1.4 充分条件与必要条件 核心知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 学生版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 核心知识清单 学生版 知识梳理 知识点1 命题与条件、结论 命题是可以判断真假的陈述句。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题；假命题仍然是命题。 把命题写成“若 ，则 ”时， 是条件， 是结论。互换条件和结论，得到“若 ，则 ”，称为原命题的逆命题；两者的真假应分别判断。 知识点2 充分条件与必要条件 若“若 ，则 ”为真命题，即 能推出 ，记作 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 若由 不能推出 ，记作 。否定这个推出关系，需要找到一个满足 却不满足 的反例。 知识点3 充要条件 若 且 ，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 。此时也可说 是 的充要条件。 方向提醒 只知道 ，还不能断定 是 的“充分不必要条件”；必须继续检查 是否成立。 性质与公式 知识点4 四类条件关系 下表始终判断“ 是 的什么条件”。两个方向都要检查，不能只判断一个方向后就选类别。 是 的条件 成立 不成立 充分不必要条件 不成立 成立 必要不充分条件 成立 成立 充要条件 不成立 不成立 既不充分也不必要条件 知识点5 用集合包含解释条件关系 在同一研究范围 中，令 为使条件 成立的所有对象组成的集合， 为使条件 成立的所有对象组成的集合。 条件关系 对应的集合关系 核对要点 中每个对象都在 中；允许 。 中每个对象都在 中；允许 。 两个方向都成立，范围完全相同。 充分不必要 既包含，又确有对象满足 而不满足 。 必要不充分 既包含，又确有对象满足 而不满足 。 条件关系依赖研究范围。例如在 内， 是 的充分不必要条件；若已限定 ，二者就等价。题设没有给出的正数、非零、非空条件，不能自行添加。 图示专指 ： 能推出 ，但图中外侧标出的对象说明 不能推出 。若 ，则应判为充要条件。 若两个方向均不能推出，则 ， 互不包含：既有满足 不满足 的对象，也有满足 不满足 的对象。不能仅凭元素个数或数轴长短判断。 适用条件 知识点6 推出与充要关系的联结 若 ，，则 。若 ，，则 。这些关系必须在一致的对象和范围下连接。 判定定理通常提供充分条件，性质定理通常提供必要条件，定义可给出充要刻画。充分条件和必要条件通常不唯一；读定理时仍须核对条件、结论及方向。 知识点7 先把自然语言转成方向 常见表述 应检查的方向 若 ，则 ；只要 ，就 是 的充分条件 是 的必要条件；只有 ，才 成立的充分条件是 当且仅当 ； 是 的充要条件 语序核对：“ 是 的必要条件”“ 的充分条件是 ”，都表示 。先明确被判断的前后两个条件，再写箭头；不能凭语句中谁先出现决定方向。 只知道“只有 ，才 ”，就只得到 ；它没有自动告诉我们 是否成立。若要判为“必要不充分”，还须另有反例否定后一方向。 知识点8 一般论证与反例各有任务 任务 需要做到 证明 在约定范围内，从 出发作一般论证，得到 。有限且很小的论域可逐一穷尽检查。 否定 找到一个使 成立、 不成立的对象。只需一个合格反例。 证明 充分性：证 ；必要性：证 。两个方向缺一不可。 使用集合关系 先确定同一研究范围和全部符合条件的对象；空集、相等情形以及开闭端点也必须保留。 条件核对 正例不能代替一般证明。变形时若除以一个式子，应确认它非零；平方、开方等步骤也要核对能否反向推出，不能把单向推理误写成等价变形。 多变量条件以同一组取值为对象。例如比较关于 的两个条件，反例应写出完整的 ，并逐项核对题设限制。含分母的式子必须有定义，不能用分母为零的取值充当反例。 易混辨析 容易混淆的说法 正确理解 “充分”就是“充分不必要” 充分只确定正向能推出；反向可能能，也可能不能。 “必要条件成立，结论就一定成立” 必要条件不可缺少，但仅有它未必足够。 和 在某个对象上都成立，所以充要 充要要求整个约定范围内双向都能推出，不是一次代入恰好都真。 找到一个 不成立的例子，就否定 反例必须满足 而不满足 。 只证明充分性，就完成充要条件证明 还须从 出发证明 ，或提供每一步都可逆的完整等价论证。 条件范围与含参判断 知识点9 普通条件与严格条件 令 为条件 成立的取值范围， 为条件 成立的取值范围。判断“ 是 的充分条件”只需 ，既允许真包含，也允许相等；判断“充分不必要”则必须 。判断必要条件应反向核对 ，必要不充分则为 。 数轴上包含区间时，先比较两端，再核查端点能否取到。端点数值相等不等于两个集合相等：开闭状态不同，仍可能是真包含。要排除相等，应比较整个集合，不能机械地把两端不等号都改成严格不等号。 知识点10 空集 单点与参数临界值 含参集合先判断是否为空。 在 时为空、 时只有一个元素； 及半开区间在 时为空。题目若明示“非空”，应先记录这个限制。 空集是每个集合的子集，是每个非空集合的真子集。因此把条件关系转成包含后，内集为空的参数不应自动删除；若要求外集包含一个固定非空集合，则外集不可能为空。若两者都为空，两个范围相等，不能判成充分不必要或必要不充分。 求参数可按“定义域与非空限制 → 包含方向 → 空集或非空分类 → 边界与相等检查 → 回代”逐步完成。方程中二次项系数可能为零时，先分一次与二次；分式中的分母限制应从原式保留到结论。 若选项给出的条件本身限制参数，应先求出原事件成立的全部参数，再比较各选项对应的参数范围；不能把求事件范围与判断条件关系混为一步。 知识点11 反例与双向证明的书写 说明 是 的充分不必要条件，要完成两件事：对所有满足 的对象，论证 成立；再给出一个满足 却不满足 的具体对象。说明必要不充分时，两个方向正好相反。 证明“ 成立的充要条件是 ”时，充分性从 出发证 ，必要性从 出发证 。为了避免名称混淆，也可明确写出“先证 ，再证 ”。若使用一串等价变形，每一步都应可逆，并说明除数非零、开方符号等依据。 论域改变可能改变条件关系。例如在实数范围内，平方相等不一定两数相等；若题设同时限定两数非负，便可反向开方。原题未给出的正数、整数、非零或非空条件，不能自行补入。 自测题 1．（2025·河南天立教育集团·高一秋季第一学月联考·原卷第3题）“”是“”的（　　）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·安徽六校·2027届高三9月阶段性学情检测·原卷第2题）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·甘肃兰州一诊·原卷第3题）已知集合 ，，以下判断正确的是（　　）。 A． 是 的充分条件 B． 是 的既不充分也不必要条件 C． 是 的必要条件 D． 是 的充要条件 4．（2025·河南豫东部分名校·高三下模拟测试（三）·原卷第3题）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·深圳市盟校·高一上期中·原卷第2题（据公开重排版））已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·安徽高河中学·高一上12月月考·原卷第3题）若 ，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·重庆市鲁能巴蜀中学校·高三上学期第一次月考·原卷第3题）已知 ，则“”的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 8．（2025·天津市河东区·高三第二学期质量检测（二）·原卷第2题）已知 ，命题 ，命题 ，则 是 的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 9．（2025·江苏南京金陵中学·高一10月月考·原卷第7题）下列所给的各组 中,满足 的充分条件是 的个数是( ) (1) :四边形的对角线相等， :四边形是正方形; (2) :两个直角三角形全等， :两个直角三角形的斜边相等; (3) ; (4) ; (5) :同位角相等， :两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·上海师范大学附属宝山罗店中学·高一10月月考·原卷第14题）给出命题：“如果 是素数，那么 不是素数”，甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（　　） A． B． C． D． 11．（2026·北京中国人民大学附属中学·高一上统练（一）·原卷第12题）能够说明 “非零实数 ， ，若 ，则 ” 是假命题的一组 ， 的值依次为___. 12．（2026·安徽临泉田家炳实验中学、临泉县教师进修学校·高一9月阶段检测·原卷第10题）（多选）已知,要使为的充分条件,则的值可以是 ( ) A． B． C． D． 13．（2026·上海师范大学附属宝山罗店中学·高一10月月考·原卷第11题）设 均为非零常数，不等式 和 的解集分别为 ，则“”是“”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分也非必要”）。 14．（2025·湖南长郡中学·高一上学期期中考试（11月）·原卷第10题）（多选）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．命题“若 ，则 中至少有一个大于2”为真命题 D．集合 中的元素个数为8 15．（2026·湖南长郡中学·高一第一次月考（10月练习）·原卷第9题）（多选）下列四个选项中， 是 的充分必要条件的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·重庆市九龙坡区高2025届学业质量调研抽测（第一次）·原卷第7题）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·河南TOP二十名校·2026届高三调研考试（一）（10月）·原卷第10题）（多选）已知集合 ,则 A．“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的必要不充分条件 C．“ 中只有一个元素” 是 “ ” 的充要条件 D．“ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 18．（2026·北京中国人民大学附属中学·高一上统练（一）·原卷第16题）已知集合 ，集合 (1)若 ，求 的取值范围； (2)若“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，求实数 的取值范围 19．（2025·高一上学期第一次段考（学校未注明）·原卷第16题）设集合 ，。 （1）若 ，求 ； （2）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围。 20．（2025·辽宁省实验中学·高一上学期10月份月考·原卷第18题（3））已知 ，求证： 成立的充要条件是 。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 核心知识清单 · 第一章 集合与常用逻辑用语 解析版 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 核心知识清单 解析版 知识梳理 知识点1 命题与条件、结论 命题是可以判断真假的陈述句。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题；假命题仍然是命题。 把命题写成“若 ，则 ”时， 是条件， 是结论。互换条件和结论，得到“若 ，则 ”，称为原命题的逆命题；两者的真假应分别判断。 知识点2 充分条件与必要条件 若“若 ，则 ”为真命题，即 能推出 ，记作 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 若由 不能推出 ，记作 。否定这个推出关系，需要找到一个满足 却不满足 的反例。 知识点3 充要条件 若 且 ，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 。此时也可说 是 的充要条件。 方向提醒 只知道 ，还不能断定 是 的“充分不必要条件”；必须继续检查 是否成立。 性质与公式 知识点4 四类条件关系 下表始终判断“ 是 的什么条件”。两个方向都要检查，不能只判断一个方向后就选类别。 是 的条件 成立 不成立 充分不必要条件 不成立 成立 必要不充分条件 成立 成立 充要条件 不成立 不成立 既不充分也不必要条件 知识点5 用集合包含解释条件关系 在同一研究范围 中，令 为使条件 成立的所有对象组成的集合， 为使条件 成立的所有对象组成的集合。 条件关系 对应的集合关系 核对要点 中每个对象都在 中；允许 。 中每个对象都在 中；允许 。 两个方向都成立，范围完全相同。 充分不必要 既包含，又确有对象满足 而不满足 。 必要不充分 既包含，又确有对象满足 而不满足 。 条件关系依赖研究范围。例如在 内， 是 的充分不必要条件；若已限定 ，二者就等价。题设没有给出的正数、非零、非空条件，不能自行添加。 图示专指 ： 能推出 ，但图中外侧标出的对象说明 不能推出 。若 ，则应判为充要条件。 若两个方向均不能推出，则 ， 互不包含：既有满足 不满足 的对象，也有满足 不满足 的对象。不能仅凭元素个数或数轴长短判断。 适用条件 知识点6 推出与充要关系的联结 若 ，，则 。若 ，，则 。这些关系必须在一致的对象和范围下连接。 判定定理通常提供充分条件，性质定理通常提供必要条件，定义可给出充要刻画。充分条件和必要条件通常不唯一；读定理时仍须核对条件、结论及方向。 知识点7 先把自然语言转成方向 常见表述 应检查的方向 若 ，则 ；只要 ，就 是 的充分条件 是 的必要条件；只有 ，才 成立的充分条件是 当且仅当 ； 是 的充要条件 语序核对：“ 是 的必要条件”“ 的充分条件是 ”，都表示 。先明确被判断的前后两个条件，再写箭头；不能凭语句中谁先出现决定方向。 只知道“只有 ，才 ”，就只得到 ；它没有自动告诉我们 是否成立。若要判为“必要不充分”，还须另有反例否定后一方向。 知识点8 一般论证与反例各有任务 任务 需要做到 证明 在约定范围内，从 出发作一般论证，得到 。有限且很小的论域可逐一穷尽检查。 否定 找到一个使 成立、 不成立的对象。只需一个合格反例。 证明 充分性：证 ；必要性：证 。两个方向缺一不可。 使用集合关系 先确定同一研究范围和全部符合条件的对象；空集、相等情形以及开闭端点也必须保留。 条件核对 正例不能代替一般证明。变形时若除以一个式子，应确认它非零；平方、开方等步骤也要核对能否反向推出，不能把单向推理误写成等价变形。 多变量条件以同一组取值为对象。例如比较关于 的两个条件，反例应写出完整的 ，并逐项核对题设限制。含分母的式子必须有定义，不能用分母为零的取值充当反例。 易混辨析 容易混淆的说法 正确理解 “充分”就是“充分不必要” 充分只确定正向能推出；反向可能能，也可能不能。 “必要条件成立，结论就一定成立” 必要条件不可缺少，但仅有它未必足够。 和 在某个对象上都成立，所以充要 充要要求整个约定范围内双向都能推出，不是一次代入恰好都真。 找到一个 不成立的例子，就否定 反例必须满足 而不满足 。 只证明充分性，就完成充要条件证明 还须从 出发证明 ，或提供每一步都可逆的完整等价论证。 条件范围与含参判断 知识点9 普通条件与严格条件 令 为条件 成立的取值范围， 为条件 成立的取值范围。判断“ 是 的充分条件”只需 ，既允许真包含，也允许相等；判断“充分不必要”则必须 。判断必要条件应反向核对 ，必要不充分则为 。 数轴上包含区间时，先比较两端，再核查端点能否取到。端点数值相等不等于两个集合相等：开闭状态不同，仍可能是真包含。要排除相等，应比较整个集合，不能机械地把两端不等号都改成严格不等号。 知识点10 空集 单点与参数临界值 含参集合先判断是否为空。 在 时为空、 时只有一个元素； 及半开区间在 时为空。题目若明示“非空”，应先记录这个限制。 空集是每个集合的子集，是每个非空集合的真子集。因此把条件关系转成包含后，内集为空的参数不应自动删除；若要求外集包含一个固定非空集合，则外集不可能为空。若两者都为空，两个范围相等，不能判成充分不必要或必要不充分。 求参数可按“定义域与非空限制 → 包含方向 → 空集或非空分类 → 边界与相等检查 → 回代”逐步完成。方程中二次项系数可能为零时，先分一次与二次；分式中的分母限制应从原式保留到结论。 若选项给出的条件本身限制参数，应先求出原事件成立的全部参数，再比较各选项对应的参数范围；不能把求事件范围与判断条件关系混为一步。 知识点11 反例与双向证明的书写 说明 是 的充分不必要条件，要完成两件事：对所有满足 的对象，论证 成立；再给出一个满足 却不满足 的具体对象。说明必要不充分时，两个方向正好相反。 证明“ 成立的充要条件是 ”时，充分性从 出发证 ，必要性从 出发证 。为了避免名称混淆，也可明确写出“先证 ，再证 ”。若使用一串等价变形，每一步都应可逆，并说明除数非零、开方符号等依据。 论域改变可能改变条件关系。例如在实数范围内，平方相等不一定两数相等；若题设同时限定两数非负，便可反向开方。原题未给出的正数、整数、非零或非空条件，不能自行补入。 自测题 1．（2025·河南天立教育集团·高一秋季第一学月联考·原卷第3题）“”是“”的（　　）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 得 ，可推出 。反过来， 也允许 ，不能推出 。因此是充分不必要条件。 2．（2026·安徽六校·2027届高三9月阶段性学情检测·原卷第2题）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】自然数一定是有理数，所以 。反过来，取 ，它是有理数却不是自然数，因此是必要不充分条件。 3．（2025·甘肃兰州一诊·原卷第3题）已知集合 ，，以下判断正确的是（　　）。 A． 是 的充分条件 B． 是 的既不充分也不必要条件 C． 是 的必要条件 D． 是 的充要条件 【答案】D 【解析】，所以D项的两个条件完全等价。A项取 可否定充分性；B项中 一定能推出 ；C项取 ，它属于 却不属于 ，必要性不成立。 4．（2025·河南豫东部分名校·高三下模拟测试（三）·原卷第3题）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据题中材料，“身正”能够推出“令行”，所以是充分条件。又因为“身不正”时不会“令行”，所以“令行”时必然“身正”，也是必要条件。因此为充要条件。 5．（2025·深圳市盟校·高一上期中·原卷第2题（据公开重排版））已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，而 ，仅 时等于0。 当 时，第二因式为正，故 ；当 时，第二因式必为正，从而 。两方向均成立，故为充要条件。 6．（2025·安徽高河中学·高一上12月月考·原卷第3题）若 ，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】取 ，前件成立而后件不成立，说明不充分。取 ，后件成立而前件不成立，说明不必要。故为既不充分也不必要条件。 7．（2026·重庆市鲁能巴蜀中学校·高三上学期第一次月考·原卷第3题）已知 ，则“”的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】C项中，根式有意义且 ，等价于 ，因此能推出 。可行的 构成目标范围 的真子集，例如 在目标范围中，却不在 中。因此C是充分不必要条件。 A项取 ，倒数比较成立而 不成立；B项由立方差分解可得与 等价，属于充要条件；D项取 可否定充分性。 8．（2025·天津市河东区·高三第二学期质量检测（二）·原卷第2题）已知 ，命题 ，命题 ，则 是 的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】因为 ，且 ，故 等价于 。 等价于 且 ，所以 能推出 。但取 ， 成立而 不成立，因此 是 的必要不充分条件。 9．（2025·江苏南京金陵中学·高一10月月考·原卷第7题）下列所给的各组 中,满足 的充分条件是 的个数是( ) (1) :四边形的对角线相等， :四边形是正方形; (2) :两个直角三角形全等， :两个直角三角形的斜边相等; (3) ; (4) ; (5) :同位角相等， :两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】“ 的充分条件是 ”要求 。①对角线相等不能保证四边形是正方形，如非正方形的矩形。②全等直角三角形的斜边相等，成立。③取 可否定。④取 可否定。⑤同位角相等，两直线平行，成立。因此只有②⑤，共2个。 10．（2026·上海师范大学附属宝山罗店中学·高一10月月考·原卷第14题）给出命题：“如果 是素数，那么 不是素数”，甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】反例必须满足条件而使结论不成立。 是素数，且 也是素数，故B正确。 时分别得到6、27，不能否定结论； 不满足“ 是素数”，不能充当反例。 11．（2026·北京中国人民大学附属中学·高一上统练（一）·原卷第12题）能够说明 “非零实数 ， ，若 ，则 ” 是假命题的一组 ， 的值依次为___. 【答案】（答案不唯一） 【解析】例如取 ，两数均非零，并且 ，满足原命题的条件。 但 ，，所以 不成立。这个取值同时满足“前提真、结论假”，是一个反例。其他 的取值也有效。 12．（2026·安徽临泉田家炳实验中学、临泉县教师进修学校·高一9月阶段检测·原卷第10题）（多选）已知,要使为的充分条件,则的值可以是 ( ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】“ 为 的充分条件”要求 ，等价于 。 均满足， 时可取 反驳。注意充分条件不排除两条件等价， 仍可选。 13．（2026·上海师范大学附属宝山罗店中学·高一10月月考·原卷第11题）设 均为非零常数，不等式 和 的解集分别为 ，则“”是“”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分也非必要”）。 【答案】必要非充分 【解析】若 ，两解集的边界必须相同，故 ，等价于 ，所以必要性成立。反之取 ，，比例均为 ，但 、，并不相同，所以不充分。 14．（2025·湖南长郡中学·高一上学期期中考试（11月）·原卷第10题）（多选）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．命题“若 ，则 中至少有一个大于2”为真命题 D．集合 中的元素个数为8 【答案】CD 【解析】A项，取 ， 成立而 不成立，故必要性不成立。B项，，其小于0的解集为 ，与 不同。 C项，若 都不大于2，则 ，与已知矛盾，所以至少一个大于2。D项， 必须是8的非零整数约数 ，给出8个不同的 值。故选CD。 15．（2026·湖南长郡中学·高一第一次月考（10月练习）·原卷第9题）（多选）下列四个选项中， 是 的充分必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A项， 能推出和、积均为0；反过来，由 知至少一数为0，再由 得另一数也为0。B项，由和为2、积为1可得 ，故 ，反向显然成立。C项，积为正说明两数同号，和为正排除两数都负，因此两数都正，反向也成立。D项，取 ，和大于2且积大于1，但两数并非都大于1，所以不充要。 16．（2025·重庆市九龙坡区高2025届学业质量调研抽测（第一次）·原卷第7题）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 。由 ，可得 ，故 ，D为必要条件。 反过来，取 ，有 ，但 ，故D不充分。A、C可用 排除必要性；B乘除正数 后与原条件等价。 17．（2025·河南TOP二十名校·2026届高三调研考试（一）（10月）·原卷第10题）（多选）已知集合 ,则 A．“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的必要不充分条件 C．“ 中只有一个元素” 是 “ ” 的充要条件 D．“ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【解析】A项， 时两集均含0，故充分。 取 ，交集不为空而 ，故不必要。 B项， 时根 ，故必要。取 ，虽然 ，但另一根16不属于 ，故不充分。 C项， 只有一个元素等价于 。取 ，该条件成立，却有 ，故不充要。 D项，取 ，两数和为无理数但 ；取 ， 但两数和为有理数。两方向均不成立。 18．（2026·北京中国人民大学附属中学·高一上统练（一）·原卷第16题）已知集合 ，集合 (1)若 ，求 的取值范围； (2)若“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，求实数 的取值范围 【答案】（1） 或 ；（2） 或 。 【解析】（1）当 时，，交集为空。当 时，，与 不相交，须满足 或 ，即 或 。合并得 或 。相接端点 均不能取。（2）必要不充分要求 。 时空集满足。 时，要求 且 ，得 ；两端同时相等无解，所以这些参数对应真包含。合并得 或 。注意 时 ，只满足（1），不满足（2）。 19．（2025·高一上学期第一次段考（学校未注明）·原卷第16题）设集合 ，。 （1）若 ，求 ； （2）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 或 。 【解析】化简得 ，且 ，故 。 （1）当 时，，所以 。 （2）题意要求 。区间 不能跨过 的缺口 ，必须整体位于左侧或右侧。因此 或 ，得 或 。 不含端点 ，两个等号可取。 20．（2025·辽宁省实验中学·高一上学期10月份月考·原卷第18题（3））已知 ，求证： 成立的充要条件是 。 【答案】证明见解析 【解析】必要性：若 ，则 ，即 。由于第一因式恒正，所以 。充分性：若 ，则 ，故 。两方向均成立，得证。 人教A版 · 高一数学必修第一册 | 2026—2027学年 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $