山东德州市多校2026-2027学年高二上学期校际教研诊断数学试题

2025级校际教研诊断数学答案 1-8 CABD DCBA 9-11 BCD BD ACD 12.20 13.7v0 10 14.1+ 2 15.(1)1:x-2y-1=0,1 (2)3x-2y=0或x+y-5=0 【详解】1)BC的中点F3,),kc=3=-2, 2-4 1 ∴.边BC的垂直平分线所在的直线1的斜率为k= 22分 由点斜式方程可得边BC的垂直平分线所在的直线方程为y-1=。(x-3), 整理得1：x-2y-1=0.… 4分 设点A关于l对称点D(a,b),∴kD= b-1 即2a+b-1=0①， 5分 0的中点G号，2，：G在1上，号-2-1=0， 2,2 整理得a-2b-4=0②， 6分 6 a= 联立①②，解得 5 7 .8分 b=- (2)当直线的截距均为0时，此时直线过(0,0)和B(2,3), 3 可得此时直线的方程为y=之X,整理得3x-2y=0:10分 当直线的截距不为0时，设直线的纵横截距为a,由截距式方程可得+y-l, aa 又直线经过B2,3),:2+3-=1,得a=5,枚直线的方程为x+y-5=012分 aa 综上，直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.13分 160ac=-ac,m=a+5+,0-+g5+g:o0 10 【详解】(1)如图，连接ON,结合向量线性运算及向量基本定理，可得 AC=OC-OA=-a+C,2分 w=ow-ow-os+0oi-a 1 ,1 a+b+c, 2 2 2 4分 o0-0w+w0-oi+w=- a+a+6+e-3a+b+ 1 +4-2a+2 。a+ c .7分 4 2J888 （2)由影意，得a-b=1x1xco=0,6-d=lx2xeos至-0.ac=lx2×o 1, 3 又由)得，4C=-a+,0Q=0M+M@-a+6+ 808 答案第1页（共6页） 所以4c=-a+d=V(-a+c}=v层-2ac+c=v3, 8分 55 32 ..10分 V164 所以4c-00=(-a+a++9)+ 1c2-1 .1 1 3 a.b+-a.c+-b.c= 8 .12分 3 AC.00 设异面直线AC与OQ所成角为0，则cos0= 8 15 Ado回 5×V510,.14分 即异面直线AC与OQ所成角的余弦值为 15分 10 17.(1)x-2=0或3x-4y-14=0 (2)(x-1)2+y2=2 (3)最大值23，最小值15. 【详解】(1)圆W的圆心为W(0,-1),半径r=2, 当直线斜率不存在时，则x=2,此时直线与圆相切，满足题意2分 当直线斜率存在时，设切线方程为y+2=k(x-2),即x-y-2k-2=0, ,圆心W(0,-1)到切线的距离等于半径2， .上2水-22，解得k Vk2+1 此时切线方程为3x-4y-14=0,故切线方程为x-2=0或3x-4y-14=05分 (2)联立 -+4解两 x2+(y+1)2=4 y=-17分 ,或 则圆W与圆Q的交点为S(0,1),T(2,-1),线段ST的中点为(1,0)，k=-1, 所以垂直平分线的斜率为1，方程为x一y-1=0… 8分 由 2x+y-2=0得x=故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2… x-y-1=0得 y=04 …10分 因此所求圆的方程为(X-1)2十y2=2.11分 (3)设P(x,y),则x2+(y+1)2=4→(y+1)2=4-x2, |P4+PB+PC=(x-1)2+(y+1)2+(x+22+y2+x2+(y+2) =3x2+3y2+2x+6y+10=3x2+2x+3(y+1)2+7=19+2x 13分 ,点P在圆x2+(y+1)2=4上运动，则-2≤x≤2， ∴.当x=2时，P4+PB+PC取得最大值23. 答案第2页（共6页） 当x=-2时，PA+PB+PC取得最小值1515分 第三问方法二： 17.®设P(xy) 3X=20050 y=2S%0- ···2分 IPA+(PB+PCl'=L6s6-1)'+em)(2+2(2 +c39广+(25m6+) =2Sm0+2o36+7十4s5 二1A十48 .Cost9 eF.1 ..pAf+IPBP'+IPCP max =+=3.) [PAP+|B+1P门ma=I9-4=5.p2,-5分 18@a-9 (B)存在点M, CM 1 【详解】(1)证明：因为OP⊥OD, 而O为AB中点，PA=PB,所以OP⊥AB.1分 则AB,DOC平面ABCD,又AB∩DO=O,于是PO⊥平面ABCD, 由CDc平面ABCD,得PO⊥CD,由AB=2,O是AB中点，得AO=BO=1, 而∠ABC=90°，BC=1,则OC=√2，由AD11BC,得∠BAD=90°， 又AD=3,则OD=√10，在直角梯形ABCD中，CD=√AB2+(AD-BC2=2√2， 因此CO2+CD2=10=D02,即OC1CD,3分 又C0∩P0=O,C0,POc平面POC,(不写交点扣1分) 所以CD⊥平面POC. 5分 (2)取CD中点M,连接OM,则OM/1BC,由(1)得直线OB,OM,OP两两垂直， 以O为原点，直线OB,OM,OP分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系，6分 设0P=h(h>0),则00,0,0)，A(-1,0,0),B1,0,0),C1,1,0),D(-1,3,0),P(0,0,h), CD=(-2,2,0),PD=(-1,3,-h),0D=(-1,3,0), .-....... M 设平面CPD的法向量为n=(x,,z),则 CD.n=-2x+2y=0 取x=h,得 PD.=x+3y-hz=0 n=(h,h,2),… 8分 答案第3页（共6页） 设平面OPD的法向量为m=(x2,y2,z2),则 历-m=x+3奶e,=0取%=1，得m=6,0,10分 0D.m=-x2+3y2=0 由二面角C-PD-0的平面角的余弦值为5，得cos-a- 4h =V5 5 1mln川10√2h+45' 解得h=V6 所以oP=6 12分 (3)假设在侧棱PC上存在点M,使得BM,OP,OD共面，即BM/平面POD, 由（2)知C(1,1,0),P0,0,h),CP=(-1,-1,hM,平面OPD的法向量为m=(3,1,0), 设CM=CP(0≤≤1)，则CM=(-,-元，2h),而BC=(0,l,0), 因此BM=BC+CM=(-,1-2,h2), .14分 由BM1/平面POD,得BMm=-32+1-=0,解得入=号 .16分 所以在侧棱PC上存在点M,使得BM,OP,OD共面， CM PC 17分 第二问方法二： 注下®下MLD安PD于h车接CM CFIPD FMLPD PDL面mFC C千n=半 .'CmC面MTC 八、 PDLCM 八∠mC为c-p-o年面角一8分 D 盆C作T10D 2 由D和.0PL通ABCD 吓=02平= C千C面ABD 又W△FmD△PD PD. 、OPLCF. 设中加. PD=mitto 又0Pn0D=0 仍Thc=竖 ,八ta∠fMc=2 所2 -10分 、cf1面oD 下M=号 4@ pbc面PoD内 (m70) m √mo cT⊥PD 桶得m=号 一-2分 第三问方法二： 答案第4页（共6页） 目有在，点他车浅是条千 D 易知BJioP ,c6叮 条：常 CH BC 、H为CD靠近C角四松益 一14分 BHIIOD. 蚌祥为M的养红C麻四手分点时 HMIPD “M乙面酬M BHnHM=H ·m11面P0-分 opnpD=D BH,HMC面B别M D,PDC面PbD 南BHM1面D.一6分 19.(2)29 :③1=5时，0取得最小恤号 【详解】(1)(1)设点D在平面SBC的投影为H,连接SH. （2++2-(5_ H 在三角形ABC中，cOS∠BAC= 2×2+V3)x2 2 ,即翻折后DC与SC不垂直， 从而S,H不重合，由H是△SBC的垂心得SH⊥BC, 因为DH⊥平面SBC,BCC平面SBC,所以DH⊥BC, 又因为SH∩DH=H,SH,DHc平面SHD,所以BC⊥平面SHD 因为SDC平面SHD,所以BC⊥SD.4分 (2)同(1)可得CD⊥SB,在平面SBD内，过D作DE⊥SB交SB于E点， 又因为CDODE=D,CD,DEC平面CDE,所以SB⊥平面CDE. 又CEc平面CDE,所以SB⊥CE, 由SB⊥CE及勾股定理得：SC2-SE2=CE2=BC2-BE2, 等价为：SC2-BC2=SE2-BE2①又DEc平面SDE,所以SB⊥DE, 由SB⊥DE及勾股定理得：SD2-BD2=SE2-BE2② 联立①②得：SC2-BC2=SD2-BD2, 结合题意SC=2,BC=V5,SD+BD=2+V3,解得：SD=V3,BD=2. 由余张定理得：CD=V5c+02-2CS0-cs∠CS0=2+-2x2x5x5 2 则CD+SD=SC2,CD2+BD=CB2,则由勾股定理逆定理可得：CD⊥SD,CD⊥BD. 答案第5页（共6页） 又因为CDOBC=C,CD,BCC平面BCD,所以SD⊥平面BCD, 因为BDC平面BCD,所以SD⊥BD,即DB,DC,DS两两垂直.7分 则以D为原点，DC,DB,DS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D0,0,0),C1,0,0),B(0,2,0),S0,0,V3), BC=L,-2,0),BS=(0,-2,V3),设平面SBC的法向量为i=(x,y,z), -BC=0.则x-2y=0取i=(25,5,2) 则 ,即 n-Bs=0’-2y+3z=0 9分 设直线50与十面S8C夹角大小为u,则maos元D四0S-5怎9910分了 (3)由(2)知DC=(1,0,0),DS=(0,0,V3),平面BCD的法向量为m=(0,0,1). ZA 由 PC=(a>0)得： mac14时=经oaa网列-0 D B 1+ 11分 同理得： 。2V32 D0-0+元'1+元 12分 设平面DPQ的法向量为t=(a,b,c), DP.7=0 a+3 则 即1+ c=0 1+ DO.i=0 2b+5 可取白1，)，314分 c=0 (1+21+2 所以cos0= m.n 3 1 +1V3+12,即0≥π」 1 =≤ m 3,3 3 4 3 4 当且仅当3-3九即兄=2时取等。…… 2=4 16分 综上所述：1=√2时，0取得最小值 17分 答案第6页（共6页）2025级校际教研诊断 数学试题 一、单选题 1.已知一个圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为4，则该圆台的体积为 A.28m 3 B. C.56v3π D.56π 3 2.已知异面直线m,n的方向向量分别为m=(0,-1,-),n=(1,2,1),则异面直线m,n所成角 的大小为 48 B C.2π D. 5π 3 6 3.已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是 A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 4.已知m,n为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若mlln,nca,则ml∥a B.若a⊥B,ml∥a,n⊥B,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则nl∥a D.若m⊥a,ml/n,n⊥B,则allB 5.己知二面角a-I-B为60°，A,B是棱l上的两点，AC,BD分别在半平面a,B内，且AC⊥I, BD⊥I,AC=3,BD=4,CD=17,则AB的长为 A.4 B.17 C.V12W3-8 D.2 6.空间向量0A=(L,00),0B=(01,0),0C=(00,1),向量0P=x0A+y0B+z0C,其中++2=1， 22 则OP的最小值为 A.1 B.4V6 C.v6 D.2 3 3 7.己知点P为直线l:mx-2y-m+6=0与直线l2:2x+my-m-6=0(m∈R)的交点，点9为圆 C:(x+3)2+(y+3)2=8上的动点，则PQ的最大值为 第1页 A.92 B.8√2 C.6√2 D.72 8.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，且AB=2,光线从AB边上的中点P出 发，经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长P?+OR+RP= A.10 B.5 C.2W10 D.10 二、多选题 9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是 A.任意一条直线都有倾斜角 B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C.若一条直线的倾斜角为a,则该直线的斜率为tana D.直线l:x+y+2=0在y轴上的截距为2 10.下列选项正确的是 A.已知点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=2上，则x+y的最大值是3 53 B.直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+V4-x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 12'4 C.若圆x2+y2=r2上有3个不同的点到直线x-y-2=0的距离为1，则有r=√2-1 D.直线V5x+y+1=0的一个方向向量为V3,-3 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别为BC,CD的中点，P为正方形ADDA 内的动点，则 A.MNII平面ABCD B.MN⊥AN A B C.二面角A-CN-M的余弦值为时 .-- P D.当直线PM与平面ADDA所成角的正切值为√5时，点P的轨 迹的长度为4v5, B 共2页 三、填空题 12.如图，矩形A'B'CD'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B=2, B'C”=4,则平面四边形ABCD的周长为 OB 13.在长方体ABCD-ABCD中，AB=3,AD=1,AA=2,则点B到直线AC的距离为 14.已知直四棱柱ABCD-AB,CD的棱长均为2，∠BAD=60°.以D为球心，√5为半径的球与侧 面BCCB的公共部分面积为 四、解答题 15.已知A(0,1),B(2,3),C(4,-1),求（均写成一般式方程）： (I)BC边垂直平分线方程1及点A关于1对称点D: (2)过点B且在坐标轴上截距相等的直线方程， 16.如图，M、N分别是三棱锥O-ABC的棱OA、BC的中点，Q是线段MN上一点且MQ=,MN, 记OA=a,OB=b,OC=c. (1)用a,b,c表示AC,MN,OQ: ②若同-=6=1，=2,408=∠B0c-40c 3 求异面直线AC与OQ所成角的余弦值. B 17.己知圆W:x2+(y+1)2=4. (1)求过点T(2,-2)且与圆W相切的直线方程； 第2页 (2)求圆心在直线2x+y-2=0上，且经过圆W与圆2：(x-2)+(y-1)=4的交点的圆的方程： (3)已知A(1,-),B(-2,0),C(0,-2)三点，点P在圆W上运动，求PA+PBP+|PCP的最大值和最小 值 18.四棱锥P-ABCD中，O为AB中点，且满足PA=PB,OP⊥OD,ADIBC,∠ABC=90°，BC=1, AB=2,AD=3. (1)求证：CD⊥平面POC: (②)若二面角C-PD-O的平面角的余弦值为5 ,求出OP的值； D (3)在侧棱PC上是否存在点M,使得BM,OP,OD共面？若存在，求出 CM 的 值：若不存在，请说明理由 B 19.若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体.如图， △ABC中，AB=2+V3,BC=V5,CA=2,在AB上取一点D,将△ACD沿CD折叠到某个位置得 到aSCD,使得三棱锥S-BCD为垂心四面体. S D (I)求证：SD⊥BC: (2)求SD与平面SBC的夹角的正弦值： (B)设动点P在棱sC上，动点Q在棱SB上，请足Pペ-Aa>0),记平面DP2与平面D8C所 PC OS 成锐二面角为0，求0的最小值及此时元的值 共2页