答题模板05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧（方法+题型+实战 专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

答题模板05 奇函数+常函数的最大值+最小值 及f(a)+f(-a)解题技巧（方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值的应用及解题技巧 方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】“奇函数+常函数”的最大值+最小值 【题型02】“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.奇函数与常函数的组合是利用函数奇偶性解决函数值及最值问题的重要模型，核心在于识别函数的对称结构。 2.利用 构造函数值之间的关系，常用于求函数值、求参数及解决函数最值问题。 3.此类问题常与函数定义域、值域、单调性及参数问题结合，考查函数性质的综合运用与转化能力。 4.解题关键是充分利用自变量互为相反数时的函数值关系，尤其要关注定义域关于原点对称及最值能否取得。 考向结构图 一级版块 二级考向 奇函数+常函数的结构识别 奇函数与常函数的组合；函数解析式的结构拆分；常数项的识别与求解 的应用 利用奇偶性构造函数值关系；求函数值；求参数；已知函数值反求未知量 函数最大值与最小值 奇函数的最值对称性；奇函数加常函数的最值关系；最大值与最小值之和；利用最值关系求参数 函数性质综合应用 定义域关于原点对称；函数值配对；值域对称性；结合单调性与最值条件求解 重点结论 二级结论 1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数 2. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 为 偶函数 为 奇函数 【拓展】 引入非零常数 ： 奇偶性不变。 为 奇函数 为 奇函数 为 奇函数 (本质是上式分离常数) 为 奇函数 (本质是上式分离常数) 【拓展】 带系数形式： 仍为奇函数。 为 偶函数 【拓展】 若外层是指数函数 ，则： 若内层 为偶函数，则 为偶函数（如 , ）。 若内层 为奇函数，则 为奇函数（如 , ）。 为 奇函数（值域在 之间） 为 奇函数（定义域排除 ） 注：当 时，上述两式分别对应双曲正切 和双曲余切 。 4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 为 奇函数 【拓展】 一般化形式： （在定义域对称前提下）为 奇函数。 证明逻辑：利用平方差 构造倒数为定值。 为 奇函数 证明逻辑：利用 。 或 为 偶函数 【拓展】 一般地， 的奇偶性与 的奇偶性保持一致（需定义域对称）。 为 偶函数。 验证方法：直接计算 。 解题方法 方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值的应用及解题技巧 此方法专用于处理一类特定结构的函数（一个奇函数加上一个常数）。其核心在于利用奇函数的中心对称性，推导出复合函数最值之间的定量关系（和为一个定值），从而将两个最值问题转化为一个最值问题，是简化计算的经典技巧。 第一步：设函数形式 设 g(x)=f(x)+k，其中 f(x) 为奇函数，k 为常数 第二步：利用奇函数性质 f(−x)=−f(x) 第三步：求g(x) 的对称性 g(x)+g(−x)=2k，说明 g(x) 关于点(0,k) 对称 第四步：求最值关系 若 g(x) 在区间上可导或有界，则最大值 M 和最小值 m 满足： M+m=2k 详细分析：已知奇函数加常数的最值，求相关值 问题模式：设为奇函数，已知在区间上的最大值为, 最小值为, 求或另一最值等。 解题步骤： 1.写出关系式：由和奇函数，得 2.代入最值点：设在处取得最大值, 则为函数在处的值。若最值在端点或唯一极值点，常利用对称性得(或类似关系)。 关键推论：若最大值点, 则, 且常为最小值（当单调或对称时)，故有 3.利用已知条件： 若已知和, 则。 若已知和, 则。 4.验证定义域与最值存在：确保区间对称，最值存在且取得点对称。 例题1-1 已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 例题1-2 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】设，判断函数的奇偶性，结合图象平移变换可得的对称中心，由对称性可得答案. 【详解】设， 因为， 所以函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 因为函数的图象相当于函数的图象向下平移两个单位， 所以可得函数的图象关于点对称， 由对称性可知． 故选：A． 例题1-3 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称， ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 例题1-4 已知函数，的最大值为M，最小值为m，则___________. 【答案】 【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求解． 【详解】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续， 根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称， 则，故． 故答案为：． 例题1-5 已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值的应用及解题技巧 这是对“奇函数+常函数”结构的直接代数应用，比求最值更为基础。关键在于识别结构后，利用奇函数的性质直接消去变化部分（奇函数），得到恒定结果。此方法常用于快速求值或验证。 第一步：设 g(x)=f(x)+k 其中f(x) 为奇函数 第二步：写出 g(a) 与g(−a) g(a)=f(a)+k，g(−a)=f(−a)+k 第三步：利用奇函数性质 f(−a)=−f(a) 第四步：求和化简 f(a)+f(−a)=0 ⇒g(a)+g(−a)=2k 例题2-1 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据函数解析式及函数值求得另一个函数值即可. 【详解】由题知，，则 则 故选：B 例题2-2 已知函数，若，则（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先证明是奇函数，由此可得也是奇函数，进而可得结果. 【详解】设，显然定义域为， 又， 则，所以是上的奇函数； 又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数， 因此，则. 故选：C. 例题2-3 已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 题型01“奇函数+常函数”的最大值+最小值 1．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案. 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】分离常数有，设，得到奇偶性，再利用对称性即可得到答案. 【详解】，令，定义域为，关于原点对称， 则，所以函数为奇函数， 因为在区间上的最大值为，最小值为， 则在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即， 所以，所以． 故选：A． 3．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案. 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得. 故选：D. 4．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则__________． 【答案】6 【分析】把分离常数变形，再判断为奇函数，最后利用奇函数的对称性求出结果. 【详解】由题意可知，， 设，的定义域为， 所以， 所以为奇函数，所以， 所以 故答案为： 5．已知函数，，若的最大值为，最小值为，则______. 【答案】 【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案 【详解】由题意可得， 令，则， 因为 所以为奇函数， 所以在最大值与最小值之和为0， 所以. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数变形，得到后，判断函数为奇函数，考查计算能力，属于中档题 题型02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 6．已知，其中为常数，若，则__________. 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 7．已知，则___________. 【答案】 【分析】把代入函数得到，再把代入即可得出结果. 【详解】由， 得， 则， 则； 故答案为：. 8．已知函数，若，则______． 【答案】 【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得. 【详解】令， ，， 为上的奇函数； ，，即， 解得：. 故答案为：. 1．若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，函数的定义域为R， 令，则，即为奇函数， 由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值， 由奇函数的性质知，所以. 故选：B 2．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 3．已知函数，若，则___________. 【答案】 【分析】解析式中，是奇函数，可利用奇函数性质求解. 【详解】令， 则，， 所以为奇函数， 所以， 故，解得, 所以. 故答案为：. 4．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为________． 【答案】2 【分析】由，令得函数为奇函数，进而得，即可求解. 【详解】由  ， 令，则， 所以函数在上为奇函数，则， 即，所以． 故答案为：2. 5．已知函数，且，则__________. 【答案】 【分析】利用代入法，整体法进行求解即可. 【详解】因为， 所以 即， 所以， 故答案为： 6．已知函数，，则______. 【答案】 【分析】直接计算后可得． 【详解】∵，， 所以. 故答案为：． 7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【答案】4 【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和. 【详解】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 故答案为：4. 8．设函数的最大值为M，最小值为m，则______． 【答案】1 【分析】利用分离常数项整理函数，结合函数的奇偶性，可得答案. 【详解】易知，设，则为奇函数，． 于是，， 由奇函数的图象关于原点对称，得， ∴．因此． 故答案为：. 9．设函数的最大值为M，最小值为m，则______. 【答案】4046 【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， 因为，， 所以. 故答案为：4046. 10．函数的最大值为，最小值为，若，则______． 【答案】1 【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出． 【详解】， 设，则， 记， 因为， 所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：1． 11．已知函数的最大值为M，最小值为N，则________. 【答案】6 【分析】化简可得，令，可得为奇函数，所以，由此可得结果. 【详解】因为， 令，则，所以为奇函数，所以， 所以，， 所以. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：令，判断出为奇函数，利用求解是解题关键. 12．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______． 【答案】 【分析】先将分离常数，找到与奇函数的关系，再利用平移求出对称中心及最大值与最小值之和. 【详解】，记， 是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称. 则的最大值和最小值之和为， 把的图象向上平移一个单位得到的图象，即的图象关于点对称，且． 故答案为：；. 【点睛】具有对称中心的函数最大最小值之和问题，可从两个角度理解，一是从形的角度，理解所求函数与奇函数图象的平移关系；二是从数的角度，理解函数关于对称的等量关系. 即：的图象关于点对称. 13．函数的最大值为M，最小值为m，则M+m＝_____. 【答案】2 【分析】根据题意，求出f（-x）的表达式，分析可得f（x）+f（-x）＝2，即可得函数f（x）的图象关于点（0,1）对称，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，1， 则f（-x）＝1， 则有f（x）+f（-x）＝2，即函数f（x）的图象关于点（0,1）对称， 若函数f（x）的最大值为M，最小值为m，必有M+m＝2； 故答案为：2 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题. 14．已知（，为常实数），若，则___________. 【答案】 【分析】由得出，进而得出. 【详解】， ， ∴，∴， ∵，∴. 故答案为： 15．若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【分析】先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可. 【详解】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 16．已知函数，， ①是奇函数； ②的图象关于点对称； ③若函数在上的最大值、最小值分别为、，则； ④令，若，则实数的取值范围是； 则上述说法正确的选项有________. 【答案】②③④ 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定①错误；利用函数的对称性可判定②正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定③正确；利用函数的单调性，可判定④正确. 【详解】对于①，由题意函数， 因为恒成立， 故恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以①错误； 对于②，， 所以的图象关于对称且在R上为减函数，所以②正确； 对于③，将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数，所以关于点对称，且根据解析式易单调递减， 设，由②分析有关于点对称，且根据解析式易得单调递减， 设，综上有图象关于点对称，且单调递减， 若在处 取得最小值，则在处取得最大值， 故，即，故，所以③正确； 对于④，由，即为， 故，而为上的减函数， 故，即，所以④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1.解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤： ①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板05 奇函数+常函数的最大值+最小值 及f(a)+f(-a)解题技巧（方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值的应用及解题技巧 方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】“奇函数+常函数”的最大值+最小值 【题型02】“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.奇函数与常函数的组合是利用函数奇偶性解决函数值及最值问题的重要模型，核心在于识别函数的对称结构。 2.利用 构造函数值之间的关系，常用于求函数值、求参数及解决函数最值问题。 3.此类问题常与函数定义域、值域、单调性及参数问题结合，考查函数性质的综合运用与转化能力。 4.解题关键是充分利用自变量互为相反数时的函数值关系，尤其要关注定义域关于原点对称及最值能否取得。 考向结构图 一级版块 二级考向 奇函数+常函数的结构识别 奇函数与常函数的组合；函数解析式的结构拆分；常数项的识别与求解 的应用 利用奇偶性构造函数值关系；求函数值；求参数；已知函数值反求未知量 函数最大值与最小值 奇函数的最值对称性；奇函数加常函数的最值关系；最大值与最小值之和；利用最值关系求参数 函数性质综合应用 定义域关于原点对称；函数值配对；值域对称性；结合单调性与最值条件求解 重点结论 二级结论 1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数 2. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 为 偶函数 为 奇函数 【拓展】 引入非零常数 ： 奇偶性不变。 为 奇函数 为 奇函数 为 奇函数 (本质是上式分离常数) 为 奇函数 (本质是上式分离常数) 【拓展】 带系数形式： 仍为奇函数。 为 偶函数 【拓展】 若外层是指数函数 ，则： 若内层 为偶函数，则 为偶函数（如 , ）。 \ 为 奇函数（值域在 之间） 为 奇函数（定义域排除 ） 注：当 时，上述两式分别对应双曲正切 和双曲余切 。 4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 为 奇函数 【拓展】 一般化形式： （在定义域对称前提下）为 奇函数。 证明逻辑：利用平方差 构造倒数为定值。 为 奇函数 证明逻辑：利用 。 或 为 偶函数 【拓展】 一般地， 的奇偶性与 的奇偶性保持一致（需定义域对称）。 为 偶函数。 验证方法：直接计算 。 解题方法 方法一 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值的应用及解题技巧 此方法专用于处理一类特定结构的函数（一个奇函数加上一个常数）。其核心在于利用奇函数的中心对称性，推导出复合函数最值之间的定量关系（和为一个定值），从而将两个最值问题转化为一个最值问题，是简化计算的经典技巧。 第一步：设函数形式 设 g(x)=f(x)+k，其中 f(x) 为奇函数，k 为常数 第二步：利用奇函数性质 f(−x)=−f(x) 第三步：求g(x) 的对称性 g(x)+g(−x)=2k，说明 g(x) 关于点(0,k) 对称 第四步：求最值关系 若 g(x) 在区间上可导或有界，则最大值 M 和最小值 m 满足： M+m=2k 详细分析：已知奇函数加常数的最值，求相关值 问题模式：设为奇函数，已知在区间上的最大值为, 最小值为, 求或另一最值等。 解题步骤： 1.写出关系式：由和奇函数，得 2.代入最值点：设在处取得最大值, 则为函数在处的值。若最值在端点或唯一极值点，常利用对称性得(或类似关系)。 关键推论：若最大值点, 则, 且常为最小值（当单调或对称时)，故有 3.利用已知条件： 若已知和, 则。 若已知和, 则。 4.验证定义域与最值存在：确保区间对称，最值存在且取得点对称。 例题1-1 已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例题1-2 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 例题1-3 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（     ） A． B．0 C．3 D．6 例题1-4 已知函数，的最大值为M，最小值为m，则___________. 例题1-5 已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 方法二 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值的应用及解题技巧 这是对“奇函数+常函数”结构的直接代数应用，比求最值更为基础。关键在于识别结构后，利用奇函数的性质直接消去变化部分（奇函数），得到恒定结果。此方法常用于快速求值或验证。 第一步：设 g(x)=f(x)+k 其中f(x) 为奇函数 第二步：写出 g(a) 与g(−a) g(a)=f(a)+k，g(−a)=f(−a)+k 第三步：利用奇函数性质 f(−a)=−f(a) 第四步：求和化简 f(a)+f(−a)=0 ⇒g(a)+g(−a)=2k 例题2-1 已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．4 例题2-2 已知函数，若，则（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 例题2-3 已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 题型01“奇函数+常函数”的最大值+最小值 1．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 3．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则__________． 5．已知函数，，若的最大值为，最小值为，则______. 题型02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 6．已知，其中为常数，若，则__________. 7．已知，则___________. 8．已知函数，若，则______． 1．若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 3．已知函数，若，则___________. 4．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为________． 5．已知函数，且，则__________. 6．已知函数，，则______. 7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 8．设函数的最大值为M，最小值为m，则______． 9．设函数的最大值为M，最小值为m，则______. 10．函数的最大值为，最小值为，若，则______． 11．已知函数的最大值为M，最小值为N，则________. 12．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______． 13．函数的最大值为M，最小值为m，则M+m＝_____. 14．已知（，b为常实数），若，则___________. 15．若函数的最大值为，最小值为，则____________. 16．已知函数，， ①是奇函数； ②的图象关于点对称； ③若函数在上的最大值、最小值分别为、，则； ④令，若，则实数的取值范围是； 则上述说法正确的选项有________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $