专题2.11 函数模型及其应用【8类必考点分类集训】讲义-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用专题，涵盖一次二次函数、分式型、指数对数函数、幂函数及分段函数六大核心考点，按函数类型构建知识体系，通过考点梳理、模型特征分析、解题方法指导和真题专项训练，帮助学生系统掌握不同函数模型的应用规律，突破实际问题转化与求解难点。 讲义以情境化问题驱动教学，如经济利润、环境治理等实例，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维分析问题的能力。设置分层练习与综合应用模块，通过对比不同函数模型的适用场景，提升学生数学语言表达与问题解决能力，为教师提供精准复习路径，高效提升学生应考实战能力。

专题2.11 函数模型及其应用 【考点1：利用一次、二次函数模型解决实际问题】 1 【考点2：分式型函数模型的应用】 4 【考点3：指数函数模型的应用】 6 【考点4：对数函数模型的应用】 8 【考点5：幂函数模型的应用】 10 【考点6：分段函数模型的应用】 12 【考点1：利用一次、二次函数模型解决实际问题】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 2．（25-26高三·全国·一轮复习）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 3．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【考点2：分式型函数模型的应用】 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 2．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 4．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 5．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【考点3：指数函数模型的应用】 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 2．（25-26高二下·安徽·期末）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（    ） A．10分钟 B．20分钟 C．30分钟 D．40分钟 3．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 4．（2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版选修三和一轮复习三角函数之前】）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说法正确的是______________ ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 ④．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 5．（第08讲函数模型及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别，曾经的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.82 ZB． (1)为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式. (2)根据（1）中所求函数模型，估计 2018 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？ 【考点4：对数函数模型的应用】 1．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 2．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 3．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（    ）吨．（参考数据：） A．400 B．370 C．320 D．300 4．（第08讲函数模型及其应用（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息： （1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________； （2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________． （所有结果保留整数，参考数据：） 5．（25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【考点5：幂函数模型的应用】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 2．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 5．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点6：分段函数模型的应用】 1．（第08讲函数模型及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 3．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 4．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 3．（2026·河南郑州·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（    ）（参考数据：） A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某数据公司统计了近5年某种品牌新能源汽车的销售情况如下表： 时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 间隔年份（单位：年） 0 1 2 3 4 全球销售量（单位：百万） 0.5 0.75 1.125 1.688 2.531 从函数和中选择一个最合适的模型（计算函数模型时应用前两组数据即可），预测2024年全球销售量与2019年全球销售量的比约为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川成都·期中）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该蓄电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，） A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．5.5 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·初升高衔接）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（   ） （参考数据：，，） A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年 8．（25-26高三·全国·一轮复习）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为，则需经过的天数为______． 10．（【师说智慧课堂】4.5.3函数模型的应用-2025-2026学年高中数学新教材同步检测题）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，min后物体的温度可由公式求得，且把温度是的物体放在的空气中冷却t min后，物体的温度是，那么t的值约等于______．(参考数据：取，取) 四、解答题 11．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 12．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.11 函数模型及其应用 【考点1：利用一次、二次函数模型解决实际问题】 1 【考点2：分式型函数模型的应用】 4 【考点3：指数函数模型的应用】 9 【考点4：对数函数模型的应用】 12 【考点5：幂函数模型的应用】 15 【考点6：分段函数模型的应用】 18 【考点1：利用一次、二次函数模型解决实际问题】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【答案】A 【分析】使用换元法将问题转化为一元二次函数的最值问题求解即可. 【详解】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 【答案】30 【详解】设该企业所能获取的最大利润为万元，则， 即，故当或时，取最大值30， 即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元． 3．（25-26高二下·上海·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 【考点2：分式型函数模型的应用】 1．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 2．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【答案】(1)水池的造价，其中（单位：元） (2)时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围； （2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可. 【详解】（1）由题意，得水池的底面积为，侧面积为（单位：）， 所以水池的造价，其中（单位：元）； （2）对函数求导，得， 令，解得， 由，解得，故在区间上单调递减， 由，解得，故在区间上单调递增, 所以，时，取得最小值元， 时，取得最小值元， 因此，时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 4．（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 5．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 【考点3：指数函数模型的应用】 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 2．（25-26高二下·安徽·期末）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，要想温度降至，那么大约再经过（    ） A．10分钟 B．20分钟 C．30分钟 D．40分钟 【答案】B 【分析】先将，代入题设得出的值，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式求解即可. 【详解】由题意，当时， 有，解得：，即， 设再经过分钟后，温度可由，降至， 则，即，解得：. 3．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 4．（2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版选修三和一轮复习三角函数之前】）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，为种群数量的年增长率，为预测的年数，则下列说法正确的是______________ ①．当，则这期间种群数呈下降趋势 ②．当，则这期间种群数呈下降趋势 ③．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 ④．若初始数量，年增长率为，则年后预测种群数量约为 【答案】①③ 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于①，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，①正确； 对于②，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，②错误； 对于③，，即年后预测种群数量约为，③正确； 对于④，，即年后预测种群数量约为，④错误. 5．（第08讲函数模型及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别，曾经的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.82 ZB． (1)为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x（单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数和中选择一个，并求出解析式. (2)根据（1）中所求函数模型，估计 2018 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？ 【答案】(1)应选择函数， (2)2018为第11年，即，代入得， 实际中，随着科技发展，数据增长速度可能比模型预测的更快，因为大数据时代下，互联网、物联网等技术的发展，数据产生的渠道和速度都在不断加快，所以这个模型可能在一定程度上低估了数据量的增长，但在没有更精准数据和复杂模型的情况下，指数函数能较好地体现数据量的增长趋势 【分析】（1）根据散点图选择合适的模型，再代入数据求解析式； （2）代入年份值求出估计值，并进行分析. 【详解】（1）设年分别对应第年，第年，第年，第年，由已知列表如下： 画出散点图如下： 由散点图知，4个点在一条曲线上，应选择函数， 将数据代入得：，解得：，. （2）略. 【考点4：对数函数模型的应用】 1．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意知，五分记录法的数据L和小数记录法的数据满足， 因为某同学视力的五分记录法的数据为，可得，解得， 结合对数的运算法则，可得. 2．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 3．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（    ）吨．（参考数据：） A．400 B．370 C．320 D．300 【答案】C 【详解】由题意，. 因为， 所以火箭起飞时至少携带燃料吨. 4．（第08讲函数模型及其应用（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息： （1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________； （2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________． （所有结果保留整数，参考数据：） 【答案】 3129 68 【分析】（1）把总质比和代入，即可求得； （2）由题意得出新的和总质比代入得到新的速度，再与原来的作差大于等于800，解不等式即可. 【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为： ； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加， 则，即 ， 即 ，即 ，所以， 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68． 5．（25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】(1)选择模型②更合适，解析式为； (2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【详解】（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； （2）中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限. 【考点5：幂函数模型的应用】 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 2．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 3．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 4．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 5．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【考点6：分段函数模型的应用】 1．（第08讲函数模型及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 【答案】1000 【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于②，对每段函数分别求最大值即可判断；对于③，将代入函数计算函数值即可判断；对于④根据“运动后活跃期”定义求得满足的的值即可判断． 【详解】对于①，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，①正确； 对于②，当且时，， 所以当时，取得最大值， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值， 综上，的最大值为，②正确； 对于③，当时，， 所以该运动员第分钟时没有恢复到静息心率，③错误； 对于④，当且时，， 当时，取得最小值， 所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，，解得， 所以，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟，④正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 【答案】(1) (2)475台 (3)产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本 【详解】（1）当时，产品能售出x百台；当时，只能售出5百台，故利润函数为（2）当时，， 当时，（万元）； 当时，为减函数，所以； ∴生产475台时利润最大． （3）由或得． 因为 ∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本． 4．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（    ） A．0.5元 B．0.8元 C．1元 D．1.1元 【答案】A 【分析】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总销售收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案. 【详解】设杂志的价格降低了x个0.1元， 则此时价格为元，卖出万本， 设总销售收入为y万元， 则， 要使，即，即，解得， 当时，价格最低，为(元). 故选：A. 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 3．（2026·河南郑州·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（    ）（参考数据：） A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，求出，从而求出正确答案. 【详解】由题意得：，解得：，故选A. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某数据公司统计了近5年某种品牌新能源汽车的销售情况如下表： 时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 间隔年份（单位：年） 0 1 2 3 4 全球销售量（单位：百万） 0.5 0.75 1.125 1.688 2.531 从函数和中选择一个最合适的模型（计算函数模型时应用前两组数据即可），预测2024年全球销售量与2019年全球销售量的比约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图判断并选择一个最合适的模型，代入数值计算求出函数模型的表达式，即可求出答案. 【详解】根据表中数据作出散点图如图所示，    则由散点的趋势可以看出，模型更合适， 将点代入得，解得，， 所以． 则2024年全球销售量与2019年的比值为． 故选：D 5．（25-26高一上·四川成都·期中）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该蓄电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，） A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．5.5 【答案】B 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解. 【详解】根据题意可得，两式相除可得， 所以，可得. 故选：B. 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可. 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·初升高衔接）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（   ） （参考数据：，，） A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年 【答案】CD 【分析】设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意得，利用对数的意义解不等式即可求解. 【详解】设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意得，所以， 两边取对数，得， 因为，所以n的最小值为4． 故2023年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 故选：CD 8．（25-26高三·全国·一轮复习）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当10时，，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当时， ， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以有最小值， 所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确. 故选：. 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为，则需经过的天数为______． 【答案】75 【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 【详解】由已知，得， ∴． 设经过天后，一个新丸体积变为， 则， ∴， ∴，． 故答案为：75. 10．（【师说智慧课堂】4.5.3函数模型的应用-2025-2026学年高中数学新教材同步检测题）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，min后物体的温度可由公式求得，且把温度是的物体放在的空气中冷却t min后，物体的温度是，那么t的值约等于______．(参考数据：取，取) 【答案】 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由题意可得， 化简可得，，由题目数据 故答案为： 四、解答题 11．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 【答案】(1) (2)会，第9天发生危险 【分析】（1）根据“第天水库水量 = 原有水量 + 天累计注入水量 - 天累计泄出水量”的关系，代入题目已知参数整理，即可得到与的函数关系式. （2）令大于水库最大容水量128000得到不等式，解不等式后结合的限制条件，即可判断堤坝是否会发生危险并得到对应结果. 【详解】（1）前n天注入水库的总水量为立方米，并泄水立方米， 所以第n天水库的容水量将达到． （2）设第R天水库的水量超过它的最大容水量，即，即． 化简可得，， 两边平方并整理可得：，即，即第9天发生危险． 12．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 学科网（北京）股份有限公司 $