31.2.2 相似三角形的判定（第2课时）——三边成比例 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学下册

年级组

九年级

学科组

数学

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授课教师

授课时间

课  题

31.2.2 相似三角形的判定（第2课时）——三边成比例

课   型

新授课

教学

目标

1.掌握相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。

2.会用三边成比例判定三角形相似。

3.能利用判定定理求边、验证相似。

重点

三边成比例判定三角形相似。

难点

正确计算并比较三组对应边的比。

教学

方法

定理验证法、对应识别法、计算训练法

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.复习：什么是相似三角形？已经学过哪些判定方法？（定义、预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）

2.提问：预备定理要求题中有平行线。若题中只给出两个三角形的三边长度，没有平行线，还能判定它们相似吗？

3.类比：判定三角形全等有 SSS、SAS、ASA、AAS 等方法，判定相似能否也有“三边成比例”这一种？

任务驱学

任务1：画△ABC与△A′B′C′，使 A′B′∶AB=B′C′∶BC=A′C′∶AC=1∶2，用量角器量出两个三角形的各角。

任务2：两组三角形的对应角分别相等吗？这两个三角形相似吗？

任务3：类比“SSS”，猜想“三边成比例的两个三角形相似”，并思考怎样用已学知识证明它。

任务4：若在AB上截取AD=A′B′、过D作DE∥BC，能否借预备定理与全等完成证明？

二次备课

探究新知

二、合作探究

探究1 画图度量：如图，画△ABC与△A′B′C′使三边对应成比例，量得∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且对应边成比例，所以△ABC∽△A′B′C′。

探究2 证明思路：在AB（或延长线）上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E。由DE∥BC得△ADE∽△ABC，故AD∶AB=DE∶BC=AE∶AC；又A′B′∶AB=B′C′∶BC=A′C′∶AC且AD=A′B′，得DE=B′C′、EA=C′A′，故△ADE≌△A′B′C′，从而△A′B′C′∽△ABC。

探究3 归纳定理：三边成比例的两个三角形相似。

符号语言：∵ AB∶A′B′=BC∶B′C′=AC∶A′C′，∴ △ABC∽△A′B′C′。

探究4 方法总结：题中给出两个三角形的三边时，先按“最长边对最长边、最短边对最短边”排序，再算三组比是否相等；三组全等才相似。

教

学

激思展学

例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由。

二次备课

过

程

及

方

法

解：在△ABC中，AB＞BC＞CA；在△DEF中，DE＞EF＞FD。∵ DE∶AB=2.4∶4=0.6，EF∶BC=2.1∶3.5=0.6，FD∶CA=1.8∶3=0.6，∴ DE∶AB=EF∶BC=FD∶CA，∴ △ABC∽△DEF。

例2 如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且A′B′∶AB=A′C′∶AC=1∶2。求证：△A′B′C′∽△ABC。

证明：由已知得AB=2A′B′，AC=2A′C′，∴ BC²=AB²－AC²=(2A′B′)²－(2A′C′)²=4(A′B′²－A′C′²)=4B′C′²=(2B′C′)²，∴ BC=2B′C′，∴ B′C′∶BC=A′B′∶AB=A′C′∶AC=1∶2，∴ △A′B′C′∽△ABC。

例3 如图，在△ABC和△ADE中，AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，∠BAD=20°，求∠CAE的度数。

解：∵ AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，∴ △ABC∽△ADE，∴ ∠BAC=∠DAE，∴ ∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵ ∠BAD=20°，∴ ∠CAE=20°。