基本不等式求得体积的最大值． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，均为正数， 则，即 圆柱的体积，当且仅当时等号成立． 所以该圆柱体积的最大值为. 故选：B． 34．已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 35．已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据它的表面积与体积的数值之比为2，求出，再求体积． 【详解】设圆柱的底面半径为，所以圆柱的表面积为，体积为， 因为它的表面积与体积的数值之比为2，所以， 解得，故该圆柱的体积为． 故选：B. 题型八：与圆柱表面积有关计算 36．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，然后利用均值不等式求解即可. 【详解】长方形长加宽的和为：， 不妨设矩形的长为，则矩形的宽为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 37．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为和，，由，得， ．由圆柱的侧面积相等，得，即． ． 38．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，代入圆柱的侧面积公式，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，将代入圆柱的侧面积公式， 可得， 因为，所以当时，取得最大值， 将代入，可得，所以. 39．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由及进行求解． 【详解】如图所示： 设圆柱的底面半径为，母线长为， 由圆柱的侧面积为，得，得， 由与底面所成角的正切值为2，得，得， 解得， 故圆柱的体积为． 40．如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出圆柱的底面半径和母线长，利用轴截面为正方形得到两者关系，再将三棱锥的体积分割成易于计算的部分，代入已知体积值求出半径，最后计算侧面积. 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的底面圆的半径为，连接，，，如图， 由题意可知， ，解得， 所以该圆柱的侧面积． 故选：C． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 柱体 题型一 柱体的结构特征与辨析 题型二 正棱柱及有关计算 题型三 柱体展开图与最短路径问题 题型四 与棱柱的体积有关计算 题型五 与棱柱的表面积有关计算 题型六 圆柱的轴截面有关计算 题型七 与圆柱的体积有关计算 题型八 与圆柱表面积有关计算 题型一：柱体的结构特征与辨析 1．下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 2．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（     ） A． B． C． D． 3．在正方体中，点、分别为、的中点，平面将正方体截成两部分，这两部分分别为（   ） A．一个棱柱和一个棱台 B．一个棱锥和一个棱台 C．两个棱柱 D．两个棱台 4．下列结论错误的是（    ） A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 5．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 题型二：正棱柱及有关计算 6．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 7．正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 9．在各棱长均为的正三棱柱中，则点到平面的距离为______． 10．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 题型三：柱体展开图与最短路径问题 11．如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 12．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 13．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则最小值为______． 14．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 15．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 题型四：与棱柱的体积有关计算 16．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为________． 17．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 18．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在平面上的射影是的中点.则该棱柱的体积为__________. 19．如图，在长方体中，，过点的平面分别交棱于.已知四边形为菱形，且，则__________.；长方体被平面所截得的上下两部分体积之比为__________.    20．如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过的中点，则______． 题型五：与棱柱的表面积有关计算 21．现用一根铁丝恰好可围成一个长为，宽为，高为的长方体框架，其中且该长方体的体积为，表面积为，则铁丝的长度为______cm，______cm． 22．正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，该正三棱柱表面积为________． 23．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 24．有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 25．已知直三棱柱的侧棱长为，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形如图，斜边长，则该直三棱柱的侧面积为__________． 题型六：圆柱的轴截面有关计算 26．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是，则此圆柱的底面的面积是___________. 27．已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是，那么这个圆柱的体积是____．（结果中保留） 28．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______. 29．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为___________. 30．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型七：与圆柱的体积有关计算 31．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 32．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（   ）    A． B． C． D． 33．如果圆柱轴截面的周长为定值12，那么该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 35．已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 题型八：与圆柱表面积有关计算 36．已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 37．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，．若它们的侧面积相等，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 38．《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 39．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 40．如图，，分别是圆柱上、下底面圆的直径，且．，分别为上、下底面圆的圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $