精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年天等县上学期期中质量评估卷 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 山西是中华民族重要发祥地之一，其自然美景、历史文化遗产、革命史迹等共同构成了山西多姿多彩的旅游资源，下列山西旅游景点图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 对称轴为直线 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是九（1）小明同学在冬季田径运动会上掷铅球的高度与水平距离之间的抛物线，其关系式为，则小明此次掷铅球的成绩是（ ） A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m 11. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A. B. 18 C. D. 24 12. 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 将关于x的一元二次方程化成一般式为___________． 14. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 15. 如图，过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，轴于点，的面积为24，则的值为________． 16. 如图，一次函数与反比例函数交于两点，过两点分别作轴、轴的平行线交于点，连接交于点．若，则的值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 19. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 已知二次函数图像经过点． （1）判断这个函数图像的开口方向； （2）点在这个函数图像上，求m的值． 21. 第二届世界人形机器人运动会于2026年8月22日至26日在北京举办，运动会吉祥物智宝以“科技人文潮流”为主题进行设计，将潮玩的情绪价值与机器人科技的硬核特质深度融合．近月来，吉祥物智宝玩偶在各大电商平台上热销．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，智宝玩偶8月份销量为20万件，10月份销量已增至24.2万件． 素材2 某店铺以每件60元的价格购进智宝玩偶，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助运动会热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决： （1）任务1：求该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润等于1020元，则每件智宝玩偶实际售价应定为多少元？ 22. 为展现青岛“红瓦绿树、碧海蓝天”的城市特色，某文化节计划在栈桥附近搭建一座海浪造型的拱形灯门，其轮廓可以近似看作抛物线的一部分．如图，灯门底部两端相距8米，以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线经过点，长度单位均为米． （1）求灯门轮廓所在抛物线的函数表达式． （2）为增强灯门的夜间观赏效果，工作人员计划在灯门两侧距离地面3.75米高的位置分别安装一盏装饰灯．求这两盏装饰灯之间的水平距离． （3）为进一步美化灯门，工作人员计划在拱形灯门内部设计一个矩形灯带框架，使矩形的底边位于上，顶点恰好位于抛物线上，且矩形关于灯门的对称轴对称．现仅沿矩形的上边和左右两条侧边安装灯带．当矩形的宽和高分别为多少米时，所需灯带的总长度最大？最大长度是多少米？ 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点，为坐标原点． （1）求、的值及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． （3）在轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年天等县上学期期中质量评估卷 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.不能使用计算器． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 山西是中华民族重要发祥地之一，其自然美景、历史文化遗产、革命史迹等共同构成了山西多姿多彩的旅游资源，下列山西旅游景点图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，是一次函数，不符合． B选项，分母含有未知数，不是二次函数，不符合． C选项，化简得，是一次函数，不符合． D选项，是二次函数，符合． 3. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴． 4. 抛物线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把点代入，得． 5. 对于二次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 对称轴为直线 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次函数的二次项系数为，， 图象开口向下，故该结论正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线， 故该结论正确，不符合题意； C．顶点坐标为， 故该结论正确，不符合题意； D．图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，符合题意． 6. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定各项系数，注意系数包含符号． 【详解】解：已化为一元二次方程的一般形式， 二次项系数为，一次项系数为． 7. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得． 只有A选项符合条件． 8. 将抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 9. 某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长的百分数都是，那么与之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二次增长是在第一次增长的基础上增长的，经过连续两年的增长达到，再结合题意即可解答． 【详解】解：∵某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，每年增长的百分数都是， ∴一年后为，两年后为，即与之间的函数关系式是． 10. 如图，是九（1）小明同学在冬季田径运动会上掷铅球的高度与水平距离之间的抛物线，其关系式为，则小明此次掷铅球的成绩是（ ） A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m 【答案】B 【解析】 【分析】铅球落地时高度 y 为 0，令 y=0 解关于 x 的一元二次方程，取正值即为成绩． 【详解】令，得， 方程两边同乘，得， 因式分解得， 解得，， 表示水平距离， ， ，即小明此次掷铅球的成绩是． 11. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A. B. 18 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，，  ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，，  ∵， ∴，  ∴， 过点作于点，则四边形为矩形，  ∴，，  ∴， 在中，， ∴的周长为． 12. 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据桥下水面宽度为米，拱顶距水面米，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求出第个灯笼和第个灯笼的纵坐标即为的取值范围． 【详解】解：桥下水面宽度为米，拱顶距水面米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 拱顶到的距离是米， 悬挂了个灯笼， 拱顶的左、右各悬挂个灯笼， 设每个灯笼之间的水平距离为， 最左侧灯笼的坐标为， 则有，， ， 若在左侧再加一个灯笼，则这个灯笼的横坐标为， 第个灯笼的纵坐标为， 拱顶到的距离是米， 点的纵坐标为， 又灯笼的长度为米， 悬挂点的纵坐标最低为， 由题意可知， 整理可得：， 解得：或， 解得：或， ， ， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 将关于x的一元二次方程化成一般式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 14. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接对照二次函数的顶点式的坐标对应规则即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点式为（），其图象的顶点坐标为． 对比已知函数，可得，． ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 15. 如图，过原点的直线交反比例函数的图象于，两点，轴于点，的面积为24，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， 又∵B是反比例函数图象上的点，且轴于点C， ∴，解得， ∵该反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴． 16. 如图，一次函数与反比例函数交于两点，过两点分别作轴、轴的平行线交于点，连接交于点．若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设,，根据题意得到．由，得，即点分线段的比为，写出点坐标；又在直线上，同时联立一次函数与反比例方程，利用韦达定理得到、的关系，联立求解． 【详解】解：设，， 轴，轴， 点横坐标与相同，纵坐标与相同，即． 已知， ， ， 是与交点， 联立：， 整理：， 由韦达定理：①， 直线，在上，代入： ， ， 又在一次函数上：， 即， 代入上式：， ， 已知， 解得：， 代入①式：， ， 解得． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为（或） （2）二次函数的图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据找出对称轴、顶点，设顶点式求解析式； （2）根据表格描点画抛物线； （3）根据自变量范围，对比对称轴位置，结合二次函数的图象性质得出的取值范围． 【小问1详解】 解：表格中，和时的函数值均为， 则二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入可得， 解得， 则这个二次函数的解析式为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，该二次函数的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 则当时，二次函数的最小值为， 据表格可知，当，，当，， 故当时，的取值范围为． 19. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转性质可知，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； 由旋转性质可知，，，则有是等边三角形，所以，可得，所以，再代入即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 20. 已知二次函数图像经过点． （1）判断这个函数图像的开口方向； （2）点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】（1）开口向上 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【小问1详解】 解：将点代入中 得  即 解得  因为 所以这个函数图像的开口向上 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得  解得. 21. 第二届世界人形机器人运动会于2026年8月22日至26日在北京举办，运动会吉祥物智宝以“科技人文潮流”为主题进行设计，将潮玩的情绪价值与机器人科技的硬核特质深度融合．近月来，吉祥物智宝玩偶在各大电商平台上热销．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，智宝玩偶8月份销量为20万件，10月份销量已增至24.2万件． 素材2 某店铺以每件60元的价格购进智宝玩偶，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助运动会热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决： （1）任务1：求该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润等于1020元，则每件智宝玩偶实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每件智宝玩偶实际售价应定为75元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率问题列方程求解即可； （2）设每件智宝玩偶实际售价应定为y元，根据利润乘以数量等于总利润列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台智宝玩偶8月到10月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件智宝玩偶实际售价应定为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件智宝玩偶实际售价应定为75元． 22. 为展现青岛“红瓦绿树、碧海蓝天”的城市特色，某文化节计划在栈桥附近搭建一座海浪造型的拱形灯门，其轮廓可以近似看作抛物线的一部分．如图，灯门底部两端相距8米，以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知抛物线经过点，长度单位均为米． （1）求灯门轮廓所在抛物线的函数表达式． （2）为增强灯门的夜间观赏效果，工作人员计划在灯门两侧距离地面3.75米高的位置分别安装一盏装饰灯．求这两盏装饰灯之间的水平距离． （3）为进一步美化灯门，工作人员计划在拱形灯门内部设计一个矩形灯带框架，使矩形的底边位于上，顶点恰好位于抛物线上，且矩形关于灯门的对称轴对称．现仅沿矩形的上边和左右两条侧边安装灯带．当矩形的宽和高分别为多少米时，所需灯带的总长度最大？最大长度是多少米？ 【答案】（1） （2）2米 （3）当矩形宽为4米、高为3米时，灯带总长度最大，最大长度为10米 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求出两个点的横坐标，作差即可解答； （3）设矩形的高为（即侧边长度，对应G、F点的纵坐标），矩形的上边的长度为，得出G、F的横坐标分别为和，将代入抛物线方程，得，从而得出灯带总长度，再根据二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线过和，这两个点是抛物线与x轴的交点， 因此设抛物线的交点式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 故抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：装饰灯高度为3.75米，即令，代入抛物线表达式得：​， 整理得：，解得：，， 两个点的横坐标差就是水平距离：， 因此两盏装饰灯的水平距离为2米； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵矩形关于对称轴对称， ∴设矩形的高为（即侧边长度，对应G、F点的纵坐标），矩形的上边的长度为，（底边的长度也为）， 则G、F的横坐标分别为和， 将代入抛物线方程，得：， 灯带总长度为两条侧边加上边的长度和：， 把代入得：， 这是开口向下的二次函数，当时，取得最大值， 此时， 此时矩形的水平宽度（宽）为米，高米， 即当矩形宽为4米、高为3米时，灯带总长度最大，最大长度为10米． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，一次函数的图象与轴交于点，为坐标原点． （1）求、的值及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． （3）在轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把点坐标分别代入反比例、一次函数解析式求出$k，b$，联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标； （2）结合这个限制条件，观察图象，反比例图象在一次函数上方对应的自变量范围即为不等式解集； （3）利用轴对称求最短路径，作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为，求出直线解析式后求它与轴交点坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得． 将代入，得，解得． 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组： 可得，整理得， 解得，． 当时，， ． 【小问2详解】 解：，由图象可得，反比例函数图象在一次函数图象上方时，或． 不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：存在． 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小． 设直线的解析式为，把，代入： 解得． 直线解析式：． 当时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $