答题模板02 5类复数模长、性质与几何意义解题技巧（方法+题型+实战 专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

答题模板02 5类复数模长、性质与几何意义解题技巧 （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 复数模长的直接计算与性质的应用及解题技巧 方法二 复数性质综合命题的真假辨析及解题技巧 方法三 复数几何意义与轨迹判断及解题技巧 方法四 模的三角不等式与最值及解题技巧 方法五 复数模与向量、坐标综合及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】复数模长的直接计算 【题型02】复数性质综合命题 【题型03】复数几何意义与轨迹判断 【题型04】模的三角不等式与最值 【题型05】复数模与向量、坐标综合 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.复数的概念、代数形式、共轭复数及运算是高考数学的基础考点，主要考查复数的基本性质与运算能力。 2.复数模长是重要考查内容，常与复数运算、共轭复数及复数方程相结合，考查模长的计算与性质应用。 3.复数的几何意义常与复平面中的点、向量及距离相联系，考查复数与几何问题之间的相互转化。 4.此类问题注重代数运算与几何直观的结合，需重点掌握复数模长性质、共轭关系及几何意义的灵活应用。 考向结构图 一级版块 二级考向 复数的基本性质与运算 复数的代数形式；复数相等；实部与虚部；共轭复数；复数四则运算 复数模长 复数模长的计算；模长与共轭复数的关系；模长的乘除性质；模长的平方关系；模长比较与估值 复数的几何意义 复数与复平面中的点；复数与向量的对应关系；复数模长与两点间距离；复数加减运算的几何意义 复数综合应用 复数运算与模长结合；复数方程求参数；复数模长与几何关系转化；复数性质综合应用 重点结论 1. 复数模的定义与基本公式 设复数 （），则 若 对应复平面内的点 ，则 ，即复数模长就是对应向量的长度。 2. 复数模的运算性质 设 ，则 特别地： 3. 模的三角不等式 对任意复数 ，有 等号成立条件可结合几何意义理解：当对应向量同向时取到“和的最大值”，反向时取到“差的最小值”。 4. 共轭复数的常用性质 设 ，则 常用变形： 若 ，则 5. 复数模的几何意义 设 为复平面内定点，。 表示以 对应点为圆心、 为半径的圆； 表示点 到 对应两点距离相等，即两点连线段的垂直平分线； 可表示以 为焦点的椭圆（需结合 判断）； 表示以 为圆心、 为半径的闭圆面。 6. 模长最值的常用结论 若 ，求 的最值，可转化为圆上点到定点 的距离问题： 若 ，求 的范围，则 解题方法 方法一 复数模长的直接计算与性质的应用及解题技巧 复数模长计算题的核心是：先化简复数，再求模；或者利用模的乘除性质，避免直接展开。尤其适用于分式型、乘积型、幂型复数求模。 第一步：识别结构特征 观察所给复数是否为分式、乘积、幂或含共轭形式，判断能否直接用模的运算性质。 第二步：优先化简 能化为 的，先化为代数形式；能约分、提取公因式的，先化简。 第三步：选择求模方式 若结构复杂，优先用 、；若已化为 ，用 。 第四步：结合条件计算 利用已知模长、共轭关系、方程条件代入化简。 第五步：验证结果 检查分母是否为零、模长是否非负，必要时用几何意义检验。 例题1-1 （2026·浙江嘉兴·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 例题1-2 （25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 方法二 复数性质综合命题的真假辨析及解题技巧 此类题目常在多选题中出现，考查面广。核心解题策略是：熟记性质直接判定，巧妙代值（特值法）快速排除，几何意义辅助验证。 第一步：审视前提与条件 看清题目是否有限制条件（如 、 为实数、 为虚数等）。这决定了消去律、实数判定等性质是否适用。 第二步：直接运用核心性质判定 熟记并运用共轭的分配律、模的乘除法性质、复数的运算律（结合律、交换律）。这些正确的性质通常是选项中的“送分项”。 第三步：特殊值法（举反例） 对于抽象且没有限制的命题，尤其是判断“一定成立”或“若...则...”的选项，快速代入特殊复数（如 等）。只要能找到一个反例，直接排除该选项。 第四步：利用几何意义辅助 遇到模的等式（如 ），立刻联想复平面内的向量加减法。对角线相等意味着平行四边形是矩形，即两向量互相垂直（）。 第五步：综合判定得出结论 正确的选项往往具有普适性，而错误的选项往往在特殊值或边界条件（如乘以 0、虚数平方为负）处露出破绽。 1.共轭运算性质： 2.模的运算性质： 3.复数与实数、共轭的关系： 为纯虚数 且 （或 ） 重要桥梁： （即 ） 4.消去律与方程： 若 且 ，则 。（复数集内只要不除以 0，消去律均成立） （反例：） 例题2-1 （25-26高三上·河北保定·阶段检测）（多选）已知复数满足，则（   ） A．与的实部相等 B． C． D． 例题2-2 （25-26高三上·安徽·期中）（多选）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 例题2-3 （2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 例题2-4 （25-26高三下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若是方程的两根，则 D．若，则 方法三 复数几何意义与轨迹判断及解题技巧 复数模长问题常可转化为复平面内的距离问题。看到 ，应立即联想到“点 到点 的距离”。 第一步：识别几何结构 看到 ，看作距离；看到 ，看作垂直平分线。 第二步：翻译为几何语言 将复数方程翻译为圆、直线、线段、椭圆等几何图形。 第三步：确定关键量 求圆心、半径、焦点、距离、垂直平分线方程等。 第四步：求解目标量 利用点到圆距离、垂直平分线性质、椭圆性质求模长或范围。 第五步：检查取值范围 注意轨迹是整圆还是圆面、线段还是直线，防止扩大或缩小范围。 例题3-1 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 例题3-2 （2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 例题3-3 （2026高三·全国·专题练习）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点的直线 D．过点的直线 方法四 模的三角不等式与最值及解题技巧 当题目中出现两个复数的模长、和差模长范围时，优先考虑模的三角不等式。其本质是向量长度的“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 第一步：识别和差结构 出现 、，并已知 时，优先用三角不等式。 第二步：写出不等式 使用 。 第三步：判断等号条件 同向时和最大，反向时差最小；结合几何图形判断能否取到。 第四步：结合约束条件 若还含定点、圆、线段等条件，转化为几何距离。 第五步：验证最值可达性 检查取等时对应复数是否存在，避免只写不等式而忽略取等条件。 例题4-1 （26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 例题4-2 （2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题4-3 已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 方法五 复数模与向量、坐标综合及解题技巧 复数与复平面向量一一对应，涉及旋转、平移、向量长度、实部虚部时，可借助坐标和向量运算。 第一步：建立坐标对应 将 对应为点 或向量 。 第二步：翻译运算 复数加法对应向量加法，乘法对应旋转与伸缩。 第三步：计算模长 模长对应向量长度，可用勾股定理或距离公式。 第四步：结合旋转伸缩 表示将向量 绕原点旋转 。 第五步：回到复数形式 将坐标结果写回 ，并检验模长、实部、虚部。 例题5-1 （25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 例题5-2 （2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 例题5-3 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 题型01复数模长的直接计算 1．（2026·河南·一模）若复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D．5 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知复数（i为虚数单位），则（     ） A．2 B． C．4 D． 题型02复数性质综合命题 3．（2026·湖北·模拟预测）（多选）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济南·二模）（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 题型03复数几何意义与轨迹判断 6．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 7．（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 题型04模的三角不等式与最值 8．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知复数满足，，则的最小值是________． 题型05复数模与向量、坐标综合 10．（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·全国·期中）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则________. 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026·江苏常州·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北张家口·三模）已知复数z满足，则=（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·福建泉州·二模）在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数对应点在第一象限 B． C．可能为纯虚数 D． 三、填空题 10．（26-27高三上·山东日照·阶段检测）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为_____． 11．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板02 5类复数模长、性质与几何意义解题技巧 （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 复数模长的直接计算与性质的应用及解题技巧 方法二 复数性质综合命题的真假辨析及解题技巧 方法三 复数几何意义与轨迹判断及解题技巧 方法四 模的三角不等式与最值及解题技巧 方法五 复数模与向量、坐标综合及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】复数模长的直接计算 【题型02】复数性质综合命题 【题型03】复数几何意义与轨迹判断 【题型04】模的三角不等式与最值 【题型05】复数模与向量、坐标综合 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.复数的概念、代数形式、共轭复数及运算是高考数学的基础考点，主要考查复数的基本性质与运算能力。 2.复数模长是重要考查内容，常与复数运算、共轭复数及复数方程相结合，考查模长的计算与性质应用。 3.复数的几何意义常与复平面中的点、向量及距离相联系，考查复数与几何问题之间的相互转化。 4.此类问题注重代数运算与几何直观的结合，需重点掌握复数模长性质、共轭关系及几何意义的灵活应用。 考向结构图 一级版块 二级考向 复数的基本性质与运算 复数的代数形式；复数相等；实部与虚部；共轭复数；复数四则运算 复数模长 复数模长的计算；模长与共轭复数的关系；模长的乘除性质；模长的平方关系；模长比较与估值 复数的几何意义 复数与复平面中的点；复数与向量的对应关系；复数模长与两点间距离；复数加减运算的几何意义 复数综合应用 复数运算与模长结合；复数方程求参数；复数模长与几何关系转化；复数性质综合应用 重点结论 1. 复数模的定义与基本公式 设复数 （），则 若 对应复平面内的点 ，则 ，即复数模长就是对应向量的长度。 2. 复数模的运算性质 设 ，则 特别地： 3. 模的三角不等式 对任意复数 ，有 等号成立条件可结合几何意义理解：当对应向量同向时取到“和的最大值”，反向时取到“差的最小值”。 4. 共轭复数的常用性质 设 ，则 常用变形： 若 ，则 5. 复数模的几何意义 设 为复平面内定点，。 表示以 对应点为圆心、 为半径的圆； 表示点 到 对应两点距离相等，即两点连线段的垂直平分线； 可表示以 为焦点的椭圆（需结合 判断）； 表示以 为圆心、 为半径的闭圆面。 6. 模长最值的常用结论 若 ，求 的最值，可转化为圆上点到定点 的距离问题： 若 ，求 的范围，则 解题方法 方法一 复数模长的直接计算与性质的应用及解题技巧 复数模长计算题的核心是：先化简复数，再求模；或者利用模的乘除性质，避免直接展开。尤其适用于分式型、乘积型、幂型复数求模。 第一步：识别结构特征 观察所给复数是否为分式、乘积、幂或含共轭形式，判断能否直接用模的运算性质。 第二步：优先化简 能化为 的，先化为代数形式；能约分、提取公因式的，先化简。 第三步：选择求模方式 若结构复杂，优先用 、；若已化为 ，用 。 第四步：结合条件计算 利用已知模长、共轭关系、方程条件代入化简。 第五步：验证结果 检查分母是否为零、模长是否非负，必要时用几何意义检验。 例题1-1 （2026·浙江嘉兴·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 例题1-2 （25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】依题意有，，所以． 方法二 复数性质综合命题的真假辨析及解题技巧 此类题目常在多选题中出现，考查面广。核心解题策略是：熟记性质直接判定，巧妙代值（特值法）快速排除，几何意义辅助验证。 第一步：审视前提与条件 看清题目是否有限制条件（如 、 为实数、 为虚数等）。这决定了消去律、实数判定等性质是否适用。 第二步：直接运用核心性质判定 熟记并运用共轭的分配律、模的乘除法性质、复数的运算律（结合律、交换律）。这些正确的性质通常是选项中的“送分项”。 第三步：特殊值法（举反例） 对于抽象且没有限制的命题，尤其是判断“一定成立”或“若...则...”的选项，快速代入特殊复数（如 等）。只要能找到一个反例，直接排除该选项。 第四步：利用几何意义辅助 遇到模的等式（如 ），立刻联想复平面内的向量加减法。对角线相等意味着平行四边形是矩形，即两向量互相垂直（）。 第五步：综合判定得出结论 正确的选项往往具有普适性，而错误的选项往往在特殊值或边界条件（如乘以 0、虚数平方为负）处露出破绽。 1.共轭运算性质： 2.模的运算性质： 3.复数与实数、共轭的关系： 为纯虚数 且 （或 ） 重要桥梁： （即 ） 4.消去律与方程： 若 且 ，则 。（复数集内只要不除以 0，消去律均成立） （反例：） 例题2-1 （25-26高三上·河北保定·阶段检测）（多选）已知复数满足，则（   ） A．与的实部相等 B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足，显然，C错误； 因为，所以，D正确； 故选：BD 例题2-2 （25-26高三上·安徽·期中）（多选）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、除法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：设，，，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则，，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件，但，故D错误. 故选：ABC. 例题2-3 （2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算、模的性质、共轭复数的性质，结合复数基本运算法则逐一判断选项. 【详解】， 则， ， ， 所以， 选项A，若，则， 可得或，即或，A正确； 选项B，举反例，取，， 此时，但均不为0，B错误； 选项C，根据复数模的运算性质，， 又复数与其共轭复数的模相等，即， 故，C正确； 选项D：设，则， 代入计算得：， 虚部抵消结果为实数；D正确. 例题2-4 （25-26高三下·湖北黄冈·阶段检测）（多选）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若是方程的两根，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的概念计算判断选项A、B，利用韦达定理计算判断选项C，利用反例法判断选项D． 【详解】选项A、B：设，则， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故B错误； 选项C：已知是方程的两根， 由韦达定理得， ，故C正确； 选项D：令，满足， 但，故， 不能推出，故D错误． 故选：AC． 方法三 复数几何意义与轨迹判断及解题技巧 复数模长问题常可转化为复平面内的距离问题。看到 ，应立即联想到“点 到点 的距离”。 第一步：识别几何结构 看到 ，看作距离；看到 ，看作垂直平分线。 第二步：翻译为几何语言 将复数方程翻译为圆、直线、线段、椭圆等几何图形。 第三步：确定关键量 求圆心、半径、焦点、距离、垂直平分线方程等。 第四步：求解目标量 利用点到圆距离、垂直平分线性质、椭圆性质求模长或范围。 第五步：检查取值范围 注意轨迹是整圆还是圆面、线段还是直线，防止扩大或缩小范围。 例题3-1 （2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】设复数，利用复数模的公式把等式变形即可得圆的方程，根据圆的周长公式即可求解 . 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即  ，两边平方得， 这表示圆心为、半径， 圆的周长. 例题3-2 （2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【详解】设复数，则， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 例题3-3 （2026高三·全国·专题练习）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（ ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点的直线 D．过点的直线 【答案】A 【分析】设，根据题意结合共轭复数和模长求，代入整理可得，即可判断动点的轨迹方程. 【详解】设，，，则，， 因为，即， 则 由实部与虚部对应相等得， 可得，解得，可得， 由可得， 即点到点的距离为1， 所以构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆. 方法四 模的三角不等式与最值及解题技巧 当题目中出现两个复数的模长、和差模长范围时，优先考虑模的三角不等式。其本质是向量长度的“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 第一步：识别和差结构 出现 、，并已知 时，优先用三角不等式。 第二步：写出不等式 使用 。 第三步：判断等号条件 同向时和最大，反向时差最小；结合几何图形判断能否取到。 第四步：结合约束条件 若还含定点、圆、线段等条件，转化为几何距离。 第五步：验证最值可达性 检查取等时对应复数是否存在，避免只写不等式而忽略取等条件。 例题4-1 （26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 例题4-2 （2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解. 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 例题4-3 已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 方法五 复数模与向量、坐标综合及解题技巧 复数与复平面向量一一对应，涉及旋转、平移、向量长度、实部虚部时，可借助坐标和向量运算。 第一步：建立坐标对应 将 对应为点 或向量 。 第二步：翻译运算 复数加法对应向量加法，乘法对应旋转与伸缩。 第三步：计算模长 模长对应向量长度，可用勾股定理或距离公式。 第四步：结合旋转伸缩 表示将向量 绕原点旋转 。 第五步：回到复数形式 将坐标结果写回 ，并检验模长、实部、虚部。 例题5-1 （25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 例题5-2 （2026·山东潍坊·三模）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将向量的顺时针旋转转化为复数乘法运算，通过复数除法的分母实数化求解原复数. 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 例题5-3 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 题型01复数模长的直接计算 1．（2026·河南·一模）若复数z满足，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【详解】， 故 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知复数（i为虚数单位），则（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】. 题型02复数性质综合命题 3．（2026·湖北·模拟预测）（多选）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据虚数的概念及性质、复数的概念、复数的四则运算、复数模的计算公式进行相关分析. 【详解】，则，则A选项正确； 不全为实数的复数无法比较大小，则B选项错误； 若，，满足，但，则C选项错误； 设，， ， ， ，， ， ，所以，则D选项正确. 4．（2026·江苏南通·模拟预测）（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项 A：设 ，（ ） 则 ，其共轭为 ， 而 ， 所以 ，A 正确. 选项 B：， 其共轭为 ， ， 所以 ，B 正确. 选项 C：举反例，设 ， ，， 两者不相等. 所以 不恒成立，C 错误. 选项 D：根据复数模的性质，当 时， 是复数模的基本运算性质， D正确. 5．（2026·山东济南·二模）（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 题型03复数几何意义与轨迹判断 6．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 7．（2026·陕西西安·一模）如果复数满足（实数），那么复数在复平面上对应的点的轨迹是（   ） A．焦距为的椭圆 B．焦距为的椭圆 C．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，求出的表达式，再根据复数的模的性质和椭圆的定义确定轨迹即可. 【详解】令. 因为，所以. 又， 所以. 设，则，， 所以，. 代入得，，即， 也即， 因为，所以，所以该曲线表示焦点在轴上的椭圆，其中，， 所以，则，焦距. 所以复数在复平面上对应的点的轨迹是焦距为的椭圆. 故选：A. 题型04模的三角不等式与最值 8．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 9．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知复数满足，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】设，其中，则其共轭复数，，， 两式相等，可得，即，因此或. 由复数模的定义，，两边平方得， 表示复平面上以原点为圆心，半径为的圆及其内部， ，表示复平面上点到定点的距离，， 当时，点在虚轴上，满足的点到的最小距离为， 当时，点在实轴上，满足的点到的最小距离为， 比较，因此的最小值为. 题型05复数模与向量、坐标综合 10．（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 11．（25-26高三下·全国·期中）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则________. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义表示向量对应的复数，再根据复数的特征，列式求解. 【详解】因为，所以对应的复数为. 因为向量对应的复数为纯虚数， 所以，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以. 2．（2026·江苏常州·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则. 3．（2026·河北张家口·三模）已知复数z满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法法则，求得复数z，再根据复数模的计算公式求得答案. 【详解】由题得，所以. 4．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 5．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查复数的几何意义，求的最大值，即为求复数所表示的以原点为圆心，半径的圆上一点，到圆外一点的最大距离，由最大距离为即可求出最大值. 【详解】解：由题意得，又，所以， 根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆， 而的几何意义为，圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离，所以点在圆外， 因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为. 6．（2026·福建泉州·二模）在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得为相反向量，进而得到，再求解判断各选项即可. 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 二、多选题 7．（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，举反例排除即可；对于B，由即可推出；对于D，由即可推出． 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 8．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】本题考查复数的基本概念与运算性质，选项A、B直接利用复数模的运算性质即可判断；选项C可利用绝对值不等式（三角不等式）放缩或通过复平面的几何意义求解；选项D通过举反例证伪. 【详解】对于选项A：设，则,， ，两者相等，所以A正确； 对于选项B：若，则，两边取模得，所以B正确； 对于选项C：根据复数模的三角不等式， 可得，即，所以C正确； 对于选项D：取，，满足 ，但，所以D错误. 9．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数对应点在第一象限 B． C．可能为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】根据复数运算法则和性质逐一分析选项. 【详解】因为，在A选项中，， 对应复平面内点为 ，横纵坐标均为正，因此在第一象限，A正确， 在B选项中，，故， 又因为，，所以， 所以，B错误， 在C选项中，，若为纯虚数，则实部为0、虚部非零， 所以令，则，此时虚部为，结果为， 因此存在符合条件的，C正确， 在D选项中，根据复数模的性质，对任意非零复数， 都有，所以，即， 且，等式成立，D正确. 三、填空题 10．（26-27高三上·山东日照·阶段检测）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为_____． 【答案】 【分析】先把复数化为三角形式求出模与辐角，再按"顺时针旋转即辐角减去、模不变"写出结果. 【详解】. 绕原点顺时针旋转，即乘以， 模不变、辐角为. 所以旋转后的复数为. 11．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $