第14课时 函数的模型及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

第14课时 函数的模型及其应用（学生使用） 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 必备知识·逐点梳理 一、三种函数模型的性质 性质 函数 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 "直线上升"是匀速增长，其增长量固定不变；"指数增长"是先慢后快，其增长量成倍增加，常用"指数爆炸"来形容；"对数增长"是先快后慢，其增长量越来越小. 二、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 （，为常数，） 二次函数模型 （，，为常数，） 与反比例函数相关的模型 （，为常数且） 与指数函数相关的模型 （，，为常数，且，） 与对数函数相关的模型 （，，为常数，且，） 与幂函数相关的模型 （，，为常数，，） 关键考点·核心突破 考点一 用函数图象刻画变化过程 例1 （1） 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是4和.不考虑树的粗细，现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数的图象大致是（ ）. A. B. C. D. （2） （RA必修一P152例6改编）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量（单位：毫克）与时间（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计与的关系，则应选用的函数模型是（ ）. A. B. C. D. 随堂训练 如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边，和运动（不含点，），记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）. A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 考点二 应用所给函数模型解决实际问题5年2考 例2 （1） （RA必修一P141T10改编）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则人听觉的声强级范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （经典高考真题，多选题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则（ ）. A. B. C. D. 随堂训练 （2025·北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时.当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）. A. 2小时 B. 4小时 C. 20小时 D. 40小时 考点三 构建函数模型解决实际问题 例3 某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究.一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物的覆盖面积（单位：平方米）与所经过的月数的数据，如表所示. 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 为了描述该生物的覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下四种模型可供选择： ①；②；③；④. （1）试判断哪种函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； （2）经过几个月，此生物能否覆盖整个池塘？（参考数据：，） 随堂训练 智能辅助驾驶系统的自动刹车功能已开始得到应用.其工作原理是：通过雷达测量车辆与障碍物之间的距离，并结合实时车速计算出车辆到达障碍物所需的时间.系统预设了两个关键距离阈值——报警距离和危险距离.当实测距离达到报警距离时，系统会发出警报；当距离进一步缩短至危险距离时，系统将自动执行刹车.如图，该过程涉及的时间可分为四个阶段：准备时间、人的反应时间、系统反应时间和制动时间.各阶段对应车辆行驶的距离分别为，，，（单位：米）.当车速为米/秒时，这些数据可通过大数据统计分析获得，如表所示，其计算通常会涉及一个随地面湿滑程度等因素变化的系数. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 距离/米 （1）请写出报警距离与车速之间的函数关系式，当时，假设在车辆达到报警距离，驾驶员和系统均未采取任何制动措施，车辆继续保持速度匀速行驶，求汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求当时，汽车的报警距离必须小于50米，试求汽车的行驶速度应限制在多少以下. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14课时 函数的模型及其应用（教师使用） 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 必备知识·逐点梳理 一、三种函数模型的性质 性质 函数 在上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 "直线上升"是匀速增长，其增长量固定不变；"指数增长"是先慢后快，其增长量成倍增加，常用"指数爆炸"来形容；"对数增长"是先快后慢，其增长量越来越小. 二、常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 （，为常数，） 二次函数模型 （，，为常数，） 与反比例函数相关的模型 （，为常数且） 与指数函数相关的模型 （，，为常数，且，） 与对数函数相关的模型 （，，为常数，且，） 与幂函数相关的模型 （，，为常数，，） 关键考点·核心突破 考点一 用函数图象刻画变化过程 例1 （1） 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是4和.不考虑树的粗细，现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数的图象大致是（ ）. A. B. C. D. （2） （RA必修一P152例6改编）某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量（单位：毫克）与时间（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计与的关系，则应选用的函数模型是（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 设 的长为，则 的长为，则矩形 的面积为.因为要将点 围在矩形 内，所以.当 时，；当 时，可得其图象与 选项接近.故选B. （2） 由题图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减，符合题意.故选B. 感悟提升 判断实际问题变化过程的两种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 随堂训练 如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边，和运动（不含点，），记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）. A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】如图1，， ，易得， ， ，则. 如图2，当 时，点 在线段 上（不包括点），则. 此时. 如图3，当 时，点 在线段 上（不包括点），此时. 如图4，当 时，点 在线段 上（不包括点）， 此时，则，则.故选C. 考点二 应用所给函数模型解决实际问题5年2考 例2 （1） （RA必修一P141T10改编）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则人听觉的声强级范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；若平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （经典高考真题，多选题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） ； （2） ACD 【解析】 （1） 依题意，，. 因此，人类听觉的声强级范围为. 当 时，，所以其声强级为. （2） 燃油汽车，所以，， ① 同理，，， ② . ③ 对于A，由题表知，所以A正确； 对于B，由②③得，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，由①②得，所以，，所以D正确.故选ACD. 感悟提升 利用函数模型解决实际问题的关注点 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. （2）根据已知条件利用待定系数法，确定模型中的待定系数. （3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 随堂训练 （2025·北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时.当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）. A. 2小时 B. 4小时 C. 20小时 D. 40小时 【答案】B 【解析】设当训练数据量 取 个单位、个单位、个单位时所需训练时间分别为，，.由题意，， ， . 因为，所以， 所以. 所以当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加4小时.故选B. 考点三 构建函数模型解决实际问题 例3 某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究.一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物的覆盖面积（单位：平方米）与所经过的月数的数据，如表所示. 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 为了描述该生物的覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下四种模型可供选择： ①；②；③；④. （1）试判断哪种函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； （2）经过几个月，此生物能否覆盖整个池塘？（参考数据：，） 【解析】（1）因为函数 刻画的是增长速度越来越快的变化规律，符合表中数据的变化规律，而 刻画的是增长速度不变的规律，和 刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，所以 更合适.由 解得 所以，. （2）设经过 个月，此生物能覆盖整个池塘，则，解得. 故经过9个月，此生物能覆盖整个池塘. 感悟提升 构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型； （2）推理、运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； （3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 随堂训练 智能辅助驾驶系统的自动刹车功能已开始得到应用.其工作原理是：通过雷达测量车辆与障碍物之间的距离，并结合实时车速计算出车辆到达障碍物所需的时间.系统预设了两个关键距离阈值——报警距离和危险距离.当实测距离达到报警距离时，系统会发出警报；当距离进一步缩短至危险距离时，系统将自动执行刹车.如图，该过程涉及的时间可分为四个阶段：准备时间、人的反应时间、系统反应时间和制动时间.各阶段对应车辆行驶的距离分别为，，，（单位：米）.当车速为米/秒时，这些数据可通过大数据统计分析获得，如表所示，其计算通常会涉及一个随地面湿滑程度等因素变化的系数. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 距离/米 （1）请写出报警距离与车速之间的函数关系式，当时，假设在车辆达到报警距离，驾驶员和系统均未采取任何制动措施，车辆继续保持速度匀速行驶，求汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求当时，汽车的报警距离必须小于50米，试求汽车的行驶速度应限制在多少以下. 【解析】（1）由题意知，，即，当 时，，，当且仅当 时，等号成立，满足，即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. （2）当 时，，即，即，解得， 又，所以，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $