微专题二 曲线运动中的平抛与圆周运动临界、极值问题（复习讲义）（全国通用） 2027年高考物理二轮复习讲练测

微专题二 曲线运动中的平抛与圆周运动临界、极值问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 平抛运动的分解与斜面约束 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 平抛运动的分解方法与时间约束 知识点2 平抛与斜面、圆弧的几何关联 知识点3 斜抛运动与临界、极值 知识单元02 水平面内圆周运动的动力学 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 向心力来源的判定与“供需”关系 知识点2 同轴传动与皮带传动的量值关系 知识点3 转弯的临界与离心趋势 知识单元03 竖直面内“绳—杆”模型的临界 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 绳、杆、管道在最高点的临界条件 知识点2 最高点与最低点的动力学联系 知识点3 拱形桥与外侧约束 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 力电、力磁中的曲线运动 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 电场中的类平抛与等效重力 知识点2 磁场中的圆周与洛伦兹力的冲量 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 平抛运动的分解 与斜面约束 分解是唯一入口：平抛的一切问题都归结为“水平匀速、竖直自由落体”，时间由竖直分运动唯一确定，与初速度无关。 几何给约束：题目一旦出现斜面、圆弧、球网，约束就来自几何关系而不是运动学公式。2026 全国卷（山顶抛石测声速）把平抛位移与声传播距离接起来，考的是“同一段长度、两个时间”；2026 湖北卷（向山沟投掷物资）要求落到圆弧上速率最小，落点由速度分解与圆的方程共同确定。 失分点：把“落地时间”与“水平射程”当作互不影响；斜面问题里混用位移偏角与速度偏角，忘了 。 考向预测：①平抛与斜面、圆弧的几何约束；②斜抛的对称性与射程极值；③平抛与声、光传播的时间差。 考法预测：①“高度定时间→时间定水平位移”两步走；②速度矢量三角形与位移矢量三角形的关系；③用二次函数、均值不等式求极值。 情境载体：抛石测距、排球过网、跳台滑雪、山沟投掷、水管喷水。 知识单元02 水平面内圆周 运动的动力学 向心力是效果力：题目从不直接给向心力，必须由受力分析“找出”谁提供。2026 重庆卷（珠帘上两球绕竖直轴转动）用整体法与隔离法分别求两段线的张力，把“向心力来源”与“连接体”合二为一。 同轴与同带：同轴转动角速度相等，皮带、齿轮传动线速度相等，这是选择题的固定套路。2025 福建卷（机器人转手绢）直接考同轴传动，再用 、 比较各点。 转弯的临界：火车、汽车转弯的临界由“静摩擦力达到最大”或“内外轨挤压为零”给出。2025 江西卷（锥形车轮过弯）把“不打滑、横移不超过 ”翻译成内外轮缘走过的弧长之比等于半径之比。 考向预测：①圆锥摆与“双球同轴”模型；②转弯的临界角速度与最大安全速率；③冰坑、碗壁等倾斜约束下的水平面圆周。 考法预测：①“找圆心、定半径、求合力”三步；②整体法求连接体中的张力；③把高度差、绳长等几何量翻译成半径。 情境载体：飞椅、转盘、汽车与火车转弯、冰坑内壁、圆锥摆。 知识单元03 竖直面内“绳—杆” 模型的临界 绳与杆只差一个临界：轻绳最高点必须 ，轻杆（管道）最高点只需 。2026 湖北卷（圆环内两球）用“最高点水平抛出、最低点速度最大”的对称性，把圆周运动与机械能守恒串成一条链。 一题两模型：2026 北京卷同一根绳先做竖直面摆动、再做水平面圆锥摆，直接比较两个周期，是“绳—杆模型”与“圆锥摆”的综合考法。 失分点：把轻杆当成轻绳、漏掉“杆可推可拉”；最高点只列向心力方程、忘了先判断能否到达；拱形桥上把支持力直接写成等于重力。 考向预测：①轻绳、轻杆、管道在最高点的临界速度；②最低点与最高点的拉力差；③拱形桥与凹形桥的超重、失重。 考法预测：①先判“能否通过最高点”，再列牛顿第二定律；②两点之间用机械能守恒连接；③“恰好”对应 或 。 情境载体：绳系小球、圆环轨道、过山车、拱形桥、管道内的球。 跨模块融合 力电、力磁中的 曲线运动 电场里的“类平抛”：把 换成 ，平抛的全部结论照搬。2025 江苏卷（两粒子斜向射入匀强电场）用“以 a 为参考系、b 做匀速直线运动”的巧解，把两体问题一步化。 磁场里的圆周：洛伦兹力提供向心力，、 与速率无关。2026 湖南卷（磁悬浮环形管道）进一步考洛伦兹力的冲量：水平分冲量改变动量方向，竖直分冲量抵消重力。 共同点：受力分析的顺序完全不变，变的只是“多了一个恒力”或“多了一个始终垂直于速度的力”。 考向预测：①电场中的类平抛与等效重力；②磁场中圆周的几何关系（弦长、圆心角、时间）；③洛伦兹力冲量与动量定理结合。 考法预测：①先判运动性质——匀变速曲线还是匀速圆周，再选公式；②类平抛用分解，圆周用找圆心；③冲量问题用动量定理替代逐点积分。 情境载体：平行板间的偏转、环形管道中的带电小球、质谱仪、速度选择器。 知识单元01 平抛运动的分解与斜面约束 知识点01 平抛运动的分解方法与时间约束 真·题·动·向 以无人机定点投放为载体，考“圆周提供线速度、平抛决定射程”的两步切 1．(多选)(2025·山东卷·10)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.ωmax＝ rad/s B.ωmax＝ rad/s C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 要·点·整·合 知识点01 平抛运动的分解方法与时间约束 物理量 水平方向 竖直方向 运动性质 匀速直线运动， 自由落体运动， 位移 速度 时间 由水平位移反求 由高度唯一确定： 两条常用推论：①速度偏角与位移偏角满足 （ 为速度与水平方向夹角， 为位移与水平方向夹角），即速度的反向延长线过水平位移的中点；②任意时刻速度增量 ，方向竖直向下，与初速度无关。 时间优先原则：题目给出高度就用 ，给出水平位移就用 ，两者都给出则相互校验。切忌一上来就套 而把 当成已知。 知识点02 平抛与斜面、圆弧的几何关联 情境 几何约束 常用结论 垂直打在斜面上 速度方向与斜面垂直 ， 落在斜面上 位移方向沿斜面 ， 落到圆弧（球）面上 落点同时在抛物线与圆上 联立圆方程，或利用“沿半径方向速度最小” 过网、过障碍 障碍点坐标已知 对水平、竖直分别列式，取“恰好”条件 斜面问题的判别口诀：“垂直打斜面”看速度方向，“落在斜面上”看位移方向。前者用速度分解，后者用位移分解，两句话弄反是这一题型最普遍的失分原因。 圆弧问题的处理：落点在圆上时，把圆的方程 与平抛方程联立；若要求“落到圆弧上速率最小”，则等价于“速度方向与圆弧相切”或“沿半径方向分速度为零”，用后者更快。 知识点03 斜抛运动与临界、极值 要素 表达式 说明 分解 ， 水平匀速、竖直匀变速 飞行时间 （同高度落地） 由竖直分运动决定 射程 时最大 对称性 同一高度处速率相等、方向对称 可用于“过网又压线”类问题 临界与极值的三种问法：①“恰好过某点”——把该点坐标代入轨迹方程取等号；②“速率最小”——速度方向与约束面平行（相切），或沿约束面法向的分速度为零；③“水平射程最大”——用 或配方法。 思·维·迁·移 考向01 斜面滚下平抛——时间与初速度的相互制约 2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，已知重力加速度为g。则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 考向02 斜抛过网与压线——几何约束下的三量联动 3．（2026·云南·高考真题）（多选）如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 考向03 抛体落到圆弧上——速率最小的几何含义 4．（2026·湖北·高考真题）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 知识单元02 水平面内圆周运动的动力学 知识点01 向心力来源的判定与“供需”关系 真·题·动·向 以珠帘上两球绕竖直轴转动为载体，考整体法与隔离法求张力 5．（2026·重庆·高考真题）马年春晚《喜雨》舞蹈用珠帘勾勒出“春雨万物生”的唯美景象。小明用如图所示的模型分析珠帘上珠子的运动，他用柔软轻质细线连接两个相同的小球、，当两小球以相同角速度绕竖直轴做匀速圆周运动时，细线①、②与竖直方向夹角分别为和（），若细线①、②上弹力大小分别为和，、的线速度大小分别为和，向心加速度大小分别为和，忽略空气阻力，则（     ） A．　　　B． C．　　　D． 要·点·整·合 知识点01 向心力来源的判定与“供需”关系 模型 向心力来源 动力学方程 圆锥摆 重力与绳拉力的合力 转盘上的物块 静摩擦力 汽车水平路面转弯 静摩擦力 火车弯道（外轨超高） 重力与支持力的合力 冰坑、碗壁内的圆周 重力与支持力的合力 ， 为水平圆半径 “找圆心、定半径、求合力”三步法：先确定圆周运动的圆心与轨道平面（水平面内的圆周，圆心一定在同一水平面上）；再写出半径（注意不是绳长、不是轨道半径）；最后把所有力沿“指向圆心”的方向合成，等于 或 。 供需关系：物体做圆周运动需要的向心力为 ，外界能提供的最大径向合力为 。当“供大于需”时物体做半径更小的运动（离心趋势的反面），当“供小于需”时物体做离心运动。 知识点02 同轴传动与皮带传动的量值关系 传动方式 相同的量 由此推得 同轴转动（共轴） 角速度 ，，均与半径成正比 皮带传动（不打滑） 边缘线速度 ，角速度与半径成反比 齿轮啮合 边缘线速度 摩擦传动 边缘线速度 同上，注意“打滑”时不再成立 判断口诀：先看两点的“连接方式”——同轴看角速度，皮带看线速度。再套 、 换算。绝大多数选项都能在这三个式子内解决。 知识点03 转弯的临界与离心趋势 水平路面转弯：静摩擦力提供向心力，，得最大安全速率 。速率超过该值时车辆做离心运动（向外滑）。 倾斜路面或外轨超高：由重力和支持力的合力提供向心力，，得设计速率 。当 时外轨受挤压，当 时内轨受挤压，当 时内外轨均不受挤压。 锥形车轮过弯：轮对向外横移 后，外轮接触半径变为 、内轮变为 ，不打滑意味着两轮走过的弧长之比等于半径之比，即 ，这是“几何约束 + 纯运动学”的典型组合。 思·维·迁·移 考向01 同轴传动——角速度相同后比线速度与加速度 6．(多选)(2025·福建卷·5)春晚上转手绢的机器人如图所示，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ＝OP，手绢做匀速圆周运动，则(　　) A.P、Q线速度之比为1∶　　　B.P、Q角速度之比为∶1 C.P、Q向心加速度之比为∶1　　　D.P点所受合外力总是指向圆心O 考向02 锥形车轮过弯——几何约束翻译成运动学关系 7．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 考向03 冰坑内壁的水平面圆周——支持力与重力的合力 8．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为　　　B．线速度大小为 C．向心加速度大小为　　　D．所受支持力大小为 知识单元03 竖直面内“绳—杆”模型的临界 知识点01 绳、杆、管道在最高点的临界条件 真·题·动·向 以圆环内两球为载体，考“最高点速度”与“最低点速度”的对称性 9．（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 要·点·整·合 知识点01 绳、杆、管道在最高点的临界条件 模型 最高点临界速度 最高点受力特点 轻绳（内轨） 重力与绳的拉力同向， 轻杆 杆可拉可推， 的方向由 与 的大小关系决定 管道（球在内壁） 同轻绳，内壁对球的作用力向下 管道（球在外壁） 同轻杆，可“贴着”外壁通过 拱形桥（外侧约束） 重力与支持力同向于圆心， 判别口诀：看约束是“只能推”还是“既能推也能拉”。只能单向施力的（绳、内轨、桥面）要求 或 ；能双向施力的（杆、管道、双轨）只要求 。 “恰好通过”的翻译：轻绳模型中“恰好通过最高点”即 ，此时 ；轻杆模型中“恰好通过”即 ，此时杆对球的弹力等于重力、方向向上。 知识点02 最高点与最低点的动力学联系 两点连线用机械能守恒：从最高点到最低点，，据此把两点的速度联系起来，再分别写牛顿第二定律。 绳拉力的差值：轻绳模型中，最低点 ，最高点 ，两式相减并代入机械能守恒，得 ——这个 6 倍关系与半径、速率都无关，是选择题的“秒杀”结论。 知识点03 拱形桥与外侧约束 位置 动力学方程 现象 拱形桥最高点 ， 越大 越小， 时“完全失重” 凹形桥最低点 ， 超重， 越大压力越大 过山车圆环内 同轻绳模型 最高点必须满足 注意“合力”的方向：拱形桥上汽车若同时有切向加速度（牵引力与阻力不平衡），合力是“径向向心力”与“切向合力”的矢量和，不能只写向心力一项。 思·维·迁·移 考向01 轻绳摆球三问——最低点拉力、小角简谐的冲量、圆锥摆的周期比 10．（2026·北京·高考真题）长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期，并与（1）b中小球运动的周期比较大小。 考向02 直杆上的滑块与弹性绳——杆的弹力与绳的弹力分开算 11．(多选)(2025·陕晋青宁卷·10)如图，与水平面成53°夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为1 kg的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为1.6 m且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足F＝kx。k＝10 N/m，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8。则滑块(　　) A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为1.6 N B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C.从释放到静止的位移大小为0.64 m D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为2.56 J 跨模块融合 力电、力磁中的曲线运动 知识点01 电场中的类平抛与等效重力 真·题·动·向 以环形管道中的带电小球为载体，考洛伦兹力的分解与冲量 12．（2026·湖南·高考真题）（多选）某小组设计了一磁悬浮装置。如图，环形通电线圈固定在水平面上，其上方固定一半径为的环形细管道，管道任意处磁场方向与竖直方向夹角为。质量为的带正电小球在环形管道中以某一速率做匀速圆周运动，此时小球与管道间无弹力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动 B．小球做圆周运动的周期为 C．小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为 D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，则小球与管道间的弹力大小为 要·点·整·合 知识点01 电场中的类平抛与等效重力 对应量 重力场中的平抛 匀强电场中的类平抛 恒力 重力 电场力 （忽略重力时） 加速度 ，竖直向下 ，沿场强方向 分解 水平匀速、竖直自由落体 沿初速度方向匀速、沿场强方向匀加速 时间 “等效重力”技巧：当重力与电场力同时存在时，把二者合成一个恒力 ，其方向即“等效竖直向下”，。此后所有平抛、圆周的结论只需把 换成 。 两体问题的巧解：两个粒子受同样的电场力时，以其中一个为参考系，另一个做匀速直线运动——2025 江苏卷的第 (2) 问用这一句话就能替代整段运动学计算。 知识点02 磁场中的圆周与洛伦兹力的冲量 基本关系：洛伦兹力提供向心力，，得 、。周期与速率无关，这是“同一磁场中不同速率粒子运动时间相同”的根源。 几何关系：弦长 ，圆心角 。求运动时间时优先算圆心角，再用 。 洛伦兹力的冲量：洛伦兹力大小恒定但方向时刻变化，不能直接乘时间。用动量定理求合冲量，或把洛伦兹力分解为沿速度方向与垂直速度方向两个分量分别积分。2026 湖南卷中竖直分量是恒力（大小 ），水平分量在半个周期内提供了 的动量变化。 思·维·迁·移 考向01 电场加速＋磁场偏转——由比荷判定同位素能否分离 13．（2026·甘肃·高考真题）如图，一同位素电磁分离器主要有加速电场I、匀强磁场II及接收器III。从点进入电场的碳12和碳13两种同价阳离子经电场加速后垂直射入磁场，偏转后均被接收器接收。忽略离子的初速度及重力，则碳12和碳13离子（     ） A．离开电场时的动量之比为 B．在电场中的加速度之比为 C．到达接收器的动能之比为 D．在磁场中运动的轨道半径之比为 考向02 类平抛的判据——由轨迹反推比荷与时间 14．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷　　　B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等　　　D．到达K所用时间之比为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题二 曲线运动中的平抛与圆周运动临界、极值问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 平抛运动的分解与斜面约束 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 平抛运动的分解方法与时间约束 知识点2 平抛与斜面、圆弧的几何关联 知识点3 斜抛运动与临界、极值 知识单元02 水平面内圆周运动的动力学 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 向心力来源的判定与“供需”关系 知识点2 同轴传动与皮带传动的量值关系 知识点3 转弯的临界与离心趋势 知识单元03 竖直面内“绳—杆”模型的临界 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 绳、杆、管道在最高点的临界条件 知识点2 最高点与最低点的动力学联系 知识点3 拱形桥与外侧约束 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 力电、力磁中的曲线运动 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 电场中的类平抛与等效重力 知识点2 磁场中的圆周与洛伦兹力的冲量 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 平抛运动的分解 与斜面约束 分解是唯一入口：平抛的一切问题都归结为“水平匀速、竖直自由落体”，时间由竖直分运动唯一确定，与初速度无关。 几何给约束：题目一旦出现斜面、圆弧、球网，约束就来自几何关系而不是运动学公式。2026 全国卷（山顶抛石测声速）把平抛位移与声传播距离接起来，考的是“同一段长度、两个时间”；2026 湖北卷（向山沟投掷物资）要求落到圆弧上速率最小，落点由速度分解与圆的方程共同确定。 失分点：把“落地时间”与“水平射程”当作互不影响；斜面问题里混用位移偏角与速度偏角，忘了 。 考向预测：①平抛与斜面、圆弧的几何约束；②斜抛的对称性与射程极值；③平抛与声、光传播的时间差。 考法预测：①“高度定时间→时间定水平位移”两步走；②速度矢量三角形与位移矢量三角形的关系；③用二次函数、均值不等式求极值。 情境载体：抛石测距、排球过网、跳台滑雪、山沟投掷、水管喷水。 知识单元02 水平面内圆周 运动的动力学 向心力是效果力：题目从不直接给向心力，必须由受力分析“找出”谁提供。2026 重庆卷（珠帘上两球绕竖直轴转动）用整体法与隔离法分别求两段线的张力，把“向心力来源”与“连接体”合二为一。 同轴与同带：同轴转动角速度相等，皮带、齿轮传动线速度相等，这是选择题的固定套路。2025 福建卷（机器人转手绢）直接考同轴传动，再用 、 比较各点。 转弯的临界：火车、汽车转弯的临界由“静摩擦力达到最大”或“内外轨挤压为零”给出。2025 江西卷（锥形车轮过弯）把“不打滑、横移不超过 ”翻译成内外轮缘走过的弧长之比等于半径之比。 考向预测：①圆锥摆与“双球同轴”模型；②转弯的临界角速度与最大安全速率；③冰坑、碗壁等倾斜约束下的水平面圆周。 考法预测：①“找圆心、定半径、求合力”三步；②整体法求连接体中的张力；③把高度差、绳长等几何量翻译成半径。 情境载体：飞椅、转盘、汽车与火车转弯、冰坑内壁、圆锥摆。 知识单元03 竖直面内“绳—杆” 模型的临界 绳与杆只差一个临界：轻绳最高点必须 ，轻杆（管道）最高点只需 。2026 湖北卷（圆环内两球）用“最高点水平抛出、最低点速度最大”的对称性，把圆周运动与机械能守恒串成一条链。 一题两模型：2026 北京卷同一根绳先做竖直面摆动、再做水平面圆锥摆，直接比较两个周期，是“绳—杆模型”与“圆锥摆”的综合考法。 失分点：把轻杆当成轻绳、漏掉“杆可推可拉”；最高点只列向心力方程、忘了先判断能否到达；拱形桥上把支持力直接写成等于重力。 考向预测：①轻绳、轻杆、管道在最高点的临界速度；②最低点与最高点的拉力差；③拱形桥与凹形桥的超重、失重。 考法预测：①先判“能否通过最高点”，再列牛顿第二定律；②两点之间用机械能守恒连接；③“恰好”对应 或 。 情境载体：绳系小球、圆环轨道、过山车、拱形桥、管道内的球。 跨模块融合 力电、力磁中的 曲线运动 电场里的“类平抛”：把 换成 ，平抛的全部结论照搬。2025 江苏卷（两粒子斜向射入匀强电场）用“以 a 为参考系、b 做匀速直线运动”的巧解，把两体问题一步化。 磁场里的圆周：洛伦兹力提供向心力，、 与速率无关。2026 湖南卷（磁悬浮环形管道）进一步考洛伦兹力的冲量：水平分冲量改变动量方向，竖直分冲量抵消重力。 共同点：受力分析的顺序完全不变，变的只是“多了一个恒力”或“多了一个始终垂直于速度的力”。 考向预测：①电场中的类平抛与等效重力；②磁场中圆周的几何关系（弦长、圆心角、时间）；③洛伦兹力冲量与动量定理结合。 考法预测：①先判运动性质——匀变速曲线还是匀速圆周，再选公式；②类平抛用分解，圆周用找圆心；③冲量问题用动量定理替代逐点积分。 情境载体：平行板间的偏转、环形管道中的带电小球、质谱仪、速度选择器。 知识单元01 平抛运动的分解与斜面约束 知识点01 平抛运动的分解方法与时间约束 真·题·动·向 以无人机定点投放为载体，考“圆周提供线速度、平抛决定射程”的两步切 1．(多选)(2025·山东卷·10)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.ωmax＝ rad/s B.ωmax＝ rad/s C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 思路点拨： 获取信息：无人机在离地 m 处绕 做半径 m 的匀速圆周运动，目标区是地面上的圆，半径 m。物品相对无人机无初速度释放，说明物品的初速度就是无人机在该点的线速度 ，方向沿圆周切线，之后做平抛。 解题步骤：①竖直方向定时间：，得 s；②水平射程必须落在目标圆内，最远只能沿径向多走 m，即 m；③由 m/s 得 rad/s，故 A 错、B 对；④从 A 到 B 转过 ， s s ，故无人机到 B 点时物品已落地，C 对、D 错。 方法提炼：圆周与平抛“拼接”的题只有两个接口——圆周贡献初速度的大小与方向，平抛贡献竖直方向的独立计时。先锁死时间，再谈射程，顺序反了必错。 易错提醒：把射程写成 （错用了目标区半径）、或忘记“释放瞬间物品已具有无人机的线速度”而当成初速为零，都会把 算错一个比例因子。 【答案】　BC 【解析】 　物品从无人机上释放后做平抛运动，竖直方向H＝gt2，可得t＝2 s，要使物品落点在目标区域内，水平方向满足x＝＝vt，最大角速度ωmax＝，联立解得ωmax＝ rad/s，故A错误，B正确；无人机从A点到B点的时间t'＝ s，由于t'>t，可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 要·点·整·合 知识点01 平抛运动的分解方法与时间约束 物理量 水平方向 竖直方向 运动性质 匀速直线运动， 自由落体运动， 位移 速度 时间 由水平位移反求 由高度唯一确定： 两条常用推论：①速度偏角与位移偏角满足 （ 为速度与水平方向夹角， 为位移与水平方向夹角），即速度的反向延长线过水平位移的中点；②任意时刻速度增量 ，方向竖直向下，与初速度无关。 时间优先原则：题目给出高度就用 ，给出水平位移就用 ，两者都给出则相互校验。切忌一上来就套 而把 当成已知。 知识点02 平抛与斜面、圆弧的几何关联 情境 几何约束 常用结论 垂直打在斜面上 速度方向与斜面垂直 ， 落在斜面上 位移方向沿斜面 ， 落到圆弧（球）面上 落点同时在抛物线与圆上 联立圆方程，或利用“沿半径方向速度最小” 过网、过障碍 障碍点坐标已知 对水平、竖直分别列式，取“恰好”条件 斜面问题的判别口诀：“垂直打斜面”看速度方向，“落在斜面上”看位移方向。前者用速度分解，后者用位移分解，两句话弄反是这一题型最普遍的失分原因。 圆弧问题的处理：落点在圆上时，把圆的方程 与平抛方程联立；若要求“落到圆弧上速率最小”，则等价于“速度方向与圆弧相切”或“沿半径方向分速度为零”，用后者更快。 知识点03 斜抛运动与临界、极值 要素 表达式 说明 分解 ， 水平匀速、竖直匀变速 飞行时间 （同高度落地） 由竖直分运动决定 射程 时最大 对称性 同一高度处速率相等、方向对称 可用于“过网又压线”类问题 临界与极值的三种问法：①“恰好过某点”——把该点坐标代入轨迹方程取等号；②“速率最小”——速度方向与约束面平行（相切），或沿约束面法向的分速度为零；③“水平射程最大”——用 或配方法。 思·维·迁·移 考向01 斜面滚下平抛——时间与初速度的相互制约 2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，已知重力加速度为g。则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【解析】 AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 考向02 斜抛过网与压线——几何约束下的三量联动 3．（2026·云南·高考真题）（多选）如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 【答案】AC 【解析】 方法一 根据题意可知，运动员某次以击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 可得 A．保持v、x、h不变，减小θ，则球竖直向下的初速度大于零，水平方向的分速度小于，竖直方向根据 可知 水平方向 可知排球一定下网，故A正确； B．设球抛出时与水平方向的夹角为（），落地时速度为，画出速度的矢量三角形，如图所示 在矢量三角形ABC中，面积 水平位移 联立可得 即三角形面积最大时，水平位移最大，又 根据动能定理可知落地时速度为定值，也为定值，当即时，有最大值，即末速度方向与初速度方向垂直时，水平位移有最大值，显然当球水平抛出时，末速度方向与初速度方向夹角为小于90°，根据数学知识可知，保持v、x、h不变，增大θ，排球的水平射程先增大后减小，可知排球可能会出界，故B错误； C．保持θ不变，增大x同时减小h，根据可知球抛出到网顶点的时间变小，要能过网，则需要增大初速度，设恰好能过网的初速度为，设网高为，球到网顶点竖直方向的速度变小，过网后，竖直方向根据可知球运动的时间比增大x同时减小h前长，水平方向的位移比增大x同时减小h前大，故一定会出界，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则球竖直向上向的初速度不为零，根据可知时间变大，故D错误。 故选AC。 方法二 根据题意可知，运动员某次以θ = 90°击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 以击球点a为原点建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向则排球轨迹方程为 排球贴近网顶飞过，则 解得 设对方底线位于（L，－H）处排球恰好落在对方底线上，则 解得 A．保持v、x、h不变，减小θ，即θ<90°，此时初速度有向下的分量。将速度分解有vx=vsinθ，vy=－vcosθ 在网顶x = x处，排球的高度为 利用，可得 θ = 90°击球时网顶高度为－h。有 因此y <－h排球在网顶处的高度低于网顶，一定下网，故A正确； B．保持v、x、h不变，增大θ，即θ>90°此时，初速度有向上的分量。令α = θ－90°（0° < α < 90°），则vx = vcosα，vy = vsinα 落地时间t满足 解得 水平射程 θ = 90°击球时射程 对S在α = 0°处求导 说明从θ = 90°开始增大，射程最初会增加，落点将超出底线。因此增大θ并非“一定不会出界”，而是可能出界，故B错误； C．保持θ不变（即仍为90°平抛），增大x同时减小h，平抛轨迹仍为 改变后的网的水平距离为x′ > x，竖直高度差为h′ < h，若排球不下网，需满足在x′处y′ ≥－h′即 解得 根据，且x′ > x，则有 因此不可能成立。即在增大x、减小h′的条件下，排球必定下网，“不下网”的情况根本不会发生，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则θ>90°，初速度有竖直向上的分量 设增大后的速度为，竖直初速度。落地时间为t，由 解得 基准平抛时 因为，显然有 解得t > t0 故飞行时间一定增大，不可能与基准时间相同，故D错误。 故选AC。 考向03 抛体落到圆弧上——速率最小的几何含义 4．（2026·湖北·高考真题）（多选）某山沟竖直截面图如图所示，山沟的一侧竖直，另一侧是以 点为圆心、 为半径的圆弧，圆弧最高点与 点等高。救援队从 点以大小为的初速度向该山沟投掷救援物资，其中 是重力加速度大小。物资可视为质点，不计空气阻力。为避免损坏救援物资，要求物资落到圆弧上的速率最小，则物资（     ） A．在空中运动的时间为 B．与水平方向成 角斜上抛 C．抛出点与落点的高度差为 D．落到圆弧上的最小速率为 【答案】AD 【解析】 ACD．设落点与O点的竖直高度为h，水平位移为，初速度与水平方向的夹角为，将初速度沿水平和竖直方向分解，可得， 同时有 联立可得 设落到圆弧上的速度为，根据机械能守恒 解得 故可知越小，v越小，故当时，h取最小值，落到圆弧上的速度最小； 解得，，，故AD正确，C错误； B．根据前面分析，当，时， 代入解得，，故B错误。 故选AD。 知识单元02 水平面内圆周运动的动力学 知识点01 向心力来源的判定与“供需”关系 真·题·动·向 以珠帘上两球绕竖直轴转动为载体，考整体法与隔离法求张力 5．（2026·重庆·高考真题）马年春晚《喜雨》舞蹈用珠帘勾勒出“春雨万物生”的唯美景象。小明用如图所示的模型分析珠帘上珠子的运动，他用柔软轻质细线连接两个相同的小球、，当两小球以相同角速度绕竖直轴做匀速圆周运动时，细线①、②与竖直方向夹角分别为和（），若细线①、②上弹力大小分别为和，、的线速度大小分别为和，向心加速度大小分别为和，忽略空气阻力，则（     ） A．　　　B． C．　　　D． 思路点拨： 获取信息：两个相同的小球用柔软轻线串联，绕竖直轴以相同角速度转动，两段线与竖直方向夹角 ；比较两球的线速度、向心加速度和两段线的张力。 解题步骤：①同轴转动角速度相等， 的半径比 大，由 、 得 、，A、B 均错；②对下方球竖直方向平衡得 ，对两球整体得 。 关键比较：由 得 ，所以 ；再由水平方向 且 得 ，故 ，D 正确。 易错提醒：两段线的张力不相等，也不是简单的 2 倍关系——上段线要“拉住下面整个系统”，所以一定是 ，但角度不同又使它达不到 。整体法与隔离法各用一次，缺一不可。 【答案】D 【解析】 A．匀速圆周运动线速度满足，的圆周运动半径是的半径加上线②的水平投影，因此，可得，A错误； B．向心加速度满足，因，故，B错误； CD．对下方小球，竖直方向合力为0， 得 对两球整体受力分析，竖直方向合力为0， 得 已知，则，因此 代入得 由两球水平方向向心力关系 由此可知 同时，故 最终得，C错误，D正确。 故选D。 要·点·整·合 知识点01 向心力来源的判定与“供需”关系 模型 向心力来源 动力学方程 圆锥摆 重力与绳拉力的合力 转盘上的物块 静摩擦力 汽车水平路面转弯 静摩擦力 火车弯道（外轨超高） 重力与支持力的合力 冰坑、碗壁内的圆周 重力与支持力的合力 ， 为水平圆半径 “找圆心、定半径、求合力”三步法：先确定圆周运动的圆心与轨道平面（水平面内的圆周，圆心一定在同一水平面上）；再写出半径（注意不是绳长、不是轨道半径）；最后把所有力沿“指向圆心”的方向合成，等于 或 。 供需关系：物体做圆周运动需要的向心力为 ，外界能提供的最大径向合力为 。当“供大于需”时物体做半径更小的运动（离心趋势的反面），当“供小于需”时物体做离心运动。 知识点02 同轴传动与皮带传动的量值关系 传动方式 相同的量 由此推得 同轴转动（共轴） 角速度 ，，均与半径成正比 皮带传动（不打滑） 边缘线速度 ，角速度与半径成反比 齿轮啮合 边缘线速度 摩擦传动 边缘线速度 同上，注意“打滑”时不再成立 判断口诀：先看两点的“连接方式”——同轴看角速度，皮带看线速度。再套 、 换算。绝大多数选项都能在这三个式子内解决。 知识点03 转弯的临界与离心趋势 水平路面转弯：静摩擦力提供向心力，，得最大安全速率 。速率超过该值时车辆做离心运动（向外滑）。 倾斜路面或外轨超高：由重力和支持力的合力提供向心力，，得设计速率 。当 时外轨受挤压，当 时内轨受挤压，当 时内外轨均不受挤压。 锥形车轮过弯：轮对向外横移 后，外轮接触半径变为 、内轮变为 ，不打滑意味着两轮走过的弧长之比等于半径之比，即 ，这是“几何约束 + 纯运动学”的典型组合。 思·维·迁·移 考向01 同轴传动——角速度相同后比线速度与加速度 6．(多选)(2025·福建卷·5)春晚上转手绢的机器人如图所示，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ＝OP，手绢做匀速圆周运动，则(　　) A.P、Q线速度之比为1∶　　　B.P、Q角速度之比为∶1 C.P、Q向心加速度之比为∶1　　　D.P点所受合外力总是指向圆心O 【答案】　AD 【解析】 　手绢做匀速圆周运动，由题图可知P、Q属于同轴转动，故角速度相等，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q线速度之比vP∶vQ＝OP∶OQ＝1∶，故A正确；由a＝ω2r可知，P、Q向心加速度之比aP∶aQ＝OP∶OQ＝1∶，故C错误；做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，合外力总是指向圆心，D正确。 考向02 锥形车轮过弯——几何约束翻译成运动学关系 7．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】C 【解析】 根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 考向03 冰坑内壁的水平面圆周——支持力与重力的合力 8．（2025·广东·高考真题）（多选）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为　　　B．线速度大小为 C．向心加速度大小为　　　D．所受支持力大小为 【答案】AC 【解析】 A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 知识单元03 竖直面内“绳—杆”模型的临界 知识点01 绳、杆、管道在最高点的临界条件 真·题·动·向 以圆环内两球为载体，考“最高点速度”与“最低点速度”的对称性 9．（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 思路点拨： 获取信息：甲球从圆环最高点以 水平向右运动，乙球从最低点以某一速度向左运动；甲第一次到最低点时，乙恰好第一次到最高点。圆环内壁光滑，两球都在内侧运动。 解题步骤：①由“同时到达、一上一下”的对称性，两球所用时间相等，故周期相等，B 正确；②对甲用机械能守恒：，得最低点 ；乙从最低点到最高点同样用机械能守恒，得乙的初速度 ，A 错。 关键判断：C 项看似“对称就对心”，但两球速率随时间的变化规律相反（甲加速、乙减速），除了最高点与最低点两个位置，连线都不过圆心，故 C 错。 D 项的算法：分别算出两球在最高点、最低点对圆环的压力（ 与 、 与 ），这两个位置的合力都不为零；其余位置两力不共线，合力也不可能为零，故 D 正确。 【答案】BD 【解析】 A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于，设乙球在最低处时速度为，由机械能守恒得 解得，故A错误； B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B正确； CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从增大到，乙从最低点到最高点，速度大小从减小到，从初始时刻取一很短时间，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C错误； D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有， 解得， 甲球在最低点和最高点时，分别有， 解得， 根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最低点对圆环的作用力大小为；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为，故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零，故D正确。 故选BD。 要·点·整·合 知识点01 绳、杆、管道在最高点的临界条件 模型 最高点临界速度 最高点受力特点 轻绳（内轨） 重力与绳的拉力同向， 轻杆 杆可拉可推， 的方向由 与 的大小关系决定 管道（球在内壁） 同轻绳，内壁对球的作用力向下 管道（球在外壁） 同轻杆，可“贴着”外壁通过 拱形桥（外侧约束） 重力与支持力同向于圆心， 判别口诀：看约束是“只能推”还是“既能推也能拉”。只能单向施力的（绳、内轨、桥面）要求 或 ；能双向施力的（杆、管道、双轨）只要求 。 “恰好通过”的翻译：轻绳模型中“恰好通过最高点”即 ，此时 ；轻杆模型中“恰好通过”即 ，此时杆对球的弹力等于重力、方向向上。 知识点02 最高点与最低点的动力学联系 两点连线用机械能守恒：从最高点到最低点，，据此把两点的速度联系起来，再分别写牛顿第二定律。 绳拉力的差值：轻绳模型中，最低点 ，最高点 ，两式相减并代入机械能守恒，得 ——这个 6 倍关系与半径、速率都无关，是选择题的“秒杀”结论。 知识点03 拱形桥与外侧约束 位置 动力学方程 现象 拱形桥最高点 ， 越大 越小， 时“完全失重” 凹形桥最低点 ， 超重， 越大压力越大 过山车圆环内 同轻绳模型 最高点必须满足 注意“合力”的方向：拱形桥上汽车若同时有切向加速度（牵引力与阻力不平衡），合力是“径向向心力”与“切向合力”的矢量和，不能只写向心力一项。 思·维·迁·移 考向01 轻绳摆球三问——最低点拉力、小角简谐的冲量、圆锥摆的周期比 10．（2026·北京·高考真题）长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 (1)如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 (2)如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期，并与（1）b中小球运动的周期比较大小。 【答案】(1)a．；b． (2)，小于（1）b中小球运动的周期 【解析】 （1）a．小球从静止释放到最低点的过程中，根据机械能守恒可得 解得 在最低点，由牛顿第二定律可得 解得 b．若较小，释放后小球做简谐运动；根据单摆周期公式可得 根据动量定理可得 联立解得一个周期内绳对小球拉力的冲量大小为 （2）使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可得 其中 解得小球运动的周期为 而（1）b中小球运动的周期为 由于，可得 考向02 直杆上的滑块与弹性绳——杆的弹力与绳的弹力分开算 11．(多选)(2025·陕晋青宁卷·10)如图，与水平面成53°夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为1 kg的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为1.6 m且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足F＝kx。k＝10 N/m，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8。则滑块(　　) A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为1.6 N B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C.从释放到静止的位移大小为0.64 m D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为2.56 J 【答案】　AC 【解析】 　设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为θ时，对滑块进行受力分析，如图所示， 由平衡条件有Fcos θ＝mgcos 53°＋FN，由胡克定律结合几何关系有F＝k，联立解得FN＝k·PQ－mgcos 53°＝10 N，可知滑块与杆之间的弹力不随位置的变化而变化，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为Ff＝μFN＝1.6 N，故A正确；下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误；设滑块从释放到静止运动的位移为x，静止时弹性轻绳与PQ间夹角为θ1，由平衡条件有mgsin 53°＝Ff＋k·sin θ1＝Ff＋kPQtan θ1，由几何关系可得x＝PQ·tan θ1，联立解得x＝0.64 m，故C正确；从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为W克f，由能量守恒定律有mgsin 53°·x＝k(PQ2＋x2－PQ2)＋W克f，解得W克f＝3.072 J，故D错误。 跨模块融合 力电、力磁中的曲线运动 知识点01 电场中的类平抛与等效重力 真·题·动·向 以环形管道中的带电小球为载体，考洛伦兹力的分解与冲量 12．（2026·湖南·高考真题）（多选）某小组设计了一磁悬浮装置。如图，环形通电线圈固定在水平面上，其上方固定一半径为的环形细管道，管道任意处磁场方向与竖直方向夹角为。质量为的带正电小球在环形管道中以某一速率做匀速圆周运动，此时小球与管道间无弹力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动 B．小球做圆周运动的周期为 C．小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为 D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，则小球与管道间的弹力大小为 思路点拨： 获取信息：带正电小球在环形细管道中做匀速圆周运动，管道处磁场与竖直方向成 ，小球与管道之间恰好无弹力——“无弹力”就是本题的“恰好”条件。 解题步骤：①无弹力意味着洛伦兹力的两个分力各司其职：竖直分力平衡重力 ，水平分力提供向心力 ，联立得 ；②周期 ，B 错。 冲量的算法：半个周期内速度反向，水平方向动量变化 由洛伦兹力的水平分冲量提供；竖直方向洛伦兹力分量为恒力 ，冲量为 ；两者矢量合成得 ，C 错。 D 项的思路：速率加倍后洛伦兹力加倍，竖直方向多出的力由管壁承担，水平方向不足的向心力也由管壁补足，两个分量分别是 与 ，合成得 。 【答案】AD 【解析】 A．根据题意可知，小球所受洛伦兹力的水平分力提供小球做圆周运动的向心力，由左手定则可知，从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动，故A正确； B．设磁感应强度为，小球的速度为，此时小球与管道间无弹力，竖直方向上有 水平方向上有 解得 则小球做圆周运动的周期为，故B错误； C．根据题意，水平方向上，由动量定理有 竖直方向有 则小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为，故C错误； D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，竖直方向上有 水平方向上有 小球与管道间的弹力大小 联立解得，故D正确。 故选AD。 要·点·整·合 知识点01 电场中的类平抛与等效重力 对应量 重力场中的平抛 匀强电场中的类平抛 恒力 重力 电场力 （忽略重力时） 加速度 ，竖直向下 ，沿场强方向 分解 水平匀速、竖直自由落体 沿初速度方向匀速、沿场强方向匀加速 时间 “等效重力”技巧：当重力与电场力同时存在时，把二者合成一个恒力 ，其方向即“等效竖直向下”，。此后所有平抛、圆周的结论只需把 换成 。 两体问题的巧解：两个粒子受同样的电场力时，以其中一个为参考系，另一个做匀速直线运动——2025 江苏卷的第 (2) 问用这一句话就能替代整段运动学计算。 知识点02 磁场中的圆周与洛伦兹力的冲量 基本关系：洛伦兹力提供向心力，，得 、。周期与速率无关，这是“同一磁场中不同速率粒子运动时间相同”的根源。 几何关系：弦长 ，圆心角 。求运动时间时优先算圆心角，再用 。 洛伦兹力的冲量：洛伦兹力大小恒定但方向时刻变化，不能直接乘时间。用动量定理求合冲量，或把洛伦兹力分解为沿速度方向与垂直速度方向两个分量分别积分。2026 湖南卷中竖直分量是恒力（大小 ），水平分量在半个周期内提供了 的动量变化。 思·维·迁·移 考向01 电场加速＋磁场偏转——由比荷判定同位素能否分离 13．（2026·甘肃·高考真题）如图，一同位素电磁分离器主要有加速电场I、匀强磁场II及接收器III。从点进入电场的碳12和碳13两种同价阳离子经电场加速后垂直射入磁场，偏转后均被接收器接收。忽略离子的初速度及重力，则碳12和碳13离子（     ） A．离开电场时的动量之比为 B．在电场中的加速度之比为 C．到达接收器的动能之比为 D．在磁场中运动的轨道半径之比为 【答案】D 【解析】 A．粒子在经过电场过程中，根据动能定理可得 可得 则粒子离开电场时的动量为 则碳12和碳13离子离开电场时的动量之比为，故A错误； B．粒子在电场中，根据牛顿第二定律可得 可知碳12和碳13离子在电场中的加速度之比为，故B错误； C．由于洛伦兹力对粒子不做功，所以粒子到达接收器的动能等于粒子离开电场时的动能，根据 可知碳12和碳13离子到达接收器的动能之比为，故C错误； D．在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得 可得 则碳12和碳13离子在磁场中运动的轨道半径之比为，故D正确。 故选D。 考向02 类平抛的判据——由轨迹反推比荷与时间 14．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷　　　B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等　　　D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【解析】 A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $