第11课时 对数与对数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第11课时 对数与对数函数（教师使用） 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与图象上的特殊点. 3.知道对数函数,且与指数函数,且互为反函数. 必备知识·逐点梳理 一、对数的概念 一般地，如果，且，那么数叫作以为底的对数，记作  ，其中  叫作对数的底数，  叫作真数. （1）以10为底的对数叫作常用对数，记作. （2）以 为底的对数叫作自然对数，记作. 二、对数的性质与运算性质 1.对数的性质：0，1，  ，且，. 2.对数的运算性质 如果，且，，，那么： （1）  ； （2）  ； （3）  . 微判断． （1） 若，则.（ ） （2） 若,则.（ ） 【答案】（1） × （2） × 3.对数换底公式：，且；；，且. （1）换底公式的变形 ①,即,均大于0且不等于1. ②,均大于0且不等于1,,. ③,,均大于0且不等于1,. （2）换底公式的推广 ,,均大于0且不等于1,. 三、对数函数的图象与性质 图象 定义域   值域 性质 过定点  ，即当时， 当时，  ； 当时，   当时，  ； 当时，   增函数 减函数 对数函数的图象与底数大小的比较，如图, 作直线,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数的图象从左到右对应的函数的底数逐渐增大. 四、反函数 指数函数，且与对数函数，且互为反函数，它们的图象关于直线  对称. 关键考点·核心突破 考点一 对数的运算5年4考 例1 （1） （北师大必修一P103练习T2改编） _ _ _ _ （2） _ _ _ _ _ _ . （3） _ _ _ _ . （4） （湘教必修一P117例3改编）若,，则_ _ _ _ _ _ _ _ （用,表示）. 【答案】（1） 2 （2） （3） 11 （4） 【解析】 （1） 原式. （2） 原式. （3） 原式. （4） 因为,，所以. 又，所以. 感悟提升 解决对数运算问题的常用方法 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. （2）将同底对数的和、差、倍合并. （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 随堂训练 1．（多选题）下列各式中，结果为1的是（ ）. A. B. C. ,且 D. 【答案】AD 【解析】对于,原式; 对于,原式; 对于,原式; 对于,原式. 故选. 2．若,且,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为,所以,,. 又,所以,所以,所以. 考点二 对数函数的图象及应用 例2 （1） 函数的图象如图所示，则可能是（ ）. A. , B. , C. D. , （2） （经典高考真题）已知函数，且的图象如图所示，则，满足的关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） A 【解析】 （1） 由图象过点 知 不正确，由 知 不正确，由图象为曲线知 不正确.故选. （2） 由图易得，；取特殊点，则，即.故选. 感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项. （2）一些对数型方程、不等式问题常可转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 随堂训练 1．（数学文化题）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与，且在同一坐标系中的大致图象是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于，由指数函数的图象，可得，则，即函数 在 上单调递减，故 错误； 对于，由指数函数的图象，可得，则，即函数 在 上单调递增，故 错误； 对于，由指数函数的图象，可得，则，即函数 在 上单调递减，故 正确； 对于，由函数 的图象过点 可知 错误. 故选. 2．已知，且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由函数 的图象可得. 当 时，函数 的图象经过定点，且为增函数. 因为 与 的图象关于 轴对称， 所以 的图象经过定点，且为减函数. 而 的图象可以看作由 的图象向右平移1个单位长度得到， 所以 的图象经过定点，且为减函数.故选. 考点三 对数函数的性质及应用5年3考 考向1 比较大小 例3 （1） （经典高考真题）若，，，则（ ）. A. B. C. D. （2） （经典高考真题，一题多法）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） ，即.故选. （2） （法一）设，则，，. 令，则，，，此时，中关系有可能成立. 令，则，，，此时，中关系有可能成立. 令，则，，，此时，中关系有可能成立. （法二）设，则，，. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.作出函数，，的图象（图略），以上方程的根分别是函数，，的图象与直线 的交点的纵坐标.由图可知随着 的变化，可能出现，，，. （法三）通过对数运算将问题“线性化”，再利用数形结合求解.因为，所以，作出函数，，的图象，如图所示，由图可知，可能出现，，，. 考向2 解对数方程或不等式 例4 解下列方程或不等式. （1）; （2）（苏教必修一P159T13改编）; （3）. 【解析】（1），解得 或. 当 时，，不符合要求，舍去; 当 时，，满足要求. 故方程 的解集为. （2）因为函数 为定义域上的增函数， 且，所以 解得， 所以不等式 的解集为. （3）因为函数 为定义域上的减函数， 且， 所以 所以， 所以不等式 的解集为. 考向3 对数函数性质的综合应用 例5 已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令,则,因为函数 在 上单调递减,故 在 上单调递增,且 在 上成立, 故要满足 解得.故选. 感悟提升 1.比较对数大小的类型及相应方法 2.求解对数不等式的两种类型及方法 类型一：，借助的单调性求解,如果的取值不确定,那么需分与两种情况讨论. 类型二：，需先将化为以为底的对数的形式,再借助的单调性求解. 3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要注意底数对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件. 随堂训练 1．（经典高考真题）设,,,则,,的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,所以. 因为,所以. 因为,所以.所以.故选. 2．设函数若,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得 或 解得 或.故选. 3．（多选题）已知函数,则. A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在,上单调递减 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】,令,解得 或, 的定义域为,又, 为奇函数,故 正确,错误. ,令,且,, 在,上单调递减,且 为增函数, 在,上单调递减,故 正确. 的值域是,故 正确.故选. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11课时 对数与对数函数（学生使用） 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与图象上的特殊点. 3.知道对数函数,且与指数函数,且互为反函数. 必备知识·逐点梳理 一、对数的概念 一般地，如果，且，那么数叫作以为底的对数，记作________________，其中________________叫作对数的底数，________________叫作真数. （1）以10为底的对数叫作常用对数，记作. （2）以 为底的对数叫作自然对数，记作. 二、对数的性质与运算性质 1.对数的性质：________，________，________________，且，. 2.对数的运算性质 如果，且，，，那么： （1）________________； （2）________________； （3）________________. 微判断． （1） 若，则.（ ） （2） 若,则.（ ） 3.对数换底公式：，且；；，且. （1）换底公式的变形 ①,即,均大于0且不等于1. ②,均大于0且不等于1,,. ③,,均大于0且不等于1,. （2）换底公式的推广 ,,均大于0且不等于1,. 三、对数函数的图象与性质 图象 定义域 ________ 值域 性质 过定点________，即当时， 当时，________； 当时，________ 当时，________； 当时，________ ________函数 ________函数 对数函数的图象与底数大小的比较，如图, 作直线,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数的图象从左到右对应的函数的底数逐渐增大. 四、反函数 指数函数，且与对数函数，且互为反函数，它们的图象关于直线________________对称. 关键考点·核心突破 考点一 对数的运算5年4考 例1 （1） （北师大必修一P103练习T2改编） _ _ _ _ （2） _ _ _ _ _ _ . （3） _ _ _ _ . （4） （湘教必修一P117例3改编）若,，则_ _ _ _ _ _ _ _ （用,表示）. 随堂训练 1．（多选题）下列各式中，结果为1的是（ ）. A. B. C. ,且 D. 2．若,且,则_ _ _ _ _ _ . 考点二 对数函数的图象及应用 例2 （1） 函数的图象如图所示，则可能是（ ）. A. , B. , C. D. , （2） （经典高考真题）已知函数，且的图象如图所示，则，满足的关系是（ ）. A. B. C. D. 随堂训练 1．（数学文化题）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与，且在同一坐标系中的大致图象是（ ）. A. B. C. D. 2．已知，且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 考点三 对数函数的性质及应用5年3考 考向1 比较大小 例3 （1） （经典高考真题）若，，，则（ ）. A. B. C. D. （2） （经典高考真题，一题多法）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）. A. B. C. D. 考向2 解对数方程或不等式 例4 解下列方程或不等式. （1）; （2）（苏教必修一P159T13改编）; （3）. 考向3 对数函数性质的综合应用 例5 已知函数在上单调递减,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 1.比较对数大小的类型及相应方法 2.求解对数不等式的两种类型及方法 类型一：，借助的单调性求解,如果的取值不确定,那么需分与两种情况讨论. 类型二：，需先将化为以为底的对数的形式,再借助的单调性求解. 3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要注意底数对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件. 随堂训练 1．（经典高考真题）设,,,则,,的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 2．设函数若,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3．（多选题）已知函数,则. A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在,上单调递减 D. 的值域为 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $