1.1 集合的概念 核心知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

核心知识清单 · 必修第一册 1.1 集合的概念 1.1 集合的概念 核心知识清单 2026—2027学年人教A版高一数学必修第一册 学生版 · 第一章 集合与常用逻辑用语 章节定位与知识结构 本节建立集合语言：先辨清研究对象，再判断元素归属，最后把同一个集合准确地表达出来。核对时不能只记结论，还要同时检查对象类型、取值范围、表达式是否有意义和元素是否齐全。 认识对象：元素与集合 → 三个基本特征 → 集合相等。先辨对象类型，再核对全部实际元素。 使用语言：元素归属 → 常用数集 → 三种表示方法。代表元素、所属范围与筛选条件要配合。 完成表达：求出候选对象 → 按范围与条件筛选 → 去重后规范书写。解、函数值和坐标点不能混写。 概念例释帮助理解条件；本清单的两道自测用于简短抽查，不代替整节综合训练。 核心概念 知识点1 元素与集合：先回答“把什么看作一个对象” 研究对象称为元素，由一些元素组成的总体称为集合。元素不只可以是数，也可以是点、图形或其他明确对象；集合不是某个对象的名称，而是这些对象组成的总体。通常用大写字母 表示集合，用小写字母 表示元素。 概念例释 “方程 的所有实数根”中，元素是根 、，集合写作 ；“到定点的距离等于定长的点”中，一个点才是一个元素，不能把点的两个坐标分别数成两个元素。 知识点2 确定性、互异性、无序性：三条要求各有作用 特征 判断依据与必须分清的边界 确定性 给定集合后，对任意指定对象，属于或不属于必须有明确标准。 不要求立刻算出或逐个写出所有元素。“较小的数”缺少统一标准，不能确定；有明确方程条件则可以确定。 互异性 集合中同一元素不重复出现，不同写法可能表示同一个对象。 化简后再计数，重复的根只算一个元素。若题目已明确有若干个不同元素，参数取值不能使这些元素重合。 无序性 列举元素的先后次序不影响集合。 集合中元素的次序可以变；一个有序数对内部的前后次序通常不能变，点的横、纵坐标各有位置。 知识点3 集合相等：看全部实际元素，不看外观 两个集合的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 。检查时要兼顾两边： 中每个元素在 中都能找到， 中也没有多出的元素。元素个数相同只是必要的一项检查，不能单凭个数相等就判定集合相等。 判断路径 先明确元素类型 → 再把不同表示还原为实际元素或同一筛选条件 → 最后核对有没有遗漏或多余。改变集合名称、列举次序或统一更换描述法中的代表字母，都不一定改变集合。 性质、记号与表示方法 知识点4 元素归属：范围和特征条件必须同时成立 表示 是集合 的元素，读作“a属于A”； 表示 不是 的元素，读作“a不属于A”。对给定对象与确定的集合，两种判断只能有一种成立。归属符号左侧是被检验的元素，右侧是集合。 若 ，判断 必须先确认 ，再检验 。只满足等式或不等式、却不在指定数集中，仍不能作为元素；含分式或根式时，还要先确认代入后的式子有意义。 知识点5 常用数集：把名称、范围和边界一起记 记号 名称与范围与不能遗漏的事实 非负整数集，也称自然数集：。 ；自然数不包括负整数和非整数。 或 正整数集：。 不含 ，不能与 混用。 整数集：正整数、零、负整数。 负数不一定不是整数；判断依据是数值，不是正负。 有理数集：能写成 ，其中 且 。 包括整数、有限小数和无限循环小数；分母不能为0。 实数集：有理数和无理数。 无理数属于实数，但不属于有理数；一个数有根号不等于它一定是无理数。 关系用语言表达 每个正整数都是自然数，每个自然数都是整数，每个整数都是有理数，每个有理数都是实数；反方向不能照搬。判断某数属于哪个集合前，先把它化为能识别数值的形式。 知识点6 三种表示方式：选择方法要服从元素的特点 方式 表达要求与适用边界 自然语言 用文字说明研究对象、范围和共同特征。 适合清楚说明实际对象。词语要有统一标准，不能用模糊评价代替条件。 列举法 把元素一一列出，放入花括号，元素之间用逗号分隔。 便于直接看清元素。应先求值再去重；教材中自然数集等可按明确规律写省略号，不能用省略号含糊代替实数范围。 描述法 把共同特征写在竖线右侧，明确代表元素及所属范围。 元素不便逐一列出时尤其适用；同样也可以表示元素有限的集合，不是只适用于无限集合。 三种方法可以表示同一个集合，改变表示方法不应改变实际元素。方法选择以“准确、完整、便于识别”为准，不以文字长短为准。 知识点7 描述法的三个组成部分不能混成一个条件 一般形式为 ： 是代表元素， 是选取范围， 是筛选条件。竖线也可用冒号或分号代替。读法应是“在 中选出所有满足 的 ”。 描述法结构 {x∈Z | 10<x<20} 代表元素 取值范围 特征条件 x：要收集的对象 Z：只取整数 10<x<20：两个端点都不取 对应列举：{11,12,13,14,15,16,17,18,19}。范围与两个严格不等号都要检查。 代表元素：结合代表元素、所属范围与条件，辨明对象是数、坐标点还是其他对象。字母本身不决定对象类型；若是数，还要分清它表示自变量还是函数值等。 所属范围：同一条件在实数、整数、自然数、正整数中筛选，结果可能不同，不能漏看数集记号。 全部特征：每个条件都要满足；辅助字母应说明范围和作用，不能任意给未说明的字母取值。 省略范围的条件 只有在上下文已经明确 或 等范围时，才可省略相应说明。不能见到一个未写范围的式子，就无条件把所有字母都当成任意实数。 概念例释 奇数可以表示成 ，偶数可以表示成 ，其中 。辅助字母的整数范围不能漏掉。若把 改成正整数，奇数表示会漏掉1及负奇数，偶数表示会漏掉0及负偶数。 字母与对象 统一改换代表字母时，要连同条件中的对应字母一起改换；若改动了代表元素的类型、取值范围或条件含义，就不是单纯换字母。 适用条件与转换步骤 知识点8 自然语言、列举法、描述法怎样互相核对 由自然语言写描述法：先找“对象是什么”，再找“在哪个范围”，最后把“必须满足什么”写成条件。由描述法写列举法：求出候选对象 → 按指定范围筛选 → 检查式子有意义 → 合并相同元素 → 用花括号写结果。 概念例释 “大于10且小于20的所有整数”可写成 ，也可列出 。 决定只能取整数，两个严格不等号决定10和20不能取；这两层条件缺一不可。 由列举法写描述法，不能只找一个所有已知元素都满足的条件，还要检查这个条件会不会引入新对象。由一个表示式改写为另一个表示式，也必须保留全部限制，不能把“满足某个条件”偷换成“只要满足该条件就行”。 知识点9 方程、函数、几何中的对象必须分别表达 本表均在实数范围内讨论：x、y均取实数，另有表达式限制时还须满足限制条件。 集合中的元素 表达时抓住什么与概念例释所说明的区别 方程的解 写出满足方程且符合范围的数，不写方程本身。 的实数根为 与 ，两者均要保留。 函数的函数值 研究所有可能的 值，不是只求出某个 。 的函数值由 得 ；任意 又都能对应实数 ，所以函数值集合为 ，没有遗漏。 函数的自变量 先核对表达式有意义的条件，再写允许的 。 的自变量不能为0。应写成 ，不能用函数值的条件代替自变量的条件。 图像交点 同时满足各图像条件，最后写成坐标点的集合。 与 的交点是 ；对应集合为 ，其中只有一个点。 数集 {1,4} 点集 {(1,4)} 1 和 4 两个数，共2个元素 (1,4) 一个有序数对，共1个元素 数集和点集 在本表的函数情境中，代表元素为 或 时，检验的是一个数；代表元素为 时，检验的是整个有序数对。集合 中是两个数， 中是一个点，不能因为出现相同数字就判为同一个集合。 知识点10 涉及限制条件时，先筛选再作结论 出现的条件 必须做的检查与常见失误 、、 先得数值范围，再按指定数集筛选。 把0一律去掉，或漏掉满足条件的负整数。 分式或二次根式 分母不为0；实数范围内二次根式的被开方数不小于0。 只看变形后的等式，忘记原表达式是否有意义。 元素个数或含参数 将候选参数代回，重新核对范围、表达式与互异性。 把写出的若干表达式直接当成若干个不同元素。 集合相等 把全部实际元素逐一对应，必要时按不同对应关系讨论。 只比较形式、只对上一部分元素，或把元素个数相同误当集合相等。 易混辨析 容易作出的错误判断 正确辨析与检验办法 “不知道所有元素，就不确定。” 确定性关注标准是否明确，不取决于计算难易。 “两个写法就一定是两个元素。” 先求实际值；重复值和重根都不能重复计数。 “无序性说明坐标次序也能交换。” 集合元素排列无序，有序数对的内部次序不能随意变。 “个数相同就能说明两个集合相等。” 还要核对实际元素是否完全相同。 “符合等式就一定属于集合。” 还要满足所属范围及其他条件，并且代入原式有意义。 “描述法右边出现什么，元素就是什么。” 由竖线左侧的代表元素确定对象；右边的式子是筛选条件。 “端点和负值可以凭经验取舍。” 端点依不等号判断；负值依数集与原式限制判断。 “换字母或换表示方法会得到新集合。” 对象、范围和条件相同，表示外观改变不影响集合。 简短自测 自测1 （2025·广东清远博爱学校高一首次质检·第9题）（多选）下列结论不正确的是（ ）。 A. B. C. D. 自测2 （2025·河南洛阳高一上学期期中·第1题）已知集合 ，则用列举法表示 =（ ）。 A. B. C. D. 完成后的回查要点 自测1回查知识点5中的数集名称、范围和选择要求；自测2回查知识点7、知识点10中的整数条件、分母限制和负因数。改正时写出遗漏的条件及其影响，不只抄正确选项。 人教A版 · 学生版 1 学科网（北京）股份有限公司 $核心知识清单 · 必修第一册 1.1 集合的概念 1.1 集合的概念 核心知识清单 2026—2027学年人教A版高一数学必修第一册 解析版 · 第一章 集合与常用逻辑用语 章节定位与知识结构 本节建立集合语言：先辨清研究对象，再判断元素归属，最后把同一个集合准确地表达出来。核对时不能只记结论，还要同时检查对象类型、取值范围、表达式是否有意义和元素是否齐全。 认识对象：元素与集合 → 三个基本特征 → 集合相等。先辨对象类型，再核对全部实际元素。 使用语言：元素归属 → 常用数集 → 三种表示方法。代表元素、所属范围与筛选条件要配合。 完成表达：求出候选对象 → 按范围与条件筛选 → 去重后规范书写。解、函数值和坐标点不能混写。 概念例释帮助理解条件；本清单的两道自测用于简短抽查，不代替整节综合训练。 核心概念 知识点1 元素与集合：先回答“把什么看作一个对象” 研究对象称为元素，由一些元素组成的总体称为集合。元素不只可以是数，也可以是点、图形或其他明确对象；集合不是某个对象的名称，而是这些对象组成的总体。通常用大写字母 表示集合，用小写字母 表示元素。 概念例释 “方程 的所有实数根”中，元素是根 、，集合写作 ；“到定点的距离等于定长的点”中，一个点才是一个元素，不能把点的两个坐标分别数成两个元素。 知识点2 确定性、互异性、无序性：三条要求各有作用 特征 判断依据与必须分清的边界 确定性 给定集合后，对任意指定对象，属于或不属于必须有明确标准。 不要求立刻算出或逐个写出所有元素。“较小的数”缺少统一标准，不能确定；有明确方程条件则可以确定。 互异性 集合中同一元素不重复出现，不同写法可能表示同一个对象。 化简后再计数，重复的根只算一个元素。若题目已明确有若干个不同元素，参数取值不能使这些元素重合。 无序性 列举元素的先后次序不影响集合。 集合中元素的次序可以变；一个有序数对内部的前后次序通常不能变，点的横、纵坐标各有位置。 知识点3 集合相等：看全部实际元素，不看外观 两个集合的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 。检查时要兼顾两边： 中每个元素在 中都能找到， 中也没有多出的元素。元素个数相同只是必要的一项检查，不能单凭个数相等就判定集合相等。 判断路径 先明确元素类型 → 再把不同表示还原为实际元素或同一筛选条件 → 最后核对有没有遗漏或多余。改变集合名称、列举次序或统一更换描述法中的代表字母，都不一定改变集合。 性质、记号与表示方法 知识点4 元素归属：范围和特征条件必须同时成立 表示 是集合 的元素，读作“a属于A”； 表示 不是 的元素，读作“a不属于A”。对给定对象与确定的集合，两种判断只能有一种成立。归属符号左侧是被检验的元素，右侧是集合。 若 ，判断 必须先确认 ，再检验 。只满足等式或不等式、却不在指定数集中，仍不能作为元素；含分式或根式时，还要先确认代入后的式子有意义。 知识点5 常用数集：把名称、范围和边界一起记 记号 名称与范围与不能遗漏的事实 非负整数集，也称自然数集：。 ；自然数不包括负整数和非整数。 或 正整数集：。 不含 ，不能与 混用。 整数集：正整数、零、负整数。 负数不一定不是整数；判断依据是数值，不是正负。 有理数集：能写成 ，其中 且 。 包括整数、有限小数和无限循环小数；分母不能为0。 实数集：有理数和无理数。 无理数属于实数，但不属于有理数；一个数有根号不等于它一定是无理数。 关系用语言表达 每个正整数都是自然数，每个自然数都是整数，每个整数都是有理数，每个有理数都是实数；反方向不能照搬。判断某数属于哪个集合前，先把它化为能识别数值的形式。 知识点6 三种表示方式：选择方法要服从元素的特点 方式 表达要求与适用边界 自然语言 用文字说明研究对象、范围和共同特征。 适合清楚说明实际对象。词语要有统一标准，不能用模糊评价代替条件。 列举法 把元素一一列出，放入花括号，元素之间用逗号分隔。 便于直接看清元素。应先求值再去重；教材中自然数集等可按明确规律写省略号，不能用省略号含糊代替实数范围。 描述法 把共同特征写在竖线右侧，明确代表元素及所属范围。 元素不便逐一列出时尤其适用；同样也可以表示元素有限的集合，不是只适用于无限集合。 三种方法可以表示同一个集合，改变表示方法不应改变实际元素。方法选择以“准确、完整、便于识别”为准，不以文字长短为准。 知识点7 描述法的三个组成部分不能混成一个条件 一般形式为 ： 是代表元素， 是选取范围， 是筛选条件。竖线也可用冒号或分号代替。读法应是“在 中选出所有满足 的 ”。 描述法结构 {x∈Z | 10<x<20} 代表元素 取值范围 特征条件 x：要收集的对象 Z：只取整数 10<x<20：两个端点都不取 对应列举：{11,12,13,14,15,16,17,18,19}。范围与两个严格不等号都要检查。 代表元素：结合代表元素、所属范围与条件，辨明对象是数、坐标点还是其他对象。字母本身不决定对象类型；若是数，还要分清它表示自变量还是函数值等。 所属范围：同一条件在实数、整数、自然数、正整数中筛选，结果可能不同，不能漏看数集记号。 全部特征：每个条件都要满足；辅助字母应说明范围和作用，不能任意给未说明的字母取值。 省略范围的条件 只有在上下文已经明确 或 等范围时，才可省略相应说明。不能见到一个未写范围的式子，就无条件把所有字母都当成任意实数。 概念例释 奇数可以表示成 ，偶数可以表示成 ，其中 。辅助字母的整数范围不能漏掉。若把 改成正整数，奇数表示会漏掉1及负奇数，偶数表示会漏掉0及负偶数。 字母与对象 统一改换代表字母时，要连同条件中的对应字母一起改换；若改动了代表元素的类型、取值范围或条件含义，就不是单纯换字母。 适用条件与转换步骤 知识点8 自然语言、列举法、描述法怎样互相核对 由自然语言写描述法：先找“对象是什么”，再找“在哪个范围”，最后把“必须满足什么”写成条件。由描述法写列举法：求出候选对象 → 按指定范围筛选 → 检查式子有意义 → 合并相同元素 → 用花括号写结果。 概念例释 “大于10且小于20的所有整数”可写成 ，也可列出 。 决定只能取整数，两个严格不等号决定10和20不能取；这两层条件缺一不可。 由列举法写描述法，不能只找一个所有已知元素都满足的条件，还要检查这个条件会不会引入新对象。由一个表示式改写为另一个表示式，也必须保留全部限制，不能把“满足某个条件”偷换成“只要满足该条件就行”。 知识点9 方程、函数、几何中的对象必须分别表达 本表均在实数范围内讨论：x、y均取实数，另有表达式限制时还须满足限制条件。 集合中的元素 表达时抓住什么与概念例释所说明的区别 方程的解 写出满足方程且符合范围的数，不写方程本身。 的实数根为 与 ，两者均要保留。 函数的函数值 研究所有可能的 值，不是只求出某个 。 的函数值由 得 ；任意 又都能对应实数 ，所以函数值集合为 ，没有遗漏。 函数的自变量 先核对表达式有意义的条件，再写允许的 。 的自变量不能为0。应写成 ，不能用函数值的条件代替自变量的条件。 图像交点 同时满足各图像条件，最后写成坐标点的集合。 与 的交点是 ；对应集合为 ，其中只有一个点。 数集 {1,4} 点集 {(1,4)} 1 和 4 两个数，共2个元素 (1,4) 一个有序数对，共1个元素 数集和点集 在本表的函数情境中，代表元素为 或 时，检验的是一个数；代表元素为 时，检验的是整个有序数对。集合 中是两个数， 中是一个点，不能因为出现相同数字就判为同一个集合。 知识点10 涉及限制条件时，先筛选再作结论 出现的条件 必须做的检查与常见失误 、、 先得数值范围，再按指定数集筛选。 把0一律去掉，或漏掉满足条件的负整数。 分式或二次根式 分母不为0；实数范围内二次根式的被开方数不小于0。 只看变形后的等式，忘记原表达式是否有意义。 元素个数或含参数 将候选参数代回，重新核对范围、表达式与互异性。 把写出的若干表达式直接当成若干个不同元素。 集合相等 把全部实际元素逐一对应，必要时按不同对应关系讨论。 只比较形式、只对上一部分元素，或把元素个数相同误当集合相等。 易混辨析 容易作出的错误判断 正确辨析与检验办法 “不知道所有元素，就不确定。” 确定性关注标准是否明确，不取决于计算难易。 “两个写法就一定是两个元素。” 先求实际值；重复值和重根都不能重复计数。 “无序性说明坐标次序也能交换。” 集合元素排列无序，有序数对的内部次序不能随意变。 “个数相同就能说明两个集合相等。” 还要核对实际元素是否完全相同。 “符合等式就一定属于集合。” 还要满足所属范围及其他条件，并且代入原式有意义。 “描述法右边出现什么，元素就是什么。” 由竖线左侧的代表元素确定对象；右边的式子是筛选条件。 “端点和负值可以凭经验取舍。” 端点依不等号判断；负值依数集与原式限制判断。 “换字母或换表示方法会得到新集合。” 对象、范围和条件相同，表示外观改变不影响集合。 简短自测 自测1 （2025·广东清远博爱学校高一首次质检·第9题）（多选）下列结论不正确的是（ ）。 A. B. C. D. 自测1答案 BC 解析 是实数，所以 ，A正确； 是无理数，不属于有理数集 ，B错误。 表示正整数集，不包含 ，C错误； 是整数，所以 ，D正确。 本题要求选择不正确的结论，因此选BC。 易错说明 逐项判定真伪，再按“不正确”选择；不能反选正确结论或只报个数。 简短自测（续） 自测2 （2025·河南洛阳高一上学期期中·第1题）已知集合 ，则用列举法表示 =（ ）。 A. B. C. D. 自测2答案 B 解析 由 且 ，可知 是非零整数，并且是 的整数因数。 因此 只能取 ，对应 ，所以 ，选B。 易错说明 时分母为0，不能代入分式；同时要保留负因数，不能遗漏 和 。 方法归纳 “分式为整数”先转化为整数因数筛选，再代回原式。四个候选值对应的分式值为 ，均为整数；因数已列全，所得集合无遗漏。 完成后的回查要点 自测1回查知识点5中的数集名称、范围和选择要求；自测2回查知识点7、知识点10中的整数条件、分母限制和负因数。改正时写出遗漏的条件及其影响，不只抄正确选项。 人教A版 · 解析版 1 学科网（北京）股份有限公司 $