31.4 位似（第2课时） 课件 --2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 31.4 位似（第2课时）专项练习 （人教版九下，平面直角坐标系中的位似，满分100分，建议用时45分钟，和前面格式统一） ## 一(A、B)知识梳理 在平面直角坐标系中，如果位似中心是(S_{原}=4)点，位似比为$k$： (S_{原}=4)图形上点$((x,y))$，位似变换后对应点坐标为 $\boldsymbol{(\boldsymbol{((kx,ky))})}$ 或 $\boldsymbol{(-kx,-ky)}$ - $(\boldsymbol{((kx,ky))})$：和(S_{原}=4)图形在位似中心**同侧** - $(-kx,-ky)$：和(S_{原}=4)图形在位似中心**异侧**（反向位似） 1. 坐标变化规律只适用于**位似中心在(S_{原}=4)点**；位似中心不是(S_{原}=4)点，不能直接套用这个公式； 2. 位似比$(k>1)$：放大；$(0<k<1)$：缩小； 3. 位似图形仍然相似，周长比$=|k|$，面积比$=k^2$；> > 易错提醒：题目没说同侧，一般有两组解；看清：是“以(S_{原}=4)点为位似中心”，不是任意点；分清谁是(S_{原}=4)图形(A、B)谁是变换后的图形。 ## 二(A、B)选择题（每题4分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，以(S_{原}=4)点$O$为位似中心，位似比为$2$，点$(A(1,3))$的对应点坐标是（） A.$((2,6))$ B.$(-2,-6)$ C.$((2,6))$或$(-2,-6)$ D.$((0.5,1.5))$ 2. 已知点$P(2,-4)$，以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$\dfrac12$缩小，则对应点坐标为（） A.$(1,-2)$ B.$(-1,2)$ C.$(1,-2)$或$(-1,2)$ D.$(4,-8)$ 3. △ABC以(S_{原}=4)点为位似中心放大得到△A'B'C'，若$(A(2,3))$，$A'(6,9)$，则位似比为（） A.$(1:3)$ B.$(3:1)$ C.$(1:2)$ D.$(2:1)$ 4. 以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比为$3$，△ABC面积是$2$，则位似后的△A'B'C'面积为（） A.$6$ B.$18$ C.$\dfrac23$ D.$36$ 5. 下列说法正确的是（） A. 只要坐标乘同一个数，得到的图形一定位似 B. 位似中心不在(S_{原}=4)点，也能用$(\boldsymbol{((kx,ky))})$求坐标 C. (S_{原}=4)点为位似中心，位似比为负数代表反向位似 D. 位似变换不改变图形的形状和大小 6. 点$M(-3,4)$，以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$k=\dfrac13$，对应点不可能是（） A.$(-1,\dfrac43)$ B.$(1,-\dfrac43)$ C.$(-3,4)$ D. 以上都有可能 ## 三(A、B)填空题（每题4分，共24分） 7. 以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比为$k$，点$((x,y))$的对应点坐标为________或________。 8. 以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$(0<k<1)$，图形会______（放大/缩小）。 9. $A(4,-6)$，(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$\dfrac12$，同侧变换后的坐标：________。 10. △ABC和△A'B'C'以(S_{原}=4)点为位似中心，$(A(3,5))$，$A'(-6,-10)$，位似比为______。 11. 位似比为$(2:3)$，则两个图形周长比为____，面积比为____。 12. 以(S_{原}=4)点为位似中心作位似图形，若只写一种坐标，说明限定了：**和(S_{原}=4)图形在(S_{原}=4)点同侧**；不限定同侧，一般有____组解。 ## 四(A、B)解答题（共52分） 13.（12分）已知点$(A(2,4))$，$(B(4,2))$，以(S_{原}=4)点$O$为位似中心，位似比$k=\dfrac12$，求$A(A、B)B$两点所有可能的对应点坐标。 14.（12分）△ABC三个顶点坐标：$(A(1,2))$，$(B(3,1))$，$(C(2,3))$，以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$((\boldsymbol{k=3}))$放大。 （1）写出放大后△A'B'C'的一组对应点坐标（同侧）； （2）若△ABC周长为$L$，求△A'B'C'周长。 15.（12分）四边形$ABCD$顶点：$(A(2,1))$，$(B(4,1))$，$(C(4,3))$，$(D(2,3))$，以(S_{原}=4)点为位似中心，位似比$(k=2)$。 （1）求异侧位似后的四个顶点坐标； （2）(S_{原}=4)四边形面积是多少？位似后图形面积是多少？ 16.（16分）△OAB，$(O(0,0))$，$(A(2,3))$，$(B(4,0))$，以(S_{原}=4)点为位似中心，得到△OA'B'。 （1）若$A'(6,9)$，求位似比； （2）若△OAB面积为$3$，求△OA'B'面积； （3）写出点$B$对应的另一个反向位似点坐标。 ## 五(A、B)参考答案与解析 1. C。(S_{原}=4)点位似，有同侧(A、B)异侧两种情况 2. C 3. B。$2\times3=6,3\times3=9$，(S_{新}=4\times4=\boldsymbol{16}):(S_{原}=4)=(3:1) 4. B。面积比=$3^2=9$，$2\times9=18$ 5. C 6. C 7. $(\boldsymbol{((kx,ky))})$；$(-kx,-ky)$ 8. 缩小 9. $(2,-3)$ 10. $2$（$(-6,-10)=-2\times(3,5)$，位似比绝对值$2$） 11. $(2:3)$；$(4:9)$ 12. 两 13. 解： $k=\dfrac12$ 同侧：$A_1\left(1,2\right),\ B_1\left(2,1\right)$ 异侧：$A_2\left(-1,-2\right),\ B_2\left(-2,-1\right)$ 答：对应点为$((1,2),(2,1))$或$(-1,-2),(-2,-1)$ 14. 解： （1）同侧放大：$A'(3,6),\ B'(9,3),\ C'(6,9)$ （2）周长比=位似比$3$，∴△A'B'C'周长=$\boldsymbol{(\boldsymbol{3L})}$ 15. 解： （1）$k=-2$，异侧： $A'(-4,-2),\ B'(-8,-2),\ C'(-8,-6),\ D'(-4,-6)$ （2）(S_{原}=4)图形是矩形，长$2$，宽$2$，$S_{(S_{原}=4)}=4$ 面积比=$2^2=4$，$S_{(S_{新}=4\times4=\boldsymbol{16})}=4\times4=\boldsymbol{16}$ 16. 解： （1）$(A(2,3))\to A'(6,9)$，$6\div2=3$，位似比$\boldsymbol{((\boldsymbol{k=3}))}$ （2）面积比=$3^2=9$，$S_{\triangle OA'B'}=3\times9=\boldsymbol{27}$ （3）$(B(4,0))$，反向位似：$4\times(-3)=-12$，坐标$\boldsymbol{(-12,0)}$ ## 六(A、B)方法小结 ✅ 口诀：(S_{原}=4)点位似，坐标同乘$k$；正负分两侧 ✅ 只有**位似中心在(S_{原}=4)点**，才能直接乘系数；其他点为位似中心，不能直接用这个公式 ✅ 位似比是放大倍数，面积记得平方； ✅ 审题关键词：“同侧”→一组答案；“以(S_{原}=4)点为位似中心”，没说同侧→两组答案 相似整章课时全部结束！ 要不要我给你出一份**《相似三角形》整章综合测试卷（含位似）**？ 人教版（新教材）数学九年级下册 31.4 位似（第2课时） 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第三十一章 相似 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 复习引入 位似图形 概念及 相关概念 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 ， 那么这两个图形叫作位似图形， 叫作位似中心. 位似 多边形 对于两个多边形，如果 ，并且 ，那么这两个多边形就叫作位似多边形. = = = = ⋯ = = ⋯ 每对对应顶点所确定的直线相交于一点 这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例 点O 概念及相关概念 性质 作图 复习引入 旋转 平移 轴对称 图形变换与坐标 相似变化 全等变化 位似 复习引入 旋转 平移 轴对称 位似 相似变化 全等变化 关于坐标轴对称的点的坐标规律 关于原点对称的点的坐标规律 关于原点位似的点的坐标规律 沿坐标轴方向平移的点的坐标规律 从一般到特殊 数形结合 类比 合作探究 探究 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点的坐标分别为A(6，3)， B(6，0).以原点O为位似中心，按相似比把线段AB缩小.观察对应点坐 标的变化，你有什么发现？ 已知点 A(6，3) B(6，0) 对应点 同侧位似 对应点 异侧位似 A′(2，1) B′(2，0) A′′(−2，−1) B′′(−2，0) 规律 点(x，y)→点(x，y)或(− x，− y) 合作探究 探究 如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4，4)，O(0，0)，C(5，0).以 点O为位似中心，按相似比2把△AOC放大.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？ 已知点 A(4，4) B(0，0) C(5，0) 对应点 同侧位似 对应点 异侧位似 A′(8，8) B′(0，0) A′′(−8，−8) B′′(0，0) C′(10，0) C′′(−10，0) 规律 点(x，y)→点(2x，2y)或(−2x，−2y) 合作探究 关于原点位似 的点的坐标规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(−kx，−ky). 返回 C 1. [2025浙江中考]如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为(　　) 举一反三 8 返回 2. B 举一反三 返回 3. A [2024浙江中考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A．(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) 举一反三 合作探究 信息技术验证 典例分析 例1 已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A(2，1)、点B(2，0)、点O(0，0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________________． (4，2)或(−4，−2) 分析：由于要画的图形是三角形，因此关键是确定它的各顶点坐标.根据前面总结的规律，点A的对应点A'的坐标为 (−2×，4×)，即(−3，6). 类似地，可以确定其他顶点的坐标. 典例分析 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 解：如图，利用位似中对应点的坐标的 变化规律，分别取点A'(−3，6)，B'(−3，0)，O(0，0).连接A'B′，B'O，OA'，所得△A′B'O就是要画的一个图形. 典例分析 还可以画出其他三角形吗?自己试一试. 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 分析：利用位似中对应点的坐标的变化规律， 分别取点A''(3，−6)，B''(3，0)，O(0，0). 连接A''B'′，B''O，OA''， 所得△A′'B''O就是要画的另一个图形. 典例分析 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 典例分析 例3 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(0，4)，B点坐标为(2，0)，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形A′B′C′D′，使其与正方形 ABCD位似，且OA∶OA′=2∶1，则点C′的 坐标是__________． 巩固练习 解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，∴∠CEB=90°，∠EBC+∠ECB=90°； ∵A点坐标为(0，4)，B点坐标为(2，0)，∴OA=4，OB=2， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠OBA+∠EBC=90°，∴∠OBA=∠ECB， 又∵∠AOB=∠BEC=90°，∴△AOB≌△BEC(AAS)， ∴BE=OA=4，CE=OB=2，∴OE=6，∴C(6，2)； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形 A′B′C′D′，使其与正方形ABCD位似， 且OA∶OA′=2∶1，∴位似比为2∶1， 又∵正方形A′B′C′D′在第三象限， ∴点C′的坐标为(− ×6，− ×2)，即(−3，−1)． 巩固练习 1.如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为（   ） A． B．4 C． D．5 C 返回 4. C 如图，在平面直角坐标系中，以点O为位似中心，把△AOB放大后得到△COM，使得△AOB∽△COM，则与点M重合的是图中的(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G 举一反三 返回 5. C 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A( －2，0)，D(3，0)，且BC＝3，则线段EF的长度为(　　) 举一反三 返回 6. (4，8) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(2，4)，若四边形ABCD关于点O的位似图形为四边形A′B′C′D′，且四边形A′B′C′D′的面积是四边形ABCD面积的4倍，则在第一象限内的点B′(点B的对应点)的坐标为________. 举一反三 7. 解：如图，点D即为AB的中点，点D的坐标为(－2，－1)． (8分)[2025安徽中考] 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； 举一反三 如图，△A1B1C1即为所求作的三角形． (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1. 返回 举一反三 23 返回 8. B 举一反三 返回 9. 举一反三 25 返回 10. 举一反三 26 小结梳理 位似图形 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 性质定理 应用 图形的放缩 关于原点位似的点的坐标规律 数形结合 布置作业 必做题：习题31.4 第3，5题. 1 探究性作业：习题31.4 第6题. 2 谢谢观看 THANKS A.　 B．4　 C.　 D．5 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的相似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为(　　) A．(－1，－1) B. C. D．(－2，－1) A．2 B．4 C. D．6 [2025唐山三模]如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的相似比为k的位似图形△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为(　　) A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(1，1)， 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为(－2，4)．若以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是__________________. 或 y＝ 如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心，把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，且相似比为2∶3，则经过点A′的反比例函数解析式为________. $