答题模板04 函数的4大基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）有关的核心题型与解题技巧（方法+题型+实战 专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

答题模板04 函数的4大基本性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 函数单调性的运算的应用及解题技巧 方法二 利用函数的奇偶性求参数值的解题技巧 方法三 函数周期性的应用及解题技巧 方法四 函数对称性的应用及解题技巧 方法五 函数4大性质的综合应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】函数单调性的运算 【题型02】利用函数的奇偶性求参数值 【题型03】函数的周期性 【题型04】函数的对称性 【题型05】函数4大性质的综合应用 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性是高考数学的重要基础考点，常以选择题、填空题形式考查，也经常融入函数综合解答题。 2.函数性质之间的综合应用是命题的重要方向，常通过抽象函数、函数解析式及函数图象等载体，考查性质的识别、转化与应用。 3.利用函数性质求函数值、求参数、解函数不等式及判断函数图象，是高考函数问题中的常见考查形式。 4.此类问题注重函数性质之间的关联与转化，尤其要关注定义域、对称关系、周期结构及单调区间的准确判断。 考向结构图 一级版块 二级考向 函数单调性 单调性的定义与判断；利用导数判断单调性；单调区间的求解；单调性与不等式；利用单调性求参数及比较函数值大小 函数奇偶性 奇偶性的定义与判断；利用解析式判断奇偶性；抽象函数奇偶性；奇偶性与函数图象；奇偶性与函数值关系；奇偶性与单调性的综合应用 函数周期性 周期函数的定义与判断；利用函数方程求周期；周期函数的函数值求解；周期性与奇偶性结合；周期性与对称性结合；周期函数的图象与性质 函数对称性 函数图象关于原点、坐标轴及直线对称；中心对称与轴对称；函数解析式的对称变换；利用对称性求函数值；对称性与奇偶性、周期性的综合应用 函数性质综合应用 单调性与奇偶性综合；奇偶性与周期性综合；对称性与周期性综合；四大性质综合辨析；利用函数性质求参数、解不等式及研究函数图象 重点结论 1. 单调性的运算 （1）同一定义域内 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③（恒正或恒负）为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2）复合函数的单调性 2. 奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)−g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 5. 函数的周期性 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 6. 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 7. 函数的性质综合 （1）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （2）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 解题方法 方法一 函数单调性的运算的应用及解题技巧 此方法适用于由若干已知单调性的基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）通过加、减、乘常数等四则运算组合而成的函数。其核心是利用单调函数的运算性质，在公共定义域区间内直接推断新函数的单调性。此方法简便快捷，但需注意运算规则的适用条件；对于乘除运算（非常数因子）或复杂复合结构，仍需使用定义法或导数法。 第一步：分解函数 将目标函数拆解为若干个基本初等函数或已知单调性的函数的组合（如f(x)=g(x)+h(x)，f(x)=g(x)−h(x)，f(x)=k⋅g(x) 等）。 第二步：确定各部分的单调性 分别确定每个组成部分在所讨论区间上的单调性（明确标注“增”或“减”）。注意定义域和区间的限制。 第三步：应用运算规则 根据运算类型，应用以下规则（均在公共区间上成立）： 1. 加法规则：   增函数 + 增函数 = 增函数   减函数 + 减函数 = 减函数   增函数 + 减函数 → 单调性不确定，需另判 2. 减法规则：   增函数 − 减函数 = 增函数   减函数 − 增函数 = 减函数   增函数 − 增函数 → 单调性不确定   减函数 − 减函数 → 单调性不确定 3. 乘法规则（常数倍）：   若 k>0，则k⋅f(x) 与 f(x) 单调性相同   若 k<0，则k⋅f(x) 与f(x) 单调性相反 4. 乘法规则（函数乘函数）：无统一结论，一般需用定义或导数。 第四步：综合判断并下结论 若组合方式符合上述明确规则，则可直接写出目标函数的单调区间；若不符合（如增函数加增函数以外的情形），则需换用定义法或导数法进一步判定。 例题1-1 （25-26高三·全国·二轮复习）下列命题中正确的是（    ） A．若是增函数，是增函数，则是增函数 B．若是减函数，是减函数，则是减函数 C．若是增函数，是减函数，则是减函数 D．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 【答案】B 【分析】选项ACD取特殊函数逐项判断，选项B利用单调性的定义判断. 【详解】A. 令，则在R上不具有单调性，排除A选项； B. 任取，且，设， 因为是减函数，所以 ，即； 因为是减函数，所以，即； 则， ， 则，即，所以在R上是减函数，故正确； C. 令，则在R上是增函数，排除C选项； D. 令，则是奇函数，排除D选项； 故选： B. 例题1-2 设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 方法二 利用函数的奇偶性求参数值的解题技巧 纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。 此方法是函数性质中最基础的直接应用。当题目中明确或隐含给出函数的奇偶性（如“奇函数”、“图象关于原点对称”）并含有参数时，我们利用奇偶性的代数定义建立方程，是求解参数最直接、可靠的途径。 第一步：明确函数类型 判断函数为奇函数或偶函数，确定关系式： 奇函数：f(−x)=−f(x)；偶函数：f(−x)=f(x) 第二步：代入表达式 将 f(−x) 的表达式写出，与原函数 f(x) 建立等式 第三步：建立方程 根据奇偶性关系建立关于参数的方程 第四步：解方程求值 解出参数值，并检验是否满足定义域要求 秒解方法1 特值，在定义域内，若是奇函数（可以特值f(-1)= -f(1)等），若是偶函数（可以特值f(-1)= f(1)等） 秒解方法2 定义在R上的奇函数，或者在原点处有定义的奇函数，直接f(0)=0试一下 秒解方法3 遇到前文介绍的指对函数的奇偶性问题，直接结合奇偶性的特征运算秒解参数 例题2-1 （26-27高三上·河北邢台·阶段检测）若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称， 所以，解得. 当时，，定义域为. ，故函数为奇函数. 综上，. 例题2-2 （2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，所以，， 所以，即， 所以且，故. 例题2-3 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的性质代入特殊值求出的值，再进行检验即可. 【详解】由，可得， 即函数的定义域为， 显然， 又因为函数奇函数， 所以. 当时，，定义域为， 且，满足题意. 所以. 例题2-4 （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 方法三 函数周期性的应用及解题技巧 周期性是函数“周而复始”规律的体现。应用的关键在于准确识别题目中隐含的周期条件（不一定是标准 f(x+T)=f(x) 形式），并熟练推导出最小正周期。掌握此法可以将定义域内任意点的函数值转化到我们熟悉的某个周期区间内处理，极大地简化问题。 第一步：识别周期性条件 常见形式： ① f(x+T)=f(x) ② f(x+a)=−f(x) ⇒ 周期 2a ③ f(x+a)=f(x)1​ ⇒ 周期 2a 第二步：写出周期 根据条件推导周期 T 第三步：利用周期简化 将自变量转化到同一周期内计算 第四步：解题应用 求值、比较大小、解方程、图象分析等 例题3-1 （2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 例题3-2 （2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（     ） A．71 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到是周期函数及其周期，结合周期性、奇偶性可将转化到区间上，进而根据已知解析式求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以. 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 根据奇函数性质可知， 由可知， 当时，有，所以. 例题3-3 （2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 例题3-4 （2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】令，得，为奇函数，令，得，进而得周期为4，可得解. 【详解】令，则， 为奇函数， 令，则 为奇函数， ， 的周期为4，所以. 故选：C 方法四 函数对称性的应用及解题技巧 函数的对称性包括轴对称和中心对称，是奇偶性的推广。此方法用于处理更一般的对称关系（对称轴不是y轴，对称中心不是原点）。解题核心是将抽象或具体的对称条件转化为代数等式，从而确定对称要素（轴或中心），并利用“对称点函数值的关系”来简化和解决问题。 第一步：识别对称类型 若，则的对称轴为 若，则的对称轴为 若，则的对称中心为 若，则的对称中心为 第二步：写出对称关系式 根据条件建立等式 第三步：利用对称性简化 将自变量化为对称形式，简化计算 第四步：解题应用 求值、最值、解方程、图象判断等 例题4-1 （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，根据定义域关于直线对称，猜测的对称中心横坐标为1，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】要使得有意义，则，解得， 则的定义域关于直线对称． 又 ， 所以的图象的对称中心为． 例题4-2 （26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）若函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. 则的值为. 例题4-3 （25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 方法五 函数4大性质的综合应用及解题技巧 这是函数性质部分最高阶的解题策略。面对复杂问题时，单一性质往往不足以解决，需要系统性地分析并综合利用奇偶性、周期性、对称性及单调性。这些性质常相互关联（如奇偶性可视为特殊对称性，周期性常隐含对称性）。综合应用的核心思路是“转化”，即通过性质梳理将陌生、复杂的问题化归为熟悉、简单的模型。 第一步：逐一判断性质 分析函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性 第二步：建立性质关系 利用性质之间的联系简化函数表达式 第三步：转化问题形式 将复杂问题转化为单一性质问题处理 第四步：综合求解 结合多个性质进行求值、比较、图象分析等 例题5-1 （2026·四川资阳·一模）（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且，则（     ） A． B．4是的一个周期 C． D． 【答案】ACD 【分析】由是奇函数，可得，即，由是偶函数，可得，即，进而可得，然后可得函数的一个周期为，结合周期及条件再求值即可． 【详解】是奇函数，则， 即，则 又是偶函数，所以， 即，则， ，故A正确； 由，则，故B错误； ， 则函数的一个周期为，4不是的一个周期， 由，则，解得， ， ，解得， 又，即，解得，故C正确； 由， 则， ，， ，故D正确． 例题5-2 （26-27高三上·湖北十堰·期中）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于对称 B．函数是偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数对称性可判断A；令，根据函数的奇偶性定义证明可判断B；对两边同时求导，令，可得，可判断C；对两边同时求导，令，，由及可得，继而可求，可判断D. 【详解】对于A：函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称，故A正确； 对于B：令，定义域为， ，则， 即，所以为偶函数，故B正确； 对于C：，两边同时求导得， 即，令，得，即，故C错误； 对于D：，两边同时求导得， 即，令，得，可得， 由可得，所以， 所以，，， ，，， ，， 所以，故D正确. 例题5-3 （26-27高三上·宁夏固原·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是偶函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，即可判断A；结合，可得，即可判断B；根据函数在上的解析式，可得函数在此区间上单调递增，结合偶函数的性质及函数周期为4，可得在上单调递减，即可判断C；求得，由，求出其值即可判断D. 【详解】因为，， 所以， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 又因为， 所以， 令， 则有， 即， 所以是偶函数，故B正确； 因为是偶函数，， 所以， 即， 所以函数是周期函数，4为其一个周期， 又因为当时，， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C错误； 因为，所以， 又因为，所以， ，所以， ， 所以， 所以 ，故D正确. 例题5-4 （26-27高三上·江西·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．4是的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】先根据题意条件相互转换求得函数的周期，再利用周期，对称的性质逐项求解即可. 【详解】对于C选项，由得， 代入得， 又因为的图像关于直线对称，则，于是， 令，得到即 可得，所以的周期为4. 从而的周期也为4. 对于B选项，由，令换为，得， 结合对称轴得， 于是，所以图像关于对称. 对于D选项，由，及得， 由对称性且得，于是. 因此一个周期内的和为， 又，所以. 对于A选项，，， 若关于对称，则，矛盾. 题型01 函数单调性的运算 1．已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【分析】由已知得，即函数为奇函数， 设， ，在上单调递减，可得答案． 【详解】函数定义域为， ，函数为奇函数， 设 ，，函数单调递增，设 ，在 上单调递减， 故函数 在R上是减函数. 故选：D 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 题型02 利用函数的奇偶性求参数值 3．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 4．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再根据奇函数的定义验证函数是奇函数即可. 【详解】的定义域为且， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，即. 所以， 的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数.所以. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 题型03 函数的周期性 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数为定义在上的奇函数，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】推导周期：由得， 将替换为，可得，再将替换为，得， 因此是周期为的周期函数. 因为，故，，故. 因为是定义在上的奇函数，故， 因为，所以，即， 所以，因为，所以. 因此. 7．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 8．（2026·四川南充·一模）已知函数，的定义域均为，满足，且为奇函数，若，则（     ） A．-2026 B．0 C．2026 D．4052 【答案】D 【分析】根据条件得出为的一个周期，再结合得出即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，即， 因为，所以，即， 则，则，则为的一个周期， 因为，，所以； 则. 题型04 函数的对称性 9．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 10．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，利用对称性可得定义域关于直线对称，再利用特殊值求出． 【详解】令， 由，得或. 故函数的定义域为. 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称， 所以. 所以. 令，得，即，解得. 当时，. 所以， . 所以关于直线对称，则，满足题意. 所以. 11．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可. 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图象为：        所以与函数交点个数为2个. 题型05 函数4大性质的综合应用 12．（26-27高三上·江苏扬州·期中）（多选）设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意实数均有（为常数），，则（     ） A． B． C．为周期函数 D． 【答案】BC 【分析】运用奇函数的性质与的单调性，得到，判断A； 运用赋值，结合，得到判断B； 设，由已知推得即为周期函数，判断C；根据题意推得 为等差数列并求出通项公式即可判断D. 【详解】对于A，已知、都是定义在上的奇函数，在中，令得， 则，又为单调函数，则有，即，所以，所以A错误； 对于B，因为，， 所以，令，得，且得，所以B正确； 对于C，设，则由， 可得，所以， 所以，即为周期函数，所以C正确； 对于D，由，得， 即，令,得，且，得， 对任意正整数，，所以是等差数列，故，所以D错误. 13．（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数 的定义域为 ，为偶函数， 为奇函数，则（    ） A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称 C． D． 【答案】AC 【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可求解. 【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 因此的图象关于直线对称，故A正确； 对于B选项，因为 为奇函数，所以关于对称， 因此关于中心对称，故B错误； 对于C选项，由以上的分析可得，的周期为，即，故C正确； 对于D选项，因为关于中心对称，所以，， 因为的图象关于直线对称，所以， 因为是周期为的周期，所以，所以， 所以，所以，故D错误. 14．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为4 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用奇函数推中心对称，偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，从而推出函数递推关系和周期；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 故函数关于点中心对称. 因为为偶函数，所以，令，得， 故函数关于直线轴对称，有. 对于A，令，由解得，故A错误. 对于B，由，把换成，得， 又因为，故有， 再把换成，得， 两式相减得，故的一个周期为4，故B正确. 对于C，由上述分析满足，故C正确. 对于D，因为，且周期为，而，故； 由，令，得； 令，得；又因为周期为，故. 故函数在一个周期内的和是， 又因为，所以，故D正确. 15．（2026·福建福州·三模）（多选）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】AC 【分析】A. 令，由得；代入及 得 ； B. 由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数； C. 令推得恒等式，代入已知得，故； D. 令，则，得，再由得，故 ，而非. 【详解】令，代入式得，整理得，由题，故， 代入式得，代入得，又恒成立，故. 选项A正确； 已知为偶函数，即，令，代入式得 ， 代入和得 ，又，故， 即是奇函数，不是偶函数. 选项B错误； 对任意，令，得， 而，因此对任意恒有，即. 已知，代入得，整理得. 选项C正确； 由满足，得，即. 再代入得，即. 选项D错误. 一、单选题 1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 【答案】C 【详解】由，解得，定义域关于原点对称， ，， 所以是奇函数. 设，在上单调递增，，在上单调递减， 由复合函数单调性同增异减可知，函数在上是减函数. 2．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．为奇函数且在上为增函数 B．为偶函数且在上为增函数 C．为奇函数且在上为减函数 D．为偶函数且在上为减函数 【答案】A 【分析】先化简函数解析式，再根据奇偶性定义判断奇偶性，结合指数函数的单调性判断在上的单调性即可得到结果. 【详解】由题知，定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数为上的增函数，且函数为上的增函数， 两个增函数的和仍为增函数，所以函数为上的增函数，在上也为增函数， 所以函数为奇函数且在上为增函数. 3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 两边同时求导得，即， 所以，即， 令，得， 令，得，又因为，所以， 由，所以， 所以的周期为6，则， 而，所以， 所以. 4．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 5．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得：，，即可得到答案. 【详解】由，得的图象关于对称， 函数，则，即的图象也关于对称， 因此函数与图象的交点关于对称， 不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，，同理得：，， 即. 故选：D 6．（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 7．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 8．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，先求出的周期，再结合条件求出，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 由，令，得，故， 由，令，得，所以， 即，所以，故以为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 ． 二、多选题 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用奇函数的定义判断A；利用复合函数求导法则求导，结合对称性判断B；确定原函数关系判断C；确定函数的周期，进而求解判断D. 【详解】对于A，由上的函数满足为奇函数，得，取，得，A正确； 对于B，由，求导得，即， 而，则，即， 因此函数的图象关于点成中心对称，B错误； 对于C，由，得，则（为常数）， 由，得，则， 取，得，解得，因此，C正确； 对于D，由选项C知，即，又， 则，，函数是周期为4的周期函数， 由，得， 函数是周期为4的周期函数，于是， 因此函数是周期为4的周期函数，， ，， 因此，D正确. 10．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A． B．为奇函数 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】A.令，解得或，再排除；B.令，推导出，因此是偶函数；C. 令，得到，即，从而；D.先通过递推赋值确定函数周期，再利用周期分组简化求和运算. 【详解】选项A，令，代入等式得， 化简得，解得或. 若，令代入等式得， 即对任意恒成立，与题设“不恒为”矛盾，因此，A正确； 选项B，令，代入等式得， 将代入，得，化简得，因此是偶函数，不是奇函数，B错误； 选项C，令，代入等式得，因为，所以，即， 由 ，可得， 令，则对任意，都有，即， 因此，C正确； 选项D，已知，， 令，，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 因此是周期为的周期函数. 一个周期内的函数值之和为， 由于，即包含337个完整周期，剩余4项为， 因此，D正确. 11．（2026·河南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A选项，能转化成周期函数；对于B、D选项根据A选项求出周期的函数值，再根据周期求和；对于C选项，将利用周期性求解验证. 【详解】对于A选项，因为， 用替换得 ，化简 ； 同理可得 ； 又由，用替换得 ； 故 ，用替换得 ， 所以，故， 因此，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以关于中心对称， 又因，所以 ，，令， 则， ，解得，因为， 所以， 所以， 故B选项正确； 同理对于D选项， ，故D选项错误； 对于C选项，，因为， 所以，令，则，故， 对 求导得 ，令， 解得 ，故，所以C选项错误. 12．（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 13．（2026·河南·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 【答案】BD 【分析】通过对给定的抽象函数等式进行赋值，结合导数的运算法则和函数的性质来逐一分析选项. 【详解】 令，可得，又，. 令，可得，解得，A选项错误. 令，得，，说明是奇函数，关于对称. 而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，的图象关于点对称，B选项正确. 令，则，的图象关于对称，故是周期函数，且周期. ，D选项正确. 取，，，，. ，，，，C选项错误. 三、填空题 14．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 15．（2026·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则___________. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数， 所以，则， 即，则，即. 16．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 17．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 18．（2026·四川绵阳·二模）已知函数为奇函数，则实数______. 【答案】2 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】由题可得的定义域为, 由于函数为奇函数，所以， 即, 则，解得：， 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板04 函数的4大基本性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 函数单调性的运算的应用及解题技巧 方法二 利用函数的奇偶性求参数值的解题技巧 方法三 函数周期性的应用及解题技巧 方法四 函数对称性的应用及解题技巧 方法五 函数4大性质的综合应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】函数单调性的运算 【题型02】利用函数的奇偶性求参数值 【题型03】函数的周期性 【题型04】函数的对称性 【题型05】函数4大性质的综合应用 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性是高考数学的重要基础考点，常以选择题、填空题形式考查，也经常融入函数综合解答题。 2.函数性质之间的综合应用是命题的重要方向，常通过抽象函数、函数解析式及函数图象等载体，考查性质的识别、转化与应用。 3.利用函数性质求函数值、求参数、解函数不等式及判断函数图象，是高考函数问题中的常见考查形式。 4.此类问题注重函数性质之间的关联与转化，尤其要关注定义域、对称关系、周期结构及单调区间的准确判断。 考向结构图 一级版块 二级考向 函数单调性 单调性的定义与判断；利用导数判断单调性；单调区间的求解；单调性与不等式；利用单调性求参数及比较函数值大小 函数奇偶性 奇偶性的定义与判断；利用解析式判断奇偶性；抽象函数奇偶性；奇偶性与函数图象；奇偶性与函数值关系；奇偶性与单调性的综合应用 函数周期性 周期函数的定义与判断；利用函数方程求周期；周期函数的函数值求解；周期性与奇偶性结合；周期性与对称性结合；周期函数的图象与性质 函数对称性 函数图象关于原点、坐标轴及直线对称；中心对称与轴对称；函数解析式的对称变换；利用对称性求函数值；对称性与奇偶性、周期性的综合应用 函数性质综合应用 单调性与奇偶性综合；奇偶性与周期性综合；对称性与周期性综合；四大性质综合辨析；利用函数性质求参数、解不等式及研究函数图象 重点结论 1. 单调性的运算 （1）同一定义域内 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③（恒正或恒负）为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2）复合函数的单调性 2. 奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)−g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 3. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 4. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 5. 函数的周期性 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 6. 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 7. 函数的性质综合 （1）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （2）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 解题方法 方法一 函数单调性的运算的应用及解题技巧 此方法适用于由若干已知单调性的基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）通过加、减、乘常数等四则运算组合而成的函数。其核心是利用单调函数的运算性质，在公共定义域区间内直接推断新函数的单调性。此方法简便快捷，但需注意运算规则的适用条件；对于乘除运算（非常数因子）或复杂复合结构，仍需使用定义法或导数法。 第一步：分解函数 将目标函数拆解为若干个基本初等函数或已知单调性的函数的组合（如f(x)=g(x)+h(x)，f(x)=g(x)−h(x)，f(x)=k⋅g(x) 等）。 第二步：确定各部分的单调性 分别确定每个组成部分在所讨论区间上的单调性（明确标注“增”或“减”）。注意定义域和区间的限制。 第三步：应用运算规则 根据运算类型，应用以下规则（均在公共区间上成立）： 1. 加法规则：   增函数 + 增函数 = 增函数   减函数 + 减函数 = 减函数   增函数 + 减函数 → 单调性不确定，需另判 2. 减法规则：   增函数 − 减函数 = 增函数   减函数 − 增函数 = 减函数   增函数 − 增函数 → 单调性不确定   减函数 − 减函数 → 单调性不确定 3. 乘法规则（常数倍）：   若 k>0，则k⋅f(x) 与 f(x) 单调性相同   若 k<0，则k⋅f(x) 与f(x) 单调性相反 4. 乘法规则（函数乘函数）：无统一结论，一般需用定义或导数。 第四步：综合判断并下结论 若组合方式符合上述明确规则，则可直接写出目标函数的单调区间；若不符合（如增函数加增函数以外的情形），则需换用定义法或导数法进一步判定。 例题1-1 （25-26高三·全国·二轮复习）下列命题中正确的是（    ） A．若是增函数，是增函数，则是增函数 B．若是减函数，是减函数，则是减函数 C．若是增函数，是减函数，则是减函数 D．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 例题1-2 设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 方法二 利用函数的奇偶性求参数值的解题技巧 纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。 此方法是函数性质中最基础的直接应用。当题目中明确或隐含给出函数的奇偶性（如“奇函数”、“图象关于原点对称”）并含有参数时，我们利用奇偶性的代数定义建立方程，是求解参数最直接、可靠的途径。 第一步：明确函数类型 判断函数为奇函数或偶函数，确定关系式： 奇函数：f(−x)=−f(x)；偶函数：f(−x)=f(x) 第二步：代入表达式 将 f(−x) 的表达式写出，与原函数 f(x) 建立等式 第三步：建立方程 根据奇偶性关系建立关于参数的方程 第四步：解方程求值 解出参数值，并检验是否满足定义域要求 秒解方法1 特值，在定义域内，若是奇函数（可以特值f(-1)= -f(1)等），若是偶函数（可以特值f(-1)= f(1)等） 秒解方法2 定义在R上的奇函数，或者在原点处有定义的奇函数，直接f(0)=0试一下 秒解方法3 遇到前文介绍的指对函数的奇偶性问题，直接结合奇偶性的特征运算秒解参数 例题2-1 （26-27高三上·河北邢台·阶段检测）若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 例题2-2 （2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 例题2-3 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 例题2-4 （2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 方法三 函数周期性的应用及解题技巧 周期性是函数“周而复始”规律的体现。应用的关键在于准确识别题目中隐含的周期条件（不一定是标准 f(x+T)=f(x) 形式），并熟练推导出最小正周期。掌握此法可以将定义域内任意点的函数值转化到我们熟悉的某个周期区间内处理，极大地简化问题。 第一步：识别周期性条件 常见形式： ① f(x+T)=f(x) ② f(x+a)=−f(x) ⇒ 周期 2a ③ f(x+a)=f(x)1​ ⇒ 周期 2a 第二步：写出周期 根据条件推导周期 T 第三步：利用周期简化 将自变量转化到同一周期内计算 第四步：解题应用 求值、比较大小、解方程、图象分析等 例题3-1 （2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 例题3-2 （2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（     ） A．71 B． C． D． 例题3-3 （2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 例题3-4 （2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 方法四 函数对称性的应用及解题技巧 函数的对称性包括轴对称和中心对称，是奇偶性的推广。此方法用于处理更一般的对称关系（对称轴不是y轴，对称中心不是原点）。解题核心是将抽象或具体的对称条件转化为代数等式，从而确定对称要素（轴或中心），并利用“对称点函数值的关系”来简化和解决问题。 第一步：识别对称类型 若，则的对称轴为 若，则的对称轴为 若，则的对称中心为 若，则的对称中心为 第二步：写出对称关系式 根据条件建立等式 第三步：利用对称性简化 将自变量化为对称形式，简化计算 第四步：解题应用 求值、最值、解方程、图象判断等 例题4-1 （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 例题4-2 （26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）若函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题4-3 （25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 方法五 函数4大性质的综合应用及解题技巧 这是函数性质部分最高阶的解题策略。面对复杂问题时，单一性质往往不足以解决，需要系统性地分析并综合利用奇偶性、周期性、对称性及单调性。这些性质常相互关联（如奇偶性可视为特殊对称性，周期性常隐含对称性）。综合应用的核心思路是“转化”，即通过性质梳理将陌生、复杂的问题化归为熟悉、简单的模型。 第一步：逐一判断性质 分析函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性 第二步：建立性质关系 利用性质之间的联系简化函数表达式 第三步：转化问题形式 将复杂问题转化为单一性质问题处理 第四步：综合求解 结合多个性质进行求值、比较、图象分析等 例题5-1 （2026·四川资阳·一模）（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且，则（     ） A． B．4是的一个周期 C． D． 例题5-2 （26-27高三上·湖北十堰·期中）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为偶函数，且，令，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于对称 B．函数是偶函数 C． D． 例题5-3 （26-27高三上·宁夏固原·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是偶函数 C．在上单调递增 D． 例题5-4 （26-27高三上·江西·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．4是的一个周期 D． 题型01 函数单调性的运算 1．已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 题型02 利用函数的奇偶性求参数值 3．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 4．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若函数为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型03 函数的周期性 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数为定义在上的奇函数，且满足，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 8．（2026·四川南充·一模）已知函数，的定义域均为，满足，且为奇函数，若，则（     ） A．-2026 B．0 C．2026 D．4052 题型04 函数的对称性 9．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 10．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 函数4大性质的综合应用 12．（26-27高三上·江苏扬州·期中）（多选）设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意实数均有（为常数），，则（     ） A． B． C．为周期函数 D． 13．（26-27高三上·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数 的定义域为 ，为偶函数， 为奇函数，则（    ） A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称 C． D． 14．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为4 C． D． 15．（2026·福建福州·三模）（多选）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 一、单选题 1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 2．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．为奇函数且在上为增函数 B．为偶函数且在上为增函数 C．为奇函数且在上为减函数 D．为偶函数且在上为减函数 3．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 6．（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 7．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 8．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（   ） A． B．函数的图象关于对称 C． D． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A． B．为奇函数 C． D．若，则 11．（2026·河南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 13．（2026·河南·三模）已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D． 三、填空题 14．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 15．（2026·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则___________. 16．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 17．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 18．（2026·四川绵阳·二模）已知函数为奇函数，则实数______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $