精品解析：天津市第七中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

天津市第七中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷 时间：100分钟 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．据此对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D. 是中心对称图形，符合题意． 2. 一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，  则可设方程的两根为，， ∵，， ∴． 3. 下列四个点，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断点是否在反比例函数图象上，需验证点的坐标是否满足函数关系式，即 与 的乘积是否等于常数 8． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握基本概念是解题关键． 【详解】对于每个选项，计算 x 与 y 的乘积： ∵ 选项 A:, , 满足 , ∴ 点在函数图象上; 选项 B:, , 不在图象上; 选项 C:, , 不在图象上; 选项 D: , , 不在图象上; 故选：A． 4. 若将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的平移规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：∵二次函数的图象向右平移3个单位长度， ∴得到， ∵再向上平移2个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转可知，，， ． 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，为垂足，若，则这个反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知，可得，在第四象限，可判断k＜0，所以-k=，得出k=-6，即可求出反比例函数解析式． 【详解】∵ ∴ ∵在第四象限 ∴k＜0 ∴-k= ∴k=-6 即 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限即可判断k的正负． 8. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键． 11. 如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得到，进而得出，进而判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，即，故A选项不正确，符合题意； ∴， ∴平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意． 12. 如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第一、三象限，比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 14. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 15. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度h（单位：）与跳跃时间t（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次函数解析式以及函数值，列出方程求解． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得（舍去），， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 16. 函数，当时，函数值的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分析二次函数的基本性质，顶点式可确定函数图象的顶点坐标、对称轴和最值，然后判断对称轴与给定自变量区间的位置关系，计算区间端点处的函数值，确定最大值边界，综合确定最终取值范围． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中二次项系数为1，大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取得最小值； 已知自变量取值范围为，对称轴在该区间内，因此函数在该区间内的最小值为顶点处的函数值； 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大： 当时，代入函数得； 当时，代入函数得； 由于到对称轴的距离大于到对称轴的距离，因此区间内函数值的最大边界为5，又因为x的取值不包含和2，因此函数值取不到5； 综上，当时，函数值的取值范围是． 17. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17 【解析】 【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【详解】解：解方程得x1=2，x2=6， 当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴， ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又， ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故，即． 三、计算题（共10分） 19. 解决下列问题： （1）解方程： ① ② （2）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）①，；②， （2），方程的另一个根为5 【解析】 【小问1详解】 解：①， ， ， ， 解得， ②， ， 解得， 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， 设方程另一根为， 由根与系数的关系可得， ，即方程的另一个根为5． 四、解答题（共56分） 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出的长度 ； （2）绕点逆时针旋转后得到，并直接写出坐标 ； （3）关于原点的对称图形．直接写出坐标 ； （4）为轴上一点，且取得最小值时，作出点并直接写出点的坐标为 ． 【答案】（1） （2），， （3），，， （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）作出旋转后的图形，即可得到答案； （3）作出中心对称图形，即可得到答案； （4）找到点关于的对称点，并连接点B和对称点交轴于点P即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，． ∴ 【小问2详解】 解：如图， 则 【小问3详解】 解：如图， 则，， 【小问4详解】 解：图略，点即为所求，点的坐标为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1） ， ， ； （2）根据图象，写出当时，的取值范围 ； （3）一次函数与轴交于点，则点坐标为 ； （4）分别连结和，求的面积． 【答案】（1）2，，3 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出，，，，再把代入即可求出； （2）根据一次函数和反比例函数图象的交点即可得到答案； （3）把代入一次函数解析式即可求出答案； （4）根据的面积即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到， 解得， ∴ 把代入得到，解得， 则； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ∴根据图象，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：当时，，即点坐标为； 【小问4详解】 解：如图，分别连结和， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴的面积 22. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． 【小问1详解】 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 23. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设商场每天获得的总利润为（元），求售价是多少时，每天获得的利润最大，最大是多少？ （3）为了让利于顾客，当售价为多少元时，商场每天能获得1600元的总利润． 【答案】（1）与的函数表达式为 （2）售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元 （3）当售价为40元时，商场每天能获得1600元的总利润且让利于顾客 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意写出取值范围即可； （2）根据总利润列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）令，解一元二次方程并根据题意即可求出答案． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将，和，代入表达式，得方程组：，解得， ， ∵售价不低于进价20元，不高于60元， ， 与的函数表达式为． 【小问2详解】 解：单个商品利润为元，销售量是， ∴总利润 ， ，，抛物线开口向下，顶点处取得最大值， ∴当时，有最大值，最大值是1800元． 答：售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【小问3详解】 解：令，即， 整理得， 解得，． 要求让利顾客，售价尽可能低， ． 答：当售价为40元时，商场每天能获得1600元的总利润且让利于顾客． 24. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接．把绕点逆时针旋转得．点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求的值和点的坐标； （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值． 【答案】（1），； （2），； （3）面积最大时， 【解析】 【分析】（1）先判断是等腰直角三角形，当点落在边上时，，如图，过作于，则是等腰直角三角形，利用勾股定理可得点的横坐标，纵坐标； （2）根据勾股定理求出，如图，过点作于点H，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理，可得点的坐标；再说明为等边三角形，可得的长； （3）先判断面积的最大值时，的位置，再求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴，是等腰直角三角形， ∴，． 当点落在边上时，， 如图，过作于，则是等腰直角三角形， ∴，而， ∴，则， ∴， ∴点的坐标是． 【小问2详解】 如图，过点作于点H， 在中， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 当时， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴． 【小问3详解】 如图，以为底，当高最大时，的面积最大，即当旋转到如图所示的位置时，高最大． 则， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的化简，勾股定理等，判断的位置是求的面积最大的关键． 25. 已知抛物线（，，是常数，，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线与轴相交于点． （1）若，，点的坐标为． ①点坐标为 ； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； （2）点和点．若，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为5时，求的值． 【答案】（1）①；②点的坐标为，点的坐标为 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）①求出函数解析式并化为顶点式，即可求出答案；②求出直线的解析式为．设点，则．得到．根据二次函数的性质进行解答即可； （2）证明四边形是平行四边形，则，过点作，且，当共线时，有最小值，即有最小值，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：①若，，则抛物线， ∵抛物线与轴相交于点， ，解得． ∴抛物线为． ∴顶点的坐标为 ②当时，， 解得，， ． 设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为． 为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点， ∴设点，则． ． ∴当时，取得最大值1． 点的坐标为，点的坐标为 【小问2详解】 解：由题意得： ∵点，， ，，， ，， ， ， ， ， 为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ， ， ， 由题意得， 四边形是平行四边形， ， 过点作，且， ， ， ，， ， ， ， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ，，，且取得最小值为5， ，即， 解得， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第七中学2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷 时间：100分钟 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个点，在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 若将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，为垂足，若，则这个反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 12. 如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 14. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 15. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度h（单位：）与跳跃时间t（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________． 16. 函数，当时，函数值的取值范围是______ 17. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 18. 如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为__________． 三、计算题（共10分） 19. 解决下列问题： （1）解方程： ① ② （2）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 四、解答题（共56分） 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出的长度 ； （2）绕点逆时针旋转后得到，并直接写出坐标 ； （3）关于原点的对称图形．直接写出坐标 ； （4）为轴上一点，且取得最小值时，作出点并直接写出点的坐标为 ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1） ， ， ； （2）根据图象，写出当时，的取值范围 ； （3）一次函数与轴交于点，则点坐标为 ； （4）分别连结和，求的面积． 22. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 23. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设商场每天获得的总利润为（元），求售价是多少时，每天获得的利润最大，最大是多少？ （3）为了让利于顾客，当售价为多少元时，商场每天能获得1600元的总利润． 24. 在平面直角坐标系中，点，点分别是坐标轴上的点，连接．把绕点逆时针旋转得．点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求的值和点的坐标； （2）如图②，当时，求的长和点的坐标； （3）连接，直接写出在旋转过程中面积的最大值． 25. 已知抛物线（，，是常数，，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线与轴相交于点． （1）若，，点的坐标为． ①点坐标为 ； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标； （2）点和点．若，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为5时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $