选填抢分练 01 圆锥曲线 6 个常考模型 讲义-2027届高三数学一轮复习（艺体生专用）

2027 届高考数学一轮复习 · 选填抢分练 01｜圆锥曲线 6 个常考模型 选填抢分练 01 · 圆锥曲线 6 个常考模型 2027届高考数学一轮复习讲义（全国通用）　｜　适合艺体生与基础薄弱学生 本册独立成篇：考点自「01」起、例题自「例 1」起；一册只解决一类选填失分点；学生用原卷不含答案，参考答案见同包「解析版」最后一页 ◆ 考情定位　选填题多为 5 分一题，考的是认模型、代对数，不是推导 圆锥曲线在高考数学里通常是一道选填加一道解答，选填多为 5 分一题。这一块失分往往不是不会推导，是没认出模型、把 a、b、c 代错了位置——式子一写反，后面全白算。这一册只练选填里能直接代结论的六个模型，压轴级的最值推导不作要求。 知识点对应人教A版选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线的方程》P104：3.1 椭圆 P105—P117、3.2 双曲线 P118—P129、3.3 抛物线 P130—P142，小结 P143。标注教材页码只说明知识点出处，册内 18 道例题全部为自编情境题。 六个考点按「结论卡 → 典例 → 跟踪训练」循环：先看清结论能不能用，再用一道中档解答题把来龙去脉讲透，最后两道选填练速度。难度分基础巩固 / 进阶应用 / 易错辨析三档，栏目名直接标出，按需挑着做。六个考点讲完还有一组 6 分钟限时小测，每考点 1 题，检验能不能自己认出模型。 ✍ 课堂记录　上一轮上这节课时记下来的 上一届带这个班 28 人，圆锥曲线选填前测 6 道只对了 2 道，得分率 33%。错得最集中的是离心率，有个孩子把 e 写成 c 比 b，还在旁边补了一句「b 在后面，那就除 b」。当堂没讲新题，只让全班把三个标准方程的 a、b、c各写一遍，再指着分母问「a 在哪一项下面」。第二次小测同类型 6 道对了 5 道。 所以这一册每张结论卡都先摆【适用条件】：通径公式只对标准方程成立，点差法要确认中点在曲线内，焦半径公式只对开口向右的抛物线成立。先问能不能用，再动笔，比多刷十道题管用。 ◆ 考点预览　6 个考点 · 每考点 1 典例＋2 选填 · 另附 6 道限时小测 · 三档分层各 6 题 考点 模型 · 解决什么失分点 题数 起始页 01 a、b、c 与离心率 3 2 02 通径与焦点弦 3 3 03 点到焦点的距离最值 3 4 04 焦点三角形 3 5 05 中点弦与点差法 3 6 06 抛物线焦半径与焦点弦 3 7 ◆ 怎么用这一册 1）先看结论卡的【适用条件】，确认这个模型能不能用，再动笔；条件不满足就别硬套。 2）典例先把答案盖住自己算一遍，再对照思路和错因两栏，看清楚卡在哪一步。 3）两道跟踪训练分基础巩固、易错辨析两档，建议限时 3 分钟，做完立刻订正。 4）六个考点学完做 6 分钟限时小测；答案只在解析版最后一页，印发时可与题卷分开。 5）学生用原卷可整册印发，答案与解析都在同一压缩包的「解析版」里。 第一部分　六个模型，逐个过关 ▶ 考点 01　a、b、c 与离心率 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.2 P118—P129】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆 +=1（a>b>0）：c2=a2-b2，e=∈(0，1)；双曲线 -=1（a>0，b>0）：c2=a2+b2，e=>1。 【适用条件】必须是标准方程、焦点在 x 轴；椭圆要求 a>b>0，双曲线要求 x2 项系数为正。焦点在 y 轴时，谁的下面是 a2 要重新认。 【易错提醒】椭圆是减、双曲线是加，别背反；e 的分母永远是 a，不是 b 也不是 c；算出 c2 为负数，一定是把两条曲线弄混了。 【一句口诀】✎ 椭圆减、双曲加，离心率看 c 比 a；谁在前面谁带 a 方。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 1　 进阶应用 　已知椭圆 +=1 与双曲线 -=1。 (1) 求椭圆的离心率； (2) 求双曲线的离心率。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 / 3.2 标准方程方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 2　 基础巩固 　椭圆 +=1 的离心率为（　　） A．　　B． C．　　D． 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 3　 易错辨析 　双曲线 -=1 的离心率为（　　） A．　　B． C．　　D． 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　拿到标准方程先圈 a 方，再决定加还是减，最后才动 e。别一上来就套公式。 ▶ 考点 02　通径与焦点弦 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.3 P130—P142】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径。椭圆、双曲线的通径长 ，右焦点处端点 (c，±)；抛物线 y2=2px（p>0）的通径长 2p，端点 (，±p)。 【适用条件】标准方程、焦点在 x 轴；弦必须过焦点且与对称轴垂直；抛物线写成 y2=2px 这个形式，p>0。 【易错提醒】 不是 ；y2=2px 的通径是 2p 不是 p；椭圆端点横坐标是 c，抛物线是 ，两个别串。 【一句口诀】✎ 通径二 b 方比 a，抛物线里就是 2p；端点横坐标，一个 c 一个半 p。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 4　 进阶应用 　椭圆 +=1 的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线，交椭圆于 A、B 两点。 (1) 求 A、B 的坐标； (2) 求 |AB|，并用通径公式核对。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆几何性质方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 5　 基础巩固 　双曲线 -=1 的通径长为（　　） A．　　B． C．　　D． 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 6　 易错辨析 　抛物线 y2=8x 的通径长为（　　） A．4　　B．8 C．16　　D．2 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　通径是「过焦点又垂直于轴」的那一条，普通焦点弦不能用这个长度。先确认垂直。 ▶ 考点 03　点到焦点的距离最值 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.2 P118—P129】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆上一点 P 到右焦点 F2 的距离满足 |PF2|∈[a-c，a+c]，最小在右顶点、最大在左顶点；双曲线右支上一点 P 到同侧焦点 F2 的最小距离为 c-a，到异侧焦点 F1 的最小距离为 c+a。 【适用条件】标准方程、P 在曲线上；双曲线必须说清 P 在哪一支；椭圆用 |PF1|+|PF2|=2a，双曲线用 ||PF1|-|PF2||=2a。 【易错提醒】双曲线是差的绝对值等于 2a，不是和；「到远侧焦点最小」是 c+a，不是 a-c；别把椭圆的 a-c 直接搬到双曲线上。 【一句口诀】✎ 椭圆两头 a 减 c、a 加 c；双曲同侧 c 减 a，异侧 c 加 a。 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 7　 进阶应用 　椭圆 +=1 的左右焦点为 F1、F2，P 为椭圆上一点。 (1) 求 |PF2| 的取值范围； (2) 若 |PF1|=5，求 |PF2|。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆定义方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 8　 基础巩固 　椭圆 +=1 上一点 P 到右焦点距离的最小值为（　　） A．1　　B．2 C．4　　D．5 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 9　 易错辨析 　双曲线 -=1 右支上一点 P 到左焦点 F1 的距离最小值为（　　） A．2　　B．5 C．8　　D．11 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　碰到「最小值」先在草稿上画左右顶点，把两个焦点标出来，数一遍距离再选。 ▶ 考点 04　焦点三角形 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆上一点 P 与两焦点 F1、F2 围成的三角形：周长=2a+2c；设 θ=∠F1PF2（P 处的夹角），面积 S=b2·tan。 【适用条件】P 在椭圆上且三点不共线；θ 必须是两焦半径在 P 处的夹角；公式由定义 |PF1|+|PF2|=2a 与余弦定理推出。 【易错提醒】θ 是 P 处的角，不是焦点处的角；公式里是 b2 不是 b；双曲线要把半角正切放到分母上，不能照搬椭圆这一条。 【一句口诀】✎ 周长 2a 加 2c，面积 b 方乘半角正切；角在 P 点别找错。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 10　 进阶应用 　椭圆 +=1 的左右焦点为 F1、F2，P 在椭圆上，且 ∠F1PF2=60°。 (1) 求 △PF1F2 的周长； (2) 求 △PF1F2 的面积。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆定义与余弦定理方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 11　 基础巩固 　椭圆 +=1 上一点 P 满足 ∠F1PF2=90°，△PF1F2 的面积为（　　） A．7　　B．14 C．3　　D．9 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 12　 易错辨析 　椭圆 +=1 的焦点三角形周长为（　　） A．6　　B．10 C．8　　D．12 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　焦点三角形就三件事：定义给和、底边是 2c、面积看半角。写完回头核一遍角在哪。 ▶ 考点 05　中点弦与点差法 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆 +=1 内以 M(x0，y0) 为中点的弦，斜率 k=-（y0≠0）；换成双曲线时把负号改成正号。 【适用条件】M 必须在椭圆内部，即 +<1；y0≠0；求出的直线还要与曲线真有两个交点，中点才算数。 【易错提醒】M 在曲线外时点差法给不出真弦；y0=0 时弦垂直于 x 轴、斜率不存在；只求斜率不回代验证，容易写出一条根本不存在的弦。 【一句口诀】✎ 椭圆负、双曲正，b 方 x 零比 a 方 y 零；点在外头别硬套。 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 13　 进阶应用 　椭圆 +=1，求以 M(2，1) 为中点的弦所在直线方程，并验证这条弦确实存在。 (1) 判断 M 与椭圆的位置关系； (2) 求斜率并写出直线，再联立核对交点。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 直线与椭圆位置关系方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 14　 基础巩固 　椭圆 +=1 内以 M(2，1) 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A．-1　　B．-2 C．1　　D．- 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 15　 易错辨析 　椭圆 +=1，点 M(4，2)，能否直接用点差法求「以 M 为中点的弦」的斜率（　　） A．能，斜率为 -　　B．能，斜率为 -2 C．不能，M 在椭圆外　　D．不能，M 在椭圆上 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　点差法最会骗人：式子算得挺顺，弦可能根本不存在。先判位置，再回代联立。 ▶ 考点 06　抛物线焦半径与焦点弦 【人教A版选择性必修第一册 3.3 P130—P142】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】抛物线 y2=2px（p>0）的焦点 F(，0)、准线 x=-；P(x0，y0) 在抛物线上时 |PF|=x0+；过焦点的弦 AB 满足 |AB|=x1+x2+p，且 x1x2=。 【适用条件】标准方程 y2=2px、开口向右、p>0；AB 必须过焦点；P 必须在抛物线上（好由定义把距离换成到准线的距离）。 【易错提醒】焦半径是 x0+，不是 x0+p；x1+x2+p 只对过焦点的弦成立；开口向左、向上时焦点坐标变了，公式要跟着改写。 【一句口诀】✎ 焦半径横坐标加半个 p，焦点弦两横坐标再加一个 p。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 16　 进阶应用 　抛物线 y2=8x 的焦点为 F，点 P(3，y0) 在抛物线上。 (1) 求 |PF|； (2) 过 F 的弦 AB 满足 x1+x2=6，求 |AB|。 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编（教材 3.3 抛物线定义与几何性质方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 17　 基础巩固 　抛物线 y2=4x 上一点 P 的横坐标为 5，则 |PF|=（　　） A．5　　B．6 C．7　　D．9 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 例 18　 易错辨析 　抛物线 y2=8x 过焦点的弦 AB 满足 x1+x2=5，则 |AB|=（　　） A．7　　B．9 C．10　　D．13 【我的解答】 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　先把 p 从 y 方等于 2px 里认出来，写在草稿纸角上，后面两个公式都用它。 ◆ 6 分钟限时小测　六个考点各 1 题，做完再翻最后一页速查 T1　椭圆 +=1 的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 T2　抛物线 y2=12x 的通径长为（　　） A．6　　B．12　　C．24　　D．3 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 T3　椭圆 +=1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离最大值为（　　） A．2　　B．5　　C．8　　D．10 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 T4　椭圆 +=1 的焦点三角形周长为（　　） A．10　　B．16　　C．6　　D．20 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 T5　椭圆 +=1 内以 M(3，1) 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A．-　　B．-　　C．　　D．-1 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 T6　抛物线 y2=4x 过焦点的弦 AB 满足 x1+x2=3，则 |AB|=（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【我的答案】 ◎ 来源：情境自编 ◆ 六模型速记卡　考前最后一分钟，看这一张就够 考点 一句话记住 最容易错的一处 01 椭圆 c 方等于 a 方减 b 方，双曲线等于加；e 是 c 比 a 把 e 的分母写成 b 02 通径长是二 b 方比 a，抛物线里就是 2p 把二 b 方比 a 记成二 b 比 a 03 椭圆两头是 a 减 c 与 a 加 c，双曲同侧是 c 减 a 没看清问的是哪个焦点 04 周长 2a 加 2c，面积是 b 方乘半角正切 把角当成焦点处的角 05 椭圆斜率取负、双曲取正，b 方 x 零比 a 方 y 零 点在外头还硬套公式 06 焦半径是横坐标加半个 p，焦点弦再加一个 p 把 p 和半个 p 混着用 ◆ 学完自评　哪一项还没过，翻回对应考点重做一遍 能不能做到 已掌握 ✔ / 再练 △ / 重学 ✘ 重做日期 拿到标准方程，能立刻说出 a2 在哪一项下面 □ ✔　□ △　□ ✘ 椭圆与双曲线求 c，一个减一个加，不会再背反 □ ✔　□ △　□ ✘ 通径与焦点弦能分清，知道什么时候能用 2b2/a □ ✔　□ △　□ ✘ 点到焦点距离的最小值，能画出顶点数一遍再答 □ ✔　□ △　□ ✘ 焦点三角形的角在 P 处，面积用的是半角 □ ✔　□ △　□ ✘ 点差法算完斜率，记得判位置、回代联立 □ ✔　□ △　□ ✘ 抛物线先认 p，再写焦半径与焦点弦 □ ✔　□ △　□ ✘ ✎ 易错点 & 我的笔记（先把这六个模型最容易错的地方默写一遍） 按教材章节自行编写 · 例题均为自编情境 · Word 可编辑 · 非出版物节选 学科网（北京）股份有限公司 $2027 届高考数学一轮复习 · 选填抢分练 01｜圆锥曲线 6 个常考模型 选填抢分练 01 · 圆锥曲线 6 个常考模型 2027届高考数学一轮复习讲义（全国通用）　｜　适合艺体生与基础薄弱学生 本册独立成篇：考点自「01」起、例题自「例 1」起；一册只解决一类选填失分点 ◆ 考情定位　选填题多为 5 分一题，考的是认模型、代对数，不是推导 圆锥曲线在高考数学里通常是一道选填加一道解答，选填多为 5 分一题。这一块失分往往不是不会推导，是没认出模型、把 a、b、c 代错了位置——式子一写反，后面全白算。这一册只练选填里能直接代结论的六个模型，压轴级的最值推导不作要求。 知识点对应人教A版选择性必修第一册 第三章《圆锥曲线的方程》P104：3.1 椭圆 P105—P117、3.2 双曲线 P118—P129、3.3 抛物线 P130—P142，小结 P143。标注教材页码只说明知识点出处，册内 18 道例题全部为自编情境题。 六个考点按「结论卡 → 典例 → 跟踪训练」循环：先看清结论能不能用，再用一道中档解答题把来龙去脉讲透，最后两道选填练速度。难度分基础巩固 / 进阶应用 / 易错辨析三档，栏目名直接标出，按需挑着做。六个考点讲完还有一组 6 分钟限时小测，每考点 1 题，检验能不能自己认出模型。 ✍ 课堂记录　上一轮上这节课时记下来的 上一届带这个班 28 人，圆锥曲线选填前测 6 道只对了 2 道，得分率 33%。错得最集中的是离心率，有个孩子把 e 写成 c 比 b，还在旁边补了一句「b 在后面，那就除 b」。当堂没讲新题，只让全班把三个标准方程的 a、b、c各写一遍，再指着分母问「a 在哪一项下面」。第二次小测同类型 6 道对了 5 道。 所以这一册每张结论卡都先摆【适用条件】：通径公式只对标准方程成立，点差法要确认中点在曲线内，焦半径公式只对开口向右的抛物线成立。先问能不能用，再动笔，比多刷十道题管用。 ◆ 考点预览　6 个考点 · 每考点 1 典例＋2 选填 · 另附 6 道限时小测 · 三档分层各 6 题 考点 模型 · 解决什么失分点 题数 起始页 01 a、b、c 与离心率 3 2 02 通径与焦点弦 3 3 03 点到焦点的距离最值 3 4 04 焦点三角形 3 5 05 中点弦与点差法 3 6 06 抛物线焦半径与焦点弦 3 8 ◆ 怎么用这一册 1）先看结论卡的【适用条件】，确认这个模型能不能用，再动笔；条件不满足就别硬套。 2）典例先把答案盖住自己算一遍，再对照思路和错因两栏，看清楚卡在哪一步。 3）两道跟踪训练分基础巩固、易错辨析两档，建议限时 3 分钟，做完立刻订正。 4）六个考点学完做 6 分钟限时小测；答案只在解析版最后一页，印发时可与题卷分开。 第一部分　六个模型，逐个过关 ▶ 考点 01　a、b、c 与离心率 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.2 P118—P129】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆 +=1（a>b>0）：c2=a2-b2，e=∈(0，1)；双曲线 -=1（a>0，b>0）：c2=a2+b2，e=>1。 【适用条件】必须是标准方程、焦点在 x 轴；椭圆要求 a>b>0，双曲线要求 x2 项系数为正。焦点在 y 轴时，谁的下面是 a2 要重新认。 【易错提醒】椭圆是减、双曲线是加，别背反；e 的分母永远是 a，不是 b 也不是 c；算出 c2 为负数，一定是把两条曲线弄混了。 【一句口诀】✎ 椭圆减、双曲加，离心率看 c 比 a；谁在前面谁带 a 方。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 1　 进阶应用 　已知椭圆 +=1 与双曲线 -=1。 (1) 求椭圆的离心率； (2) 求双曲线的离心率。 【答案】(1) a=5，b=4，c==3，e=；(2) a=3，b=4，c==5，e=。 【思路】两条曲线都先看 x2 下面的分母，那个就是 a2；椭圆用减法求 c，双曲线用加法求 c。e 一律是 c 比 a。 ✎ 错在哪儿：把 e 写成 c 比 b（答成 、）；或双曲线误用 c2=a2-b2，算出负数后卡住。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 / 3.2 标准方程方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 2　 基础巩固 　椭圆 +=1 的离心率为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【思路】a2=16，b2=7，c2=9，c=3，e=。 ✎ 错在哪儿：把 当成 c，或把 e 的分母写成 b。 ◎ 来源：情境自编 例 3　 易错辨析 　双曲线 -=1 的离心率为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【思路】双曲线用加法：c2=4+5=9，c=3，e=。 ✎ 错在哪儿：沿用椭圆的减法算 c2=4-5=-1；或把 e 的分母写成 b=。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　拿到标准方程先圈 a 方，再决定加还是减，最后才动 e。别一上来就套公式。 ▶ 考点 02　通径与焦点弦 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.3 P130—P142】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径。椭圆、双曲线的通径长 ，右焦点处端点 (c，±)；抛物线 y2=2px（p>0）的通径长 2p，端点 (，±p)。 【适用条件】标准方程、焦点在 x 轴；弦必须过焦点且与对称轴垂直；抛物线写成 y2=2px 这个形式，p>0。 【易错提醒】 不是 ；y2=2px 的通径是 2p 不是 p；椭圆端点横坐标是 c，抛物线是 ，两个别串。 【一句口诀】✎ 通径二 b 方比 a，抛物线里就是 2p；端点横坐标，一个 c 一个半 p。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 4　 进阶应用 　椭圆 +=1 的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线，交椭圆于 A、B 两点。 (1) 求 A、B 的坐标； (2) 求 |AB|，并用通径公式核对。 【答案】(1) c==3，把 x=3 代入得 y=±，A(3，)、B(3，-)；(2) |AB|=，而 ==，一致。 【思路】把 x=c 代回方程解 y，是最稳的做法；通径公式只是把这一步提前算好记住。+=1，解得 y2=。 ✎ 错在哪儿：把端点写成 (3，±4)（误当成 b）；或把通径长算成 =。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆几何性质方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 5　 基础巩固 　双曲线 -=1 的通径长为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【思路】==；把 x=c=5 代回去解 y，同样得 ±。 ✎ 错在哪儿：只算 =，漏了系数 2。 ◎ 来源：情境自编 例 6　 易错辨析 　抛物线 y2=8x 的通径长为（　　） A．4　　B．8 C．16　　D．2 【答案】B 【思路】y2=2px 对比得 p=4，通径长 2p=8；焦点 (2，0)，端点 (2，±4)。 ✎ 错在哪儿：把 8 直接当 p 答 16；或把焦点横坐标 2 当通径长。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　通径是「过焦点又垂直于轴」的那一条，普通焦点弦不能用这个长度。先确认垂直。 ▶ 考点 03　点到焦点的距离最值 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117 · 3.2 P118—P129】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆上一点 P 到右焦点 F2 的距离满足 |PF2|∈[a-c，a+c]，最小在右顶点、最大在左顶点；双曲线右支上一点 P 到同侧焦点 F2 的最小距离为 c-a，到异侧焦点 F1 的最小距离为 c+a。 【适用条件】标准方程、P 在曲线上；双曲线必须说清 P 在哪一支；椭圆用 |PF1|+|PF2|=2a，双曲线用 ||PF1|-|PF2||=2a。 【易错提醒】双曲线是差的绝对值等于 2a，不是和；「到远侧焦点最小」是 c+a，不是 a-c；别把椭圆的 a-c 直接搬到双曲线上。 【一句口诀】✎ 椭圆两头 a 减 c、a 加 c；双曲同侧 c 减 a，异侧 c 加 a。 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 7　 进阶应用 　椭圆 +=1 的左右焦点为 F1、F2，P 为椭圆上一点。 (1) 求 |PF2| 的取值范围； (2) 若 |PF1|=5，求 |PF2|。 【答案】(1) a=4，c==2，故 |PF2|∈[2，6]；(2) |PF2|=2a-|PF1|=8-5=3。 【思路】第(1)问看顶点：右顶点离右焦点最近 a-c，左顶点最远 a+c；第(2)问直接用定义，两条焦半径加起来恒等于 2a。 ✎ 错在哪儿：把 c 算成 =；或第(2)问写成 |PF1|+2c=9。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆定义方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 8　 基础巩固 　椭圆 +=1 上一点 P 到右焦点距离的最小值为（　　） A．1　　B．2 C．4　　D．5 【答案】A 【思路】a=5，b=3，c=4，最小值 a-c=1。 ✎ 错在哪儿：把 c=4 直接当答案；或误用 a-b=2。 ◎ 来源：情境自编 例 9　 易错辨析 　双曲线 -=1 右支上一点 P 到左焦点 F1 的距离最小值为（　　） A．2　　B．5 C．8　　D．11 【答案】C 【思路】c=5，a=3；右支顶点 (3，0) 到左焦点 (-5，0) 最近，为 c+a=8。 ✎ 错在哪儿：答 2，那是到右焦点 F2 的最小值 c-a，没看清问的是哪个焦点。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　碰到「最小值」先在草稿上画左右顶点，把两个焦点标出来，数一遍距离再选。 ▶ 考点 04　焦点三角形 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆上一点 P 与两焦点 F1、F2 围成的三角形：周长=2a+2c；设 θ=∠F1PF2（P 处的夹角），面积 S=b2·tan。 【适用条件】P 在椭圆上且三点不共线；θ 必须是两焦半径在 P 处的夹角；公式由定义 |PF1|+|PF2|=2a 与余弦定理推出。 【易错提醒】θ 是 P 处的角，不是焦点处的角；公式里是 b2 不是 b；双曲线要把半角正切放到分母上，不能照搬椭圆这一条。 【一句口诀】✎ 周长 2a 加 2c，面积 b 方乘半角正切；角在 P 点别找错。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 10　 进阶应用 　椭圆 +=1 的左右焦点为 F1、F2，P 在椭圆上，且 ∠F1PF2=60°。 (1) 求 △PF1F2 的周长； (2) 求 △PF1F2 的面积。 【答案】(1) a=5，c=4，周长=2a+2c=18；(2) S=b2·tan30°=9×=3。 【思路】周长里别漏掉底边 F1F2=2c；面积公式用的是半角，60° 先折成 30°，tan30°=。 ✎ 错在哪儿：直接拿 60° 代入得 9；把 b2 写成 b=3 得 ；周长只写 2a=10。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 椭圆定义与余弦定理方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 11　 基础巩固 　椭圆 +=1 上一点 P 满足 ∠F1PF2=90°，△PF1F2 的面积为（　　） A．7　　B．14 C．3　　D．9 【答案】A 【思路】b2=7，θ=90° 时半角 45°、tan45°=1，S=7。 ✎ 错在哪儿：把周长 2a+2c=14 当面积；或把 b2 换成 c2=9。 ◎ 来源：情境自编 例 12　 易错辨析 　椭圆 +=1 的焦点三角形周长为（　　） A．6　　B．10 C．8　　D．12 【答案】B 【思路】a=3，c==2，周长=2a+2c=10。 ✎ 错在哪儿：只记住两条焦半径之和 2a=6，漏掉底边 2c=4。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　焦点三角形就三件事：定义给和、底边是 2c、面积看半角。写完回头核一遍角在哪。 ▶ 考点 05　中点弦与点差法 【人教A版选择性必修第一册 3.1 P105—P117】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】椭圆 +=1 内以 M(x0，y0) 为中点的弦，斜率 k=-（y0≠0）；换成双曲线时把负号改成正号。 【适用条件】M 必须在椭圆内部，即 +<1；y0≠0；求出的直线还要与曲线真有两个交点，中点才算数。 【易错提醒】M 在曲线外时点差法给不出真弦；y0=0 时弦垂直于 x 轴、斜率不存在；只求斜率不回代验证，容易写出一条根本不存在的弦。 【一句口诀】✎ 椭圆负、双曲正，b 方 x 零比 a 方 y 零；点在外头别硬套。 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 13　 进阶应用 　椭圆 +=1，求以 M(2，1) 为中点的弦所在直线方程，并验证这条弦确实存在。 (1) 判断 M 与椭圆的位置关系； (2) 求斜率并写出直线，再联立核对交点。 【答案】(1) +=<1，M 在椭圆内；(2) k=-=-，直线 y=-x+2。联立得 x2-4x=0，交点 (0，2)、(4，0)，中点正是 (2，1)。 【思路】点差法只是把「两端点都满足方程」相减后的结果，它给的是必要条件；M 在内部、联立后判别式为正，两步补齐才放心。 ✎ 错在哪儿：只写 k=- 就收笔，不验证；或把 a2、b2 代反得 k=-2。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.1 直线与椭圆位置关系方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 14　 基础巩固 　椭圆 +=1 内以 M(2，1) 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A．-1　　B．-2 C．1　　D．- 【答案】A 【思路】k=-=-1；且 +=<1，M 在内部。 ✎ 错在哪儿：把 a2 写成 4、b2 写成 8，得 - 一类答案；或漏掉负号。 ◎ 来源：情境自编 例 15　 易错辨析 　椭圆 +=1，点 M(4，2)，能否直接用点差法求「以 M 为中点的弦」的斜率（　　） A．能，斜率为 -　　B．能，斜率为 -2 C．不能，M 在椭圆外　　D．不能，M 在椭圆上 【答案】C 【思路】+=2>1，M 在椭圆外，不存在以它为中点的弦，代公式没有意义。 ✎ 错在哪儿：不看 M 的位置就代入公式，算出 k=- 还以为做完了。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　点差法最会骗人：式子算得挺顺，弦可能根本不存在。先判位置，再回代联立。 ▶ 考点 06　抛物线焦半径与焦点弦 【人教A版选择性必修第一册 3.3 P130—P142】 结论卡　先看清【适用条件】，再动笔 【结论】抛物线 y2=2px（p>0）的焦点 F(，0)、准线 x=-；P(x0，y0) 在抛物线上时 |PF|=x0+；过焦点的弦 AB 满足 |AB|=x1+x2+p，且 x1x2=。 【适用条件】标准方程 y2=2px、开口向右、p>0；AB 必须过焦点；P 必须在抛物线上（好由定义把距离换成到准线的距离）。 【易错提醒】焦半径是 x0+，不是 x0+p；x1+x2+p 只对过焦点的弦成立；开口向左、向上时焦点坐标变了，公式要跟着改写。 【一句口诀】✎ 焦半径横坐标加半个 p，焦点弦两横坐标再加一个 p。 示意图（自绘） 典例（进阶应用）　用一道中档解答题把结论讲透 例 16　 进阶应用 　抛物线 y2=8x 的焦点为 F，点 P(3，y0) 在抛物线上。 (1) 求 |PF|； (2) 过 F 的弦 AB 满足 x1+x2=6，求 |AB|。 【答案】(1) 对比 y2=2px 得 p=4，|PF|=3+2=5；(2) |AB|=x1+x2+p=6+4=10。 【思路】第(1)问也可直接算：y02=24，F(2，0)，|PF|==5，与定义法对上了。第(2)问把两段焦半径相加，各自多出 ，合起来就是多一个 p。 ✎ 错在哪儿：把 |PF| 写成 3+4=7；或把 |AB| 写成 6+2=8（只用了一次半 p）。 ◎ 来源：情境自编（教材 3.3 抛物线定义与几何性质方法） 跟踪训练（选填·练速度） 例 17　 基础巩固 　抛物线 y2=4x 上一点 P 的横坐标为 5，则 |PF|=（　　） A．5　　B．6 C．7　　D．9 【答案】B 【思路】p=2，=1，|PF|=5+1=6。 ✎ 错在哪儿：把 4 当成 p 得 7；或漏掉加半个 p 直接答 5。 ◎ 来源：情境自编 例 18　 易错辨析 　抛物线 y2=8x 过焦点的弦 AB 满足 x1+x2=5，则 |AB|=（　　） A．7　　B．9 C．10　　D．13 【答案】B 【思路】p=4，|AB|=5+4=9。 ✎ 错在哪儿：把 p 当成 2 得 7；或误把通径长 8 直接当答案。 ◎ 来源：情境自编 ✎ 本节提醒　先把 p 从 y 方等于 2px 里认出来，写在草稿纸角上，后面两个公式都用它。 ◆ 6 分钟限时小测　六个考点各 1 题，做完再翻最后一页速查 T1　椭圆 +=1 的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【思路】a2=36，b2=20，c2=16，c=4，e==。 ✎ 错在哪儿：把 c 当成 ，或把 e 约分错。 ◎ 来源：情境自编 T2　抛物线 y2=12x 的通径长为（　　） A．6　　B．12　　C．24　　D．3 【答案】B 【思路】y2=2px 对比得 p=6，通径长 2p=12。 ✎ 错在哪儿：把 12 直接当 p 答 24；或答 p=6。 ◎ 来源：情境自编 T3　椭圆 +=1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离最大值为（　　） A．2　　B．5　　C．8　　D．10 【答案】C 【思路】a=5，c=3，P 在右顶点时离左焦点最远，为 a+c=8。 ✎ 错在哪儿：答 2，那是到右焦点的最小值 a-c；或只写 a=5。 ◎ 来源：情境自编 T4　椭圆 +=1 的焦点三角形周长为（　　） A．10　　B．16　　C．6　　D．20 【答案】B 【思路】a=5，c=3，周长=2a+2c=16。 ✎ 错在哪儿：只算两条焦半径之和 2a=10，漏了底边 2c=6。 ◎ 来源：情境自编 T5　椭圆 +=1 内以 M(3，1) 为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A．-　　B．-　　C．　　D．-1 【答案】A 【思路】k=-=-；且 +<1，M 在椭圆内，联立后确有两个交点。 ✎ 错在哪儿：把 a2、b2 代反得 -；或漏掉负号。 ◎ 来源：情境自编 T6　抛物线 y2=4x 过焦点的弦 AB 满足 x1+x2=3，则 |AB|=（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 【答案】C 【思路】p=2，|AB|=x1+x2+p=3+2=5。 ✎ 错在哪儿：把 p 当成 4 答 7；或漏掉加 p 直接答 3。 ◎ 来源：情境自编 ◆ 六模型速记卡　考前最后一分钟，看这一张就够 考点 一句话记住 最容易错的一处 01 椭圆 c 方等于 a 方减 b 方，双曲线等于加；e 是 c 比 a 把 e 的分母写成 b 02 通径长是二 b 方比 a，抛物线里就是 2p 把二 b 方比 a 记成二 b 比 a 03 椭圆两头是 a 减 c 与 a 加 c，双曲同侧是 c 减 a 没看清问的是哪个焦点 04 周长 2a 加 2c，面积是 b 方乘半角正切 把角当成焦点处的角 05 椭圆斜率取负、双曲取正，b 方 x 零比 a 方 y 零 点在外头还硬套公式 06 焦半径是横坐标加半个 p，焦点弦再加一个 p 把 p 和半个 p 混着用 ◆ 学完自评　哪一项还没过，翻回对应考点重做一遍 能不能做到 已掌握 ✔ / 再练 △ / 重学 ✘ 重做日期 拿到标准方程，能立刻说出 a2 在哪一项下面 □ ✔　□ △　□ ✘ 椭圆与双曲线求 c，一个减一个加，不会再背反 □ ✔　□ △　□ ✘ 通径与焦点弦能分清，知道什么时候能用 2b2/a □ ✔　□ △　□ ✘ 点到焦点距离的最小值，能画出顶点数一遍再答 □ ✔　□ △　□ ✘ 焦点三角形的角在 P 处，面积用的是半角 □ ✔　□ △　□ ✘ 点差法算完斜率，记得判位置、回代联立 □ ✔　□ △　□ ✘ 抛物线先认 p，再写焦半径与焦点弦 □ ✔　□ △　□ ✘ 参考答案（速查） 本页单独成页，方便印发时与题卷分开；逐题的完整思路与错因见前面各考点。 考点 典例关键结果 基础巩固 易错辨析 01 (1) 　(2) B A 02 端点 ±；|AB|= B B 03 [2，6]；|PF2|=3 A C 04 周长 18；面积 3 A B 05 k=-；y=-x+2 A C 06 |PF|=5；|AB|=10 B B 限时小测答案　T1 B　T2 B　T3 C　T4 B　T5 A　T6 C ◎ 全册 24 道例题均为自编情境题，逐题标注「情境自编」；标注教材页码仅说明知识点对应章节，未引用教材原题。 ✎ 批改提醒　限时小测先让学生自己订正，再看速查结果；错在哪一档，就回翻对应考点的结论卡，把【适用条件】重读一遍。 按教材章节自行编写 · 例题均为自编情境 · Word 可编辑 · 非出版物节选 学科网（北京）股份有限公司 $