专题05 立体几何的外接球和内切球问题（九大压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 以“找球心、求半径”为核心，通过九类题型模版系统构建外接球与内切球问题的解题方法体系，注重空间转化与模型迁移，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法|聚焦“找球心、求半径”两大关键，提炼补形、外心定位等通法|从几何本质出发，构建问题解决的底层逻辑| |题型归纳|9类题型（每类1例+3变式）|长方体补形法、共斜边直径法、柱体中垂线定位法等|按几何体特征分层：基础模型（墙角、对棱相等）→复杂情境（二面角、台体），形成递进式知识链| |压轴挑战|13道综合题|多模型融合与动态几何问题处理策略|强化知识迁移，提升复杂情境下的模型观念与应用意识|

专题05 立体几何的外接球和内切球问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方体及墙角模型 题型二、对棱相等及共斜边模型 题型三、柱体模型 题型四、线面垂直模型 题型五、高过球心模型 题型六、面面垂直模型 题型七、二面角模型 题型八、台体模型 题型九、内切球模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何外接球与内切球是立体几何重难点，所有题型均围绕找球心、求半径两大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是外接球要找准几何体底面外接圆圆心，球心垂直于底面圆心；二是内切球务必验证体积法条件，几何体要有内切球需要满足表面积与体积的对应关系。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方体及墙角模型 题型模版 1.特征：三棱锥三条侧棱两两互相垂直，如墙角；三条棱长度为，可把三棱锥补构成长方体，四个顶点落在长方体顶点上。 2.方法：外接球直径等于长方体体对角线，套用公式，直接算出外接球半径，无需额外找球心。 例1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________． 【答案】 【详解】长方体外接球的半径为， 根据体积公式可得． 变式1-1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 变式1-2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a cm，则球的表面积为________． 【答案】 【详解】如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径， 设正方体的外接球半径为R，则，解得， 所以外接球的表面积为． 变式1-3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 题型二、对棱相等及共斜边模型 题型模版 1.特征：①对棱相等：三棱锥三组对棱分别相等；②共斜边：两个直角三角形共用一条斜边，四个顶点不共面，四点同在一个球面上。 2.方法：对棱相等补成长方体，长方体面对角线等于四面体对棱长；共斜边时，公共斜边就是外接球直径，斜边中点即为球心，。 例2．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 变式2-1．如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，若是中点，又，故， 所以是四面体外接球的球心，且半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：B 变式2-2．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 【答案】 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 变式2-3．在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥的外接球表面积为______. 【答案】 【详解】取中点，连接， 因为，所以是直角三角形，因此有， 因为平面，平面，所以，所以是直角三角形，因此有，即，因此是三棱锥的外接球的球心，因为，所以， 因此，所以该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据直角三角形的性质确定球心的位置是关键. 题型三、柱体模型 题型模版 1.特征：直棱柱，侧棱垂直上下底面，上下底面是全等多边形（三角形、四边形等），上下底面各自存在外接圆。 2.方法：分别找出上、下底面多边形的外接圆圆心，两圆心连线的中点就是外接球球心；底面外接圆半径，柱体高，利用计算。 例3．已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径， 所以球O的半径，故球O的表面积为． 故选：D 变式3-1．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为________. 【答案】 【详解】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径， 设外接球半径为，则， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 变式3-2．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径. 计算， 故底面外接圆半径. 直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点， 故球心到底面的距离. 设球半径为，则. 球的表面积. 变式3-3．已知直四棱柱高为，底面四边形中，，，，，则四棱柱外接球的表面积是_____________. 【答案】 【详解】如图所示， 由底面四边形中，， 所以四边形的外接圆圆心即为的外接圆圆心，在中点， 连接，又，，， 所以在中，由余弦定理得， 即， 所以四边形及的外接圆半径， 设四边形的外接圆圆心为，四边形的外接圆圆心为， 则，， 直四棱柱的外接球球心为中点，即，且， 所以外接球半径， 所以外接球表面积. 故答案为： 题型四、线面垂直模型 题型模版 1.特征：三棱锥有一条侧棱垂直底面，底面为任意多边形，垂直底面的这条侧棱长为，底面多边形存在外接圆。 2.方法：先求解底面多边形外接圆半径；球心落在过底面外心且垂直底面的直线上，代入公式求出外接球半径。 例4．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 变式4-1．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 变式4-2．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是___________. 【答案】 【详解】根据余弦定理得，故， 根据正弦定理得，故，其中为三角形外接圆半径， 设为三棱锥外接球的半径，则，故， 则球的表面积. 故答案为： 变式4-3．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【详解】根据题意，作图如下， 设， 则， 所以， 所以， 如图，点为等边三角形外接圆的圆心，则， 设外接球的球心为，则有, 所以在直角中，， 所以外接球的表面积为, 故答案为: . 题型五、高过球心模型 题型模版 1.特征：棱锥顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面多边形的外接圆圆心，棱锥的高就在外接球球心所在直线上。 2.方法：记底面外接圆半径，棱锥高为，球心在高线上，设球半径为，列勾股方程，解方程求出。 例5．正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 变式5-1．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________. 【答案】 【详解】底面边长，， 正三角形外接圆半径公式， 棱锥体积公式，已知，则， 设底面的外心为，则，外接球球心在直线上，设，外接球半径为， 不妨设球心在、之间，同时， 则，所以球心落在底面远离的一侧， 此时，所以 ， 所以，. 变式5-2．已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   如图所示，为底面的中心，由图形的对称性可知球的球心在线段上， 因，则，， 在中，如图作于点，      设球的半径为，则，， 易得与相似，则，即，解得， 因此，球的表面积为. 变式5-3．底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____． 【答案】 【详解】对于正四棱锥，， 设正方形的中心为，连接，则底面， 则正四棱锥的体积为，可得， 则正四棱锥的侧棱长， 可得的面积为， 设点到平面的距离为， 因为，解得， 设该棱锥的外接球球心为，则， 因为，解得， 可得，所以该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为. 题型六、面面垂直模型 题型模版 1.特征：几何体两个平面互相垂直，每个平面内的三角形都可以求出自身的外接圆圆心，两个平面交线为公共棱。 2.方法：分别找出两个垂直平面的外接圆圆心，过两个圆心分别作对应平面的垂线，两垂线交点就是外接球球心，构造直角三角形用勾股定理求半径。 例6．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，且平面平面，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心即为的外心， 设球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 变式6-1．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，等边三角形的高， 设是等边三角形的中心，是等腰三角形的外心， 则等边三角形的外接圆半径为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由正弦定理得等腰三角形的外接圆半径为，所以， 设O是三棱锥的外接球的球心，R是外接球的半径， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， ，平面，所以平面， 由球的性质知平面，平面，所以， 所以在中，由勾股定理得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 变式6-2．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 变式6-3．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 【答案】 【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O， 则由外接球的性质知，点O即为该球的球心， 取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 题型七、二面角模型 题型模版 1.特征：四面体被公共棱分割成两个三角形，已知两个面形成的二面角大小，两个三角形均可单独求出外接圆半径。 2.方法：分别找出两个面的外接圆圆心，求出两外心到公共棱的距离；结合二面角，通过余弦定理、勾股定理确定球心位置，计算外接球半径。 例7．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 变式7-1．在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】   取中点，因为，所以为等边三角形. 因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点. 因为，，故为二面角，. ，. 因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于， 且，所以球心满足平面且平面， 故，解得，所以球半径， 因此表面积. 变式7-2．已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为，且二面角的大小为．若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设D，F分别为AB，PC的中点， 连接，则球心O必在线段DF上，且． 设O在直线DC上的射影为G，则G为正的重心，且底面． 所以，， 所以，， 故球的表面积为. 变式7-3．已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】取的中点，连接，如图，    因为菱形ABCD中 所以为正三角形，且， 所以为二面角的平面角，故， 又平面，所以平面， 由平面，故平面平面. 所以四面体的外接球的球心在平面上， 在上取点，使，则是的外心，过点作垂直于，过点E作垂直于. 设与交于点，连接，则，则为四面体的外接球的球心，如图，    所以垂直平分， 因为为正三角形，且边长为， 所以，故， 又，所以，， 在直角三角形中，， 即球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 题型八、台体模型 题型模版 1.特征：圆台或棱台，上下底面互相平行，上下底面为相似图形，上下底面分别存在外接圆，台体的高为上下底面之间的垂直距离。 2.方法：上下底面外接圆圆心连线为球心所在直线；设上底外接圆半径，下底外接圆半径，设球心到下底面距离为，列方程组解。 例8．在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 【答案】 【详解】正四棱台中，， ∴上、下底面外接圆半径分别为， 设正四棱台上、下底面的中心分别为 、，外接球的球心为，半径为. 则 必在​ 上，高， 设，则. 由得， 解得， ∴. 正四棱台的外接球的表面积为 变式8-1．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 变式8-2．已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则， 所以，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得， 所以或， 即或， 解得，所以三棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 变式8-3．若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， 则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 题型九、内切球模型 题型模版 1.特征：几何体存在内切球，球面与几何体每一个面都相切，球心到几何体所有面的距离相等，该距离等于内切球半径。注意：不是所有几何体都有内切球。 2.方法：使用体积分割法，总体积，变形得内切球半径公式；计算前先要判断几何体是否具备内切球条件。 例9．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【答案】/ 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 变式9-1．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 变式9-2．已知一个圆锥的内切球的直径是该圆锥高的一半，则其内切球表面积与该圆锥表面积的比值是_________． 【答案】/0.5 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，其内切球半径为，则该圆锥的高为，且， 依题意，该圆锥轴截面等腰三角形的内切圆半径为，则， 解得，，该圆锥的表面积，球的表面积， 所以该圆锥的内切球表面积与该圆锥表面积的比值为. 变式9-3．已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 【答案】3 【详解】设圆台的母线长为， 由侧面展开图的扇环面积为，可得圆台侧面积为，所以， 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 设圆台的内切球球心为，则球心在截面内， 在截面内，设圆切梯形的边分别于点， 由切线长定理可得， 所以，即， 所以，又，所以. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 在中，，， 所以，所以. 所以外接圆半径为，则. 取中点，连接，因为，所以外接圆圆心在上， 又，所以点在平面上的射影即为的外心，即点. 所以平面. 且. 设三棱锥外接球球心为，则点在直线上. 设三棱锥外接球半径为， 则，解得. 即三棱锥外接球半径为. 2．某博物馆馆藏一件正四棱台形礼器，上底面边长为分米，下底面边长为分米，且侧棱长为分米，文物修复计划制作恰好完整包裹器物的球形防尘保护罩（即几何体的外接球），则该球形防尘保护罩的表面积（单位：平方分米）（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，正四棱台中，上下底面边长分别为，    设点是上下底面的中心，依题意，该几何体的外接球的球心在上，设其半径为， 在直角梯形中，易得， 则， 当O在棱台内部时，由，解得， 当O在棱台外部时，由，此时无解， 故该球形防尘保护罩的表面积为平方分米. 3．已知球的体积为，、、、四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的体积为，解得， 因为为等边三角形，，则三棱锥为正三棱锥， 设点在底面内的射影为点，则点为等边的中心， 故球心在直线上，设为球的一条直径，则， 由球的几何性质可知， 由勾股定理可得， 易知，因为， 故， 因为为等边三角形的中心， 所以，。 则， 故. 4．如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】法一：因为平面ABC，平面ABC，所以，取的中点为，连接，， 在中，．过作，交AC于，则为AC的中点且， 所以平面ABC，连接，因为平面ABC，所以， 在中，，因此，所以， 因此即三棱锥外接球的球心．由题意，，，因此， 则外接球的半径为，则外接球的体积． 法二：把三棱锥补成一个长方体，如图，易知外接球直径为，由题意，，， 则，因此外接球半径为，外接球的体积． 5．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设外接球的球心为O，设的外接圆圆心为， 因为平面，所以为直线与平面所成角，即， 所以，又，所以，所以， 设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得， 则在中，， 则三棱锥的外接球表面积为． 6．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过作垂足为，取中点， 过作交于点，在上取点，连接， 由题意可知平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 同理平面， 在中，为的外接圆圆心， 所以设四面体的外接球的球心为， 因为，，所以，，， 所以，，， 所以， 因为，即， 所以，解得， 所以四面体的外接球的半径， 所以四面体的外接球的体积. 7．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 连接、，并延长交于点，连接， 可得平面，为中点，则，， 又底面棱长为，为底面正三角形的中心， 所以，， 又，所以，， 所以，， 同理，可得， 所以， 又，即，解得， 所以. 8．已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 【答案】 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为， 则，解得， 设外接球球心离底面的高度为， 在中，则，所以. 所以. 9．已知四面体，，则该四面体外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】由于三棱锥的三组对棱分别相等，可将其补形为长方体，三棱锥的六条棱对应长方体的六个面对角线，二者的外接球为同一个球.如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为，球的半径为，根据题意可得： 将三式左右两边分别相加，得，即. 长方体的体对角线长度等于其外接球的直径，则，解得. 则球的表面积为. 10．如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为_______．    【答案】 【详解】因为底面为正方形，所以， 因为P为中点，所以， 而，即，解得， 设四棱锥外接球球心为H，因为底面是正方形，    所以H一定在过底面中心O且和底面垂直的直线上， 设中点为M，易知，在上取点N，使得设为h， 则，，， 由得，， 即，解得，所以H与O点重合， 所以， 所以. 11．在三棱锥中，，，，，若，，，四点都在同一个表面积为的球的球面上，则____________ 【答案】 【详解】如图，过作，且，过作，且， 分别连接，可得． 因为，所以，又因为平面， 从而平面，即三棱柱为直三棱柱， 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同， 设其半径为．由，知， 设的外接圆半径为，则， 即，解得． 又，由正弦定理得，解得， 因为，所以， 可知， 所以. 12．已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______. 【答案】/. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥体积为，圆锥外接球的半径为， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以，底面圆， 所以 在直角三角形中，，，所以 则，解得，所以， 又，，， 所以，即，即， 解得，所以球体的表面积. 13．在三棱锥中，已知底面是边长为的等边三角形，侧棱平面．若二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【详解】如图，取的中点为，连接、， 因为是边长为的正三角形，则，， 又平面，、平面，则，， 又因为，、平面，于是平面， 而平面，则，因此为二面角的平面角， 即，所以， 将三棱锥补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，显然的外接圆半径， 因此， 所以该三棱锥外接球表面积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何的外接球和内切球问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方体及墙角模型 题型二、对棱相等及共斜边模型 题型三、柱体模型 题型四、线面垂直模型 题型五、高过球心模型 题型六、面面垂直模型 题型七、二面角模型 题型八、台体模型 题型九、内切球模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何外接球与内切球是立体几何重难点，所有题型均围绕找球心、求半径两大核心展开，解题贯穿：一是；二是 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方体及墙角模型 题型模版 1.特征：三棱锥三条侧棱两两互相垂直，如墙角；三条棱长度为，可把三棱锥补构成长方体，四个顶点落在长方体顶点上。 2.方法：外接球直径等于长方体体对角线，套用公式，直接算出外接球半径，无需额外找球心。 例1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的体积为______________． 变式1-1．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a cm，则球的表面积为________． 变式1-3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 题型二、对棱相等及共斜边模型 题型模版 1.特征：①对棱相等：三棱锥三组对棱分别相等；②共斜边：两个直角三角形共用一条斜边，四个顶点不共面，四点同在一个球面上。 2.方法：对棱相等补成长方体，长方体面对角线等于四面体对棱长；共斜边时，公共斜边就是外接球直径，斜边中点即为球心，。 例2．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为____________． 变式2-3．在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥的外接球表面积为______. 题型三、柱体模型 题型模版 1.特征：直棱柱，侧棱垂直上下底面，上下底面是全等多边形（三角形、四边形等），上下底面各自存在外接圆。 2.方法：分别找出上、下底面多边形的外接圆圆心，两圆心连线的中点就是外接球球心；底面外接圆半径，柱体高，利用计算。 例3．已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为________. 变式3-2．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 变式3-3．已知直四棱柱高为，底面四边形中，，，，，则四棱柱外接球的表面积是_____________. 题型四、线面垂直模型 题型模版 1.特征：三棱锥有一条侧棱垂直底面，底面为任意多边形，垂直底面的这条侧棱长为，底面多边形存在外接圆。 2.方法：先求解底面多边形外接圆半径；球心落在过底面外心且垂直底面的直线上，代入公式求出外接球半径。 例4．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 变式4-1．三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，则球O的体积是___________. 变式4-3．在三棱锥中，平面，三棱锥的体积为，已知三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 题型五、高过球心模型 题型模版 1.特征：棱锥顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面多边形的外接圆圆心，棱锥的高就在外接球球心所在直线上。 2.方法：记底面外接圆半径，棱锥高为，球心在高线上，设球半径为，列勾股方程，解方程求出。 例5．正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 变式5-1．已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，其体积为.若点都在球的球面上，则球的表面积为_________. 变式5-2．已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 变式5-3．底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____． 题型六、面面垂直模型 题型模版 1.特征：几何体两个平面互相垂直，每个平面内的三角形都可以求出自身的外接圆圆心，两个平面交线为公共棱。 2.方法：分别找出两个垂直平面的外接圆圆心，过两个圆心分别作对应平面的垂线，两垂线交点就是外接球球心，构造直角三角形用勾股定理求半径。 例6．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 题型七、二面角模型 题型模版 1.特征：四面体被公共棱分割成两个三角形，已知两个面形成的二面角大小，两个三角形均可单独求出外接圆半径。 2.方法：分别找出两个面的外接圆圆心，求出两外心到公共棱的距离；结合二面角，通过余弦定理、勾股定理确定球心位置，计算外接球半径。 例7．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 变式7-2．已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为，且二面角的大小为．若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 题型八、台体模型 题型模版 1.特征：圆台或棱台，上下底面互相平行，上下底面为相似图形，上下底面分别存在外接圆，台体的高为上下底面之间的垂直距离。 2.方法：上下底面外接圆圆心连线为球心所在直线；设上底外接圆半径，下底外接圆半径，设球心到下底面距离为，列方程组解。 例8．在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的表面积为_______________． 变式8-1．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 变式8-2．已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为______． 变式8-3．若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 题型九、内切球模型 题型模版 1.特征：几何体存在内切球，球面与几何体每一个面都相切，球心到几何体所有面的距离相等，该距离等于内切球半径。注意：不是所有几何体都有内切球。 2.方法：使用体积分割法，总体积，变形得内切球半径公式；计算前先要判断几何体是否具备内切球条件。 例9．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 变式9-1．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 变式9-2．已知一个圆锥的内切球的直径是该圆锥高的一半，则其内切球表面积与该圆锥表面积的比值是_________． 变式9-3．已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．某博物馆馆藏一件正四棱台形礼器，上底面边长为分米，下底面边长为分米，且侧棱长为分米，文物修复计划制作恰好完整包裹器物的球形防尘保护罩（即几何体的外接球），则该球形防尘保护罩的表面积（单位：平方分米）（     ）    A． B． C． D． 3．已知球的体积为，、、、四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 5．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 7．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球体积是（    ） A． B． C． D． 8．已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 9．已知四面体，，则该四面体外接球的表面积为__________. 10．如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为_______．    11．在三棱锥中，，，，，若，，，四点都在同一个表面积为的球的球面上，则____________ 12．已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______. 13．在三棱锥中，已知底面是边长为的等边三角形，侧棱平面．若二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $