专题6.1.3 立体图形的展开与折叠（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.1.3 立体图形的展开与折叠 教学目标 1.理解立体图形展开图的概念，知道立体图形沿着表面剪开可以转化为平面展开图；认识正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、棱锥的展开图，能识别常见几何体的展开图，也能由展开图想象还原出立体图形。 2.通过观察、动手折叠、想象对比的活动，感受立体图形和平面图形之间的相互转化，掌握正方体 11 种展开图的四种类型，能快速找到展开图中相对的面，发展空间想象能力、几何直观。 3.在动手操作中感受图形变化的乐趣，体会展开图在包装、制图等生活中的应用，养成主动想象、动手验证的习惯。 教学重难点 1.重点 立体图形展开图的含义；识别圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图；熟记正方体 11 种展开图（一四一型、二三一型、二二二型、三三型），会在展开图中找相对的面。 2.难点 （1）空间想象：由立体图形画出展开图，由平面展开图想象折叠成立体图形； （2）判断一个图形能不能折成正方体，识别不能围成正方体的陷阱图（“田字形”“凹字形”）； （3）在正方体展开图中准确判断相对面、相邻面； （4）区分圆锥、圆柱、棱锥、棱柱展开图的构成，区分曲面和平面展开部分。 知识点01 立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图的概念： 有一些立体图形是由平面图形构成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形，这个平面图形叫做立体图形的展开图。 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 【即学即练】 如图是某个几何体表面的展开图，则这个几何体可能为（     ） A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．棱柱 知识点02 由展开图计算几何体的表面积 1. 基本原理 几何体的表面展开图，是将几何体的所有外表面展开到同一平面得到的平面图形；展开图的总面积等于几何体的全面积（表面积）。 表面积（全面积）= 侧面积+所有底面的面积 注意：无盖、无底的几何体，表面积需对应减去缺失的底面面积。 2. 常见几何体的展开图构成与表面积公式 几何体 展开图构成 核心对应关系 表面积公式 正方体 6个完全相同的正方形 每个正方形的边长=正方体的棱长 长方体 6个长方形（3组相对的面分别全等） 三组边分别对应长方体的长、宽、高 圆柱 1个长方形（侧面）+ 2个全等的圆（底面） 长方形的长=底面圆周长，长方形的宽=圆柱的高 圆锥 1个扇形（侧面）+ 1个圆（底面） 扇形的弧长=底面圆周长，扇形半径=圆锥母线长 【即学即练】 如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 知识点03 由展开图计算几何体的体积 1. 解题核心 体积计算无法直接从展开图面积得出，必须先还原几何体的形状，根据展开图与几何体的尺寸对应关系，推导出体积公式所需的核心参数（底面积、高、棱长等），再代入公式计算。 2. 常见几何体的体积公式 正方体： 长方体： 圆柱： 圆锥： 3. 关键参数推导（展开图→几何体） （1）圆柱展开图求参数 侧面展开为长方形，设长方形的两边长分别为、： 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； 通常以较长的边为底面周长，需结合题目条件或底面圆的尺寸验证。 （2）圆锥展开图求参数 侧面展开为扇形，设扇形半径为（即圆锥母线），弧长为： 底面半径：由弧长等于底面周长，得 ； 圆锥的高：母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得 。 【即学即练】 在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是______________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π） 题型01 判断常见几何体的展开图 【典例1】如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 【变式2】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？ 【变式4】下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 题型02 判断正方体的展开图 【典例1】下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 第一步：数正方形数量 必须是6 个完全一样的正方形，多、少都不能拼成正方体。 第二步：排除禁用图形（快速排除法） 下面这三类结构，一定不能围成正方体： 田字形：4 个小正方形拼成田字 凹字形：中间凹进去 7 字形（一线超过 4 个并且旁边扎堆） 口诀：田凹不能成正方体 第三步：对照四大类型核对 看能不能归到一四一、二三一、二二二、三三型里； 注意：三三型只有一行对齐 3 个，另一行 3 个只能错开一个相连，不能对齐。 第四步：验证相对面（辅助检验） 同行隔一个，异行隔一列，就是相对面； 一个正方体只有 3 组相对面，如果出现两个面相邻却当成相对面，说明这个展开图是错的。 【变式1】下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【变式2】一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 【变式3】用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（     ） A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3 C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9 【变式4】如图是一个正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与“泉”面相对的是“______”面． 题型03 根据展开图判断几何体 【典例1】下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在第一行中找出与第二行对应的几何体的表面展开图，并用线把它们连起来． 【变式2】小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（   ） A． B． C． D． 【变式4】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（    ）    A．   B．   C．   D．   题型04 由展开图计算几何体的表面积 【典例1】某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 1. 判类型：根据展开图的形状，判断对应的几何体类型（柱、锥、多面体）。 2. 找对应：建立展开图尺寸与几何体棱长、半径、高、母线的对应关系： 正方体/长方体：通过公共棱长度相等，确定长、宽、高； 圆柱：利用“侧面长方形的长=底面周长”，由侧面长计算底面半径； 圆锥：利用“扇形弧长=底面周长”，由弧长计算底面半径。 3. 算面积 方法一：分别计算展开图每个部分的面积，求和得到总表面积； 方法二：还原几何体后，直接代入对应表面积公式计算。 4. 验完整：检查底面数量是否正确（无盖、无底需对应减底面积），验证侧面与底面的边长/弧长是否匹配。 【变式1】一个长方体纸盒的展开图及棱长如图所示，求这个长方体纸盒的表面积． 【变式2】如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为10元，则制作100个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 【变式3】如图是4个几何体的平面展开图： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：___________；图2：___________；图3：___________；图4：___________． (2)图4中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图4所对应几何体的表面积．（结果保留π） 【变式4】如图1所示的几何体，侧棱长为，底面是边长为的等边三角形． (1)该几何体的名称是___________． (2)图2方框中的图形是该几何体的表面展开图的一部分，请将它补全． (3)要将该几何体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开___________条棱，求出该几何体的侧面积． 题型05 由展开图计算几何体的体积 【典例1】如图，用一张长厘米、宽厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，求这个铁皮箱的容积． 1. 还原几何体：根据展开图确定几何体类型，明确体积公式的形式。 2. 推导核心参数 多面体（正方体、长方体）：从展开图中提取长、宽、高； 圆柱：由侧面周长求底面半径，确定高； 圆锥：由扇形弧长求底面半径，结合母线用勾股定理求高。 3. 代入公式计算：将参数代入对应体积公式，准确计算。 4. 验证合理性：检查参数是否为正，圆锥母线长必须大于底面半径，尺寸符合几何逻辑。 【变式1】图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【变式2】下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 【变式3】下图是长方体的表面展开图，将它折叠成一个长方体． (1)折成长方体后，与点重合的点是___________；与线段重合的线段是___________． (2)若，求这个长方体的体积， 【变式4】如图是某几何体的展开图． (1)这个几何体的名称是，底面圆半径是． (2)求这个几何体的体积． 题型06 求展开图上两点折叠后的距离 【典例1】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【变式1】如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【变式4】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 1．如图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 2．今年的10月1号是第77个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“福”字相对的字是（     ） A．祖 B．国 C．万 D．岁 3．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 4．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 5．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图中阴影部分），但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，则有几种画法（     ） A． B． C． D． 6．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 7．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 8．如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 9．综合与实践 问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A． B． C． D． (2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______； (3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形： ①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）； ②求出这个纸盒的体积． 10．综合与实践 【问题情境】某综合实践小组计划用废弃的宣传单制作一个无盖纸盒． 【操作探究】在如图所示的四个图形中，图形 经过折叠能围成无盖正方体纸盒填字母 (1)【拓展延伸】如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． (2) ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕； ②当四个角剪去的小正方形的边长都为时，求该纸盒的底面积与容积 1．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（     ） A． B． C． D． 2．把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 3．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是（     ） A．太 B．原 C．欢 D．迎 4．手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 5．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 6．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 7．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 8．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是________． 9．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为______立方毫米．（用含x、y的式子表示） 10．综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1.3 立体图形的展开与折叠 教学目标 1.理解立体图形展开图的概念，知道立体图形沿着表面剪开可以转化为平面展开图；认识正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、棱锥的展开图，能识别常见几何体的展开图，也能由展开图想象还原出立体图形。 2.通过观察、动手折叠、想象对比的活动，感受立体图形和平面图形之间的相互转化，掌握正方体 11 种展开图的四种类型，能快速找到展开图中相对的面，发展空间想象能力、几何直观。 3.在动手操作中感受图形变化的乐趣，体会展开图在包装、制图等生活中的应用，养成主动想象、动手验证的习惯。 教学重难点 1.重点 立体图形展开图的含义；识别圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图；熟记正方体 11 种展开图（一四一型、二三一型、二二二型、三三型），会在展开图中找相对的面。 2.难点 （1）空间想象：由立体图形画出展开图，由平面展开图想象折叠成立体图形； （2）判断一个图形能不能折成正方体，识别不能围成正方体的陷阱图（“田字形”“凹字形”）； （3）在正方体展开图中准确判断相对面、相邻面； （4）区分圆锥、圆柱、棱锥、棱柱展开图的构成，区分曲面和平面展开部分。 知识点01 立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图的概念： 有一些立体图形是由平面图形构成的，将它们的表面适当剪开，可以得到平面图形，这个平面图形叫做立体图形的展开图。 2. 常见几何体的展开图： 3. 正方体的11种展开图： 【即学即练】 如图是某个几何体表面的展开图，则这个几何体可能为（     ） A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．棱柱 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，该展开图由一个圆和一个扇形组成． 圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆， 这个几何体是圆锥． 知识点02 由展开图计算几何体的表面积 1. 基本原理 几何体的表面展开图，是将几何体的所有外表面展开到同一平面得到的平面图形；展开图的总面积等于几何体的全面积（表面积）。 表面积（全面积）= 侧面积+所有底面的面积 注意：无盖、无底的几何体，表面积需对应减去缺失的底面面积。 2. 常见几何体的展开图构成与表面积公式 几何体 展开图构成 核心对应关系 表面积公式 正方体 6个完全相同的正方形 每个正方形的边长=正方体的棱长 长方体 6个长方形（3组相对的面分别全等） 三组边分别对应长方体的长、宽、高 圆柱 1个长方形（侧面）+ 2个全等的圆（底面） 长方形的长=底面圆周长，长方形的宽=圆柱的高 圆锥 1个扇形（侧面）+ 1个圆（底面） 扇形的弧长=底面圆周长，扇形半径=圆锥母线长 【即学即练】 如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】 【详解】解：由题意得，此几何体为圆柱，侧面展开图为矩形， 其中一边长为，另一边长为， 矩形的面积为． 知识点03 由展开图计算几何体的体积 1. 解题核心 体积计算无法直接从展开图面积得出，必须先还原几何体的形状，根据展开图与几何体的尺寸对应关系，推导出体积公式所需的核心参数（底面积、高、棱长等），再代入公式计算。 2. 常见几何体的体积公式 正方体： 长方体： 圆柱： 圆锥： 3. 关键参数推导（展开图→几何体） （1）圆柱展开图求参数 侧面展开为长方形，设长方形的两边长分别为、： 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； 若以为底面周长，则底面半径 ，高 ； 通常以较长的边为底面周长，需结合题目条件或底面圆的尺寸验证。 （2）圆锥展开图求参数 侧面展开为扇形，设扇形半径为（即圆锥母线），弧长为： 底面半径：由弧长等于底面周长，得 ； 圆锥的高：母线、底面半径、高构成直角三角形，由勾股定理得 。 【即学即练】 在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是______________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2) 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱； （2）解：底面圆的面积， 圆柱的体积． 题型01 判断常见几何体的展开图 【典例1】如图，圆柱的高为，底面周长为，在外侧距离下底的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、且在圆柱外侧离上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 【变式1】如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 【答案】三棱柱 【详解】解：从展开图可知，该几何体有5个面，两个三角形为底面，3个长方形为侧面， 因此该几何体是三棱柱． 【变式2】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．正方体展开图中不能出现“田”字形，该图形含有“田”字结构，不能折成正方体，故该选项错误； B．圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成，该图形有两个圆，不能折成圆锥，故该选项错误； C．四棱锥由一个四边形底面和四个三角形侧面组成，该图形只有四个三角形，缺少底面，不能折成四棱锥，故该选项错误； D．圆柱的展开图由一个长方形侧面和两个圆形底面组成，该图形符合圆柱展开图特征，能折成圆柱，故该选项正确. 故答案为D． 【变式3】下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？ 【答案】①是圆柱，②是圆锥，③是三棱锥，④是长方体 【详解】解：①该图形是圆柱的展开图； ②该图形是圆锥的展开图； ③该图形是三棱锥的展开图； ④该图形是长方体的展开图． 【变式4】下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，可知该几何体是三棱柱． 题型02 判断正方体的展开图 【典例1】下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D经过折叠均不能围成正方体；选项C能围成正方体． 第一步：数正方形数量 必须是6 个完全一样的正方形，多、少都不能拼成正方体。 第二步：排除禁用图形（快速排除法） 下面这三类结构，一定不能围成正方体： 田字形：4 个小正方形拼成田字 凹字形：中间凹进去 7 字形（一线超过 4 个并且旁边扎堆） 口诀：田凹不能成正方体 第三步：对照四大类型核对 看能不能归到一四一、二三一、二二二、三三型里； 注意：三三型只有一行对齐 3 个，另一行 3 个只能错开一个相连，不能对齐。 第四步：验证相对面（辅助检验） 同行隔一个，异行隔一列，就是相对面； 一个正方体只有 3 组相对面，如果出现两个面相邻却当成相对面，说明这个展开图是错的。 【变式1】下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项属于“”型，B选项属于“”型，C选项属于“”型，均能折叠成正方体， D选项中含有“田”字格结构，折叠时面会重合，不能围成正方体． 【变式2】一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 【答案】D 【详解】解：根据题意，得前与锦相对． 【变式3】用硬卡纸做一个骰子，使该骰子的任意两个相对面的点数之和均为7，其表面的展开图如图所示，下列判断正确的是（     ） A．点数为2的面的相对面是A面 B．B面的点数为3 C．C面的点数为6 D．A，C两个面的点数之和为9 【答案】D 【详解】解：由图可知：点数的对面是面，故的点数为， 故A选项，B选项均错误； 点数的对面是面，故的点数为， 故C选项错误； 点数1的对面是面，故的点数为； ∴，两个面的点数和为， 故D选项正确． 【变式4】如图是一个正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与“泉”面相对的是“______”面． 【答案】画 【详解】解：由图可知，与“泉”面相对的是“画”面. 题型03 根据展开图判断几何体 【典例1】下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、两底面一个是直角三角形，一个是等边三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误； B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误； C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确； D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误． 【变式1】如图，在第一行中找出与第二行对应的几何体的表面展开图，并用线把它们连起来． 【答案】如图所示： 【详解】解：展开图全部由四个三角形拼接而成，折叠后可得三棱锥； 展开图包含一个三角形面、两个正方形面和两个长方形面，折叠后可得到三棱柱； 展开图两端是全等的五边形，中间由五个长方形依次相连，折叠后可得到五棱柱； 展开图由六个长方形拼接而成，折叠后可得到长方体． 所以用线把它们连起来如下图所示： 【变式2】小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由正方体展开图可知：两个阴影三角形的两个直角边会合在一起，呈现一个三角形形状，圆在它的底面上， 盒子里有墨水的是B． 【变式3】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据展开图的各种符号特征和位置，可得墨水在D盒子里面， 故选：D 【变式4】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面． 故选：B． 题型04 由展开图计算几何体的表面积 【典例1】某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)需要喷漆的面积是 (3)所需丝带的长为 【详解】（1）解：由图可知，该几何体是六棱柱，共有8个面； （2）解：， 答：需要喷漆的面积是； （3）解：（）， 答：所需丝带的长为． 1. 判类型：根据展开图的形状，判断对应的几何体类型（柱、锥、多面体）。 2. 找对应：建立展开图尺寸与几何体棱长、半径、高、母线的对应关系： 正方体/长方体：通过公共棱长度相等，确定长、宽、高； 圆柱：利用“侧面长方形的长=底面周长”，由侧面长计算底面半径； 圆锥：利用“扇形弧长=底面周长”，由弧长计算底面半径。 3. 算面积 方法一：分别计算展开图每个部分的面积，求和得到总表面积； 方法二：还原几何体后，直接代入对应表面积公式计算。 4. 验完整：检查底面数量是否正确（无盖、无底需对应减底面积），验证侧面与底面的边长/弧长是否匹配。 【变式1】一个长方体纸盒的展开图及棱长如图所示，求这个长方体纸盒的表面积． 【答案】这个长方体的表面积是256 【详解】解： ， 故这个长方体的表面积是256． 【变式2】如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为10元，则制作100个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）长方体表面积为：． （2）（元）， 制作100个这样的包装盒需花费元． 【变式3】如图是4个几何体的平面展开图： (1)下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：___________；图2：___________；图3：___________；图4：___________． (2)图4中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图4所对应几何体的表面积．（结果保留π） 【答案】(1)三棱柱；圆锥；六棱柱；圆柱 (2) 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，圆柱的底面半径，侧面展开图的宽为8cm． 圆柱的底面周长为：（cm） 因为，且，所以圆柱的高． 圆柱的侧面积为： 圆柱的底面积为： 圆柱的表面积为： 答：图4所对应几何体的表面积为． 【变式4】如图1所示的几何体，侧棱长为，底面是边长为的等边三角形． (1)该几何体的名称是___________． (2)图2方框中的图形是该几何体的表面展开图的一部分，请将它补全． (3)要将该几何体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开___________条棱，求出该几何体的侧面积． 【答案】(1)正三棱柱 (2)如图（答案不唯一）； (3)； 【详解】（1）解：∵底面是等边三角形，侧棱垂直底面， ∴该几何体是正三棱柱； （2）略 （3）解：由图可知，这个三棱柱有条棱，没有剪开的棱的条数是条， 则需要剪开的棱的条数是： （条）， 该几何体的侧面积为． 题型05 由展开图计算几何体的体积 【典例1】如图，用一张长厘米、宽厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，求这个铁皮箱的容积． 【答案】立方厘米 【详解】解：铁皮箱的长：（厘米）， 铁皮箱的宽（厘米）， 铁皮箱的容积：（立方厘米）， 答：这个铁皮箱的容积是立方厘米． 1. 还原几何体：根据展开图确定几何体类型，明确体积公式的形式。 2. 推导核心参数 多面体（正方体、长方体）：从展开图中提取长、宽、高； 圆柱：由侧面周长求底面半径，确定高； 圆锥：由扇形弧长求底面半径，结合母线用勾股定理求高。 3. 代入公式计算：将参数代入对应体积公式，准确计算。 4. 验证合理性：检查参数是否为正，圆锥母线长必须大于底面半径，尺寸符合几何逻辑。 【变式1】图1为一个四棱柱包装盒，其底面是一个边长为的正方形．将这个包装盒沿某些棱剪开后展开，展开后如图2所示．从图1展开至图2，一共剪开了________条棱；若被剪开的棱的棱长和为，则四棱柱体积为________． 【答案】 7 /128立方厘米 【详解】解：∵四棱柱共12条棱，展开图相连的还有5条棱， ∴一共剪开了7条棱； 由题意得，四棱柱的高为， 体积为， ∴这个四棱柱的体积是． 【变式2】下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 【答案】(1)做这个包装盒至少需要平方厘米硬纸板 (2)这个水杯的体积最大是立方厘米 【详解】（1）解：由图可知，包装盒底面正方形的边长：（厘米）， （平方厘米）， 答：做这个包装盒至少需要360平方厘米硬纸板． （2）解：包装盒底面正方形边长为厘米， 所以圆柱底面最大直径为厘米，底面半径厘米，圆柱高厘米． （立方厘米）， 答：这个水杯的体积最大是立方厘米． 【变式3】下图是长方体的表面展开图，将它折叠成一个长方体． (1)折成长方体后，与点重合的点是___________；与线段重合的线段是___________． (2)若，求这个长方体的体积， 【答案】(1)I； (2) 【详解】（1）解：折成长方体后，与点重合的点是I，与线段重合的线段是； （2）解：根据题意得：与重合，，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴这个长方体的体积为． 【变式4】如图是某几何体的展开图． (1)这个几何体的名称是，底面圆半径是． (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)圆柱；5 (2) 【详解】（1）解：∵展开图由一个长方形和两个全等的圆组成， ∴该几何体是圆柱， ∵底面圆直径为10， ∴底面圆半径． （2）解：∵，，圆柱体积， ， 答：这个几何体的体积为． 题型06 求展开图上两点折叠后的距离 【典例1】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 【变式1】如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点是点________． 【答案】和 【详解】解：设含点M的正方形为前面，则其上方的正方形为上面，左边的正方形为左面，右边的第一个正方形为右面，右面的第二个正方形为后面，后面下方的正方形为下面， ∵点M位于前面的左下角， ∴与点M重合的点应位于左面的左下角或下面的右下角， ∵左面的左下角为点A，下面的右下角为点D， ∴与点M重合的点是点A和点D． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【变式3】如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】如答图，点D为所求．    【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求． 【变式4】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【答案】2 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 1．如图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：此图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱， 每个侧面都是一样的长方形， 每个侧面的面积为， 所有侧面的面积之和为． 2．今年的10月1号是第77个国庆节，为了庆祝“国庆”，小轩制作了一个正方体灯笼，六个面上写有“祝福祖国万岁”，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“福”字相对的字是（     ） A．祖 B．国 C．万 D．岁 【答案】B 【详解】解：正方体展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形 ∵“福”与“国”中间隔着“万” ∴“福”与“国”相对 3．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 4．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 5．如图，某同学在制作正方体模型的时候，在方格纸上画出几个小正方形（图中阴影部分），但是由于疏忽少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，则有几种画法（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据正方体展开图的特征，对现有阴影部分进行分析，可以补全一个正方形使其构成正方体展开图的位置，如图，共种． 6．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【详解】解：如图所示：共4种． 7．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 【答案】后 【详解】解：正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者呈现“”字型两端， 观察图形可知，第一行右侧的面与第三行的面是相对面，即“前”字所在的面与“☆”所在的面是相对面， 因为“前”字所在的面是前面， 所以“☆”所在的位置是后面． 8．如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 9．综合与实践 问题情境：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的_______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A． B． C． D． (2)图1是小槐同学的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，底面上的字是_______； (3)图2是一张边长为的正方形废弃宣传单，小荫同学准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去一个边长为的小正方形： ①请你在图2中补全裁剪与折叠的痕迹（用实线表示裁剪线，虚线表示折痕）； ②求出这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)环 (3)①如图所示： ② 【详解】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子； （2）解：由图可得：底面上的字是“环”； （3）解：①略 ②当小正方形的边长为时，所折叠成的长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为：． 10．综合与实践 【问题情境】某综合实践小组计划用废弃的宣传单制作一个无盖纸盒． 【操作探究】在如图所示的四个图形中，图形 经过折叠能围成无盖正方体纸盒填字母 (1)【拓展延伸】如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． (2) ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切痕迹，虚线表示折痕； ②当四个角剪去的小正方形的边长都为时，求该纸盒的底面积与容积 【答案】(1)B (2)①所画出的图形如图所示： ②纸盒的底面积为，容积为 【详解】（1）解：选项A为“田”字形，折叠后缺少有效面，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 选项C为“L”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 选项D为“凹”字形，折叠后会出现面的重叠，故不能折叠成无盖的正方体纸盒； 而选项B为“Z”字形，折叠后符合无盖正方体的特征，故可以折叠成无盖的正方体纸盒； （2）解：①略 ②纸盒的底面积为 纸盒的容积为 答：纸盒的底面积为，容积为． 1．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．球体没有侧面展开图，故该选项不符合题意； B．圆锥的侧面展开图是扇形， 故该选项符合题意； C．三棱锥的侧面展开图由三个三角形组成，故该选项不符合题意； D．三棱柱的侧面展开图是矩形，故该选项不符合题意． 2．把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3， 故长方体的上，下面的长，宽相等，都等于3即为； 3．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是（     ） A．太 B．原 C．欢 D．迎 【答案】C 【详解】解：根据隔一相对的原则，大和原相对，美和迎相对，太和您相对， 故剪去欢字． 4．手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶根据题意得：原正方体可能是 5．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 6．小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 【答案】3 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 7．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4． 8．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数字6重合的数字是________． 【答案】2 【详解】解：由正方体展开图的特点可得，一个点在展开图中“马走日”一次的点是正方体中相对的两个点， 再“马走日”一次，就与原数字重合． 所以数字6“马走日”一次到数字9，数字9“马走日”一次到2， 所以与数字6重合的是数字2． 故答案为：． 9．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为______立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【答案】 【详解】解：将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体， 于是，体积为， 故答案为：． 10．综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分．请你根据所学的知识，回答以下问题： 【观察判断】 (1)小明一共剪开了_____条棱； 【动手操作】 (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（图3），一共有_____种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形，并求出图3纸盒的体积； 【解决问题】 (3)小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？（忽略重合粘贴部分） 【答案】(1)8 (2)4， (3)摆放，最少 【详解】（1）解：小明一共剪开了条棱； （2）解：如图，在图1中补全图形，如下： 一共有4种不同的还原方法， 图3纸盒的体积为； （3）解：因为长方体的高为，宽为，长为，所以装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，如图，叠放即可， 此时纸盒的表面积为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $