专题23 求扇形面积和圆锥面积（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题23 求扇形面积和圆锥面积
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01用弧长公式求弧长
题型02用扇形面积公式求扇形面积
题型03求图形旋转后扫过的面积
题型04求弓形面积
题型05求其他不规则图形的面积
题型06求扇形的半径
题型07求圆心角
题型08求某点的弧形运动路径长度
题型09求圆锥的侧面积
题型10求圆锥的底面圆半径
题型11圆锥的实际问题
题型12圆锥侧面展开图上最短路径问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一 弧长公式
在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度．
【针对训练】
【例1】如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
【变式1-1】西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和．利用切线的性质可得，进而得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
，分别与相切于点 A， B，
，
，
，
所对圆心角为，
该圆半径是，
的长是，
故选：B．
知识点二 扇形面积公式
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式.
【针对训练】
【例2】图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
证明是等边三角形，求出，得到（），即可得到答案．
【详解】解：矩形，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
（），
故答案为：
【变式2-1】如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求扇形面积，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明．
（2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用扇形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
，
，
，
∴，
，
，
，
为直径，
，
，即，
．
（2）解：如图，连接，由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
知识点三 弓形面积（弓形面积＝扇形面积±三角形的面积）
S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形
【针对训练】
【例3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，
∴，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：B．
【变式3-1】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
知识点四 圆锥的侧面积和全面积
1）母线的定义：把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
2）圆锥的侧面展开图及有关计算
（1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（2）圆锥常见量之间的关系（如图）
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h
（1）这个扇形的弧长为2πr；
（2）；
（3）
（4）
（5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为
【易错点】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【针对训练】
【例4】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求出，进而求得圆锥的侧面积．
【详解】解：设，则，
根据题意，得
解得，
，
圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【变式4-1】如图，为圆锥底面直径，为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，圆锥的侧面积公式，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】解：，，
，
在中，，
，
，
这个圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【例5】如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥表面积的计算，一次函数的性质，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设小圆的直径为x，若扇形弧长与底面圆的周长相等，则，得到，可知时，，即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：．
【详解】解：设小圆的直径为x，
若扇形弧长与底面圆的周长相等，
则，
∴，
∵随着的增大而增大，
且当时，，
即当底面小圆的直径恰好等于大圆的半径时，小圆与大圆的直径相切，扇形的弧长恰好与小圆的周长相配套，此时圆锥的表面积为：，
故答案为：．
【变式5-1】圆锥的底面直径是，母线长，则圆锥的全面积为
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的全面积，先求出圆锥的底面积和底面圆的周长，再求出圆锥的侧面积，进而即可求解，掌握圆锥的侧面积计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵圆锥的底面直径是，
∴圆锥的底面积，底面圆的周长，
∴圆锥的侧面积，
∴圆锥的全面积，
故答案为：．
典例精析
题型01用弧长公式求弧长
【典例】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可.
【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，
∵正方形的边，
∴，
∴的长为，
∴阴影部分的周长为.
【变式】如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______．
【答案】
【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为，
∵的长度为，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴的长度是．
题型02用扇形面积公式求扇形面积
【典例】如图，的半径为是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，则：，
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，
，
∴，为等边三角形，
，
阴影部分的面积．
【变式】如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为．
(1)求的度数；
(2)若，求扇形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，推导出，得到，继而推导出，得到为等边三角形，求出，即可解答；
（2）过点O作，垂足为，推导出，得到四边形为矩形，则，继而求出，最后根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
是的切线，切点为C，
．
，
．
，
，
．
，
．
，
为等边三角形，
，
；
（2）解：如图，过点O作，垂足为．则，
∵，，
，
四边形为矩形，
，
在中，，，
则，
．
题型03求图形旋转后扫过的面积
【典例】如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到．
(1)在所给的图形中画出；
(2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______．
【答案】(1)如图：即为所求．
(2)，
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点，以及的位置，然后顺次连接即可解答；
（2）直接利用网格以及勾股定理得出线段的长，再利用扇形面积公式得出线段所扫过的图形的面积．
【详解】（1）略
（2）解：线段的长为：；
∵，，
∴此过程中线段所扫过的图形的面积为：．
【变式】图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)当时，求四边形的面积．
(3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积．
【答案】(1)证明： ，，
四边形是平行四边形，
由旋转可得，
四边形是菱形；
(2)
(3)线段扫过的面积为或或或
【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证；
（2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解；
（3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解．
【详解】（1）略
（2）解：矩形纸片的边，，
，
当时，四边形是正方形，
四边形的面积为；
（3）当时，，线段扫过的面积为；
当时，，线段扫过的面积为，
当时，，则，线段扫过的面积为；
当时，，线段扫过的面积为；
线段扫过的面积为或或或．
题型04求弓形面积
【典例】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数；
（2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵是的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
即阴影部分的面积为．
【变式】【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”．
【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦．
(1)求证：平分．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证；
（2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
∵，
又，，
，
，
平分．
（2）解：由（1）得平分，
∵
，
，
，
，
连接，，如图所示，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
，
．
题型05求其他不规则图形的面积
【典例】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果）
【答案】(1)证明：如图，连接．
为的直径，
．
．
又，
．
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解．
【详解】（1）解：略
（2）解：如图，连接．
为的直径，
．
，，
，，．
在中，，
．
，
即阴影部分的面积为．
【变式】计算阴影部分的面积
【答案】
【分析】阴影部分的面积为半径为的半圆面积加圆心角为，半径为的扇形面积（即的圆形面积）减去等腰直角三角形的面积．
【详解】解：
．
题型06求扇形的半径
【典例】如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，分别切于点A，B，
∴，
∵，且，
∴，
∵的长为，
∴，
解得：．
【变式】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________．
【答案】
【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：设这条弧所在圆的半径为．
由题意得，
整理得 ．
两边约去，解得 ．
题型07求圆心角
【典例】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
【答案】/45度
【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：如图，连接，，
设，
∵的长为，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________．
（2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________．
（3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________．
【答案】 2 2 /150度
【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：．
（1）据扇形面积公式求解即可；
（2）根据扇形面积公式求解即可；
（3）先根据求出半径，再根据求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
∴，
∴．
故答案为：2；
（2）∵扇形的圆心角为，面积为，
∴
解得（负值舍去）．
故答案为：2；
（3）由（1）知，，
∴，
∴．
∵
∴．
故答案为：．
题型08求某点的弧形运动路径长度
【典例】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______．
【答案】
【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴顶点从开始到结束所经过的路径长．
【变式】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆，
∴其长度为．
题型09求圆锥的侧面积
【典例】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______．
【答案】
【分析】根据扇形弧长与圆锥的底面周长的关系求出扇形弧长，根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面圆直径为，
圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
，
解得，
圆锥的侧面展开图面积．
【变式】如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________．
【答案】
【分析】根据“完美扇形”的定义得到弧长与半径的关系，结合扇形周长求出半径和弧长，代入面积公式计算即可．
【详解】解：设“完美扇形”所在圆的半径为，根据“完美扇形”的定义可得弧长，
“完美扇形”的周长为两个半径长加弧长，
由题意得，
将代入得，
解得，
则，
圆锥的侧面积等于其侧面展开扇形的面积，
因此这个圆锥的侧面积为．
题型10求圆锥的底面圆半径
【典例】用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】
【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴代入圆心角，扇形半径，
得方程，
解得，
∴这个圆锥的底面圆的半径为．
【变式】在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____．
【答案】/15厘米
【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，根据弧长公式列等式求解即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，由题意得：
，
解得．
题型11圆锥的实际问题
【典例】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取）
(1)这堆沙子的体积是多少立方米？
(2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？
【答案】(1)这堆沙子的体积是立方米
(2)可以铺米的小路
【分析】本题考查有理数的乘除运算，圆锥的体积公式，长方形的体积公式，掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据圆锥的底面周长公式，求出底面半径，再根据圆锥的体积计算公式，求出这堆沙的体积，即可解答．
（2）根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度．
【详解】（1）解：（米）
（立方米）
答：这堆沙子的体积是188．4立方米．
（2）2厘米米
（米）
答：可以铺1884米的小路．
【变式】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______．
【答案】24
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为，
∴它的侧面展开图的弧长为，
设母线的长为，
解得，
∴母线长是．
故答案为：24．
题型12圆锥侧面展开图上最短路径问题
【典例】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
【答案】C
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度．
由题意知，， ，
设，根据弧长公式可求，
则最短路程为：在中，．
【变式】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________．
【答案】
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是，
以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是，
设展开后的圆心角是，则，
解得：，
∴展开后，
，，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
1．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵的半径为，即，
∴的长为．
2．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，分别切于点A，B，
∴，
∵，且，
∴，
∵的长为，
∴，
解得：．
3．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴B点经过的路线长．
4．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角
的半径为
．
5．如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得，由锐角三角函数可求，由扇形面积公式可求解．
【详解】解：，
，
四边形是矩形，
，，
将线段绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，
，
线段扫过的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：．
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．如图，圆锥的母线长，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积等于____（结果用含π的式子表示）．
【答案】
【详解】解：∵圆锥的母线长，底面圆的半径为，
∴圆锥的侧面积为：．
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为5，扇形的圆心角等于，则该圆锥底面圆的半径为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．
先根据扇形的半径和圆心角求出扇形的弧长，该弧长等于圆锥底面圆的周长，再利用圆的周长公式求出底面圆的半径．
【详解】解：∵扇形的半径，圆心角，
∴扇形的弧长，
∵扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴设圆锥底面圆的半径为，则，
∵，
∴，
故答案为：．
10．在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为______．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算以及勾股定理等知识，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键．
设此圆锥的母线长为R，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求解即可确定R的值，然后由勾股定理计算圆锥的高即可．
【详解】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得，
解得，即在中，，
∴由勾股定理，可得，
即此圆锥的高为．
故答案为：．
11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到．
(1)画出；
(2)求边在旋转过程中扫过的图形面积．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
(2)
【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键．
（1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可；
（2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：
，
线段在旋转过程中扫过的图形面积为．
12．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可得，进而根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，的半径为6，
∴．
13．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为，
从点到点半，经过了30分钟，即小时，
时针转过的圆心角，
时针长，即扇形半径，
时针扫过的面积．
14．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点
∵折叠，
∴，，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
∴
故选：C．
15．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：连接，
∵正方形的边长为1，，
∴，，
∴，，，
，，
∵
∴，
∴四边形是矩形，
．
16．经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，
在中，，
由圆锥侧面积公式可得，．
17．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
【详解】连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
18．如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，若，则图中弧的长为______．
【答案】
【分析】连接，根据为半圆O的直径，可得，再由等腰三角形的性质可得，，然后根据圆周角定理可得，再根据弧长公式解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为半圆O的直径，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴弧的长为．
19．如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解．
【详解】解：连接，，
∵点为半圆的三等分点，
∴，，
∴，
∵半圆的直径，
∴，
∵，
∴与等底等高，
∴阴影部分的面积为扇形的面积，
∴扇形的面积，
∴阴影部分的面积为．
20．如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________．
【答案】/
【分析】连接，取的中点O，连接，根据为直径可知，在等腰直角三角形中，，，根据三线合一得到，得出，再由，得到，因此阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，
∵在中，，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴点D是的中点，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴
即．
∴
．
21．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
【答案】
【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可．
【详解】解：大圆半径为，小圆半径为，
圆环区域的外半径为，内半径为，
圆环的面积的四分之一为，
小圆的面积为，
故小圆盘运动过程中扫过的面积为．
22．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数；
（2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果．
【详解】（1）解：为的直径，
，
．
，，
，
．
（2）解：为的直径且，
．
是的角平分线且，
．
，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
阴影部分面积为圆面积减去，即，
即阴影部分面积为．
23．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“所对的直角边是斜边的一半”易得，利用勾股定理可得，再根据旋转的性质，得，，，最后根据扇形面积公式和“”，计算即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
由旋转可得，，，
．
24．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长．
【详解】解：在矩形 中，，，
设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点，
则点在的垂直平分线上
∴
在中，
在 中，，即
解得，
过作交延长线于，
∵矩形中，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
则，
∴
在中，
∵
∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置，
∴
在中，，，
弧的长即为 ．
25．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∵点沿着圆周转动，即旋转，
∴旋转，即旋转，
∴点C转过的圆心角为，
∴点C经过的路径长为．
26．如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出扇形的圆心角，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长．
【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，设，
根据题意得，
解得 ，
∴，
∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为．
27．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质和圆的定义证明是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，四边形是边长为2的菱形，
，，
点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，
，
,
是等边三角形，
，
，
，
，
的长度等于．
28．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：在中，，，
， 由勾股定理得，
由旋转的性质可知，，，
，
阴影部分的面积
．
29．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点D，再作，使得圆心O在边上，且过点B、点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积．
【答案】(1)如图所示，即为所求；
(2)
【分析】（1）作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则点D和即为所求；
（2）连接，设与交于点E，与交于点F，与交于点G，得到，是等边三角形，求出，，，然后利用与重叠部分的面积求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接，设与交于点E，与交于点F，与交于点G，
∵，平分，，
∴，是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重叠部分的面积．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
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专题23 求扇形面积和圆锥面积
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01用弧长公式求弧长
题型02用扇形面积公式求扇形面积
题型03求图形旋转后扫过的面积
题型04求弓形面积
题型05求其他不规则图形的面积
题型06求扇形的半径
题型07求圆心角
题型08求某点的弧形运动路径长度
题型09求圆锥的侧面积
题型10求圆锥的底面圆半径
题型11圆锥的实际问题
题型12圆锥侧面展开图上最短路径问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
知识点一 弧长公式
在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度．
【针对训练】
【例1】如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【变式1-1】西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘，分别与相切于点A，B．若该圆的半径是，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
知识点二 扇形面积公式
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式.
【针对训练】
【例2】图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留）
【变式2-1】如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求扇形的面积．
知识点三 弓形面积（弓形面积＝扇形面积±三角形的面积）
S弓形＝S扇形－S三角形 S弓形＝S扇形＋S三角形
【针对训练】
【例3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）．
知识点四 圆锥的侧面积和全面积
1）母线的定义：把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
2）圆锥的侧面展开图及有关计算
（1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（2）圆锥常见量之间的关系（如图）
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h
（1）这个扇形的弧长为2πr；
（2）；
（3）
（4）
（5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为
【易错点】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【针对训练】
【例4】如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ．
【变式4-1】如图，为圆锥底面直径，为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
【例5】如图，有一张半径为的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 （结果保留）．
【变式5-1】圆锥的底面直径是，母线长，则圆锥的全面积为
典例精析
题型01用弧长公式求弧长
【典例】如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式】如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______．
题型02用扇形面积公式求扇形面积
【典例】如图，的半径为是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式】如图，是的直径，点，在上，，是的切线，，垂足为．
(1)求的度数；(2)若，求扇形的面积．
题型03求图形旋转后扫过的面积
【典例】如图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将（顶点都是正方形的顶点）绕点O按逆时针方向旋转得到．
(1)在所给的图形中画出；
(2)线段的长为______，此过程中线段所扫过的图形的面积为______．
【变式】图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)当时，求四边形的面积．
(3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积．
题型04求弓形面积
【典例】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题：
(1)的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【变式】【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”．
【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦．
(1)求证：平分．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
题型05求其他不规则图形的面积
【典例】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果）
【变式】计算阴影部分的面积
题型06求扇形的半径
【典例】如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【变式】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________．
题型07求圆心角
【典例】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
【变式】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________．
（2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________．
（3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________．
题型08求某点的弧形运动路径长度
【典例】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______．
【变式】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
题型09求圆锥的侧面积
【典例】圆锥的底面圆直径为6，侧面展开扇形圆心角的度数为，则该圆锥的侧面积是______．
【变式】如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长是12，则这个圆锥的侧面积是_________．
题型10求圆锥的底面圆半径
【典例】用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【变式】在春季研学活动中，某校学生前往研学基地学习编织一种圆锥形传统手工艺术品．若这种圆锥形传统手工艺术品的母线长为，侧面展开的圆心角度数是，则该底面圆的半径为_____．
题型11圆锥的实际问题
【典例】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取）
(1)这堆沙子的体积是多少立方米？
(2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？
【变式】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______．
题型12圆锥侧面展开图上最短路径问题
【典例】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
【变式】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________．
1．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
3．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（ ）
A．π B． C． D．
4．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留）
8．如图，圆锥的母线长，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积等于____（结果用含π的式子表示）．
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为5，扇形的圆心角等于，则该圆锥底面圆的半径为_________．
10．在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为______．
11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到．
(1)画出；
(2)求边在旋转过程中扫过的图形面积．
12．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
16．经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
17．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，若，则图中弧的长为______．
19．如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________．
20．如图，在圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接，若，则阴影部分的面积为________．
21．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
22．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
23．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
25．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
26．如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
27．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
28．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________．
29．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点D，再作，使得圆心O在边上，且过点B、点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
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