微专题八 力学三大观点分析含弹簧及多过程问题（复习讲义）（全国通用） 2027年高考物理二轮复习讲练测

微专题八 力学三大观点分析含弹簧及多过程问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 弹簧模型：弹力、形变与瞬时性 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹簧弹力不能突变 知识点2 “弹簧最短、最长”的临界判据 知识点3 弹簧与细绳、轻杆的区别 知识单元02 弹性势能与机械能守恒 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹性势能的“半个 ” 知识点2 系统机械能守恒的成立条件 知识点3 能量在“动能—势能—内能”间的分配 知识单元03 多过程：分段建模与临界分析 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 多过程的分段“刀口” 知识点2 图像法处理多过程 知识点3 动量与能量的跨段衔接 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 弹簧与曲面、圆轨道的组合 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 曲面上的“水平动量守恒” 知识点2 弹簧与重力场、传感器 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 弹簧模型： 弹力、形变与瞬时性 弹簧的弹力不能突变：剪断细线、撤去外力的瞬间，弹簧形变来不及改变，弹力保持原值；而细绳的拉力可以突变。竖直弹簧上叠放 A、B 两物体（剪断细线瞬间）就是考这一条——剪断后 、 一起加速，弹力仍是原来的 。 “弹簧最短、最长”是动量与能量同时取极值的时刻：两物体速度相等时弹簧形变最大。2025 北京朝阳模拟（ 撞上 左端的弹簧）在“弹簧压缩至最短”时问速度、动量、能量与加速度，四个选项对应四条判据。2024 江苏卷（ 形滑板与物体、左右各连弹簧与细绳）则把“剪断细绳后系统的运动”完整走了一遍。 失分点：把“弹力为零”与“速度最大”混为一谈（速度最大在平衡位置，此时弹力与重力平衡）；认为“弹簧最短时加速度为零”；忘记弹簧既能推也能拉。 考向预测：①弹力的瞬时性；②弹簧最短、最长时的临界量；③弹簧与绳、杆的对比。 考法预测：①剪断瞬间的受力分析；②速度相等→形变最大；③由 求形变量。 情境载体：竖直弹簧上的物体、滑块与弹簧、缓冲装置、弹簧振子。 知识单元02 弹性势能与 机械能守恒 弹性势能 只与形变量有关：形变相同则势能相同，与“被压缩”还是“被拉伸”无关。2024 北京卷（小物体把弹簧压缩后释放、进入半圆轨道）先用“弹簧势能转化为动能”求速度，再用“能否过最高点”的临界条件判断，是“能量＋临界”的经典组合。 守恒条件要看“系统”：只有重力和弹力做功时，系统（物体＋弹簧＋地球）机械能守恒；若物块与传送带、地面有摩擦，机械能就不守恒。2025 辽宁沈阳调研（斜面节能运输系统、集装箱与弹簧缓冲）把“动能定理＋摩擦生热＋弹性势能”捏在一起考。 失分点：把“小球的机械能守恒”与“系统的机械能守恒”混用；忘记弹簧的势能也要计入；用 时 取错（应取“形变量”而不是“长度”）。 考向预测：①弹性势能与动能的转化；②系统机械能守恒的判断；③能量分配的定量计算。 考法预测：① ；②判断“哪些力做功”；③分阶段列能量方程。 情境载体：弹簧发射、缓冲器、跳板、节能运输系统。 知识单元03 多过程： 分段建模与临界分析 多过程的分段“刀口”是受力或运动性质的突变点：弹簧恢复原长、物体离开弹簧、进入另一轨道、速度反向，都是分段的信号。2025 江西赣州模拟（、 两物块与弹簧，给出 图像）要求由图像读出“弹簧何时最长、何时恢复原长”，再分段算速度。 图像法能把多过程“摊平”：、、、 各类图像，斜率和面积各自对应物理量。2025 湖北十一校联考（、 与弹簧，给 图）就是让考生由“加速度的折点”读出“弹簧形变的反向时刻”。 失分点：把“弹簧恢复原长”当成“速度为零”；分段时速度不衔接（忘记用前一段的末速度作后一段的初速度）；忽略“弹簧还在推/拉”这一事实。 考向预测：①多过程的阶段划分；②图像与过程的对应；③跨阶段的动量与能量衔接。 考法预测：①按“离开弹簧”“进入轨道”分段；②由图像折点定位阶段；③前段末速度＝后段初速度。 情境载体：弹簧发射＋圆轨道、弹簧＋斜面、弹簧＋碰撞。 跨模块融合 弹簧与曲面、 圆轨道的组合 曲面问题要判“水平动量是否守恒”：曲面槽放在光滑水平面上时，系统水平方向不受外力，水平动量守恒；但竖直方向不守恒。2025 辽宁沈阳模拟（滑块曲面 + 小球冲上）要求比较“小球能否越过最高点”“槽的最大速度”等量。 弹簧把“力”与“能”连起来：2025 湘豫名校联考（圆弧槽与滑块，）中，滑块下滑→槽被推开→弹簧（或曲面）储能，全过程只有重力与弹力做功，系统机械能守恒。 失分点：认为“曲面槽不动”（实际会被推开）；把“小球相对槽的速度”当成“对地速度”；忘记水平动量守恒只在“无水平外力”时成立。 考向预测：①曲面槽上的水平动量守恒；②弹簧与圆轨道的组合；③临界速度的判断。 考法预测：①水平动量守恒＋机械能守恒联立；②“能否过最高点”用 ；③相对速度与对地速度的换算。 情境载体：滑块曲面、圆弧槽、弹簧发射器、缓冲与储能装置。 知识单元01 弹簧模型：弹力、形变与瞬时性 知识点01 弹簧弹力不能突变 真·题·动·向 以“U 形滑板、物体与弹簧、细绳”为载体，考剪断细绳后系统的运动 1．(2024·江苏卷，9)如图所示，在水平面上静止有一个U形滑板A，A的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹簧连接在滑板A的左端，右侧用一根细绳连接在滑板A的右端，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则(　　) A.弹簧恢复原长时A的动能最大　　　B.弹簧压缩至最短时A的动量最大 C.整个系统动量变大　　　D.整个系统机械能变大 思路点拨： 获取信息： 形滑板 上放着物体 ， 的左侧用轻弹簧连在 的左端、右侧用细绳连在 的右端，整个系统静止在水平面上。弹簧被压缩（或拉伸）着，细绳把它“拉住”。 剪断细绳的瞬间：弹簧的形变来不及改变，弹力保持原值；而细绳的拉力瞬间消失。所以剪断前后“受力变化的只有细绳那一个力”。 分阶段：①剪断瞬间， 受弹力作用开始加速， 受反作用也开始运动；②弹簧恢复原长后，、 各自匀速（水平面光滑时）；③若弹簧被拉伸，则二者被“拉回”，做往复运动。 判据：弹簧恢复原长时弹力为零，此时 、 的速度达到极值（一个最大、一个最小）；弹簧形变最大时二者速度相等。这两条是解这类题的关键。 方法提炼：弹簧类问题的“三句话”——形变不能突变、弹力随形变线性变化、形变最大时速度相等。把这三条记住，一半的选项可以直接判断。 易错提醒：不要把“剪断细绳”等同于“弹簧也消失”。剪断的是细绳，弹簧的弹力在瞬间仍然存在，这正是本题的考点。 【答案】　A 【解析】 　对A、弹簧与B组成的系统受力分析，该系统所受合外力为零，则其动量守恒，又运动过程中，只有弹簧弹力做功，所以系统的机械能守恒，C、D错误;对系统由动量守恒定律可知mAvA=mBvB，由机械能守恒定律有Ep=mA+mB，联立两式可知当弹簧恢复至原长，弹簧的弹性势能完全转化为A、B的动能时，A的动能最大，动量也最大，A正确，B错误。 要·点·整·合 知识点01 弹簧弹力不能突变 器材 能否突变 原因 弹簧 不能 形变需要时间，弹力由形变决定 细绳 能 只能拉，拉力可瞬间消失 轻杆 能 既能拉又能推，力可瞬间改变 橡皮绳 近似不能 与弹簧类似 “瞬时性问题”的解法固定：剪断（或撤去）某个力的瞬间，先判断“哪些力能突变、哪些不能”，再把不能突变的力按原值代入，重新求合力与加速度。 弹簧的弹力由形变决定：， 是形变量（压缩量或伸长量）。只要形变没变，弹力就不变；这与“物体是否运动”无关。 知识点02 “弹簧最短、最长”的临界判据 状态 速度关系 能量关系 弹簧压缩到最短 两物体速度相等 动能损失最大，弹性势能最大 弹簧伸长到最长 两物体速度相等 同上 弹簧恢复原长 弹力为零 弹性势能为零，动能之和最大 弹簧形变最大 加速度最大（反向） 速度变化率最大 “速度相等”是形变最大的充要条件：两物体有相对速度时弹簧还在继续形变，一旦相对速度为零，形变就达到极值。这一条对所有“弹簧连接的双体”都成立。 形状最大处加速度不为零：弹簧最短时弹力最大，加速度也最大，只是速度为零（相对速度为零）。把“速度为零”与“加速度为零”搞混，是这一类题最常见的错误。 知识点03 弹簧与细绳、轻杆的区别 模型 力的方向 能否突变 典型情境 弹簧 沿轴线，可拉可压 不能 缓冲、发射、振子 细绳 沿绳，只能拉 能 悬挂、连接、约束 轻杆 沿杆，可拉可压 能 支撑、转动 橡皮绳 沿绳，只能拉 近似不能 蹦极、拉伸 “能不能突变”决定了剪断瞬间的加速度：剪断细绳时，绳的拉力立刻为零；若把细绳换成弹簧，则弹力仍然存在，加速度会完全不同。题目常在这两种模型之间“换一个词”来设陷阱。 轻杆的力可以“转向”：杆既能拉也能推，某些情况下甚至不沿杆方向（有铰链时沿杆）。判断杆的受力方向要靠“受力分析＋平衡条件”，不能凭“沿杆”想当然。 思·维·迁·移 考向01 弹簧压缩到最短——速度、动量、能量与加速度四问 2．(2025·北京朝阳模拟)如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量均为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时(　　) A.P的动量为0　　　B.Q的动量达到最大值 C.P、Q系统总动量小于mv　　　D.弹簧储存的弹性势能为mv2 【答案】　D 【解析】 　当弹簧被压缩至最短时，两物体速度相同，P、Q系统所受外力为零，整个压缩过程系统的动量守恒，有mv=2mv共，所以P的动量为p=mv共=mv，故A错误;弹簧压缩至最短后，Q的速度将继续变大，当弹簧恢复原长时，Q的动量达到最大值，故B错误;P、Q系统动量守恒，总动量为p总=mv，故C错误;根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv=2mv共，mv2=×2m+Ep，解得Ep=mv2，故D正确。 考向02 靠墙的弹簧——推与拉的转换与动量守恒的适用 3．(多选)(2025·四川泸州模拟)如图所示，质量均为m的A、B两物体用一轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，A紧靠光滑的墙。现用外力推B将弹簧压缩某一长度并处于静止状态，然后撤去外力，在弹簧恢复原长时B物体的速度为v。弹簧始终处于弹性限度内，则在撤去外力以后的运动过程中，下列说法正确的是(　　) A.物体A、B和轻弹簧组成的系统机械能守恒 B.弹簧再次被压缩到最短时具有的弹性势能为mv2 C.墙壁对A物体的弹力做的功为mv2 D.墙壁对A物体的弹力产生的冲量大小为mv 【答案】　AD 【解析】 　物体A、B和轻弹簧组成的系统，只有弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，选项A正确;弹簧再次被压缩到最短时，由动量守恒定律有mv=2mv'，根据能量守恒定律得，此时弹簧具有的弹性势能为Ep=mv2－×2mv'2=mv2，选项B错误;墙壁对A物体的弹力没有位移，则做的功为零，选项C错误;对A、B系统由动量定理得，墙壁对A物体的弹力产生的冲量大小为I=mv，选项D正确。 考向03 剪断细线瞬间——弹力不变、加速度突变 4.如图所示，质量为2 kg的物体A静止于竖直的轻弹簧上，质量为3 kg的物体B用细线悬挂，A、B间相互接触但无压力，重力加速度g=10 m/s2。某时刻将细线剪断，则细线剪断瞬间(　　) A.B对A的压力大小为12 N　　　B.弹簧弹力大小为50 N C.B的加速度大小为10 m/s2　　　D.A的加速度为零 【答案】　A 【解析】 　原来A处于平衡状态，有F弹=mAg=20 N，细线剪断瞬间，弹簧的弹力不会发生突变，故B错误;细线剪断瞬间，A、B一起加速下降，由于原来A平衡，则整体受到的合力等于B的重力，由牛顿第二定律可得mBg=(mA+mB)a，解得A、B共同的加速度a=6 m/s2，故C、D错误;对B由牛顿第二定律可得mBg－FN=mBa，解得B受到的支持力为FN=12 N，由牛顿第三定律可知，B对A的压力大小为12 N，故A正确。 知识单元02 弹性势能与机械能守恒 知识点01 弹性势能的“半个 kx²” 真·题·动·向 以“弹簧两端连接两物块、给其一初速度”为载体，考振动中的动量与能量分配 5．(2025·北京昌平高三月考)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2=2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1~t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2~t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 思路点拨： 获取信息：两物块 、 用轻弹簧连接，静止在光滑水平面上，给 一个瞬时速度 m/s。此后系统在水平方向不受外力，动量守恒、机械能守恒。 这是一次“弹簧振子”过程： 压缩弹簧、弹簧再推 减速、推 加速；当两者速度相等时弹簧压缩量最大、弹性势能最大；弹簧恢复原长后继续伸长，如此往复。 两条守恒联立：动量守恒给出“共同速度”（形变最大时），机械能守恒给出“弹性势能的最大值”。这两个量是全部选项的计算基础。 判据：①形变最大时二者速度相等、弹性势能最大、系统动能最小；②弹簧恢复原长时弹性势能为零、系统动能恢复为初值。 方法提炼：弹簧振子类问题的“万能两式”——（形变最大时）、。记住这两个式子，绝大多数选项都能算。 易错提醒：弹簧恢复原长时，两物块的速度不一定等于初始值——要看质量关系。等质量时才是“交换速度”，质量不等时要重新解。 【答案】　B 【解析】 　以物块A的初速度方向为正方向，t1时刻A、B共速，由动量守恒定律得m1v1=(m1+m2)v共，将v1=3 m/s，v共=1 m/s代入解得m1∶m2=1∶2，故A错误;根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确;在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1~t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误;t2~t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。 要·点·整·合 知识点01 弹性势能的“半个 kx²” 量 表达式 说明 弹簧弹力 为形变量 弹性势能 与形变量的平方成正比 弹力做功 与路径无关，只看初末形变 平均弹力 线性变力才有 的两种用法：①由形变求势能；②由势能求形变。注意 是“形变量”，不是弹簧的总长度——这是最常见的代入错误。 线性变力的功可以用平均力算：弹簧从形变 到 ，，与“势能差”的算法结果一致。 知识点02 系统机械能守恒的成立条件 系统 守恒条件 说明 物体＋弹簧 只有重力和弹力做功 弹性势能计入 物体＋地球 只有重力做功 不含弹簧 物体＋弹簧＋地球 只有重力和弹力做功 最常用 有摩擦的系统 不守恒 用能量守恒（含内能） “系统”选得越大，越容易守恒：单个小球的机械能往往不守恒（弹簧或槽对它做功），但把弹簧（或槽）纳入系统后就守恒了。做题时先问“谁对谁做功”。 2024 北京卷的滑轨题：弹簧把物体推出后，物体沿半圆轨道上升，“弹簧势能→动能→重力势能”一路转化，系统机械能守恒；若轨道有摩擦，就要把内能也算进能量方程。 知识点03 能量在“动能—势能—内能”间的分配 过程 能量转化 方程 弹簧推动物体 弹性势能→动能 物体压缩弹簧 动能→弹性势能 同上（反向） 滑块在粗糙面滑动 动能→内能 多过程组合 逐段转化 分段列能量方程 能量账要“逐段记”：每个阶段只关心“该阶段内哪些能量在变”，不要把全程的能量混在一起。分段列出后相加，才不会漏项。 “内能”往往被漏掉：只要有相对滑动或有摩擦，就要把 计入。2025 辽宁沈阳调研的节能运输系统正是用“重力势能→动能→内能＋弹性势能”的完整账。 思·维·迁·移 考向01 弹簧压缩后释放——进入半圆轨道的临界条件 6．(2024·北京卷，7)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是(　　) A.物体在C点所受合力为零 B.物体在C点的速度为零 C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 【答案】　C 【解析】 　设物体恰好到达C点的速度大小为v，则在C点重力完全提供向心力，有mg=m=ma向，解得v=，向心加速度a向=g，A、B错误，C正确;物体从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。 考向02 光滑管内的弹簧——由形变与高度反解弹性势能 7．如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2，不计空气阻力，则(　　) A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0　　　B.小球运动的最大速度等于2 C.弹簧的劲度系数为　　　D.小球运动中最大加速度为g 【答案】　A 【解析】 　小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，有Epmax=3mgx0，故A正确;根据选项A和弹簧弹性势能的表达式有3mgx0=k，解得k=，故C错误;当小球的重力与弹簧弹力大小相等时，小球有最大速度，则有mg=kx，再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒，有mg(x+2x0)=m+kx2，解得最大速度为vmax=，故B错误;小球运动到最低点时加速度最大，有kx0－mg=ma，解得a=5g，故D错误。 考向03 斜面节能运输系统——摩擦生热与弹性势能 8．(多选)(2025·辽宁沈阳市调研)如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角θ=37°，质量为M的集装箱与轨道间的动摩擦因数为0.5，集装箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入箱中，之后集装箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与箱之间无相对滑动)，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后集装箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。下列说法正确的是(　　) A.集装箱与弹簧没有接触时，上滑与下滑的加速度大小之比为5∶2 B.集装箱与货物的质量之比为1∶4 C.若集装箱与货物的质量之比为1∶1，则集装箱不能回到轨道顶端 D.若集装箱与货物的质量之比为1∶6，则集装箱不能回到轨道顶端 【答案】　BC 【解析】 　根据牛顿第二定律，上滑时，有Mgsin θ+μMgcos θ=Ma1，下滑时，有(M+m)gsin θ－μ(M+m)gcos θ=(M+m)a2，所以=，故A错误;设顶端到弹簧压缩到最短位置间的距离为x，集装箱从顶端滑至压缩弹簧到最短，再到返回顶端，根据动能定理，有mgxsin θ－μ(M+m)gcos θ·x－μMgcos θ·x=0，可得=，故B正确;若集装箱与货物的质量之比为1∶1，则mgxsin θ－μ(M+m)gcos θ·x－μMgcos θ·x<0，说明集装箱不能回到轨道顶端，故C正确;若集装箱与货物的质量之比为1∶6，则mgxsin θ－μ(M+m)gcos θ·x－μMgcos θ·x>0，说明集装箱能回到轨道顶端，故D错误。 知识单元03 多过程：分段建模与临界分析 知识点01 多过程的分段“刀口” 真·题·动·向 以“A、B 两物块与弹簧的 U-t 图像”为载体，考由图像还原多过程 9．(2025·江西赣州模拟)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2 kg、6 kg，B的左端拴接着一劲度系数为 200/3 N/m的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，则(　　) A.在0~2t0内B物块先加速后减速 B.整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒 C.v0=2 m/s D.物块A在t0时刻时速度最小 思路点拨： 获取信息：、 两物块质量分别为 2 kg 与 6 kg，用劲度系数 N/m 的轻弹簧连接，放在光滑水平面上。图乙给出的是弹性势能（或某能量）随时间变化的曲线。 图像给的是“过程的形状”：曲线先增大后减小、再增大再减小，说明弹簧在“压缩—恢复—伸长—恢复”之间往复，这正是弹簧振子的特征。 由图定临界时刻：弹性势能最大处就是“二者速度相等”的时刻，弹性势能为零处就是“弹簧恢复原长”的时刻。把这两类时刻标出来，过程就分段了。 逐项判断：凡涉及“某时刻的速度”，用“动量守恒＋能量守恒”在相邻两个临界点之间列式；凡涉及“弹簧形变”，用 反解 。 方法提炼：多过程题的“三定”——定阶段（按临界点切）、定状态（每段的初末速度）、定规律（动量还是能量）。三步走完，方程自然列得出来。 易错提醒：弹簧恢复原长时弹性势能为零，但两物块的动能之和达到最大，此时它们的速度不相等。把“势能为零”与“速度相等”混为一谈，是本题最容易失分的地方。 【答案】　C 【解析】 　在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即B受到的弹力始终向右，所以B物块始终做加速运动，故A错误;整个过程中，A、B两物块和弹簧构成的系统机械能守恒，故B错误;由题图乙可知，在t0时刻，弹簧被压缩到最短，此时A、B共速，弹簧的形变量为x=0.4 m－0.1 m=0.3 m，根据A、B及弹簧组成的系统动量守恒有m1v0=(m1+m2)v，根据A、B及弹簧构成的系统机械能守恒有m1=(m1+m2)v2+kx2，联立解得v0=2 m/s，故C正确;在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即A受到弹力始终向左，所以A物块始终做减速运动，则物块A在2t0时刻时速度最小，故D错误。 要·点·整·合 知识点01 多过程的分段“刀口” 刀口 物理含义 分段依据 弹簧恢复原长 弹力为零 此后弹力反向 物体离开弹簧 弹力消失 此后只有重力或摩擦 速度反向 运动方向改变 摩擦力方向改变 进入另一轨道 受力规律改变 换一套方程 “离开弹簧”是常见的刀口：物体与弹簧分离后不再受弹力，此后只受重力、支持力与摩擦，问题退化为普通的动力学或能量问题。 分段时速度必须衔接：前一段的末速度就是后一段的初速度（碰撞除外）。很多错误来自“每一段都从零开始算”。 知识点02 图像法处理多过程 图像 斜率 面积 特征点 加速度 位移 速度相等、速度为零 —— 速度变化 加速度反向 —— —— 极大值＝形变最大 （弹性势能） —— —— 极小值＝恢复原长 图像题先问“纵轴是什么”：同一个形状，纵轴是 、 还是 ，结论完全不同。2025 湖北十一校联考给的是 图，折点对应“弹簧形变反向”，而不是“速度为零”。 由图像求“极值时刻”最有效： 的极大值、 的交点、 的零点，都对应明确的物理状态。把这些时刻标出来，多过程就变成了若干个“两点之间”的问题。 知识点03 动量与能量的跨段衔接 衔接处 守恒量 不守恒量 弹簧作用过程 动量、机械能 —— 碰撞瞬间 动量 动能（非弹性） 有摩擦的滑行 能量（含内能） 动量（有外力） 多个弹簧串联 动量、机械能 —— “哪个量跨段不变”要先判断：光滑水平面上弹簧作用，动量与机械能都不变；一旦有摩擦或碰撞，就只剩其中一条能用。判断错了，方程就列错了。 跨段衔接的“桥”是速度：前一段末速度作为后一段初速度，这是把多过程“串起来”的唯一纽带。把每个衔接点的速度算准，整道题就通了。 思·维·迁·移 考向01 平行杆上的竖直弹簧——给初速度后的往复运动 10．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球m2一个水平向右的初速度v0，两杆足够长，则在此后的运动过程中(　　) A.m1、m2组成的系统动量不守恒　　　B.m1、m2组成的系统机械能守恒 C.弹簧最长时，其弹性势能为　　　D.m1的最大速度是 【答案】　D 【解析】 　m1、m2组成的系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，选项A错误;m1、m2及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B错误;弹簧最长时，两球共速，则由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v，根据能量守恒定律得此时弹簧弹性势能为Ep=m2(m1+m2)v2=，选项C错误;当弹簧再次回到原长时m1的速度最大，则m2v0=m1v1+m2v2，m2=m1+m2，解得v1=，选项D正确。 考向02 圆弧槽与滑块——曲面上的水平动量守恒 11．(2025·湘豫名校高三联考)如图，质量为M，半径为R的圆弧槽，置于光滑水平面上。将一可视为质点的滑块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且M=2m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒 B.若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为 C.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为 D.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为 【答案】　C 【解析】 　若圆弧面光滑，圆弧槽与滑块组成的系统在水平方向动量守恒，故A错误;若圆弧面光滑，设滑块运动至水平面时速度大小为v1，圆弧槽速度大小为v2，由机械能守恒定律得mgR=m+M，在水平方向上动量守恒有mv1=Mv2，又M=2m，联立解得v1=2，v2=，故B错误;若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，设滑块与圆弧槽相对于地面沿水平方向的位移分别为x1和x2，由水平方向动量守恒有mx1=Mx2，x1+x2=R，解得x1=R，x2=，故C正确;由于滑块还发生了竖直位移R，故滑块的位移大小为=R，故D错误。 考向03 变力作用下的弹簧系统——由 a-t 图反读形变 12.(2025·湖北十一校联考)物块P、Q中间用一根轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，物块P的质量为2 kg，如图甲所示。开始时两物块均静止，弹簧处于原长，t=0时对物块P施加水平向右的恒力F，t=1 s时撤去，在0~1 s内两物块的加速度随时间变化的情况如图乙所示。整个运动过程中以下说法正确的是(　　) A.t=1 s时，物块Q的速度大小为0.4 m/s B.恒力F大小为1.6 N C.物块Q的质量为0.5 kg D.撤去推力后，物块P、Q最终将一起做匀加速直线运动 【答案】　C 【解析】 　若0~1 s内Q的加速度均匀增大，则t=1 s时Q的速度大小等于vQ=×1×0.8 m/s=0.4 m/s。由图可知实际Q的图像与坐标轴围成的面积大于Q的加速度均匀增大时图像与坐标轴围成的面积，故t=1 s时Q的速度大小大于0.4 m/s，A错误;刚施加力F瞬间，对物块P有F=mPa0=2×1 N=2 N，即恒力大小为2 N，B错误;t=1 s时，对物块P、Q整体有F=(mP十mQ)a1，解得mQ=0.5 kg，C正确;撤去外力，整体所受合力为零，P、Q间靠弹簧相互作用，一个加速则另一个必然减速，D错误。 跨模块融合 弹簧与曲面、圆轨道的组合 知识点01 曲面上的“水平动量守恒” 真·题·动·向 以“滑块曲面与小球”为载体，考水平动量守恒与机械能守恒的联立 13．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图甲，一滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块，且小球能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2，作出某段时间内v1－v2图像如图乙所示，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.滑块与小球在相互作用的过程中，水平方向动量守恒 B.当滑块的速度为0.5v0时，小球运动至最高点 C.小球与滑块的质量比为1∶2 D.小球的初速度大小可能为 思路点拨： 获取信息：滑块放在光滑水平面上，其曲面是半径为 的四分之一圆弧，最低点切线水平。小球以水平初速度 从最低点冲上曲面。 受力分析定“守恒什么”：竖直方向受重力与地面支持力，合力不为零，竖直动量不守恒；水平方向不受外力，水平动量守恒。同时只有重力与弹力（支持力）做功，系统机械能守恒。 两个临界状态：①小球沿曲面上升到最高点时，小球与滑块水平速度相同（否则还会继续相对滑动）；②小球返回最低点时，相当于一次“弹性碰撞”，可用动量与能量联立求解。 逐项判断：凡问“能否越过”“上升到多高”，用“最高点共速＋机械能守恒”；凡问“滑块的最大速度”，用“小球回到最低点时的动量与能量联立”。 方法提炼：曲面槽类问题的“两式”——水平方向 （最高点共速）、机械能 。这两式与“完全非弹性碰撞”的形式完全相同，只是“损失的动能”变成了“重力势能”。 易错提醒：不要用“小球相对曲面的速度”代入动量式——动量守恒用的是对地速度。另外，小球上升过程中曲面会被推开，认为“槽不动”是本题的经典错误。 【答案】　AC 【解析】 　小球和滑块组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，A正确;设小球的质量为m，初速度为v，在水平方向上由动量守恒定律得mv0=mv1+Mv2，化简得v1=v0－v2，结合题图乙可得==2，即=，C正确;小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度v，在水平方向上由动量守恒定律得mv0=(m+M)v，解得v=，B错误;小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，由机械能守恒定律得m=(m+M)v2+mgh，其中h>R，解得v0>，则小球的初速度大小不可能为，D错误。 要·点·整·合 知识点01 曲面上的“水平动量守恒” 状态 速度关系 能量关系 小球上升到最高点 两者水平速度相同 动能减少量＝重力势能增加量 小球返回最低点 相当于弹性碰撞 动量守恒、机械能守恒 小球离开曲面 两者各自匀速 —— 槽固定不动 不满足水平动量守恒 只有小球机械能守恒 “槽固不固定”决定用哪套方程：槽固定时只有小球的机械能守恒；槽可动时，水平动量守恒＋系统机械能守恒，两条一起用。题目若说“置于光滑水平面上”，就必须按后者处理。 最高点的判据是“水平共速”：小球在曲面上继续上升的条件是“水平方向还有相对速度”，一旦水平速度相同，就没有相对滑动，小球到达最高点。这与“弹簧形变最大时速度相等”是同一个道理。 知识点02 弹簧与重力场、传感器 装置 受力特点 处理方法 竖直弹簧＋物体 弹力与重力竞争 平衡位置、加速度分析 弹簧＋压力传感器 读数即弹力 由读数变化判断超重失重 弹簧＋圆轨道 弹力提供向心力 临界速度 弹簧＋斜面 重力分力参与 与弹力比较 传感器把“力”变成“图像”：箱子内弹簧与传感器这类题，压力传感器的读数就是弹簧弹力，读数的变化直接反映“超重还是失重”。由 就能反解加速度。 竖直弹簧的平衡位置很重要：物体在平衡位置时弹力等于重力、加速度为零、速度最大。偏离平衡位置后做简谐运动，位移、速度、加速度都在周期性变化。 思·维·迁·移 考向01 箱内弹簧与压力传感器——由读数判断超重失重 14.如图所示，某同学抱着箱子做蹲起运动研究超重和失重现象，在箱内的顶部和底部均安装有压力传感器。两质量均为2 kg的物块用轻弹簧连接分别抵住传感器。当该同学抱着箱子静止时，箱子顶部的压力传感器示数F1=10 N。重力加速度g取10 m/s2。不计空气阻力，则(　　) A.箱子静止时，底部压力传感器示数F2=30 N B.当F1'=5 N时，箱子处于失重状态，人可能抱着箱子下蹲 C.当F1″=15 N时，箱子处于超重状态，人可能抱着箱子向上站起 D.若箱子保持竖直从高处自由释放，运动过程中两个压力传感器的示数均为30 N 【答案】　D 【解析】 　当箱子静止时，对两物块和弹簧组成的系统受力分析可知2mg+F1=F2，得底部压力传感器示数F2=50 N，对上面物块有mg+F1=F弹，得F弹=30 N，故A错误;当F1'=5 N时，对上面物块有mg+F1'<F弹，所以加速度方向向上，箱子处于超重状态，故B错误;当F1″=15 N时，mg+F1″>F弹，加速度方向向下，箱子处于失重状态，故C错误;当箱子自由下落时处于完全失重状态，两个物块所受合力均为mg，弹簧长度没变，所以两个压力传感器的示数均为F弹=30 N，故D正确。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题八 力学三大观点分析含弹簧及多过程问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 弹簧模型：弹力、形变与瞬时性 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹簧弹力不能突变 知识点2 “弹簧最短、最长”的临界判据 知识点3 弹簧与细绳、轻杆的区别 知识单元02 弹性势能与机械能守恒 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹性势能的“半个 ” 知识点2 系统机械能守恒的成立条件 知识点3 能量在“动能—势能—内能”间的分配 知识单元03 多过程：分段建模与临界分析 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 多过程的分段“刀口” 知识点2 图像法处理多过程 知识点3 动量与能量的跨段衔接 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 弹簧与曲面、圆轨道的组合 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 曲面上的“水平动量守恒” 知识点2 弹簧与重力场、传感器 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 弹簧模型： 弹力、形变与瞬时性 弹簧的弹力不能突变：剪断细线、撤去外力的瞬间，弹簧形变来不及改变，弹力保持原值；而细绳的拉力可以突变。竖直弹簧上叠放 A、B 两物体（剪断细线瞬间）就是考这一条——剪断后 、 一起加速，弹力仍是原来的 。 “弹簧最短、最长”是动量与能量同时取极值的时刻：两物体速度相等时弹簧形变最大。2025 北京朝阳模拟（ 撞上 左端的弹簧）在“弹簧压缩至最短”时问速度、动量、能量与加速度，四个选项对应四条判据。2024 江苏卷（ 形滑板与物体、左右各连弹簧与细绳）则把“剪断细绳后系统的运动”完整走了一遍。 失分点：把“弹力为零”与“速度最大”混为一谈（速度最大在平衡位置，此时弹力与重力平衡）；认为“弹簧最短时加速度为零”；忘记弹簧既能推也能拉。 考向预测：①弹力的瞬时性；②弹簧最短、最长时的临界量；③弹簧与绳、杆的对比。 考法预测：①剪断瞬间的受力分析；②速度相等→形变最大；③由 求形变量。 情境载体：竖直弹簧上的物体、滑块与弹簧、缓冲装置、弹簧振子。 知识单元02 弹性势能与 机械能守恒 弹性势能 只与形变量有关：形变相同则势能相同，与“被压缩”还是“被拉伸”无关。2024 北京卷（小物体把弹簧压缩后释放、进入半圆轨道）先用“弹簧势能转化为动能”求速度，再用“能否过最高点”的临界条件判断，是“能量＋临界”的经典组合。 守恒条件要看“系统”：只有重力和弹力做功时，系统（物体＋弹簧＋地球）机械能守恒；若物块与传送带、地面有摩擦，机械能就不守恒。2025 辽宁沈阳调研（斜面节能运输系统、集装箱与弹簧缓冲）把“动能定理＋摩擦生热＋弹性势能”捏在一起考。 失分点：把“小球的机械能守恒”与“系统的机械能守恒”混用；忘记弹簧的势能也要计入；用 时 取错（应取“形变量”而不是“长度”）。 考向预测：①弹性势能与动能的转化；②系统机械能守恒的判断；③能量分配的定量计算。 考法预测：① ；②判断“哪些力做功”；③分阶段列能量方程。 情境载体：弹簧发射、缓冲器、跳板、节能运输系统。 知识单元03 多过程： 分段建模与临界分析 多过程的分段“刀口”是受力或运动性质的突变点：弹簧恢复原长、物体离开弹簧、进入另一轨道、速度反向，都是分段的信号。2025 江西赣州模拟（、 两物块与弹簧，给出 图像）要求由图像读出“弹簧何时最长、何时恢复原长”，再分段算速度。 图像法能把多过程“摊平”：、、、 各类图像，斜率和面积各自对应物理量。2025 湖北十一校联考（、 与弹簧，给 图）就是让考生由“加速度的折点”读出“弹簧形变的反向时刻”。 失分点：把“弹簧恢复原长”当成“速度为零”；分段时速度不衔接（忘记用前一段的末速度作后一段的初速度）；忽略“弹簧还在推/拉”这一事实。 考向预测：①多过程的阶段划分；②图像与过程的对应；③跨阶段的动量与能量衔接。 考法预测：①按“离开弹簧”“进入轨道”分段；②由图像折点定位阶段；③前段末速度＝后段初速度。 情境载体：弹簧发射＋圆轨道、弹簧＋斜面、弹簧＋碰撞。 跨模块融合 弹簧与曲面、 圆轨道的组合 曲面问题要判“水平动量是否守恒”：曲面槽放在光滑水平面上时，系统水平方向不受外力，水平动量守恒；但竖直方向不守恒。2025 辽宁沈阳模拟（滑块曲面 + 小球冲上）要求比较“小球能否越过最高点”“槽的最大速度”等量。 弹簧把“力”与“能”连起来：2025 湘豫名校联考（圆弧槽与滑块，）中，滑块下滑→槽被推开→弹簧（或曲面）储能，全过程只有重力与弹力做功，系统机械能守恒。 失分点：认为“曲面槽不动”（实际会被推开）；把“小球相对槽的速度”当成“对地速度”；忘记水平动量守恒只在“无水平外力”时成立。 考向预测：①曲面槽上的水平动量守恒；②弹簧与圆轨道的组合；③临界速度的判断。 考法预测：①水平动量守恒＋机械能守恒联立；②“能否过最高点”用 ；③相对速度与对地速度的换算。 情境载体：滑块曲面、圆弧槽、弹簧发射器、缓冲与储能装置。 知识单元01 弹簧模型：弹力、形变与瞬时性 知识点01 弹簧弹力不能突变 真·题·动·向 以“U 形滑板、物体与弹簧、细绳”为载体，考剪断细绳后系统的运动 1．(2024·江苏卷，9)如图所示，在水平面上静止有一个U形滑板A，A的上表面有一个静止的物体B，左侧用轻弹簧连接在滑板A的左端，右侧用一根细绳连接在滑板A的右端，开始时弹簧处于拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则(　　) A.弹簧恢复原长时A的动能最大　　　B.弹簧压缩至最短时A的动量最大 C.整个系统动量变大　　　D.整个系统机械能变大 要·点·整·合 知识点01 弹簧弹力不能突变 器材 能否突变 原因 弹簧 不能 形变需要时间，弹力由形变决定 细绳 能 只能拉，拉力可瞬间消失 轻杆 能 既能拉又能推，力可瞬间改变 橡皮绳 近似不能 与弹簧类似 “瞬时性问题”的解法固定：剪断（或撤去）某个力的瞬间，先判断“哪些力能突变、哪些不能”，再把不能突变的力按原值代入，重新求合力与加速度。 弹簧的弹力由形变决定：， 是形变量（压缩量或伸长量）。只要形变没变，弹力就不变；这与“物体是否运动”无关。 知识点02 “弹簧最短、最长”的临界判据 状态 速度关系 能量关系 弹簧压缩到最短 两物体速度相等 动能损失最大，弹性势能最大 弹簧伸长到最长 两物体速度相等 同上 弹簧恢复原长 弹力为零 弹性势能为零，动能之和最大 弹簧形变最大 加速度最大（反向） 速度变化率最大 “速度相等”是形变最大的充要条件：两物体有相对速度时弹簧还在继续形变，一旦相对速度为零，形变就达到极值。这一条对所有“弹簧连接的双体”都成立。 形状最大处加速度不为零：弹簧最短时弹力最大，加速度也最大，只是速度为零（相对速度为零）。把“速度为零”与“加速度为零”搞混，是这一类题最常见的错误。 知识点03 弹簧与细绳、轻杆的区别 模型 力的方向 能否突变 典型情境 弹簧 沿轴线，可拉可压 不能 缓冲、发射、振子 细绳 沿绳，只能拉 能 悬挂、连接、约束 轻杆 沿杆，可拉可压 能 支撑、转动 橡皮绳 沿绳，只能拉 近似不能 蹦极、拉伸 “能不能突变”决定了剪断瞬间的加速度：剪断细绳时，绳的拉力立刻为零；若把细绳换成弹簧，则弹力仍然存在，加速度会完全不同。题目常在这两种模型之间“换一个词”来设陷阱。 轻杆的力可以“转向”：杆既能拉也能推，某些情况下甚至不沿杆方向（有铰链时沿杆）。判断杆的受力方向要靠“受力分析＋平衡条件”，不能凭“沿杆”想当然。 思·维·迁·移 考向01 弹簧压缩到最短——速度、动量、能量与加速度四问 2．(2025·北京朝阳模拟)如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量均为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时(　　) A.P的动量为0　　　B.Q的动量达到最大值 C.P、Q系统总动量小于mv　　　D.弹簧储存的弹性势能为mv2 考向02 靠墙的弹簧——推与拉的转换与动量守恒的适用 3．(多选)(2025·四川泸州模拟)如图所示，质量均为m的A、B两物体用一轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，A紧靠光滑的墙。现用外力推B将弹簧压缩某一长度并处于静止状态，然后撤去外力，在弹簧恢复原长时B物体的速度为v。弹簧始终处于弹性限度内，则在撤去外力以后的运动过程中，下列说法正确的是(　　) A.物体A、B和轻弹簧组成的系统机械能守恒 B.弹簧再次被压缩到最短时具有的弹性势能为mv2 C.墙壁对A物体的弹力做的功为mv2 D.墙壁对A物体的弹力产生的冲量大小为mv 考向03 剪断细线瞬间——弹力不变、加速度突变 4.如图所示，质量为2 kg的物体A静止于竖直的轻弹簧上，质量为3 kg的物体B用细线悬挂，A、B间相互接触但无压力，重力加速度g=10 m/s2。某时刻将细线剪断，则细线剪断瞬间(　　) A.B对A的压力大小为12 N　　　B.弹簧弹力大小为50 N C.B的加速度大小为10 m/s2　　　D.A的加速度为零 知识单元02 弹性势能与机械能守恒 知识点01 弹性势能的“半个 kx²” 真·题·动·向 以“弹簧两端连接两物块、给其一初速度”为载体，考振动中的动量与能量分配 5．(2025·北京昌平高三月考)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2=2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1~t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2~t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 要·点·整·合 知识点01 弹性势能的“半个 kx²” 量 表达式 说明 弹簧弹力 为形变量 弹性势能 与形变量的平方成正比 弹力做功 与路径无关，只看初末形变 平均弹力 线性变力才有 的两种用法：①由形变求势能；②由势能求形变。注意 是“形变量”，不是弹簧的总长度——这是最常见的代入错误。 线性变力的功可以用平均力算：弹簧从形变 到 ，，与“势能差”的算法结果一致。 知识点02 系统机械能守恒的成立条件 系统 守恒条件 说明 物体＋弹簧 只有重力和弹力做功 弹性势能计入 物体＋地球 只有重力做功 不含弹簧 物体＋弹簧＋地球 只有重力和弹力做功 最常用 有摩擦的系统 不守恒 用能量守恒（含内能） “系统”选得越大，越容易守恒：单个小球的机械能往往不守恒（弹簧或槽对它做功），但把弹簧（或槽）纳入系统后就守恒了。做题时先问“谁对谁做功”。 2024 北京卷的滑轨题：弹簧把物体推出后，物体沿半圆轨道上升，“弹簧势能→动能→重力势能”一路转化，系统机械能守恒；若轨道有摩擦，就要把内能也算进能量方程。 知识点03 能量在“动能—势能—内能”间的分配 过程 能量转化 方程 弹簧推动物体 弹性势能→动能 物体压缩弹簧 动能→弹性势能 同上（反向） 滑块在粗糙面滑动 动能→内能 多过程组合 逐段转化 分段列能量方程 能量账要“逐段记”：每个阶段只关心“该阶段内哪些能量在变”，不要把全程的能量混在一起。分段列出后相加，才不会漏项。 “内能”往往被漏掉：只要有相对滑动或有摩擦，就要把 计入。2025 辽宁沈阳调研的节能运输系统正是用“重力势能→动能→内能＋弹性势能”的完整账。 思·维·迁·移 考向01 弹簧压缩后释放——进入半圆轨道的临界条件 6．(2024·北京卷，7)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是(　　) A.物体在C点所受合力为零 B.物体在C点的速度为零 C.物体在C点的向心加速度等于重力加速度 D.物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能 考向02 光滑管内的弹簧——由形变与高度反解弹性势能 7．如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2，不计空气阻力，则(　　) A.弹簧的最大弹性势能为3mgx0　　　B.小球运动的最大速度等于2 C.弹簧的劲度系数为　　　D.小球运动中最大加速度为g 考向03 斜面节能运输系统——摩擦生热与弹性势能 8．(多选)(2025·辽宁沈阳市调研)如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角θ=37°，质量为M的集装箱与轨道间的动摩擦因数为0.5，集装箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入箱中，之后集装箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与箱之间无相对滑动)，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后集装箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。下列说法正确的是(　　) A.集装箱与弹簧没有接触时，上滑与下滑的加速度大小之比为5∶2 B.集装箱与货物的质量之比为1∶4 C.若集装箱与货物的质量之比为1∶1，则集装箱不能回到轨道顶端 D.若集装箱与货物的质量之比为1∶6，则集装箱不能回到轨道顶端 知识单元03 多过程：分段建模与临界分析 知识点01 多过程的分段“刀口” 真·题·动·向 以“A、B 两物块与弹簧的 U-t 图像”为载体，考由图像还原多过程 9．(2025·江西赣州模拟)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2 kg、6 kg，B的左端拴接着一劲度系数为 200/3 N/m的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，则(　　) A.在0~2t0内B物块先加速后减速 B.整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒 C.v0=2 m/s D.物块A在t0时刻时速度最小 要·点·整·合 知识点01 多过程的分段“刀口” 刀口 物理含义 分段依据 弹簧恢复原长 弹力为零 此后弹力反向 物体离开弹簧 弹力消失 此后只有重力或摩擦 速度反向 运动方向改变 摩擦力方向改变 进入另一轨道 受力规律改变 换一套方程 “离开弹簧”是常见的刀口：物体与弹簧分离后不再受弹力，此后只受重力、支持力与摩擦，问题退化为普通的动力学或能量问题。 分段时速度必须衔接：前一段的末速度就是后一段的初速度（碰撞除外）。很多错误来自“每一段都从零开始算”。 知识点02 图像法处理多过程 图像 斜率 面积 特征点 加速度 位移 速度相等、速度为零 —— 速度变化 加速度反向 —— —— 极大值＝形变最大 （弹性势能） —— —— 极小值＝恢复原长 图像题先问“纵轴是什么”：同一个形状，纵轴是 、 还是 ，结论完全不同。2025 湖北十一校联考给的是 图，折点对应“弹簧形变反向”，而不是“速度为零”。 由图像求“极值时刻”最有效： 的极大值、 的交点、 的零点，都对应明确的物理状态。把这些时刻标出来，多过程就变成了若干个“两点之间”的问题。 知识点03 动量与能量的跨段衔接 衔接处 守恒量 不守恒量 弹簧作用过程 动量、机械能 —— 碰撞瞬间 动量 动能（非弹性） 有摩擦的滑行 能量（含内能） 动量（有外力） 多个弹簧串联 动量、机械能 —— “哪个量跨段不变”要先判断：光滑水平面上弹簧作用，动量与机械能都不变；一旦有摩擦或碰撞，就只剩其中一条能用。判断错了，方程就列错了。 跨段衔接的“桥”是速度：前一段末速度作为后一段初速度，这是把多过程“串起来”的唯一纽带。把每个衔接点的速度算准，整道题就通了。 思·维·迁·移 考向01 平行杆上的竖直弹簧——给初速度后的往复运动 10．如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球m2一个水平向右的初速度v0，两杆足够长，则在此后的运动过程中(　　) A.m1、m2组成的系统动量不守恒　　　B.m1、m2组成的系统机械能守恒 C.弹簧最长时，其弹性势能为　　　D.m1的最大速度是 考向02 圆弧槽与滑块——曲面上的水平动量守恒 11．(2025·湘豫名校高三联考)如图，质量为M，半径为R的圆弧槽，置于光滑水平面上。将一可视为质点的滑块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且M=2m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒 B.若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为 C.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为 D.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为 考向03 变力作用下的弹簧系统——由 a-t 图反读形变 12.(2025·湖北十一校联考)物块P、Q中间用一根轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，物块P的质量为2 kg，如图甲所示。开始时两物块均静止，弹簧处于原长，t=0时对物块P施加水平向右的恒力F，t=1 s时撤去，在0~1 s内两物块的加速度随时间变化的情况如图乙所示。整个运动过程中以下说法正确的是(　　) A.t=1 s时，物块Q的速度大小为0.4 m/s B.恒力F大小为1.6 N C.物块Q的质量为0.5 kg D.撤去推力后，物块P、Q最终将一起做匀加速直线运动 跨模块融合 弹簧与曲面、圆轨道的组合 知识点01 曲面上的“水平动量守恒” 真·题·动·向 以“滑块曲面与小球”为载体，考水平动量守恒与机械能守恒的联立 13．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图甲，一滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块，且小球能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2，作出某段时间内v1－v2图像如图乙所示，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.滑块与小球在相互作用的过程中，水平方向动量守恒 B.当滑块的速度为0.5v0时，小球运动至最高点 C.小球与滑块的质量比为1∶2 D.小球的初速度大小可能为 要·点·整·合 知识点01 曲面上的“水平动量守恒” 状态 速度关系 能量关系 小球上升到最高点 两者水平速度相同 动能减少量＝重力势能增加量 小球返回最低点 相当于弹性碰撞 动量守恒、机械能守恒 小球离开曲面 两者各自匀速 —— 槽固定不动 不满足水平动量守恒 只有小球机械能守恒 “槽固不固定”决定用哪套方程：槽固定时只有小球的机械能守恒；槽可动时，水平动量守恒＋系统机械能守恒，两条一起用。题目若说“置于光滑水平面上”，就必须按后者处理。 最高点的判据是“水平共速”：小球在曲面上继续上升的条件是“水平方向还有相对速度”，一旦水平速度相同，就没有相对滑动，小球到达最高点。这与“弹簧形变最大时速度相等”是同一个道理。 知识点02 弹簧与重力场、传感器 装置 受力特点 处理方法 竖直弹簧＋物体 弹力与重力竞争 平衡位置、加速度分析 弹簧＋压力传感器 读数即弹力 由读数变化判断超重失重 弹簧＋圆轨道 弹力提供向心力 临界速度 弹簧＋斜面 重力分力参与 与弹力比较 传感器把“力”变成“图像”：箱子内弹簧与传感器这类题，压力传感器的读数就是弹簧弹力，读数的变化直接反映“超重还是失重”。由 就能反解加速度。 竖直弹簧的平衡位置很重要：物体在平衡位置时弹力等于重力、加速度为零、速度最大。偏离平衡位置后做简谐运动，位移、速度、加速度都在周期性变化。 思·维·迁·移 考向01 箱内弹簧与压力传感器——由读数判断超重失重 14.如图所示，某同学抱着箱子做蹲起运动研究超重和失重现象，在箱内的顶部和底部均安装有压力传感器。两质量均为2 kg的物块用轻弹簧连接分别抵住传感器。当该同学抱着箱子静止时，箱子顶部的压力传感器示数F1=10 N。重力加速度g取10 m/s2。不计空气阻力，则(　　) A.箱子静止时，底部压力传感器示数F2=30 N B.当F1'=5 N时，箱子处于失重状态，人可能抱着箱子下蹲 C.当F1″=15 N时，箱子处于超重状态，人可能抱着箱子向上站起 D.若箱子保持竖直从高处自由释放，运动过程中两个压力传感器的示数均为30 N 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $