第3章 14 单元素养测评卷(三)B [范围：第三章] （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

单元素养测评卷(三)B 1.D　[解析] 易知抛物线x2=4y的焦点是(0,1).故选D. 2.C　[解析] 双曲线-=1中,a=4,b=3,则双曲线的实轴长2a=8.故选C. 3.D　[解析] 由得14x2+18mx+9m2-45=0,则Δ=324m2-56(9m2-45)<0,解得m<-或m>.故选D. 4.D　[解析] 将(2,2)代入抛物线方程y2=2px,可得8=4p,解得p=2,则抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,又双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4,所以c+1=4,即c=3,又==,c2=a2+b2,所以a=,b=,所以双曲线的标准方程为-=1.故选D. 5.C　[解析] 由题知m>0,且双曲线E的焦点坐标为(±,0).对于A,由m>0,得x2-=1为双曲线,故A不符合要求;对于B,由x2-=-1得,-x2=1,由m>0,得-x2=1为双曲线,故B不符合要求;对于C,因为m>0,所以1+2m>m>0,所以椭圆+=1的焦点在x轴上,焦点坐标为(±,0),故C符合要求;对于D,因为m>0,所以1+2m>m>0,所以椭圆+=1的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±),故D不符合要求.故选C. 6.A　[解析] 因为△AFB为等边三角形,所以|AF|=|AB|,由抛物线定义可得AB⊥l.设准线l与x轴的交点为D,所以AB与DF平行,由∠ABF=60°,可得∠BFD=60°,所以|DF|=|BF|cos 60°=2,即p=2.故选A. 7.A　[解析] 如图所示,不妨取斜率为正的渐近线,设F2关于渐近线的对称点为P,则|OF2|=|OP|=|OF1|=|F1P|,且M为PF2的中点,PF2⊥OM,所以|F1P|=|F1F2|,F1P∥OM,所以F1P⊥F2P,∠PF1F2=,则∠MOF2=,即一条渐近线的倾斜角为,所以该渐近线的斜率为=tan=,所以双曲线C的离心率e===2.故选A. 8.B　[解析] 设|AB|=2r,因为圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形,所以PA⊥PB,所以|PB|=r,|PO|=r,又点M为线段PB的中点,所以|PM|=r,由勾股定理可得|AM|==r.由椭圆对称性可知|AO1|=|MO1|=r,连接PO1,OO1,延长PO1交AB于点C,如图所示. 因为O,O1分别是AB,AM的中点,所以|OO1|=|BM|=r,在Rt△PAM中,|O1P|=|AM|=r.在△OPO1中,由余弦定理可得cos∠OPO1===. 在Rt△OPC中,cos∠OPO1===,所以|PC|=r,所以==.设椭圆O1的短轴的两个端点为D,E,连接PD,PE并延长分别交圆锥底面于点F,G,连接DE,FG,易知△PDE∽△PFG,所以==.因为PF为圆锥母线,所以|PF|=|PB|=r,所以|PD|=.在Rt△PO1D中,由勾股定理可知|O1D|==r,所以在椭圆O1中,a=|MO1|=r,b=|O1D|=r,所以c==r,故椭圆的离心率e===.故选B. 9.ABD　[解析] 当α∈时,cos α>0>sin α,方程x2cos α+y2sin α=1表示双曲线;当α=0时,方程为x2=1,即x=±1,表示两条直线;当α∈时,0<sin α<cos α,方程x2cos α+y2sin α=1表示焦点在y轴上的椭圆;当α∈时,0<cos α<sin α,方程x2cos α+y2sin α=1表示焦点在x轴上的椭圆;当x=时,cos α=sin α=,方程x2cos α+y2sin α=1表示圆.故选ABD. 10.ACD　[解析] 设a=2t(t>0),则c=(-1)t,所以a2-c2=ac,即b2=ac,故D正确,B错误;由b2=ac,得·=-1,即kAB·kFB=-1,所以FB⊥AB,故A正确;因为=1-=>,所以tan∠BAF=>,所以∠BAF>30°,故C正确.故选ACD. 11.ABD　[解析] 令x=0,得y=±1,则C(0,-1),D(0,1). 对于A,当x=时,由+=1,解得y=0或y=,当x=-1时,由1+(y-1)2=1,解得y=1,所以点和(-1,1)均在曲线E上,故A正确;对于B,因为曲线E关于y轴对称,当x≥0时,x2+(y-|x|)2=1,所以y=x+,即y=+,则y2=x2+(1-x2)+2≤1+x2+(1-x2)=2,所以当且仅当x=时,y取得最大值,故B正确;对于C,由题得|OP|=,因为曲线E关于y轴对称,当x≥0时,设x=cos θ,y-x=sin θ,所以|OP|2=x2+y2=cos2θ+(cos θ+sin θ)2=2cos2θ+sin2θ+2sin θcos θ=1++sin 2θ=+cos 2θ+sin 2θ=+sin (2θ+φ),因为θ可取任意角,所以|OP|的最小值为=,|OP|的最大值为=,所以|OP|的最大值与最小值之和为,故C错误;对于D,|PC|+|PD|≤2等价于点P在椭圆+=1内,即满足2(cos θ+sin θ)2+3cos2θ≤6,即2(1+sin 2θ)+≤6,整理得4sin 2θ+3cos 2θ≤5,即sin(2θ+β)≤1恒成立,故D正确.故选ABD. 12.y2=12x　[解析] 由双曲线方程可知c==3,且焦点在x轴上,则双曲线的右焦点为(3,0),所以抛物线的焦点为(3,0),所以抛物线的标准方程为y2=12x. 13.2　[解析] 易知椭圆+=1的左顶点为A(-4,0).设P,则|PA|==, 易知当t2-8=0,即t=±2时,|PA|取得最小值2, 故点P到椭圆+=1的左顶点的距离的最小值为2. 14.　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=x0,即x1+x2=2x0,又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2x0+p,所以p=1,则抛物线C的方程为y2=2x.由得x2+2x+4=0,无解,则直线x+y+2=0与抛物线C没有公共点.设与抛物线C相切且与直线x+y+2=0平行的直线方程为x+y+m=0,由得x2+(2m-2)x+m2=0,令Δ=(2m-2)2-4m2=0,解得m=,所以|PQ|的最小值为=. 15.解:(1)由题意得|PF1|+|PF2|=10, 所以动点P的轨迹是焦点为(-3,0),(3,0),长轴长为10的椭圆, 则a=5,c=3,所以b2=25-9=16, 故点P的轨迹方程为+=1. (2)设直线AB的方程为y=-(x-3). 由得34x2-150x=0,可得xB=,xA=0,则A(0,4),B. 由点A在y轴上,可知顶点在y轴上, 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则 该方程组无解,所以不存在满足题意的双曲线. 16.解:(1)由题得|AF|=4+=5, 则p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,则t2=4×4, 又t>0,所以t=4. (2)由(1)可得A(4,4). 设B(n2,2n),其中n≠0,因为OA⊥OB,所以·=0, 即4×n2+4×(2n)=0,可得n=-2, 即B(4,-4),所以直线l的方程为x=4. 17.解:(1)由题得e==2,又c2=a2+b2,所以b2=3a2, 因为长轴长2a=2,所以a2=1,所以b2=3, 故双曲线的标准方程为x2-=1, 其渐近线方程为y=±x. (2)因为直线l的倾斜角为45°,所以其斜率为1,又直线l过点E(0,2), 所以直线l的方程为y=x+2. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由得2x2-4x-7=0, 则x1+x2=2,x1x2=-, 所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+2)(x2+2)=2x1x2+2(x1+x2)+4=1. 18.解:(1)由题意得 解得所以b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设Q(n,n+1),直线l:y=kx+2,A(x1,kx1+2),B(x2,kx2+2), 则k1k2=·= (*), 由得(1+2k2)x2+8kx+6=0, 令Δ=64k2-24(1+k2)>0,得k2>, 所以x1+x2=,x1x2=, 代入(*)可得k1k2==, 要使k1k2为定值,则n=0,故定点Q的坐标为(0,1). (3)设直线DF的方程为y=k3x+t(t≠0),D(x3,y3),F(x4,y4),E(x0,y0). 由得(1+2)x2+4k3tx+2t2-2=0, 则x3+x4=-,所以x0==-. 由得x2-k3mx-mt=0, 则x0x3=-mt,即-x3=-mt,解得x3=, 又D(x3,y3)在抛物线上,所以y3==, 则D, 又D(x3,y3)在椭圆上,所以+2=2, 解得m2=, 又1+2≥2|k3|,则(1+2)2≥8, 所以m2=≤=, 当且仅当=时等号成立, 所以实数m的最大值是. 19.解:(1)(i)证明:当r=1时,由点P(x0,y0)在圆O上,可得+=1. 当x0=0,y0=±1时,直线OP的斜率不存在, 此时切线方程为y=±1,满足x0x+y0y=1; 当y0=0,x0=±1时,直线OP的斜率为0, 此时切线方程为x=±1,满足x0x+y0y=1; 当x0≠0且y0≠0时,直线OP的斜率kOP=, 则切线斜率k满足k·kOP=-1,即k=-, 此时切线方程为y-y0=-(x-x0),化简可得x0x+y0y=1. 综上,切线方程为x0x+y0y=1. (ii)由(i)可知直线AB的方程为x0x+y0y=1, 当y0≠0,x0≠±1时,直线AB的方程为y=-x+,且+=1. 由得(1+)x2-4x0x+4-2=0, 则Δ=-4(1+)(4-2)=8(1-)(2+1)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=·=, 由直线与圆O相切可得点O到直线AB的距离d=r=1, 则S△OAB=|AB|·d=. 设t=,则t∈[1,),=,则S△OAB==, 又当t∈[1,)时,t+∈, 所以S△OAB=∈. 当y0=0,x0=±1时,由椭圆的对称性可知,x0=1与x0=-1时,三角形面积相等, 不妨令x0=1,则直线AB的方程为x=1, 将x=1代入椭圆方程,得+=1,可得yA=,yB=-, 即|AB|=,则S△OAB=|AB|·d=. 综上所述,△OAB的面积的取值范围为. (2)假设存在r使四边形ABCD为菱形. 设A(x3,y3),B(x4,y4), 由椭圆的对称性可知C(-x3,-y3),D(-x4,-y4),且AB∥CD,|AB|=|CD|, 则四边形ABCD为平行四边形, 若四边形ABCD为菱形,则需满足AC⊥BD, 即⊥,即x3x4+y3y4=0. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m, 又直线与圆O相切,所以原点O到直线AB的距离d==r, 即m2=r2(1+k2). 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, 令Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(4k2-m2+2)>0, 则m2<4k2+2, 所以x3+x4=,x3x4=. 又x3x4+y3y4=0,所以(1+k2)x3x4+km(x3+x4)+m2=0,即=0, 化简可得m2=(1+k2),满足m2<4k2+2, 又m2=r2(1+k2),所以r=. 当直线AB的斜率不存在时,结合椭圆的对称性,不妨设直线AB的方程为x=r, 则A,B, 则r2-=0,解得r=. 综上所述,存在r=使四边形ABCD为菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三)B[范围:第三章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线x2=4y的焦点是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 2.双曲线-=1的实轴长为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 3.若直线l:y=x+m与椭圆C:+=1没有公共点,则m的取值范围为 (　 ) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-,) D.(-∞,-)∪(,+∞) 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点到抛物线y2=2px(p>0)的准线的距离为4,点(2,2)是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.[2026·湖北华师大一附中高二期末] 已知双曲线E:x2-=1,则下列方程中表示椭圆且与双曲线E有相同焦点的是 (　 ) A.x2-=1 B.x2-=-1 C.+=1 D.+=1 6.[2026·合肥八中高二月考] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A在抛物线C上,点B在准线l上,若△AFB是边长为4的等边三角形,则p的值是(　 ) A.2 B. C.1 D.2 7.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线C的离心率为 (　 ) A.2 B. C.3 D. 8.[2026·哈尔滨三中高二月考] “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理,小明在家里用射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出椭圆(如图①).如图②是射灯投影的直观图,圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形,椭圆O1(O1为椭圆的中心)所在的平面与平面APB垂直,且点M为线段PB的中点,则椭圆O1的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若α∈,则方程x2cos α+y2sin α=1表示的曲线可能为 (　 ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 10.在椭圆C:+=1(a>b>0)中,F为椭圆C的右焦点,A为椭圆C的左顶点,B为椭圆C的上顶点,若椭圆C的离心率为,则 (　 ) A.FB⊥AB B.c2=ab C.∠BAF>30° D.b2=ac 11.[2026·厦门一中高二月考] 数学中有许多形状优美的曲线,如图,曲线E:x2+(y-|x|)2=1与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点P是E上一个动点,则 (　 ) A.点和(-1,1)均在曲线E上 B.点P的纵坐标的最大值为 C.|OP|的最大值与最小值之和为3 D.|PC|+|PD|≤2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.以双曲线-=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　　　.   13.设P是抛物线y2=-4x上一点,则点P到椭圆+=1的左顶点的距离的最小值为　　　　.  14.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,线段AB的中点为M(x0,y0),且|AB|=2x0+1.若点P在抛物线C上,动点Q在直线x+y+2=0上,则|PQ|的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·温州十校高二期中] 已知F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|=10-|PF2|. (1)指出动点P的轨迹是什么曲线,并写出它的方程. (2)过F2作直线l与动点P的轨迹交于A,B两点,点A在x轴上方,直线AB的斜率为-,求经过A,B且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程.若不存在,请说明理由. 16.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,t)(t>0)在抛物线C上,且|AF|=5. (1)求p和t的值; (2)设O为坐标原点,过点A的直线l与抛物线C交于另一点B,若OA⊥OB,求直线l的方程. 17.(15分)[2026·十堰联合体高二联考] 已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; (2)过点E(0,2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M,N两点,求·的值(O为坐标原点). 18.(17分)[2026·四川绵阳高二期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2,过点P(0,2)且斜率存在的直线l交椭圆于A,B两点,Q是直线y=x+1上一定点,记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,且k1k2为定值. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求定点Q的坐标; (3)如图,抛物线x2=my(m>0)与椭圆C在第二象限交于点D,过点D的直线(不过坐标原点O)交抛物线于另一点E,交椭圆于另一点F,若E恰好为DF的中点,求实数m的最大值. 19.(17分)[2026·长沙一中高二检测] 已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆E:+=1,点P(x0,y0)为圆O上任意一点,过点P作圆O的切线与椭圆E交于A,B两点. (1)当r=1时. (i)证明:切线方程为x0x+y0y=1; (ii)求△OAB的面积的取值范围. (2)设直线AB关于原点O的对称直线与椭圆E交于C,D两点,是否存在r使四边形ABCD为菱形? 学科网（北京）股份有限公司 $