专题6.1 立体图形与平面图形（高效培优讲义）数学人教版2024七年级上册

本讲义聚焦立体图形与平面图形核心知识点，从几何研究的形状、大小、位置关系入手，梳理几何图形分类，详解立体图形（柱体、锥体等）的构成及顶点、棱、面关系，平面图形特征，构建递进式知识支架。 特色为即学即练与分层题型设计，通过实物图判断（如礼品盒、交通标志）培养几何直观与空间观念，柱体棱数计算等问题锻炼推理能力，课中辅助教学，课后助学生巩固查漏。

专题6.1 立体图形与平面图形 教学目标 1. 掌握立体图形的概念。并能够熟练的判断立体图形及其形状以及能够熟练判断出立体图形的面，棱，顶点的熟练。 2. 掌握平面图形的概念，并能够熟练的判断立体图形。 教学重难点 1. 重点 （1）认识立体图形； （2）认识平面图形。 2. 难点 （1）立体图形与平面图形的认识； （2）柱体的顶点、棱、面以及他们之间的关系。 知识点01 几何研究的内容及对象 1. 几何研究的内容： 物体的 、 以及 是几何中研究的内容。 2. 几何研究的对象： 几何图形是几何研究的主要对象之一。 3. 几何图形的概念： 从实物中抽象出的各种图形叫 。几何图形分为 和 。 知识点02 认识立体图形 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是 。 2. 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为 和 。 ②椎体：分为 和 。 ③台体：分为 和 。 ④球体：一个曲面组成。 【即学即练1】 1．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【即学即练2】 2．图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练3】 3．与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体 【即学即练4】 4．一个六棱柱，一共有（　　）条棱． A．6 B．12 C．18 D．24 【即学即练5】 5．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（　　） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 知识点03 认识平面图形 1. 平面图形的概念： 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在 ，则这样的图形叫做平面图形。 【即学即练1】 6．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练2】 7．如图，构成该图案的几何图形有 　 　 ．（任写三个） 题型01 立体图形的认识与判断 【典例1】如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（　　） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 【变式1】下面的几何体中，属于柱体的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列选项中的几何体，没有曲面的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列几何体面数最少的是（　　） A． B． C． D． 题型02 平面图形的认识与判断 【典例1】下面几何图形中，不属于平面图形的是（　　） A．圆锥 B．正方形 C．扇形 D．五角星 【变式1】下面几种图形中，平面图形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列几何图形中，属于平面图形的有　 　 （填序号） ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆． 题型03 柱体的顶点、棱以及面 【典例1】已知一个n棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（　　）个面． A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（　　） A．10个 B．12个 C．15个 D．17个 【变式2】一个棱柱共有12条棱，那么这个棱柱共有　 　 个顶点． 【变式3】一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则n﹣m＝　 　 ． 1．下列图形是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形属于平面图形的是（　　） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 3．如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 4．下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱． A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥ 5．下列各组图形都是平面图形的一组是（　　） A．线段、圆、球 B．角、长方形、圆柱 C．长方体、棱锥 D．三角形、正方形 6．如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（　　） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 7．下列选项中，构成几何体的面与其他三个不同类的是（　　） A． B． C． D． 8．下列图形中属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 9．如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有（　　） A．圆、长方形 B．圆、线段 C．球、长方形 D．球、线段 10．端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（　　） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 11．三棱柱共有 　 　 个面． 12．如图中的几何体由　 　 个面　 　 条棱　 　 个顶点组成． 13．如图中，长方形有 　 　 个． 14．如果一个n棱柱总共有21条棱，那么这个n棱柱有　 　 个顶点． 15．分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由3×3×3个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是　 　 ． 16．已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长8cm，底面边长都为5cm． （1）这个直棱柱是 　 　 棱柱，它有 　 　 个面，　 　 个顶点； （2）这个棱柱的所有棱长的和为 　 ； （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 17．如图，观察下列几何体并回答问题： （1）n棱柱有　 　 个面、　 条棱、　 个顶点，n棱锥有　 　 个面、　 条棱、　　 个顶点． （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 18．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　 个三角形；图3中大三角形被分割成　 　 个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 19．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米． （1）共需要彩带多少厘米？ （2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？ （3）这个礼品盒的体积是多少？（π取3.14） 20．如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4（顶点为A，B，C，D），边数为5（像BC，CD为其中的两条边，但BD不能再算一条边，边与边不能重叠），区域数为2（它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域）． （1）数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表（图形①已填好）． 图形标号 顶点数V 边数E 区域数F ① 4 5 2 ② 5 　 　 3 ③ 　 　 9 4 ④ 7 　 　 6 （2）观察上表，推断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间有什么关系？ （3）现已知某一个平面图形的顶点数V是2025，区域数F比顶点数V多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数E是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 立体图形与平面图形 教学目标 1. 掌握立体图形的概念。并能够熟练的判断立体图形及其形状以及能够熟练判断出立体图形的面，棱，顶点的熟练。 2. 掌握平面图形的概念，并能够熟练的判断立体图形。 教学重难点 1. 重点 （1）认识立体图形； （2）认识平面图形。 2. 难点 （1）立体图形与平面图形的认识； （2）柱体的顶点、棱、面以及他们之间的关系。 知识点01 几何研究的内容及对象 1. 几何研究的内容： 物体的 形状 、 大小 以及 位置关系 是几何中研究的内容。 2. 几何研究的对象： 几何图形是几何研究的主要对象之一。 3. 几何图形的概念： 从实物中抽象出的各种图形叫 几何图形 。几何图形分为 立体图形 和 平面图形 。 知识点02 认识立体图形 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是 立体图形 。 2. 常见的立体图形及其构成： ①柱体：分为 圆柱体 和 棱柱体 。 ②椎体：分为 圆锥体 和 棱锥体 。 ③台体：分为 圆台 和 棱台 。 ④球体：一个曲面组成。 【即学即练1】 1．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【答案】D 【解答】解：A、点、直线、四边形是平面图形，长方体是立体图形，A不符合题意； B、三角形、长方形是平面图形，正方体、圆锥是立体图形，B不符合题意； C、线段、相交线是平面图形，长方体是立体图形，C不符合题意； D、长方体、正方体、圆锥、球都是立体图形，D符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2．图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：下列各个几何体的名称为： 所以柱体的个数为4个， 故选：B． 【即学即练3】 3．与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．棱柱、圆锥、棱柱、长方体 【答案】B 【解答】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B． 【即学即练4】 4．一个六棱柱，一共有（　　）条棱． A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【解答】解：一个六棱柱，一共有3×6＝18条棱． 故选：C． 【即学即练5】 5．一个直棱柱有10个顶点，则这个棱柱的侧面个数为（　　） A．5个 B．7个 C．9个 D．10个 【答案】A 【解答】解：根据一个n棱柱有2n个顶点，（n+2）个面，n个侧面可得： 若一个直棱柱有10个顶点，那么这个棱柱为五棱柱， 五棱柱的侧面个数为5个， 故选：A． 知识点03 认识平面图形 1. 平面图形的概念： 一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在 同一个平面内 ，则这样的图形叫做平面图形。 【即学即练1】 6．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：由有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形可得： ①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：D． 【即学即练2】 7．如图，构成该图案的几何图形有 　三角形、正方形、长方形（答案不唯一）　 ．（任写三个） 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 【解答】解：构成该图案的几何图形有三角形、正方形、长方形、圆，四边形等， 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 题型01 立体图形的认识与判断 【典例1】如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（　　） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 【答案】A 【解答】解：该作品中没有棱锥， 故选：A． 【变式1】下面的几何体中，属于柱体的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：图中的几何体从左到右的柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个． 故选：D． 【变式2】下列选项中的几何体，没有曲面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、球的表面是曲面，故本选项不符合题意； B、圆锥的侧面是曲面，故本选项不符合题意； C、圆柱的侧面是曲面，故本选项不符合题意； D、棱柱的底面是平面，侧面是平面，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】下列几何体面数最少的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A选项是四棱柱，有6个面；B选项是圆柱，有3个面；C选项是圆锥，有2个面；D选项是三棱柱，有5个面， ∴面数最少的是圆锥． 故选：C． 题型02 平面图形的认识与判断 【典例1】下面几何图形中，不属于平面图形的是（　　） A．圆锥 B．正方形 C．扇形 D．五角星 【答案】A 【解答】解：A．圆锥各部分不在同一平面上，是立体图形，不是平面图形； B．正方形 的各部分都在同一平面内，是平面图形； C．扇形的各部分都在同一平面内，是平面图形； D．五角星的各部分都在同一平面内，是平面图形． 故选：A． 【变式1】下面几种图形中，平面图形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 【变式2】在下列几何图形中，属于平面图形的有　①④⑤⑥　 （填序号） ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆． 【答案】①④⑤⑥． 【解答】解：在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形． ∴线段，三角形，角，圆是平面图形，球和正方体是立体图形， 故答案为：①④⑤⑥． 题型03 柱体的顶点、棱以及面 【典例1】已知一个n棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（　　）个面． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解答】解：∵n棱柱的棱数是由上下底面的棱和侧面的棱组成，上下底面均为n边形，各有n条棱，侧棱有n条， ∴总棱数为3n， ∵一个n棱柱有36条棱， ∴3n＝36， ∴n＝12． ∵n棱柱的面包括上下2个底面和n各侧面， ∴总面数为2+n， 把n＝12代入2+n，得2+12＝14， ∴这个n棱柱有14个面． 故选：D． 【变式1】一个棱柱有30条棱，则这个棱柱的面有（　　） A．10个 B．12个 C．15个 D．17个 【答案】B 【解答】解：30÷3+2＝12（个）， 故选：B． 【变式2】一个棱柱共有12条棱，那么这个棱柱共有　8　 个顶点． 【答案】8． 【解答】解：由于一个棱柱共有12条棱， 所以这个棱柱是四棱柱， 所以四棱锥有8个顶点， 故答案为：8． 【变式3】一个棱柱共有20个顶点，设这个棱柱共有m个面，共有n条棱，则n﹣m＝　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：根据题意得此棱柱为十棱柱， ∴这个棱柱共有12个面，共有30条棱，即m＝12，n＝30， ∴n﹣m＝30﹣12＝18， 故答案为：18． 1．下列图形是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：三角形是平面图形． 故选：D． 2．下列图形属于平面图形的是（　　） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 【答案】D 【解答】解：A、长方体是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； B、球是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； C、圆柱是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； D、三角形是平面图形，此选项符合题意； 故选：D． 3．如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（　　） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．四棱柱 【答案】C 【解答】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球， 故在这些抽象出的几何体中不包括：圆锥． 故选：C． 4．下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱． A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥ 【答案】A 【解答】解：①三角形；②长方形；④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：A． 5．下列各组图形都是平面图形的一组是（　　） A．线段、圆、球 B．角、长方形、圆柱 C．长方体、棱锥 D．三角形、正方形 【答案】D 【解答】解：A、线段、圆、球中，球不是平面图形，故此选项错误； B、角、长方形、圆柱中，圆柱不是平面图形，故此选项错误； C、长方体、棱锥中都不是平面图形，故此选项错误； D、三角形、正方形都是平面图形，故此选项正确； 故选：D． 6．如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（　　） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 【答案】A 【解答】解：原图中有棱柱，球，圆柱，没有棱锥． 故选：A． 7．下列选项中，构成几何体的面与其他三个不同类的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A中的正方体、选项C中的四棱柱、选项D中三棱柱的表面都是平面，而选项B中的圆柱体它的表面有曲面，因此选项B符合题意， 故选：B． 8．下列图形中属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【解答】解：图形中属于棱柱的有正方体，长方体，四棱柱，三棱柱，六棱柱，共有5个． 故选：B． 9．如图是交通禁止驶入标志，组成这个标志的几何图形有（　　） A．圆、长方形 B．圆、线段 C．球、长方形 D．球、线段 【答案】A 【解答】解：根据图形可得组成这个标志的几何图形有长方形、圆． 故选：A． 10．端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（　　） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【解答】解：A．长方体：六个面均为矩形，不可能有等边三角形面，故选项A不符合题意； B．四棱锥：底面为四边形（如正方形），四个侧面为三角形．若底面为正方形且侧面为等边三角形，则底面边长与侧棱长度需相等，但此时底面仍为四边形而非三角形，故选项B不符合题意； C．三棱柱：两个底面为三角形，三个侧面为矩形．即使底面为等边三角形，侧面为矩形而非三角形，无法满足所有面为等边三角形，故选项C不符合题意； D．三棱锥：即正四面体，四个面均为等边三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 11．三棱柱共有 　5　 个面． 【答案】5． 【解答】解：作三棱柱的图，观察可知， ∴三棱柱共有5个面， 故答案为：5． 12．如图中的几何体由　9　 个面　16　 条棱　9　 个顶点组成． 【答案】9，16，9． 【解答】解：图中的几何体由9个面，16条棱，9个顶点组成． 故答案为：9，16，9． 13．如图中，长方形有 　15　 个． 【答案】15． 【解答】解：图中共有15个长方形． 故答案为：15． 14．如果一个n棱柱总共有21条棱，那么这个n棱柱有　14　 个顶点． 【答案】14． 【解答】解：由已知可得，3n＝21， ∴n＝7， ∴2n＝2×7 ＝14， 故答案为：14． 15．分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由3×3×3个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是　36　 ． 【答案】36． 【解答】解：棱长为1的正方体的个数为3×3×3＝27（个）， 棱长为2的正方体的个数为（3﹣1）×（3﹣1）×（3﹣1）＝8（个）， 棱长为3的正方体的个数为（3﹣2）×（3﹣2）×（3﹣2）＝1（个）， 所以共有27+8+1＝36（个）， 故答案为：36． 16．已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长8cm，底面边长都为5cm． （1）这个直棱柱是 　六　 棱柱，它有 　8　 个面，　12　 个顶点； （2）这个棱柱的所有棱长的和为 　108cm ； （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】（1）六，8，12； （2）108cm； （3）240cm2． 【解答】解：（1）∵此直棱柱有18条棱， ∴由18÷3＝6知，此棱柱是六棱柱； 这个六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12； （2）∵一条侧棱长为8cm，底面各边长都为5cm， ∴棱柱的所有棱长和＝6×8+12×5＝108（cm）； 故答案为：108cm； （3）这个棱柱的所有侧面的面积之和是8×5×6＝240（cm2）． 17．如图，观察下列几何体并回答问题： （1）n棱柱有　（n+2）　 个面、　3n 条棱、　2n 个顶点，n棱锥有　（n+1）　 个面、　2n 条棱、　（n+1）　 个顶点． （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】（1）（n+2），3n，2n，（n+1），2n，（n+1）； （2）V+F﹣E＝2． 【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点，n棱锥有（n+1）个面，2n条棱，（n+1）个顶点； 故答案为：（n+2），3n，2n，（n+1），2n，（n+1）； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数， 如图： 根据上表总结出这个关系为V+F﹣E＝2． 18．如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形（即分割成四部分）得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3． （1）图2中大三角形被分割成　7　 个三角形；图3中大三角形被分割成　10　 个三角形． （2）按上面的方法继续分割下去，第10个图形分割成几个三角形？第n个图形呢（用n的代数式表示结论）？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2中大三角形被分割成4个三角形；图3中大三角形被分割成7个三角形． （2）图10有4+3×9＝31个， 第n个图形有4+3（n﹣2）＝（3n﹣2）个． 19．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长18厘米． （1）共需要彩带多少厘米？ （2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？ （3）这个礼品盒的体积是多少？（π取3.14） 【答案】（1）298； （2）1200π； （3）15700． 【解答】解：（1）50×4+20×4+18＝298（cm）， （2）π×（）2×2+π×20×50＝200π+1000π＝1200π（cm2）， （3）π×（）2×50＝5000π≈15700（cm3）， 答：做这样一个礼品盒共需要彩带298厘米；至少要1200π平方厘米的硬纸；这个礼品盒的体积约为15700立方厘米． 20．如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4（顶点为A，B，C，D），边数为5（像BC，CD为其中的两条边，但BD不能再算一条边，边与边不能重叠），区域数为2（它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域）． （1）数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表（图形①已填好）． 图形标号 顶点数V 边数E 区域数F ① 4 5 2 ② 5 　7　 3 ③ 　6　 9 4 ④ 7 　12　 6 （2）观察上表，推断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间有什么关系？ （3）现已知某一个平面图形的顶点数V是2025，区域数F比顶点数V多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数E是多少？ 【答案】（1）②7，③6，④12； （2）V+F＝E+1； （3）4050． 【解答】解：（1）由题意可得， 图形标号 顶点数V 边数E 区域数F ① 4 5 2 ② 5 7 3 ③ 6 9 4 ④ 7 12 6 故答案为：7，6，12； （2）由表中数据可知V+F＝E+1； （3）由条件可知F＝V+1＝2026． ∵V+F＝E+1， ∴E＝V+F﹣1＝4050． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $