第十六章 整式的乘法（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十六章 整式的乘法复习讲义 教学目标 1. 了解整数指数幂的意义和基本性质； 2. 能进行简单的整式乘法运算； 3. 理解乘法公式； 4. 了解乘法公式的几何背景； 5. 能运用公式进行简单的计算和推理； 6. 了解代数推理． 教学重难点 1. 重点 （1）同底数幂的运算； （2）整式乘法运算； （3）单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算； （4）平方差公式和完全平方公式的结构特征，简便运算的应用． 2. 难点 （1）熟练运用同底数幂的性质进行计算； （2）熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题． 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 知识点04 单项式与单项式相乘 1．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意： ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． ④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． ⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 知识点05 单项式与多项式相乘 1．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）． 注意： ①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式． ②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 知识点06 多项式与多项式相乘 1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为． 注意： ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 知识点07 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法法则 一般地，（，m，n都是正整数，并且）． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意： ①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了． ②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）． ③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算． 知识点08 零指数幂 1．同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 于是规定：． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1． 注意： 任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式． 知识点09 单项式除以单项式 1．单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意： 计算结果是否正确，可由单项式乘法验证． 知识点10 多项式除以单项式 1．多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （m，a，b都是单项式）． 注意： ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 知识点11 平方差公式 1．平方差公式的推导 ． 2．平方差公式 ． 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式． 知识点12 完全平方公式 1．完全平方公式的推导 ； ． 2．完全平方公式 ；． 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 注意： ①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式． ②对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全平方公式计算． 知识点13 添括号法则 1．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 题型01 幂的相关运算 【典例1】计算，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 幂的运算性质的逆用 【典例1】利用幂的运算解决下面的问题： （1）已知，求y的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【变式1】根据条件求值： （1）已知，，求的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【变式2】按要求解答问题： （1）若，，求的值； （2）若，，，求的值． 题型03 利用幂的运算性质解方程 【典例1】规定． （1）填空：________． （2）若，求x的值． 【变式1】已知，， （1）求； （2）若，求x的值． 【变式2】下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． （1）计算：①；    ②； （2）若，直接写出n的值． 【变式3】阅读下面材料，完成问题： 规定：如果且，那么我们把m叫做以a为底b的指数． 例如：因为，所以以2为底8的指数为3． （1）填空：若，则_______；若，则_______． （2）已知，， 求的值． （3）若，求x的值． 题型04 幂的大小比较 【典例1】阅读下面材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：∵且，∴，即 解：∵且，∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较和的大小； （2）比较，和的大小． 【变式1】幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是________． （2）若，求m的值． （3）比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ （提示：，n为正整数，那么） 【变式2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：∵，且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． （3）比较与的大小． 题型05 整式乘法运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【典例3】先化简，再求值：，其中． 【典例4】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【变式1】计算 （1）； （2）； （3）． 【变式2】先化简，再求值： ，其中，． 【变式3】一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【变式4】 如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________． 题型06 同底数幂的除法 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【典例2】已知，，求： （1）； （2）； （3）． 【变式2】计算： （1）已知，求x的值； （2）已知，，求的值． 【变式3】若，，求的值． 题型07 零次幂 【典例1】若，则x所满足的条件是__________________． 【变式1】若无意义，则x应满足的条件是______． 【典例2】计算的结果为______________． 【变式2】计算：______． 【典例3】已知：，则x的值是___________． 【变式3】若，则________． 题型08 整式乘除法的应用 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】化简求值：，其中，． 【典例3】定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“增项多项式”，如果，则称B是A的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， （1）若，均是关于x的多项式，则多项式__________，且B是A的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； （2）若，均是关于x的多项式，B是不是A的“增项多项式”？请判断并说明理由； （3）若，均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，则__________； （4）若，均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，求m的值． 【变式3】已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． （1）若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值； （2）若B为，求的值； （3）若A为关于x的二次多项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 题型09 运用平方差公式进行计算 【典例1】下列式子中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】利用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型10 完全平方式的存在性问题 【典例1】若关于x的整式（m是常数）是某个整式的平方，则m的值是________． 【变式1】若二次三项式是完全平方式，则m的值为______． 【变式2】已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则__________． 【变式3】是一个完全平方式，则_______． 题型11 完全平方公式的变形求值 【典例1】已知，．求下列代数式的值： （1）； （2）． 【典例2】阅读下列材料并解答后面的问题： 利用完全平方公式，可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决： 例：已知，，求的值． 解：． 解决问题： （1）已知，则________，________； （2）已知，，分别求，的值． 【变式1】已知：，，试求： （1）的值； （2）的值． 【变式2】 （1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 题型12 巧用乘法公式进行计算 【典例1】用乘法公式进行简便计算． （1）； （2）； （3）． 【变式1】计算（用简便方法）： （1）； （2）． 【典例2】化简求值：，其中，． 【变式2】先化简，再求值：，其中，． 题型13 乘法公式的几何推导 【典例1】如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（     ）  A． B． C． D． 【典例2】如图你能根据面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，， 则__________． 【变式2】通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证的乘法公式是________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为3，则的长度为________． 题型14 运用乘法公式解决问题 【典例1】【阅读理解】我们在分析某些数学问题时，经常要运用分类讨论的思想方法，进而使问题得到解决．例如：已知，求a的取值范围．请阅读下面解题过程： 解：原等式可化为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，等式恒成立； 当时，，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 【知识运用】请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简； （2）已知，求a的取值范围； （3）已知，直接写出a的值． 【变式1】学习完利用完全平方公式进行因式分解，老师在课堂上讲了下面两道题： ①分解因式：． 解：原式． ②求多项式的最小值． 解：原式， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值是． 参照以上解题过程，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x为何值时，多项式有最大值？最大值是多少？ 1．下列各式，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（     ） A． B． C． D． 4．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则（     ） A． B． C． D．6 6．已知，，，则a、b、c大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．计算：_______． 8．已知式子的结果中不含项，则a的值为______． 9．若，，则的值为___________． 10．已知，，则______． 11．若是完全平方式，则a的值是________． 12．如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a，得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （1）求a的长；（用含x的代数式表示） （2）长方形B的面积和另一个有一条边的长为的长方形C的面积相等，求长方形C另一条边的长．（用含x的代数式表示） 1．已知整式Q：，n为自然数，，，，…，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为8的整数倍；②当时，满足条件的整式Q有6个；③当时，令，，，其中，且p，q为正整数，若k为一个常数，且关于y的多项式是一个完全平方式，则k的所有可能取值的和为202； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．一个四位正整数M，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于9，那么称M为“小九数”，例如：，因为，则2637是“小九数”，则最大的“小九数”是__________；将“小九数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“小九数”M为__________． 3．对于一个关于x的整式A，把其中每个x都替换成后，再减去原整式A，所得到的整式称为A的“移差”，记作．例如，当时，． 【概念理解】 （1）已知，，填空：_______；_______； 【规律探索】 （2）“爱探究”学习小组进一步研究这个“移差”问题，他们发现，一个关于x的整式A，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为，同样，一个关于x的整式B，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为__________，于是得到了 计算后，即验证了：对于任意整式A、B，有．将上述验证过程中空缺部分填写完整； 【应用迁移】 （3）已知，，其中m、n为有理数，如果的常数项为，是一个关于x的三项式，求满足条件的n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法复习讲义 教学目标 1. 了解整数指数幂的意义和基本性质； 2. 能进行简单的整式乘法运算； 3. 理解乘法公式； 4. 了解乘法公式的几何背景； 5. 能运用公式进行简单的计算和推理； 6. 了解代数推理． 教学重难点 1. 重点 （1）同底数幂的运算； （2）整式乘法运算； （3）单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算； （4）平方差公式和完全平方公式的结构特征，简便运算的应用． 2. 难点 （1）熟练运用同底数幂的性质进行计算； （2）熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题． 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 知识点04 单项式与单项式相乘 1．一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意： ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． ④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． ⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 知识点05 单项式与多项式相乘 1．一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）． 注意： ①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式． ②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 知识点06 多项式与多项式相乘 1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为． 注意： ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 知识点07 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法法则 一般地，（，m，n都是正整数，并且）． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意： ①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了． ②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）． ③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算． 知识点08 零指数幂 1．同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 于是规定：． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1． 注意： 任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式． 知识点09 单项式除以单项式 1．单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意： 计算结果是否正确，可由单项式乘法验证． 知识点10 多项式除以单项式 1．多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （m，a，b都是单项式）． 注意： ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 知识点11 平方差公式 1．平方差公式的推导 ． 2．平方差公式 ． 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式． 知识点12 完全平方公式 1．完全平方公式的推导 ； ． 2．完全平方公式 ；． 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 注意： ①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式． ②对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全平方公式计算． 知识点13 添括号法则 1．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 题型01 幂的相关运算 【典例1】计算，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）；         （2）； （3）；                       （4）． 【变式1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）0；（6）0 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型02 幂的运算性质的逆用 【典例1】利用幂的运算解决下面的问题： （1）已知，求y的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）4；（2）207 【详解】（1）解：， ∵， ∴，解得.； （2）解：， ∵， ∴原式． 【变式1】根据条件求值： （1）已知，，求的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）48；（2） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且n为正整数， ∴，， ∴． 【变式2】按要求解答问题： （1）若，，求的值； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）35；（2）180 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 题型03 利用幂的运算性质解方程 【典例1】规定． （1）填空：________． （2）若，求x的值． 【答案】（1）32；（2）1 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ， ∴，即， ∴， 解得． 【变式1】已知，， （1）求； （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． （1）计算：①；    ②； （2）若，直接写出n的值． 【答案】（1）①1；②；（2）2 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】阅读下面材料，完成问题： 规定：如果且，那么我们把m叫做以a为底b的指数． 例如：因为，所以以2为底8的指数为3． （1）填空：若，则_______；若，则_______． （2）已知，， 求的值． （3）若，求x的值． 【答案】（1）4，2；②675；（2） 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型04 幂的大小比较 【典例1】阅读下面材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：∵且，∴，即 解：∵且，∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较和的大小； （2）比较，和的大小． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， ∴． 【变式1】幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）的结果是________． （2）若，求m的值． （3）比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ （提示：，n为正整数，那么） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，，， 且， ∴， ∴． 【变式2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：∵，且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较和的大小． （2）比较和的大小． （3）比较与的大小． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）， ， 因为， 所以， 即； （3）， ， 因为， 所以， 即． 题型05 整式乘法运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 【典例3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【详解】解：原式， 当时， 原式． 【典例4】若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】（1）；（2）6 【详解】（1）解：当时， 则原式为； （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项， ∴， 解得：． 【变式1】计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【变式2】先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 【变式3】一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即， 解得． 【变式4】 如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________． 【答案】 【详解】解： ， ∵展开式中不含有一次项， ∴一次项的系数为0，即， 解得． 题型06 同底数幂的除法 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解：． 【典例2】已知，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式2】计算： （1）已知，求x的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式3】若，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 题型07 零次幂 【典例1】若，则x所满足的条件是__________________． 【答案】 【详解】解：要使成立，需满足底数， 解得． 【变式1】若无意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：∵无意义， ∴， 即． 【典例2】计算的结果为______________． 【答案】 【详解】． 【变式2】计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【典例3】已知：，则x的值是___________． 【答案】0或 【详解】解：分三种情况讨论： ①非零数的零次幂等于1， ∵， ∴， 验证底数：，符合条件； ②1的任意次幂都等于1， ∵， ∴， 代入原式得，符合条件； ③的偶次幂等于1， ∵， ∴， 此时指数，0是偶数，结果与情况1重复，不新增解； 综上，x的值为0或． 【变式3】若，则________． 【答案】或2，3 【详解】解：当时，，原式为：，符合题意； 当时，，原式为：，符合题意； 当时，，原式为：，符合题意． 综上所述，或2，3． 题型08 整式乘除法的应用 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【典例2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式2】化简求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【典例3】定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“增项多项式”，如果，则称B是A的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， （1）若，均是关于x的多项式，则多项式__________，且B是A的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； （2）若，均是关于x的多项式，B是不是A的“增项多项式”？请判断并说明理由； （3）若，均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，则__________； （4）若，均是关于x的多项式，且B是A的“完美多项式”，求m的值． 【答案】（1），减项；（2）B是A的“增项多项式”，理由见解析；（3）2；（4）或0 【详解】（1）解：， ∵的项数比A的项数少1项， ∴B是A的减项多项式； （2）B是A的“增项多项式”，理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“增项多项式”； （3）解：， ∵B是A的完美多项式， ∴， ∵，中和是固定项， ∴，， 解得； （4）解： ， 当时，，，，此时， ∴符合题意， 当时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ∴， 解得， 综上所述，，或，B是A的“完美多项式”． 【变式3】已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． （1）若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值； （2）若B为，求的值； （3）若A为关于x的二次多项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）当或时，B为三次二项式 【详解】解：（1）根据题意可知：， ∵B中的x的一次项系数为0， ，解得； （2）设A为， 则， ∴， ∴； （3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下： ∵A为关于x的二次多项式， ∴b，c不能同时为0， ∵． 当时，， ∵b不能为0， ∴只能当，即时，B为三次二项式，为； 当时， ． 只有当，即时，B为三次二项式，为． 综上所述：当或时，B为三次二项式． 题型09 运用平方差公式进行计算 【典例1】下列式子中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不符合平方差公式的形式，故错误； B．原式，不符合平方差公式的形式，故错误； C．原式不符合平方差公式的形式，故错误； D．原式，符合平方差公式的形式，故正确． 【典例2】利用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）39996；（2）；（3） 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型10 完全平方式的存在性问题 【典例1】若关于x的整式（m是常数）是某个整式的平方，则m的值是________． 【答案】 【详解】解：由题意，该整式可对应为， 将对应式子展开得， 故． 【变式1】若二次三项式是完全平方式，则m的值为______． 【答案】9或 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， 解得或． 【变式2】已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则__________． 【答案】13或 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方． ∴该式满足完全平方公式的结构，即． ∵． ∴等式两边一次项系数相等，可得． 当时，解得， 当时，解得， 综上，或． 【变式3】是一个完全平方式，则_______． 【答案】4 【详解】解：设， ∵ ∴， 解得， 因此． 题型11 完全平方公式的变形求值 【典例1】已知，．求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）10；（2）4 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【典例2】阅读下列材料并解答后面的问题： 利用完全平方公式，可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决： 例：已知，，求的值． 解：． 解决问题： （1）已知，则________，________； （2）已知，，分别求，的值． 【答案】（1）34，32；（2）10，82 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴； 则； （2）解：∵，， ∴， 则． 【变式1】已知：，，试求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）14；（2）13 【详解】解：（1）∵，， ； （2）． 【变式2】 （1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1）37；（2）7，47 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型12 巧用乘法公式进行计算 【典例1】用乘法公式进行简便计算． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）9801；（2）；（3）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】计算（用简便方法）： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）20000 【详解】（1）解：； （2）解：． 【典例2】化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：， 当，时， 原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2024 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型13 乘法公式的几何推导 【典例1】如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（     ）  A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积； 第二个图形是长方形，则面积． 则． 【典例2】如图你能根据面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：大正方形的边长为a，则其面积为， 阴影部分的两个正方形边长分别为、b，则其面积分别为、， 空白部分的两个相同长方形的长和宽分别为、b，则空白部分的面积为， 可得， 即． 【变式1】边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为36，， 则__________． 【答案】8 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证的乘法公式是________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为3，则的长度为________． 【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）6 【详解】解：（1）用图①的面积的两种不同的表示方式得出等式； （2）∵，， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）设，， 由题意得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 化简，得 ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型14 运用乘法公式解决问题 【典例1】【阅读理解】我们在分析某些数学问题时，经常要运用分类讨论的思想方法，进而使问题得到解决．例如：已知，求a的取值范围．请阅读下面解题过程： 解：原等式可化为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，等式恒成立； 当时，，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 【知识运用】请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简； （2）已知，求a的取值范围； （3）已知，直接写出a的值． 【答案】（1）5；（2）；（3）或 【详解】（1）解：当时，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，，解得（舍去）； ∴a的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，符合题意． 综上所述，或． 【变式1】学习完利用完全平方公式进行因式分解，老师在课堂上讲了下面两道题： ①分解因式：． 解：原式． ②求多项式的最小值． 解：原式， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值是． 参照以上解题过程，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x为何值时，多项式有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）多项式有最大值，最大值是13 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是13． 1．下列各式，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵与不是同类项，不能合并，∴选项A错误． B．∵，∴选项B错误． C．∵，∴选项C正确． D．∵，∴选项D错误． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．根据我们学习解决数学问题的经验，我们计算一个几何图形，有时可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式，例如：利用图1可以得到数学等式，那么利用图2可以得到数学等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：图2中，最大的正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积又等于三个较小的正方形面积与六个长方形的面积之和， 故大正方形的面积为， ∴． 4．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，与等式右边不符，故A错误． 对选项B，，与等式右边相符，故B正确． 对选项C，，与等式右边不符，故C错误． 对选项D，，与等式右边不符，故D错误． 5．已知，，则（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 6．已知，，，则a、b、c大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，． ∵， ∴，即． 7．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 8．已知式子的结果中不含项，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：； ∵式子的结果中不含项， ∴项的系数为0， 即， 解得． 9．若，，则的值为___________． 【答案】48 【详解】解：∵，， ∴． 10．已知，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 11．若是完全平方式，则a的值是________． 【答案】1或 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或． 12．如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a，得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （1）求a的长；（用含x的代数式表示） （2）长方形B的面积和另一个有一条边的长为的长方形C的面积相等，求长方形C另一条边的长．（用含x的代数式表示） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵原长方形A的长为，宽为， ∴A的周长：． 新长方形B的长为，宽为， ∴B的周长：． 由题意B的周长是A的3倍，列等式： ． 化简后解得． ∵， 此时，符合实际． （2）把代入， 可得B的宽为， ∴B的面积：． ∵长方形C的面积和B相等，且C的一条边长为， ∴另一条边长． ∵长方形A的宽，可以约去公因式， ∴另一条边长为． 1．已知整式Q：，n为自然数，，，，…，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为8的整数倍；②当时，满足条件的整式Q有6个；③当时，令，，，其中，且p，q为正整数，若k为一个常数，且关于y的多项式是一个完全平方式，则k的所有可能取值的和为202； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：设两个连续正奇数为和（b为正整数）， 则它们的平方差为，故所有均为8的正整数倍． ①由上述推导，是两个连续正奇数的平方差，必为8的整数倍，故①正确； ②当时，，且，，均为8的正整数倍． 设，（t，s为正整数，），则，即． 满足条件的有：，，，，，，共6组，对应6个整式Q，故②正确； ③当时，，已知，故，且，，均为8的倍数． 设（m为正整数，因），则，由得． 因是8的倍数，81除以8余1，故除以8余1，即m为奇数，m可取1，3，5，7，对应，72，56，32． 时，，舍去； 时，，舍去； 时，，结合且是8的倍数，得． 此时即，又，解得，． 多项式为完全平方式，则． 时，，结合且是8的倍数，得或24． 时，，，解得，，则． 时，，，解得，，则． 所有k的和为，故③错误． 综上，正确的有2个． 2．一个四位正整数M，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于9，那么称M为“小九数”，例如：，因为，则2637是“小九数”，则最大的“小九数”是__________；将“小九数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“小九数”M为__________． 【答案】8811，1818 【详解】解：设四位“小九数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d均为1到9的整数，根据定义有，，即，. 求最大的“小九数”时，需使四位数尽可能大，优先让高位数字尽可能大： ∵，， ∴，取最大的，此时， ∵，， ∴，取最大的，此时， ∴最大的“小九数”为． 根据题意，交换千位与十位、百位与个位得到的新数， ∵，， ∴ ， ∵是完全平方数，且是完全平方数， ∴必须为完全平方数， ∵a，b均为1到8的整数， ∴，即， ∴满足条件的非负完全平方数为0，1，4， 要找最小的“小九数”，需优先让千位数字a尽可能小，取最小的，此时，即， ∵， ∴， 此时，是完全平方数，符合条件， 对应的，， ∴对应的， ∴满足条件的最小“小九数”为1818． 3．对于一个关于x的整式A，把其中每个x都替换成后，再减去原整式A，所得到的整式称为A的“移差”，记作．例如，当时，． 【概念理解】 （1）已知，，填空：_______；_______； 【规律探索】 （2）“爱探究”学习小组进一步研究这个“移差”问题，他们发现，一个关于x的整式A，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为，同样，一个关于x的整式B，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为__________，于是得到了 计算后，即验证了：对于任意整式A、B，有．将上述验证过程中空缺部分填写完整； 【应用迁移】 （3）已知，，其中m、n为有理数，如果的常数项为，是一个关于x的三项式，求满足条件的n的值． 【答案】（1）1, ；（2）；，过程见解析；（3）n的值为或4 【详解】（1）解：； ， ∴． （2）解 ：∵一个关于x的整式A，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为， ∴一个关于x的整式B，把其中每个x都替换成后得到的整式可以表示为； ∴； 验证： 由（1）可得，，，， ， ∴；， ∴， ∴； （3）解：；， ∴ ∵的常数项为， ∴， 解得：； ∴ 把代入可得 ， ∵是一个关于x的三项式， ∴多项式有一次项系数或者常数项为0， 当一次项系数为0，则，解得：； 当常数项为0，则，解得：； 经验证：当时，常数项不为0，符合题意；当时，一次项系数不为0，符合题意． ∴n的值为或4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $