专题6.3.1 角的概念（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.3.1 角的概念 教学目标 1. 知识与技能：理解角的静态、动态定义，掌握角的四种表示方法，能根据图形规范表示角；掌握周角、平角、直角关系以及度、分、秒 60 进制换算与运算；理解方向角的定义、规范写法，会判断、计算方向角；掌握钟面角中时针、分针的转动规律，能计算钟面上时针与分针的夹角。 2. 过程与方法：经历观察、画图、换算、推理的过程，区分不同题型的模型，发展几何直观，学会数形结合解决角度问题。 3. 情感态度：规范几何语言书写，体会角在生活中的应用，养成细致审题、分类讨论的习惯。 教学重难点 1.重点 角的定义与规范表示；度分秒之间的换算与加减运算；方向角的识别和规范表述；钟面角的计算。 2.难点 （1）角的表示：顶点处多个角时，不能只用一个字母表示角； （2）角度 60 进制换算、借位与进位计算，容易和十进制混淆； （3）方向角找准观测点，利用平行线进行角度转化； （4）钟面角理解时针随分针同步转动，用模型列式计算夹角。 知识点01 角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有 端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。 动态定义：把一条射线绕着它的 旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的 叫做角的顶点。 角的边：组成角的 是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 。 （方法2与方法3适用于任意角） 【即学即练】 如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 知识点02 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有 ； ； 。 把周角360份等分，平均一份就是 度，记作： ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 ，记作： ，把1′角按60份等分，其中一份就是 ，记作： 。 2. 角的单位换算： 1周角＝ ＝ 平角，1平角＝ ＝ 直角，1直角＝ 。1°＝ ， 1′＝ 。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 的部分化成分，在把不足 的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 【即学即练】 下列换算错误的是（     ） A． B． C． D． 知识点03 方向角 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用 多少度， 多少度， 多少度， 多少度来表示。 若是45°时，可以用 和 来表示。 【即学即练】 如图，图中是三岛的平面图，岛在岛北偏东方向，岛在岛北偏西方向．从岛看两岛的视角度数为（     ） A． B． C． D． 知识点04 钟面角 钟面角的计算：钟面上一大格表示 ，一小格表示 。 【即学即练】 某天上午李明出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（     ） A． B． C． D． 题型01 角度的表示方法 【典例1】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【变式1】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，下列说法正确的是（    ） A．可以表示成 B．射线与射线表示同一条射线 C． D．点在线段的延长线上 【变式3】如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 【变式4】如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有7个小于平角的角 B．点B 与点C之间的距离就是线段的长度 C．可以用表示 D．图中的数学道理是两点之间线段最短 题型02 根据射线数量确定角的数量 【典例1】如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 若从同一个顶点引出n条射线： 角的总个数： 也可以累加：(n-1)+(n-2)+…+2+1 【变式1】如图，以为边的角有（   ）个． A． B． C． D． 【变式2】图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 【变式3】如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【变式4】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 题型03 角的单位和角度制 【典例1】把用度、分、秒表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 度、分、秒互化 ① 大化小：度 → 度分秒（乘 60） 规则：整数部分保留，小数部分依次×60 ② 小化大：度分秒 → 度（除以 60，从秒往回算） 规则：秒 ÷60 化成分，分和原有分相加后 ÷60 化成度 口诀：大化小，乘 60；小化大，除以 60 【变式1】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】计算： __________°． 题型04 判断及计算方向角 【典例1】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 思路：利用平行线（南北线互相平行），内错角相等、平角 180°、直角 90° 转化角度。 解题步骤： 1.分别画出两个观测点的南北辅助线（南北线互相平行） 2.标出已知方向角 3.找平行线的内错角，把角转移 4.用和差计算所求角 【变式1】如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【变式2】如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【变式3】学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地．小明从点沿北偏东走30米到点，小颖从点沿南偏东走60米到点．现计划将跳远场地设置在方向上，且为助跑道起点，为沙坑远端．已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙坑长7米． (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出、及的示意图； (2)通过测量计算，判断的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 【变式4】如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 题型05 钟面角的计算 【典例1】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 核心原理：钟表一圈是360° 钟面一共12大格，60小格 每1大格：360°÷12=30° 每1小格：360°÷60=6° 分针速度：每分钟走1小格 →6°/min 时针速度：1小时走1大格(30°)，所以每分钟走：30^°÷60=0.5°/min 重点：时针不是固定对准刻度，分针走动，时针也会慢慢移动 【变式1】钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【变式3】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【变式4】如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 1．已知学校在广场的东偏北的方向上，下图中正确的是（    ） A． B． C． 2．时针与分针在下列哪个时段内重合过一次（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．由两条射线组成的图形叫作角 B．角的大小与角的两边长度有关 C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 4．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 5．如图，，点A位于点O的正南方向，则点B位于点O的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 6．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 7．下图中几何图形共有________个角． 8．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 9．如图，在同一平面内有三个点，请用合适的作图工具按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作直线和射线； (2)点在点北偏东方向上，且点在点西北方向上，作出点； (3)在（2）的条件下，在四边形内作一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 10．如图，已知线段，点在点的正西方向，点在点的东北方向，点在点的北偏西方向上，且． (1)用尺规和量角器作出射线； (2)在射线上找一点，使点到、两点的距离和最小，并说明确定点位置的理由． 1．如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 3．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 4．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 5．下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过________分钟分针第一次与时针重合． 7．计算： (1) (2) 8．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 9．如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；由广场向北偏_____度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 10．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3.1 角的概念 教学目标 1. 知识与技能：理解角的静态、动态定义，掌握角的四种表示方法，能根据图形规范表示角；掌握周角、平角、直角关系以及度、分、秒 60 进制换算与运算；理解方向角的定义、规范写法，会判断、计算方向角；掌握钟面角中时针、分针的转动规律，能计算钟面上时针与分针的夹角。 2. 过程与方法：经历观察、画图、换算、推理的过程，区分不同题型的模型，发展几何直观，学会数形结合解决角度问题。 3. 情感态度：规范几何语言书写，体会角在生活中的应用，养成细致审题、分类讨论的习惯。 教学重难点 1.重点 角的定义与规范表示；度分秒之间的换算与加减运算；方向角的识别和规范表述；钟面角的计算。 2.难点 （1）角的表示：顶点处多个角时，不能只用一个字母表示角； （2）角度 60 进制换算、借位与进位计算，容易和十进制混淆； （3）方向角找准观测点，利用平行线进行角度转化； （4）钟面角理解时针随分针同步转动，用模型列式计算夹角。 知识点01 角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 动态定义：把一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的交点叫做角的顶点。 角的边：组成角的两条射线是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为∠O。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为∠BOC。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为∠1或∠β。 （方法2与方法3适用于任意角） 【即学即练】 如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 知识点02 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有度“°”；分“′”；秒“″”。 把周角360份等分，平均一份就是1度，记作：1°，把1°的角进行60份等分，其中一份就是1分，记作：1′，把1′角按60份等分，其中一份就是1秒，记作： 1″。 2. 角的单位换算： 1周角＝360°＝ 2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°。1°＝ 60′， 1′＝60″。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 【即学即练】 下列换算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，，，换算正确． B选项，，，换算错误． C选项，，，，换算正确． D选项，，，，换算正确． 知识点03 方向角 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用南偏东多少度， 南偏西多少度，北偏西多少度，北偏东多少度来表示。 若是45°时，可以用东南方向和西南方向来表示。 【即学即练】 如图，图中是三岛的平面图，岛在岛北偏东方向，岛在岛北偏西方向．从岛看两岛的视角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作指向正南方向． 岛在岛北偏东方向， 岛在岛南偏西方向，即． 岛在岛北偏西方向， 岛在岛南偏东方向，即． ． 知识点04 钟面角 钟面角的计算：钟面上一大格表示30°，一小格表示12°。 【即学即练】 某天上午李明出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了，那么李明回家的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：时针每小时旋转． 旋转经过的时长为小时． ∴经过2小时为． 题型01 角度的表示方法 【典例1】如图，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．也可用表示 C．表示的是 D．图中共有三个角，， 【答案】B 【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意； B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意； C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意； D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意． 【变式1】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； C、不存在，和表示不同的角，故不符合题意； D、、和表示同一个角，故符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，下列说法正确的是（    ） A．可以表示成 B．射线与射线表示同一条射线 C． D．点在线段的延长线上 【答案】C 【详解】解：A. 不可以表示成，故选项错误，不符合题意； B. 射线与射线不表示同一条射线，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. 点在线段的延长线上，故选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式3】如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 【答案】C 【详解】解：A. 也可以用来表示，说法正确，故不符合题意； B. 与是同一个角，说法正确，故不符合题意； C. 以为顶点的角有，，，故该选项说法不正确，故符合题意； D. 以为顶点的角不止一个，所以不能用表示，故该选项说法正确，故不符合题意． 故选：C． 【变式4】如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有7个小于平角的角 B．点B 与点C之间的距离就是线段的长度 C．可以用表示 D．图中的数学道理是两点之间线段最短 【答案】C 【详解】解：A．以为顶点的角有；以为顶点的角有；以为顶点的角有；以为顶点的角有． 所以图中共有7个小于平角的角，该选项说法正确． B．根据两点之间距离的定义，连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离． 所以点与点之间的距离就是线段的长度，该选项说法正确． C．当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母来表示这个角；当以某一点为顶点的角有多个时，不能只用顶点字母来表示． 因为以为顶点的角有两个， 所以不可以用表示，该选项说法错误． D．因为两点之间，线段最短，而是从经过到的路径长度， 所以，其数学道理是两点之间线段最短，该选项说法正确． 故选：C． 题型02 根据射线数量确定角的数量 【典例1】如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 【答案】10个；，，，，，，，，， 【详解】解：以为顶点的角有10个： 以为角的其中一条边：，，，， 以为角的其中一条边：，，， 以为角的其中一条边：，， 以为角的其中一条边：． 若从同一个顶点引出n条射线： 角的总个数： 也可以累加：(n-1)+(n-2)+…+2+1 【变式1】如图，以为边的角有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以为边的角分别是：，，，共个． 【变式2】图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 【答案】图中共有16个角， 它们是：，，，，，，，，，，，，，，， 【详解】略 【变式3】如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【变式4】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【答案】 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型03 角的单位和角度制 【典例1】把用度、分、秒表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ∴． 度、分、秒互化 ① 大化小：度 → 度分秒（乘 60） 规则：整数部分保留，小数部分依次×60 ② 小化大：度分秒 → 度（除以 60，从秒往回算） 规则：秒 ÷60 化成分，分和原有分相加后 ÷60 化成度 口诀：大化小，乘 60；小化大，除以 60 【变式1】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 【变式2】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 【变式3】已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：将换算为度分秒形式， ， ， 可得， 又，且， ． 【变式4】计算： __________°． 【答案】 【详解】 故答案为：． 题型04 判断及计算方向角 【典例1】如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 思路：利用平行线（南北线互相平行），内错角相等、平角 180°、直角 90° 转化角度。 解题步骤： 1.分别画出两个观测点的南北辅助线（南北线互相平行） 2.标出已知方向角 3.找平行线的内错角，把角转移 4.用和差计算所求角 【变式1】如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 【变式2】如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 【变式3】学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地．小明从点沿北偏东走30米到点，小颖从点沿南偏东走60米到点．现计划将跳远场地设置在方向上，且为助跑道起点，为沙坑远端．已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙坑长7米． (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出、及的示意图； (2)通过测量计算，判断的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 【答案】(1) 如图，、及即为所求； (2)解：符合要求；理由如下： 测量得图上距离约厘米，实际距离约52米， （米）， 因为，所以的长度符合跳远场地的要求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4】如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 【答案】(1)50， 如图，射线即为所作， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵， ∴． 题型05 钟面角的计算 【典例1】在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 核心原理：钟表一圈是360° 钟面一共12大格，60小格 每1大格：360°÷12=30° 每1小格：360°÷60=6° 分针速度：每分钟走1小格 →6°/min 时针速度：1小时走1大格(30°)，所以每分钟走：30^°÷60=0.5°/min 重点：时针不是固定对准刻度，分针走动，时针也会慢慢移动 【变式1】钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 【变式2】四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【答案】A 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 【变式3】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【变式4】如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针 (O为两针的交点即旋转中心)． 下午3点时，与成直角． (1)时针1小时转过的角度为 °，分针 1分钟转过的角度为 °； (2)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】(1)，6 (2)经过 或分钟，时针与分针成角 【详解】（1）解：时针1小时转过的角度为， 分针1分钟转过的角度为； 故答案为：，6 （2）设在下午3点至 4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：   (或）    解得：   ②当分针在时针下方时，由题意得：   (或）    解得： 答：经过或分钟，时针与分针成角． 1．已知学校在广场的东偏北的方向上，下图中正确的是（    ） A． B． C． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，观测点为广场， ∵学校在广场的东偏北方向， ∴学校位于广场的右上方，且与正东方向夹角为， A项，图中中心为广场，学校在东偏北方向，符合题意； B项，图中中心为广场，学校在西偏北方向，不符合题意； C项，图中中心为广场，学校在北偏西方向，不符合题意． 2．时针与分针在下列哪个时段内重合过一次（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、时，分针指向6，时针指向2和3中间，时，分针指向12，时针指向3，故不可能重合，不符合题意； B、时，分针指向6，时针指向7和8中间，时，分针指向12，时针指向8，故重合一次； C、时，分针指向6，时针指向12和1中间，时，分针指向12，时针指向1，故不可能重合，不符合题意； D、时，分针指向12，时针指向6，时，分针指向6，时针指向6和7中间，故不可能重合，不符合题意． 3．下列说法正确的是（     ） A．由两条射线组成的图形叫作角 B．角的大小与角的两边长度有关 C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 【答案】C 【详解】解：因为组成角的两条射线需有公共端点， 所以A选项说法错误，不符合题意； 因为角的大小与两边的长度无关，所以B选项说法错误，不符合题意； 因为角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，所以 C说法正确，符合题意； 因为用放大镜看角时角的度数不变，所以D说法错误，不符合题意． 4．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【答案】D 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角． 5．如图，，点A位于点O的正南方向，则点B位于点O的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点B位于点O的北偏西方向． 6．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 7．下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 8．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 【答案】的方向是北偏东 【详解】解：如图 ∵的方向是北偏东，的方向是西偏北， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东． 9．如图，在同一平面内有三个点，请用合适的作图工具按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作直线和射线； (2)点在点北偏东方向上，且点在点西北方向上，作出点； (3)在（2）的条件下，在四边形内作一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，作图如下； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求；理由：两点之间线段最短． 10．如图，已知线段，点在点的正西方向，点在点的东北方向，点在点的北偏西方向上，且． (1)用尺规和量角器作出射线； (2)在射线上找一点，使点到、两点的距离和最小，并说明确定点位置的理由． 【答案】(1)如图射线为所求， (2)如图点为所求， 【详解】（1）略 （2）∵两点之间，线段最短，且点在射线上， ∴点到、两点的距离和最小． 1．如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 【答案】C 【详解】解：A、舰艇在舰艇的正东方向处，则此项错误； B、舰艇在舰艇的正西方向处，则此项错误； C、舰艇在舰艇的北偏东方向处，则此项正确； D、舰艇在舰艇的南偏西方向处，则此项错误． 2．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 3．小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 4．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值， ∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.； ②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误； ③：∵，， ∴，故③正确； ④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确； ⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误； 综上，正确的说法为①③④． 5．下列选项中关于度、分、秒的换算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：度分秒的换算进率为，，可得 ， A． ，换算正确； B． ，换算错误； C．，换算正确； D．，换算正确． 6．小明发现钟面上的时间恰为7点12分，再过________分钟分针第一次与时针重合． 【答案】 【详解】解：钟面一圈为， 分针每分钟转动的角度为 ， 时针每分钟转动的角度为 ， 7点12分时，时针的总角度为 ， 分针的总角度为 ， 此时时针领先分针的角度为 ， 设再过分钟分针第一次与时针重合， 根据追及关系得 ， 解得 。 7．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 9．如图是某地4路公共汽车部分行车路线图 (1)4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行_____千米到达广场；由广场向北偏_____度的方向行0.8千米到达公园； (2)4路公共汽车某日从火车站行至邮局用时2分钟，再到达广场又用时6分钟，由广场到达体育馆用时4分钟，停靠时间忽略不计，求公共汽车此程的平均速度是多少千米/时？ 【答案】(1)2.7；东40 (2)31.5千米/时 【详解】（1）解：4路公共汽车从火车站出发，向东偏南50度的方向行1千米到达邮局；再向正东行千米到达广场；由广场向北偏东40度的方向行0.8千米到达公园， 故答案为：2.7；东40； （2）解：整个过程的总时间为：（分钟）（小时）， 整个过程的总路程为：（千米）， 所以平均速度为：（千米/时）， 答：公共汽车此程的平均速度是31.5千米/时． 10．探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $