精品解析：四川省合江县马街中学校2026-2027学年高二上学期11月期中质量监测数学试题

高2025级2026年秋期高二期中质量监测 数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分.考试时间共120分钟. 注意事项： 1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号.考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 2.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ） A. 1440 B. 1600 C. 1800 D. 2400 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 18 D. 20 6. 已知直线，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率越大，倾斜角越大 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的斜率为 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 10. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立， 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在点使得，，，四点共面 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若，，则直线与平面所成角的正弦值为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据:1，2，3，5，6，10，9，8，7的分位数是_____. 13. 已知点，，，则点到直线的距离是______. 14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16. 一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （2）全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 17. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 19. 如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. （1）若平面，求； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级2026年秋期高二期中质量监测 数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分.考试时间共120分钟. 注意事项： 1.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号.考试结束，将试卷和答题卡一并交回. 2.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级有25人，高三年级有15人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ） A. 1440 B. 1600 C. 1800 D. 2400 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的方法与性质计算即可. 【详解】由题意可知样本中高二年级有人， 所以高二年级占全体样本，故该校共人. 故选：C 2. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线化为 所以直线的斜率为 3. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知复数z满足， 则， 故的虚部为． 4. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 5. 已知一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】因为数据，，…，的方差为2， 所以数据，，…，的方差为. 6. 已知直线，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求得参数,结合充分必要条件可得. 【详解】，且，解得或． 由可得；而还可能得， 由此可知：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 7. 已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过棱长关系证明侧棱两两垂直，将三棱锥补成长方体，利用长方体外接球的性质求解半径； 【详解】证明侧棱两两垂直：在中，，，， ，由勾股定理逆定理得； 在中，，，，，得； 在中，，，，，得. 因此两两垂直. 求外接球半径：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球，与以为长宽高的长方体的外接球完全相同， 外接球直径等于长方体体对角线长度。设外接球半径为，则 ，解得 故选：B. 8. 已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线与直线 平行，线段的中点为， ，化简可得 解得， 设 ， ，即 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率越大，倾斜角越大 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的斜率为 D. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】A项举例直线斜率正负特例即可；B项求与轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式可得；D项结合图象判断可得. 【详解】A项，设两条直线斜率分别为，，， 但斜率为的直线倾斜角，而斜率为的直线倾斜角为， ，故A错误； B项，直线，令，得， 即直线在轴上的截距为，故B正确； C项，直线方程可化为， 所以直线的斜率为，故C错误； D项，若直线经过第一、二、四象限，则，， 所以点在第二象限，故D正确. 故选：BD. 10. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得，计算即可；对于B，由互斥事件的概率公式计算即可；对于C，由事件的独立性定义判断即可；对于D，由事件的独立性的概率公式计算即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 则相互独立，故C正确； 对于D，若相互独立，则相互独立，且， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为的中点，点满足，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在点使得，，，四点共面 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 若，，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定点的坐标，利用空间向量的数量积进行判断A项，由共面定理进行判断B项，利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来判断C项，由线面所成角的空间向量计算求解判断D项． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 得， 对于A项，若，则，得点， 则，故A项错误； 对于B项，若，得，得， 得点， 假设存在点使得，，，四点共面，则， 得， 得，解得， 此时，得， 而，且，则点在线段上运动， 此时，使得，，，四点共面，故B项正确； 对于C项，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为， 连接， 因为，所以， 令，而， 则，得到， 因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以， 由正方体，得到四边形是平行四边形，故， 则，由题意得为的中点，则的面积是定值， 而平面，平面，所以平面， 结合，由线面平行性质得到面的距离为定值， 即四面体的体积为定值，故C正确， 对于D项，若，，得，得点， 则， 设平面的法向量为，， 由，取， 设直线与平面所成角为， 则，故D项正确． 故选：BCD 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据:1，2，3，5，6，10，9，8，7的分位数是_____. 【答案】7 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，计算索引值；索引不是整数时向上取整，对应项即为所求百分位数. 【详解】先将给定数据从小到大排列：1，2，3，5，6，7，8，9，10，样本容量. 计算索引值：，因为不是整数，向上取整为6，取排序后第6项数据，所以分位数是. 13. 已知点，，，则点到直线的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为点，，， 所以，， 则，， 所以点到直线的距离是 . 故答案为：. 14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨先考虑甲输丙，再就甲与乙丁的输赢分类讨论后可得所求的概率. 【详解】甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意； 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢， 否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输或一输一平， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于比较复杂的概率的计算，注意根据问题的特征合理分类，尽量不重不漏，必要时利用表格或枚举等方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，已知，，点为边的中点． （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到点的坐标，进而根据得到的斜率即可求解； （2）根据（1）中点的坐标，分“直线过原点”和“直线不过原点”两种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 因为，点为边的中点，所以有可得， 又因为，所以， 因为是边上的高， 所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 16. 一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （2）全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 【答案】（1），众数为75，平均数为72，第80百分位数为85 （2）平均分73，总方差26 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求众数，平均数和80百分位数； （2）首先根据公式求总体平均分，再代入总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 各组小矩形的面积之和为1， 所以 解得. 由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 设第80百分位数为，成绩在的频率为， 成绩在的频率为 所以，， 解得 故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85. 【小问2详解】 依题意，得两组成绩合并后的总平均数为， 总方差. 故全班学生的平均分73，总方差26. 17. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）以为原点，为轴，为y轴，为轴建立空间直角坐标系， 由题意可知， ， 是中点，，是中点，， ，，所以，得， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】(1)根据直三棱柱以及的条件建立空间直角坐标系，利用向量平行证明线面平行； (2)求出平面的法向量，借助线面角向量公式计算正弦值； (3)利用点到平面距离的向量公式直接计算距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，， 设平面的法向量为，则， ，， ，， 设直线与平面所成角为，. 【小问3详解】 点到平面的距离，， ，故. 18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】（1）① ； ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2） 【解析】 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【小问1详解】 ①记事件为“至少收到一次0”，则． ②略 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 19. 如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. （1）若平面，求； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积的最小值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点线面的位置关系得到点是的重心，从而由比例关系可得答案； （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，求出平面的法向量，利用夹角公式进行求解； （3）设，，由共线定理推论可得，由基本不等式可得，并得到体积最小值 【小问1详解】 设，如图. 因为，所以，， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面平面，所以，所以点也是与的交点， 即点是的重心，所以. 因为平面，平面平面， 所以，所以. 【小问2详解】 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，，所以，，，. 因为， . 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 四棱锥的体积 . 由（1）知，恒过点，点为的重心.设，， 因为，，，三点共线， 所以，即， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时取等号. 因为，所以， 所以， 所以四棱锥的体积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $