专题6.1.1 立体图形与平面图形（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.1.1 立体图形与平面图形 教学目标 1.理解立体图形、平面图形的概念，能根据定义区分立体图形与平面图形；认识柱体、锥体、台体、球体，掌握圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台、球的组成特征，能准确识别各类立体图形。 2.经历观察、对比、分类的过程，学会从实物中抽象出几何图形，辨析各类立体图形的相同点与不同点，发展几何直观与空间想象能力。 3.感受几何图形来源于生活，体会分类的数学思想，养成细心观察、对比归纳的学习习惯，激发几何学习兴趣。 教学重难点 1.重点 立体图形、平面图形的概念；识别柱体、锥体、台体、球体；掌握圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台的底面、侧面组成特点。 2.难点 （1）区分立体图形和平面图形，抓住 “各部分是否在同一平面内” 这个核心判定依据； （2）区分棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台，分清侧面是平面还是曲面； （3）理解柱、锥、台之间的联系，准确表述各类立体图形的构成； （4）对棱台容易混淆，区分棱台和棱锥的结构差异。 知识点01 认识立体图形 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是 。 2. 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为 和 。 ②椎体：分为 和 。 ③台体：分为 和 。 ④球体：一个曲面组成。 【即学即练】 1.下列四个几何体中，是棱柱的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 认识平面图形 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在 ，则这样的图形叫做平面图形。 【即学即练】 1．下列各组图形中都是平面图形的是（     ） A．三角形、圆、球、圆锥 B．六棱锥、六棱柱、六边形 C．六边形、三角形、正方形、圆 D．正方体、长方体、正方形 题型01 立体图形的认识与判断 【典例1】下列是棱柱的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 1.先定大类：看上下底面 有两个互相平行的底面 → 柱体 / 台体 两个底面大小完全一样 → 柱体 两个底面大小不一样 → 台体 只有一个底面，另一端汇聚到一点 → 锥体 没有底面，整个是封闭曲面 → 球体 2.再分“棱”和“圆”：看底面形状、侧面类型 底面是多边形、侧面是平面 → 棱系列（棱柱、棱锥、棱台） 底面是圆、侧面是曲面 → 圆系列（圆柱、圆锥、圆台） 3.对照结构特征核对 圆柱：2 个全等圆形底面 + 曲面侧面 棱柱：2 个全等多边形底面 + 多个矩形侧面；底面是几边形就是几棱柱 圆锥：1 个圆形底面 + 曲面侧面，顶端一个顶点 棱锥：1 个多边形底面 + 多个三角形侧面；底面是几边形就是几棱锥 圆台：2 个大小不同的平行圆底面 + 曲面侧面 棱台：2 个大小不同的平行多边形底面 + 多个梯形侧面 球：只有 1 个封闭曲面，无底面、无侧面 4.最后检验，区分立体 / 平面 只要有曲面、有多个不在同一平面的面，就是立体图形；所有线条、部分都在一个平面上才是平面图形。 【变式1】如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（     ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 【变式2】下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【变式3】下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【变式4】下列几何体中，是六面体的为（   ） A． B． C． D． 题型02 平面图形的认识与判断 【典例1】两只蚂蚁沿不同的路线，从点跑到点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑．图中曲线部分均由半圆组成，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的共有几幅，正确的答案是（     ） A． B． C． D． 抓住核心标准： 平面图形：全部在同一个平面； 立体图形：各部分不在同一个平面，有厚度、曲面、多个面。 【变式1】下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 【变式2】下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【变式4】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 题型03 柱体的顶点、棱以及面 【典例1】若一个棱柱有个顶点，则下列说法正确的是（     ） A．这个棱柱是十棱柱 B．这个棱柱有8个侧面 C．这个棱柱的底面是六边形 D．这个棱柱有5条侧棱 1. 棱柱（n 棱柱，底面是 n 边形） 面：2 个底面（全等n边形） + n个侧面（长方形），总面数：n+2 棱：侧棱 n 条，底面棱各 n 条，总棱数：3n 顶点：上下底面各n个，总顶点数：2n 2. 圆柱 面：2个圆形底面 + 1个曲面侧面，一共3个面 棱：0条棱（侧面是曲面，没有直的棱） 顶点：0个顶点 【变式1】下列关于六棱柱的描述，错误的是（     ） A．它的底面是六边形 B．它的所有棱长都相等 C．它是由8个面围成 D．它有12个顶点 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．正方体有6个面、12条棱、8个顶点 B．圆柱的侧面展开图是三角形 C．棱锥的侧面都是长方形 D．球有3个面 【变式3】下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【变式4】观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 1．下列7个几何体中，属于棱柱的有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图所示的几何体中，棱柱共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 4．关于如图所示的几何体，下列说法正确的是（     ） A．它是三棱锥 B．它有6条侧棱 C．它有3个侧面 D．它的侧面是三角形 5．若一个棱柱有个顶点，所有侧棱长的和是，则下列说法正确的是（     ）． A．这个棱柱的底面是十边形 B．这个棱柱有个侧面 C．这个棱柱有个面 D．这个棱柱每条侧棱长 6．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 7．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 8．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 9．如图所示的棱柱，底面为五边形，此棱柱一共有________个面． 10．把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的顶点个数是_______． 1．老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；特征②：它一共有9条棱，则盒子里面放的几何体是（     ） A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．五棱柱 2．如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 3．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 4．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 5．判断如图所示的图形中球体是_________；多面体是__________． 6．将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 7．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 图形 顶点数 4 6 10 棱数 6 ________ ________ 面数 4 5 ________ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 8．如图所示是一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个五棱柱共有多少条棱？棱长总和是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 9．在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，可将多边形分割成若干个小三角形，以四边形为例，图①给出了具体的分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形． (1)请按照上述分割方法，将图②的五边形进行分割； (2)如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成___________、___________、___________个小三角形．（用含n的代数式写出结论即可，不必画图） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1.1 立体图形与平面图形 教学目标 1.理解立体图形、平面图形的概念，能根据定义区分立体图形与平面图形；认识柱体、锥体、台体、球体，掌握圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台、球的组成特征，能准确识别各类立体图形。 2.经历观察、对比、分类的过程，学会从实物中抽象出几何图形，辨析各类立体图形的相同点与不同点，发展几何直观与空间想象能力。 3.感受几何图形来源于生活，体会分类的数学思想，养成细心观察、对比归纳的学习习惯，激发几何学习兴趣。 教学重难点 1.重点 立体图形、平面图形的概念；识别柱体、锥体、台体、球体；掌握圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱台的底面、侧面组成特点。 2.难点 （1）区分立体图形和平面图形，抓住 “各部分是否在同一平面内” 这个核心判定依据； （2）区分棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台，分清侧面是平面还是曲面； （3）理解柱、锥、台之间的联系，准确表述各类立体图形的构成； （4）对棱台容易混淆，区分棱台和棱锥的结构差异。 知识点01 认识立体图形 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是立体图形。 2. 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为圆柱体和棱柱体。 ②椎体：分为圆锥体和棱锥体。 ③台体：分为圆台和棱台。 ④球体：一个曲面组成。 【即学即练】 1.下列四个几何体中，是棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A是圆柱，B是三棱锥，C是球，D是三棱柱， 根据棱柱的定义可知D符合题意． 知识点02 认识平面图形 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，则这样的图形叫做平面图形。 【即学即练】 1．下列各组图形中都是平面图形的是（     ） A．三角形、圆、球、圆锥 B．六棱锥、六棱柱、六边形 C．六边形、三角形、正方形、圆 D．正方体、长方体、正方形 【答案】C 【详解】解：选项A中的球、圆锥，选项B中的六棱锥、六棱柱，选项D中的正方体、长方体均为立体图形，不符合要求； 选项C中的六边形、三角形、正方形、圆均为平面图形，符合要求． 题型01 立体图形的认识与判断 【典例1】下列是棱柱的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】第一个：为圆柱，侧面是曲面，不是棱柱 第二个：属于棱柱， 第三个：为圆锥，不是棱柱， 第四个：属于棱柱， 第五个：属于棱柱， 第六个：为横放的三棱柱，属于棱柱， 故棱柱共有四个，C选项符合题意． 1.先定大类：看上下底面 有两个互相平行的底面 → 柱体 / 台体 两个底面大小完全一样 → 柱体 两个底面大小不一样 → 台体 只有一个底面，另一端汇聚到一点 → 锥体 没有底面，整个是封闭曲面 → 球体 2.再分“棱”和“圆”：看底面形状、侧面类型 底面是多边形、侧面是平面 → 棱系列（棱柱、棱锥、棱台） 底面是圆、侧面是曲面 → 圆系列（圆柱、圆锥、圆台） 3.对照结构特征核对 圆柱：2 个全等圆形底面 + 曲面侧面 棱柱：2 个全等多边形底面 + 多个矩形侧面；底面是几边形就是几棱柱 圆锥：1 个圆形底面 + 曲面侧面，顶端一个顶点 棱锥：1 个多边形底面 + 多个三角形侧面；底面是几边形就是几棱锥 圆台：2 个大小不同的平行圆底面 + 曲面侧面 棱台：2 个大小不同的平行多边形底面 + 多个梯形侧面 球：只有 1 个封闭曲面，无底面、无侧面 4.最后检验，区分立体 / 平面 只要有曲面、有多个不在同一平面的面，就是立体图形；所有线条、部分都在一个平面上才是平面图形。 【变式1】如图为小敏同学的几何体素描作品，该作品中不包含的几何体为（     ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 【答案】D 【详解】解：观察素描作品可知，作品中含有球、六棱柱、正方体和圆锥四个几何体． 因为正方体和六棱柱的底面都是多边形，所以它们都是棱柱，即作品中包含棱柱、球和圆锥；而圆柱的上、下底面是圆，侧面是曲面，作品中没有这样的几何体． 所以该作品中不包含的几何体为圆柱． 【变式2】下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦ 【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③， 如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦． 【变式3】下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 【变式4】下列几何体中，是六面体的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：该几何体为长方体，是六面体，符合题意要求； 选项B：该几何体为四棱锥，共有5个面，不符合题意要求； 选项C：该几何体为圆锥，不是六面体，不符合题意要求； 选项D：该几何体为圆柱，不是六面体，不符合题意要求； 故选A． 题型02 平面图形的认识与判断 【典例1】两只蚂蚁沿不同的路线，从点跑到点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑．图中曲线部分均由半圆组成，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的共有几幅，正确的答案是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中路线均有半圆，故路线长均和路线所在半圆的直径有关， 设路线长为其所在半圆直径的倍，两点间的距离为， 由 “两点之间线段最短”可知，弯曲线比直径长， ， 第幅：虚线（甲）：是直径为的半圆，长度为， 实线（乙）：由两个小半圆组成，设它们的直径分别为。由图可知，所以实线路程为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的上半圆，半圆周长为， 实线（乙）：直径为的下半圆，半圆周长为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的半圆，半圆周长为， 实线（乙）：由两个小半圆组成，设直径分别为，且， 路程为， 两者相等，路线一样长； 第幅：虚线（甲）：直径为的半圆，半圆周长为， 实线（乙）：由两个小半圆和一段水平直线段组成，设直线段长为，两个小半圆直径之和为，则实线路程为， ， ， 实线长， 两者不相等，路线不一样长； 综上所述，四幅图中两只蚂蚁跑的路线一样长的为第一、二、三幅，共幅． 抓住核心标准： 平面图形：全部在同一个平面； 立体图形：各部分不在同一个平面，有厚度、曲面、多个面。 【变式1】下列几何图形中，属于平面图形的是（    ） A．圆柱 B．四棱锥 C．圆锥 D．圆形 【答案】D 【详解】解：圆柱、四棱锥、圆锥都是立体图形；圆形是平面图形； 故选：D． 【变式2】下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 【变式3】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】A 【详解】解：长方形是四边形，所有点在同一平面，是平面图形； 三角形有三条边，所有点在同一平面，是平面图形； 圆是二维图形，所有点在同一平面，是平面图形； 长方体是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 球是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 平面图形有3个． 故选：A． 【变式4】图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 题型03 柱体的顶点、棱以及面 【典例1】若一个棱柱有个顶点，则下列说法正确的是（     ） A．这个棱柱是十棱柱 B．这个棱柱有8个侧面 C．这个棱柱的底面是六边形 D．这个棱柱有5条侧棱 【答案】D 【详解】解：设该棱柱为棱柱， 棱柱有个顶点， ， ，即该棱柱为五棱柱，故A错误； 五棱柱有5个侧面，底面为五边形，有5条侧棱，故B、C错误，D正确． 1. 棱柱（n 棱柱，底面是 n 边形） 面：2 个底面（全等n边形） + n个侧面（长方形），总面数：n+2 棱：侧棱 n 条，底面棱各 n 条，总棱数：3n 顶点：上下底面各n个，总顶点数：2n 2. 圆柱 面：2个圆形底面 + 1个曲面侧面，一共3个面 棱：0条棱（侧面是曲面，没有直的棱） 顶点：0个顶点 【变式1】下列关于六棱柱的描述，错误的是（     ） A．它的底面是六边形 B．它的所有棱长都相等 C．它是由8个面围成 D．它有12个顶点 【答案】B 【详解】解：．它的底面是六边形，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，所有棱长不一定相等，说法错误，故该选项符合题意； ．它是由8个面围成，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，说法正确，故该选项不符合题意． 【变式2】下列说法正确的是（     ） A．正方体有6个面、12条棱、8个顶点 B．圆柱的侧面展开图是三角形 C．棱锥的侧面都是长方形 D．球有3个面 【答案】A 【详解】解：A、正方体有6个面、12条棱、8个顶点，故该选项正确； B、圆柱侧面展开图不是三角形，是长方形或正方形，故该选项错误； C、棱锥的侧面都是三角形，不是长方形，故该选项错误； D、球只有1个曲面，没有3个面，故该选项错误． 【变式3】下列说法错误的是（     ） A．长方体、正方体都有6个面 B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点 C．三棱柱的侧面是三角形 D．圆锥由一个平面和一个曲面围成 【答案】C 【详解】A．长方体、正方体都有6个面，说法正确，不符合题意； B．六棱柱有18条棱、8个面、12个顶点，说法正确，不符合题意； C．三棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，说法错误，符合题意； D．圆锥由一个平面和一个曲面围成，说法正确，不符合题意． 【变式4】观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 (2)18；32；48 (3)十二 (4)棱柱的面数顶点数棱数 【详解】（1）略 （2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数； 当时：面数 ，顶点数，棱数； （3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱； （4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数． 1．下列7个几何体中，属于棱柱的有（     ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【详解】解：7个几何体中，属于棱柱的有①②④⑥，共4个． 2．如图所示的几何体中，棱柱共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：第一个图形是圆柱，侧面是曲面，不是棱柱； 第二个图形是圆锥，底面是圆，侧面是曲面，不是棱柱； 第三个图形是长方体，属于四棱柱，是棱柱； 第四个图形是球，由曲面围成，不是棱柱； 第五个图形是三棱柱，是棱柱； 综上，棱柱共有2个． 3．某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 【答案】C 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵ 棱柱的棱数为， ∴ ，得，即该棱柱为五棱柱． ∴ 顶点数为，面数为． 4．关于如图所示的几何体，下列说法正确的是（     ） A．它是三棱锥 B．它有6条侧棱 C．它有3个侧面 D．它的侧面是三角形 【答案】C 【详解】解：由图可知，该几何体上下底面为三角形，侧面为四边形． ∴该几何体是三棱柱． ∴该几何体有3个侧面，侧面是四边形，有3条侧棱． A、B、D说法错误，C说法正确. 5．若一个棱柱有个顶点，所有侧棱长的和是，则下列说法正确的是（     ）． A．这个棱柱的底面是十边形 B．这个棱柱有个侧面 C．这个棱柱有个面 D．这个棱柱每条侧棱长 【答案】D 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱的顶点数为，该棱柱有个顶点， ∴，解得，即该棱柱为五棱柱， ∵五棱柱的底面为五边形，有个侧面，总面数为， ∴均错误， ∵五棱柱有条侧棱，所有侧棱长的和为，且侧棱长度相等， ∴每条侧棱长为． 6．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 【答案】C 【详解】解：A．圆的各部分都在同一平面内，是平面图形； B．正方形的各部分都在同一平面内，是平面图形； C．圆锥各部分不在同一平面内，是立体图形，不是平面图形； D．五角星的各部分都在同一平面内，是平面图形； 故选：C． 7．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 8．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 9．如图所示的棱柱，底面为五边形，此棱柱一共有________个面． 【答案】7 【详解】解：∵底面为五边形， ∴此棱柱有5个侧面，2个底面， ∴此棱柱一共有个面． 10．把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的顶点个数是_______． 【答案】 【详解】解：观察图形可知，该平面展开图的中间部分是一个五边形，周围连接着个三角形， 沿虚线折叠后，这个三角形将围成侧面，五边形作为底面，这就构成了一个五棱锥， 五棱锥的底面有个顶点，侧面汇聚成个顶点， 这个几何体的顶点个数是． 1．老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；特征②：它一共有9条棱，则盒子里面放的几何体是（     ） A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．五棱柱 【答案】B 【详解】解：A．长方体有个面，不符合特征①，排除． B．三棱柱有个三角形底面和个长方形侧面，共个面，符合特征①；棱共有条，符合特征②． C．四棱锥共有条棱，不符合特征②，排除． D．五棱柱有个面，条棱，均不符合两个特征，排除． 2．如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【答案】C 【详解】解：设该棱柱为棱柱，则， 即该棱柱为八棱柱，底面为八边形，有8个侧面，16个顶点，8条侧棱， 故选项C符合题意． 3．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 4．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 5．判断如图所示的图形中球体是_________；多面体是__________． 【答案】 【详解】解：没有曲面，是由平面多边形围成的几何体，故均为多面体； 是球体； 带有支架底座，不是纯球体； 含有曲面，也含有平面，是旋转体，不是球体和多面体． 6．将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 【答案】 【详解】解：设原正方体棱长为（为整数），则未染色小正方体个数为， 由， 得， ， 只有两个面染色的小正方体位于正方体的棱上且非顶点处， 大正方体每条棱上只有两个面染色的小正方体有个， ∵正方体有条棱， 故总数为． 故答案为． 7．欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 图形 顶点数 4 6 10 棱数 6 ________ ________ 面数 4 5 ________ (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)表格如下： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 图形 顶点数 4 6 10 棱数 6 面数 4 5 (2) (3) 【分析】（1）结合图形确定棱数与面数； （2）对比三个图形的情况，总结出规律； （3）先计算出棱数，再使用（2）的结论计算出面数． 【详解】（1）略 （2）解：由表格可知，； （3）解：∵该多面体有个顶点，每个顶点处都有条棱， ∴该多面体的棱数为（条）， 由（2）可知，该多面体的面数为（个）． 8．如图所示是一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个五棱柱共有多少条棱？棱长总和是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)7个面，2个底面的形状、面积完全相同，5个侧面的形状、面积完全相同 (2)15条棱， (3)长方形， 【详解】（1）解：这个五棱柱共7个面，2个底面的形状、面积完全相同，5个侧面的形状、面积完全相同； （2）解：由正棱柱的定义可知， 正五棱柱一共有条棱． 它们的长度之和为：． （3）解：沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是长方形，面积为． 9．在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，可将多边形分割成若干个小三角形，以四边形为例，图①给出了具体的分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形． (1)请按照上述分割方法，将图②的五边形进行分割； (2)如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成___________、___________、___________个小三角形．（用含n的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1) 将图②的五边形进行分割如图所示： (2)；；n 【详解】（1）略 （2）解：结合题干所给图形可得： 如果按照上述的分割方法，n边形分别可以被分割成、、n个小三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $