答题模板03 7类不等式有关的核心题型与解题技巧（方法+题型+实战 专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

答题模板03 7类不等式有关的核心题型与解题技巧 （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 权方和不等式的应用及解题技巧 方法二 柯西不等式的应用及解题技巧 方法三 反柯西不等式的应用及解题技巧 方法四 绝对值三角不等式的应用及解题技巧 方法五 基本不等式链的应用及解题技巧 方法六 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 方法七 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 题型01权方和不等式 题型02柯西不等式 题型03反柯西不等式 题型04绝对值三角不等式 题型05基本不等式链 题型06普通型糖水不等式 题型07对数型糖水不等式 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.七类不等式是高考数学中重要的解题工具，主要用于代数式的放缩、比较大小、不等式证明及最值求解。 2.基本不等式链、权方和不等式、柯西不等式及反柯西不等式，常用于多变量代数式的估值与最值问题；绝对值三角不等式、糖水不等式及对数型糖水不等式，则常用于不等式证明与大小比较。 3.不等式问题常与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识交汇，综合考查学生的代数变形、逻辑推理及数学运算能力。 4.此类问题对公式记忆、结构识别及方法选择要求较高，尤其要关注不等式的适用条件、放缩方向及等号成立条件。 考向结构图 一级版块 二级考向 基本不等式链 平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的关系；平均数之间的相互转化与连续放缩；利用不等式链求最值 权方和不等式 二维权方和不等式；多元权方和不等式；分式平方和放缩；条件最值与恒成立问题 柯西不等式 二维柯西不等式及其变式；柯西不等式的构造与配凑；多元柯西不等式；利用柯西不等式求范围与最值 反柯西不等式 反柯西不等式的基本结构；分式和的估值；多元约束下的放缩；反柯西不等式与其他不等式的综合应用 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式；反向三角不等式；多个绝对值之间的大小关系；含绝对值代数式的估值与最值 普通型糖水不等式 分式比例大小比较；分子、分母同步变化的大小关系；糖水不等式及其倒数形式；利用糖水不等式证明不等式 对数型糖水不等式 对数型糖水不等式基本形式；底数与真数同步变化的大小比较；对数型糖水不等式的倒数形式；对数式比较与不等式证明 重点结论 1.权方和不等式 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 2.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 3.反柯西不等式 反柯西不等式的一般代数形式：对于实数 ，有 当且仅当 时，等号成立。 （注：反柯西不等式在处理某些含有平方差的极值问题时有奇效，使用时需特别注意各项的符号及取等条件。它与柯西不等式 是“反向”的。） 4.绝对值三角不等式 基本形式：对于任意实数 ，有 (1) 当且仅当 时， 成立；当且仅当 时， 成立。 (2) 当且仅当 时， 成立；当且仅当 时， 成立。 推广（多变量形式）：设 ，则 当且仅当 同号（或其中至少有一个为 ）时，等号成立。 （注：绝对值三角不等式是高考中处理绝对值函数最值（如求 的最小值）以及证明放缩题的核心工具，记忆口诀常为“同号相加，异号相减”。） 5.基本不等式链 , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 6.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 7.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 解题方法 方法一 权方和不等式的应用及解题技巧 权方和不等式是处理分式型和的最值问题的有力工具，尤其适用于分子、分母幂次呈现特定关系（分子幂次比分母幂次高一次）的情形。 第一步：识别结构特征 第二步：配凑标准形式 ，通常通过提取常数因子、变量代换或乘幂变形实现配凑。注意确保所有变量为正。 第三步：应用权方和不等式 直接套用不等式，将分式和放缩为关于变量和的表达式。若不等式方向不符（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各分式比值相等）解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式 例题1-1 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 详解：，所以实数a的取值范围是. 例题1-2 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 例题1-3 已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 例题1-4 求的最大值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 例题1-5 已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 方法二 柯西不等式的应用及解题技巧 柯西不等式是处理平方和与乘积和之间关系的最值问题的有力工具，尤其适用于已知线性约束（如 ）求平方和（如 ），或已知平方和求线性表达式的情形。 第一步：识别结构特征 寻找“平方和”与“乘积和”的结构对应关系。如已知 求 的最小值，或已知 求 的最大值。注意两组数据必须一一对应。 第二步：配凑标准形式 ， 通常通过拆项、乘常数、变量代换或乘幂变形实现配凑。 注意确保平方项展开后与原式完全一致。 第三步：应用柯西不等式 直接套用不等式，将乘积和放缩为关于平方和的表达式（或反之）。 若不等式方向不符（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式（或绝对值形式 ）。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各对应项比值相等，即 或 ）解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式。 例题2-1 已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在 时取最大值 ． 【答案】 【分析】由 ，求得求得等号成立的条件，进而求得的最大值. 【详解】由题意，可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即的最大值为. 故答案为：；. 例题2-2 设实数，，，满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接利用柯西不等式求解即可. 【详解】因为实数，，，满足，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 例题2-3 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将原式变形，利用柯西不等式即可得出结果． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 故答案为：． 例题2-4 已知x，y，z满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】因为, 即, 所以最小值为，当且仅当时取等号. 故答案为：. 例题2-5 已知实数，，（i＝1，2…，n），且满足，，则最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据柯西不等式求最大值即可 【详解】根据柯西不等式，，故，又当时等号成立，故最大值为1 故选：A 方法三 反柯西不等式的应用及解题技巧 反柯西不等式是处理平方差与乘积差（或特定约束下乘积和）之间关系的重要工具。尤其适用于已知变量大小关系（如 ），且题目出现“相减”结构或正向柯西等号无法成立的情形。 第一步：识别结构特征 寻找“平方差”与“乘积差”的结构对应关系。常见特征为题目已知 与 的值或关系，求 的最值；或者变量满足特定范围限制（如 ），且正向放缩后的取等条件不在约束范围内。 第二步：配凑标准形式 反柯西不等式二维形式：（前提 且 ）， 通常通过提取负号、拆项、平方差分解或变量代换实现配凑。 注意严格确认变量的正负号与大小关系是否满足公式前提。 第三步：应用反柯西不等式 直接套用不等式，将乘积差放缩为关于平方差的表达式。若不等式方向不符，可考虑调整符号或改用 。若求最小值或下限，反向放缩（即使用 ）通常更有效。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件（如已知平方差的值）简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各项比值相等，即 或 ）解出变量取值，验证是否满足题目的大小范围约束。若可达，则最值即为所求；若不可达（如等号在边界外），则需结合函数单调性或边界值求解。 例题3-1 的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】运用Aczel不等式即可解. 【详解】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 故答案为：. 方法四 绝对值三角不等式的应用及解题技巧 绝对值三角不等式是处理含有绝对值符号的代数式的最值、证明及放缩问题的有力工具。尤其适用于形如 的函数最值问题。 第一步：识别结构特征 观察式子，寻找绝对值的和差结构。常见特征为求 的最值，或是已知 的范围求 的范围。 第二步：配凑标准形式 绝对值三角不等式形式：。 通常通过拆项、添项、提取公因式或变量代换，将目标式配凑成 的形式，以消去变量或利用已知范围。 注意确保各项变量的符号及定义域。 第三步：应用绝对值不等式 直接套用不等式进行放缩。求最小值时，常利用右侧放缩 消去变量；求最大值时，常利用左侧放缩或直接取端点值。若方向不符，可考虑调整配凑符号或使用几何意义（数轴上的距离）。 第四步：结合约束条件求值 将题目中的约束条件代入放缩后的表达式，计算得出最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 验证等号成立条件（如 需满足 ； 需满足 ）。解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合函数图像求解。 例题4-1 若，的最小值是__________． 【答案】7 【详解】由绝对值不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为7 例题4-2 的最小值为_____________． 【答案】 【分析】根据题意，利用绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 例题4-3 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于，时等号成立， 故不等式的解集为，即， 即得实数的取值范围是. 例题4-4 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先设，，得到，，从而根据绝对值三角不等式得到，进而即可得到的最大值． 【详解】设，，则，， 又，， 则， 当，且，，，时取等号， 故的最大值为． 方法五 基本不等式链的应用及解题技巧 基本不等式链是处理正数的“和、积、平方和、倒数和”之间最值问题的核心工具。尤其适用于“和定积最大，积定和最小”的基础题型。 第一步：识别结构特征 观察题目，寻找“和”（）、“积”（）、“平方和”（）、“倒数和”（）的结构。通常已知其中一个量，求另一个量的最值。 第二步：配凑标准形式 基本不等式链： （当且仅当 时取等）。 通常通过“拆项”、“添项”、“乘常数”、“1的代换”等技巧实现配凑。 注意务必确保所有变量为正数（一正），并努力构造出定值（二定）。 第三步：应用基本不等式链 根据目标式，选择链中对应的不等式环节进行放缩。求积的最大值用左半边，求和的最小值用右半边。如果题目求的是分式或多项式，可能需要多次使用基本不等式或结合其他变形。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的定值约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。例如已知 ，求 的最大值，直接代入 。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（即 ）解出变量取值。必须验证该取值是否满足题目中的约束条件（如变量范围限制、分母非零等）。若可达，则最值即为所求；若不可达（如已知 ，但 不在范围内），则需结合对勾函数单调性或其他方法求解。 例题5-1 （多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 详解：由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 【答案】：BC． 例题5-2 （多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 详解：A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 例题5-3 （多选）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】因为，且， 对于选项A：因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，可得，即 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 例题5-4 （多选），，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】A选项：直接用基本不等式，代入和为 1 平方即得，取等条件为两数相等；B选项：把平方和转化为， 借助的上限反推平方和的下限，得；C选项：通分后倒数和化为，由有上限（取倒数后变成下限）得到倒数和， 选项方向写反故错误；D选项：举反例，取得，与选项矛盾. 【详解】A选项，，， ，由基本不等式，，即，所以得，当且仅当时取等号，故A正确； B选项，，由A知，得，所以，当且仅当时取等号，故B正确； C选项，，由A知，所以，所以，当且仅当时取等号，故C错误； D选项，由、、，取时，，与选项矛盾，故D错误. 方法六 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 普通型糖水不等式是处理分式大小比较及特定分式放缩的有力工具。尤其适用于分子分母同时加上一个正数后，判断分式值变化规律的情形（即“加糖变甜”原理）。 第一步：识别结构特征 观察分式结构，寻找形如 与 的对应关系。特征为：分子、分母同时加上（或减去）同一个正数 。 第二步：配凑标准形式 糖水不等式形式：若 ，则 （真分数越加越大）；若 ，则 （假分数越加越小）。 通常通过分离常数、通分、变量代换将复杂分式转化为上述标准形式。 注意严格确认分式是真分数（分子<分母）还是假分数（分子>分母）。 第三步：应用糖水不等式 直接套用不等式进行放缩或大小比较。根据真/假分数及所加正数的符号，确定不等号方向。如果是多个分式链式比较，可连续多次使用。 第四步：结合约束条件求值 结合题目中的变量范围或已知等式，利用糖水不等式得出的单调性，推导出目标式的最值或取值范围。 第五步：验证等号成立条件 糖水不等式通常是严格不等式（ 或 ），即当 时等号不成立。只有在 （没加糖）或 （分子为0）等极端边界情况下取等号。需检查题目问的是“最值”还是“取值范围”的边界。 例题6-1 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 详解：【法一】 ,又 ，用排除法, 选 A 。 【法二】 ， 若, 但 , 综上所述，. 例题6-2 试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 详解：依题意. 例题6-3 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 方法七 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 对数型糖水不等式是处理底数与真数同步变化的对数式大小比较与放缩问题的有力工具。尤其适用于形如 与其底数、真数同加正数 后的 比较的情形。 第一步：识别结构特征 观察对数式，寻找 （且底数大于真数，）的结构。常见特征为比较 与 的大小，或者比较连续的整数对数式（如 与 ）。 第二步：配凑标准形式 对数型糖水不等式标准形式：设 ，则有 。 其倒数形式：设 ，则有 。 通常通过换底公式、拆项或提取常数，将目标式转化为上述标准结构。 注意：必须严格验证前提条件 ** 且 。** 第三步：应用对数型糖水不等式 直接套用不等式比较大小或放缩。若底数小于真数（如比较 形式），直接使用倒数形式，注意不等号方向会反转（由 变为 ）。若遇到连续递增的结构（如 ），可通过多次迭代使用该不等式。 第四步：结合约束条件求值 结合题目中给出的变量范围（如 ）或约束等式，利用不等式放缩的方向，推导目标式的最值、取值范围或完成数列不等式的证明。 第五步：验证等号成立条件 由于前提条件中 ，该不等式为严格不等号（无等号成立的情况，除非 退化为相等）。因此，无需寻找取等条件，但必须重点检查题设中的变量是否完美满足 且 的前提，防止因底数或真数范围不满足而导致不等号方向错误。 例题7-1 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：应用对数型糖水不等式计算求解计算判断求解；方法二：应用普通型糖水不等式计算求解计算判断求解. 【详解】方法一：对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 因为函数在上单调递减，所以， 可得 , 且 . 所以 , 即 , 故选 :A. 方法二：普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 .  可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 故选: A. 例题7-2 比较大小: 与 的大小． 详解：【法一】 。 【法二】 【法三】对数型糖水不等式直接可得 题型01权方和不等式 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】将目标式变形为，利用“1”的妙用，结合基本不等式求解最小值． 【详解】已知，，所以， 因为， ， 所以 ， 展开计算得 ， 因为，，根据基本不等式可得 ， 当且仅当即时等号成立，满足已知条件， 所以， 所以． 2．已知正数，满足，则的最小值是（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】先凑配，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，取得最小值， 故取得最小值. 3．当，时，成立，则实数的最大值为（     ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，可得，所以实数的最大值为. 4．已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离常数法，构造积定的形式，利用基本不等式进行计算；或直接利用权方和不等式代入计算即可． 【详解】法一：因为，为非负实数，且，即， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 法二：考虑， 当且仅当时等号成立，此时，． 5．已知，且，则的最小值为（     ）． A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【详解】，； ，，. ； 当且仅当时，得，即，时等号成立； 的最小值为8. 6．已知正实数、且满足，求的最小值___________. 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 7．的最小值为________. 【答案】/ 【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 题型02柯西不等式 9．对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用基本不等式即可求得结果；方法二：根据柯西不等式即可求出. 【详解】方法一：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为． 方法二：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B 10．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可得，即求. 【详解】解：由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 11．函数的最大值为______． 【答案】 【详解】由柯西不等式可得： ， 当且仅当，时等号成立， 即函数的最大值为. 12．设.则函数的最小值是______    . 【答案】 【详解】由已知条件及柯西不等式有 ① 则. 式①中等号成立的条件为,即,,. 代入已知等式有,解得. 因此,当,,时, . 题型03反柯西不等式 13．已知函数 ，则 的最小值为 ________________。 【答案】 【分析】 运用 Aczel 不等式即可解。 【详解】 由题意知，定义域需满足 且 ，即 。 将函数变形为： 根据 Aczel 不等式 （其中 ），有： 即： 解得 。因为 显然为正，所以 。 等号成立条件：当且仅当 ，即 ，解得 （满足 ）。 故最小值为 。 14．函数 的最小值为 ________________。 【答案】 【分析】 运用 Aczel 不等式即可解。 【详解】 由题意知，定义域需满足 且 ，即 。 将函数变形提取系数： 根据 Aczel 不等式： 即： 解得 。由于 ，所以 。 等号成立条件：当且仅当 ，即 ，解得 ，即 （满足 ）。 故最小值为 。 题型04绝对值三角不等式 15．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，当且仅当， 即时取等号， 所以， 又对任意，不等式恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 16．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意知，存在，使得成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可. 【详解】由题意知，存在，使得成立， 则. 由绝对值三角不等式得，， ，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 17．已知且，则的最小值是_________． 【答案】4 【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果. 【详解】因为，当且仅当时取得等号； 又当时，；当时，，故，当且仅当时取得等号； 则，当且仅当或时取得等号. 故答案为：. 18．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先利用三角不等式求出的最小值为3，然后解不等式可得答案 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3， 因为不等式对任意的恒成立， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是， 故答案为： 题型05基本不等式链 多选题 19．已知，为正实数，且，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为4 【答案】AD 【详解】，当且仅当时取等，所以的最大值为，A正确B错误； ，当且仅当即时取等， 所以的最小值为4，C错误D正确. 20．已知，，且，则下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式的性质逐一判断. 【详解】选项A：由基本不等式，代入得，当且仅当时取等号，A正确； 选项B：由重要不等式，代入得，当且仅当时取等号，B正确； 选项C：，由A知，因此，即，当且仅当时取等号，C错误； 选项D：对平方得：，由得， 因，开方得，当且仅当时取等号，D正确. 21．设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 题型06普通型糖水不等式 22．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】将的分子分母同乘变形后，结合糖水不等式即可比较与的大小. 【详解】首先对进行等价变形，分子分母同乘正数，分数值不变，则 ，已知， 又因为，满足糖水不等式的前提条件， 令，则， 根据糖水不等式： 若，则，代入可得： ， 即，所以. 23．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，利用糖水不等式比较大小即可. 【详解】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 24．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意当，时成立，得出，用作差法比较得出，即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以，， 根据题意当，时成立， 又， 所以， 即：， 又 所以， 所以， 故选：B. 【点睛】对数运算的一般思路： （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题型07对数型糖水不等式 25．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 26．若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式将对数转化为自然对数，结合作差法和基本不等式分别比较与、与的大小，最终确定三者的大小关系. 【详解】比较与的大小：由换底公式得，，则 ， 分母，根据基本不等式：当，，且时，有，可得： ， 又，且. 故，分子为正，因此，即. 比较与的大小： 同理，，，则 ， 分母，由基本不等式得：， 又，且， 故，分子为正，因此，即. 综上可得. 27．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 一、单选题 1．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用均值不等式“”的代换化简求值. 【详解】由已知， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 3．用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果. 【详解】由柯西不等式可得， 函数 当且仅当==时，即时等号成立， 故该的最大值为4. 故选：C. 4．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数运算将化为，结合对数函数单调性得，再判断，可知最小，最终得到． 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 6．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质，易知，再对其作商，结合及基本不等式进行大小比较即可. 【详解】由对数函数的性质可知，，同理， 因为，所以， 又因为，所以， 因此，. 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对函数的性质确定，，的范围，利用中间量比大小. 【详解】， ， ，． 二、多选题 8．已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由，求解后可判断A；由基本不等式判断B，C，D. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又因为， 所以，得，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为，故D正确. 9．设正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】结合正实数满足的条件，利用指数函数单调性、基本不等式、二次函数求最值的方法，逐一判断各选项即可 【详解】对于A选项，因为，，则，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，即无最小值，故B错误； 对于C选项，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，C正确； 对于D选项，因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确； 三、填空题 10．函数的最小值为_____. 【答案】15 【分析】根据正弦函数的最小值和绝对值三角不等式即可求解. 【详解】因为，结合绝对值三角不等式可得： ， 等号成立的充要条件是且. 即当时，满足，取到最小值15. 故答案为：15 11．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得的取值范围. 【详解】， 当且仅当时等号成立， ，解得， 由于，故可设， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 12．已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求出的最小值，再根据恒成立问题建立一元二次不等式求解. 【详解】因为， 所以， 由对于任意，使得恒成立， 所以，解得， 故答案为：. 13．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 14．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 【答案】 【分析】根据题中糖水不等式，结合对数的运算性质和换底公式进行解题即可. 【详解】空1：因为，所以可得： ； 空2：由空1可得：，即. 故答案为：； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板03 7类不等式有关的核心题型与解题技巧 （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 权方和不等式的应用及解题技巧 方法二 柯西不等式的应用及解题技巧 方法三 反柯西不等式的应用及解题技巧 方法四 绝对值三角不等式的应用及解题技巧 方法五 基本不等式链的应用及解题技巧 方法六 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 方法七 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 题型01权方和不等式 题型02柯西不等式 题型03反柯西不等式 题型04绝对值三角不等式 题型05基本不等式链 题型06普通型糖水不等式 题型07对数型糖水不等式 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.七类不等式是高考数学中重要的解题工具，主要用于代数式的放缩、比较大小、不等式证明及最值求解。 2.基本不等式链、权方和不等式、柯西不等式及反柯西不等式，常用于多变量代数式的估值与最值问题；绝对值三角不等式、糖水不等式及对数型糖水不等式，则常用于不等式证明与大小比较。 3.不等式问题常与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等知识交汇，综合考查学生的代数变形、逻辑推理及数学运算能力。 4.此类问题对公式记忆、结构识别及方法选择要求较高，尤其要关注不等式的适用条件、放缩方向及等号成立条件。 考向结构图 一级版块 二级考向 基本不等式链 平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的关系；平均数之间的相互转化与连续放缩；利用不等式链求最值 权方和不等式 二维权方和不等式；多元权方和不等式；分式平方和放缩；条件最值与恒成立问题 柯西不等式 二维柯西不等式及其变式；柯西不等式的构造与配凑；多元柯西不等式；利用柯西不等式求范围与最值 反柯西不等式 反柯西不等式的基本结构；分式和的估值；多元约束下的放缩；反柯西不等式与其他不等式的综合应用 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式；反向三角不等式；多个绝对值之间的大小关系；含绝对值代数式的估值与最值 普通型糖水不等式 分式比例大小比较；分子、分母同步变化的大小关系；糖水不等式及其倒数形式；利用糖水不等式证明不等式 对数型糖水不等式 对数型糖水不等式基本形式；底数与真数同步变化的大小比较；对数型糖水不等式的倒数形式；对数式比较与不等式证明 重点结论 1.权方和不等式 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 广义上更为一般的权方和不等式，设 , 若 或 , 则 ; 若 , 则 ; 上述两个不等式中的等号当且仅当 时取等 2.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 3.反柯西不等式 反柯西不等式的一般代数形式：对于实数 ，有 当且仅当 时，等号成立。 （注：反柯西不等式在处理某些含有平方差的极值问题时有奇效，使用时需特别注意各项的符号及取等条件。它与柯西不等式 是“反向”的。） 4.绝对值三角不等式 基本形式：对于任意实数 ，有 (1) 当且仅当 时， 成立；当且仅当 时， 成立。 (2) 当且仅当 时， 成立；当且仅当 时， 成立。 推广（多变量形式）：设 ，则 当且仅当 同号（或其中至少有一个为 ）时，等号成立。 （注：绝对值三角不等式是高考中处理绝对值函数最值（如求 的最小值）以及证明放缩题的核心工具，记忆口诀常为“同号相加，异号相减”。） 5.基本不等式链 , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 6.糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 7.对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 解题方法 方法一 权方和不等式的应用及解题技巧 权方和不等式是处理分式型和的最值问题的有力工具，尤其适用于分子、分母幂次呈现特定关系（分子幂次比分母幂次高一次）的情形。 第一步：识别结构特征 第二步：配凑标准形式 ，通常通过提取常数因子、变量代换或乘幂变形实现配凑。注意确保所有变量为正。 第三步：应用权方和不等式 直接套用不等式，将分式和放缩为关于变量和的表达式。若不等式方向不符（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各分式比值相等）解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式 例题1-1 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 例题1-2 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 例题1-3 已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 例题1-4 求的最大值为 例题1-5 已知正数，，满足，则的最小值为 方法二 柯西不等式的应用及解题技巧 柯西不等式是处理平方和与乘积和之间关系的最值问题的有力工具，尤其适用于已知线性约束（如 ）求平方和（如 ），或已知平方和求线性表达式的情形。 第一步：识别结构特征 寻找“平方和”与“乘积和”的结构对应关系。如已知 求 的最小值，或已知 求 的最大值。注意两组数据必须一一对应。 第二步：配凑标准形式 ， 通常通过拆项、乘常数、变量代换或乘幂变形实现配凑。 注意确保平方项展开后与原式完全一致。 第三步：应用柯西不等式 直接套用不等式，将乘积和放缩为关于平方和的表达式（或反之）。 若不等式方向不符（如求最大值），可调整配凑方式或考虑反向不等式（或绝对值形式 ）。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各对应项比值相等，即 或 ）解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合其他不等式。 例题2-1 已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在 时取最大值 ． 例题2-2 设实数，，，满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例题2-3 已知，则的最小值为_____． 例题2-4 已知x，y，z满足，则的最小值为___________. 例题2-5 已知实数，，（i＝1，2…，n），且满足，，则最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 方法三 反柯西不等式的应用及解题技巧 反柯西不等式是处理平方差与乘积差（或特定约束下乘积和）之间关系的重要工具。尤其适用于已知变量大小关系（如 ），且题目出现“相减”结构或正向柯西等号无法成立的情形。 第一步：识别结构特征 寻找“平方差”与“乘积差”的结构对应关系。常见特征为题目已知 与 的值或关系，求 的最值；或者变量满足特定范围限制（如 ），且正向放缩后的取等条件不在约束范围内。 第二步：配凑标准形式 反柯西不等式二维形式：（前提 且 ）， 通常通过提取负号、拆项、平方差分解或变量代换实现配凑。 注意严格确认变量的正负号与大小关系是否满足公式前提。 第三步：应用反柯西不等式 直接套用不等式，将乘积差放缩为关于平方差的表达式。若不等式方向不符，可考虑调整符号或改用 。若求最小值或下限，反向放缩（即使用 ）通常更有效。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的约束条件（如已知平方差的值）简化放缩后的表达式，得到最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（各项比值相等，即 或 ）解出变量取值，验证是否满足题目的大小范围约束。若可达，则最值即为所求；若不可达（如等号在边界外），则需结合函数单调性或边界值求解。 例题3-1 的最小值为 ． 方法四 绝对值三角不等式的应用及解题技巧 绝对值三角不等式是处理含有绝对值符号的代数式的最值、证明及放缩问题的有力工具。尤其适用于形如 的函数最值问题。 第一步：识别结构特征 观察式子，寻找绝对值的和差结构。常见特征为求 的最值，或是已知 的范围求 的范围。 第二步：配凑标准形式 绝对值三角不等式形式：。 通常通过拆项、添项、提取公因式或变量代换，将目标式配凑成 的形式，以消去变量或利用已知范围。 注意确保各项变量的符号及定义域。 第三步：应用绝对值不等式 直接套用不等式进行放缩。求最小值时，常利用右侧放缩 消去变量；求最大值时，常利用左侧放缩或直接取端点值。若方向不符，可考虑调整配凑符号或使用几何意义（数轴上的距离）。 第四步：结合约束条件求值 将题目中的约束条件代入放缩后的表达式，计算得出最值。注意检查等号成立条件是否在约束下可达。 第五步：验证等号成立条件 验证等号成立条件（如 需满足 ； 需满足 ）。解出变量取值，验证是否满足约束。若可达，则最值即为所求；若不可达，则需调整方法或结合函数图像求解。 例题4-1 若，的最小值是__________． 例题4-2 的最小值为_____________． 例题4-3 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 例题4-4 已知实数，，，满足，，，，则的最大值为_________． 方法五 基本不等式链的应用及解题技巧 基本不等式链是处理正数的“和、积、平方和、倒数和”之间最值问题的核心工具。尤其适用于“和定积最大，积定和最小”的基础题型。 第一步：识别结构特征 观察题目，寻找“和”（）、“积”（）、“平方和”（）、“倒数和”（）的结构。通常已知其中一个量，求另一个量的最值。 第二步：配凑标准形式 基本不等式链： （当且仅当 时取等）。 通常通过“拆项”、“添项”、“乘常数”、“1的代换”等技巧实现配凑。 注意务必确保所有变量为正数（一正），并努力构造出定值（二定）。 第三步：应用基本不等式链 根据目标式，选择链中对应的不等式环节进行放缩。求积的最大值用左半边，求和的最小值用右半边。如果题目求的是分式或多项式，可能需要多次使用基本不等式或结合其他变形。 第四步：结合约束条件求值 利用题目中的定值约束条件简化放缩后的表达式，得到最值。例如已知 ，求 的最大值，直接代入 。 第五步：验证等号成立条件 根据取等条件（即 ）解出变量取值。必须验证该取值是否满足题目中的约束条件（如变量范围限制、分母非零等）。若可达，则最值即为所求；若不可达（如已知 ，但 不在范围内），则需结合对勾函数单调性或其他方法求解。 例题5-1 （多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 例题5-2 （多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例题5-3 （多选）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（   ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最大值为6 D．的最小值为 例题5-4 （多选），，且，则（     ） A． B． C． D． 方法六 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 普通型糖水不等式是处理分式大小比较及特定分式放缩的有力工具。尤其适用于分子分母同时加上一个正数后，判断分式值变化规律的情形（即“加糖变甜”原理）。 第一步：识别结构特征 观察分式结构，寻找形如 与 的对应关系。特征为：分子、分母同时加上（或减去）同一个正数 。 第二步：配凑标准形式 糖水不等式形式：若 ，则 （真分数越加越大）；若 ，则 （假分数越加越小）。 通常通过分离常数、通分、变量代换将复杂分式转化为上述标准形式。 注意严格确认分式是真分数（分子<分母）还是假分数（分子>分母）。 第三步：应用糖水不等式 直接套用不等式进行放缩或大小比较。根据真/假分数及所加正数的符号，确定不等号方向。如果是多个分式链式比较，可连续多次使用。 第四步：结合约束条件求值 结合题目中的变量范围或已知等式，利用糖水不等式得出的单调性，推导出目标式的最值或取值范围。 第五步：验证等号成立条件 糖水不等式通常是严格不等式（ 或 ），即当 时等号不成立。只有在 （没加糖）或 （分子为0）等极端边界情况下取等号。需检查题目问的是“最值”还是“取值范围”的边界。 例题6-1 已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 例题6-2 试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 例题6-3 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 方法七 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 对数型糖水不等式是处理底数与真数同步变化的对数式大小比较与放缩问题的有力工具。尤其适用于形如 与其底数、真数同加正数 后的 比较的情形。 第一步：识别结构特征 观察对数式，寻找 （且底数大于真数，）的结构。常见特征为比较 与 的大小，或者比较连续的整数对数式（如 与 ）。 第二步：配凑标准形式 对数型糖水不等式标准形式：设 ，则有 。 其倒数形式：设 ，则有 。 通常通过换底公式、拆项或提取常数，将目标式转化为上述标准结构。 注意：必须严格验证前提条件 ** 且 。** 第三步：应用对数型糖水不等式 直接套用不等式比较大小或放缩。若底数小于真数（如比较 形式），直接使用倒数形式，注意不等号方向会反转（由 变为 ）。若遇到连续递增的结构（如 ），可通过多次迭代使用该不等式。 第四步：结合约束条件求值 结合题目中给出的变量范围（如 ）或约束等式，利用不等式放缩的方向，推导目标式的最值、取值范围或完成数列不等式的证明。 第五步：验证等号成立条件 由于前提条件中 ，该不等式为严格不等号（无等号成立的情况，除非 退化为相等）。因此，无需寻找取等条件，但必须重点检查题设中的变量是否完美满足 且 的前提，防止因底数或真数范围不满足而导致不等号方向错误。 例题7-1 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 例题7-2 比较大小: 与 的大小． 题型01权方和不等式 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．已知正数，满足，则的最小值是（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．当，时，成立，则实数的最大值为（     ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值为（     ）． A．2 B．4 C．8 D． 6．已知正实数、且满足，求的最小值___________. 7．的最小值为________. 8．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 题型02柯西不等式 9．对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 10．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 11．函数的最大值为______． 12．设.则函数的最小值是______    . 题型03反柯西不等式 13．已知函数 ，则 的最小值为 ________________。 14．函数 的最小值为 ________________。 题型04绝对值三角不等式 15．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 16．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是______． 17．已知且，则的最小值是_________． 18．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________. 题型05基本不等式链 多选题 19．已知，为正实数，且，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为4 20．已知，，且，则下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 21．设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 题型06普通型糖水不等式 22．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 23．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 24．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 题型07对数型糖水不等式 25．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 26．若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 27．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．用柯西不等式求函数的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 4．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．设正实数满足，则下列说法正确的是（     ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 10．函数的最小值为_____. 11．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为______. 12．已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 13．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 14．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $