第07课时 函数的单调性与最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

第07课时 函数的单调性与最值（学生使用） 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数的最大值、最小值的概念以及它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 必备知识·逐点梳理 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当时，都有________，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有________，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 微思考． （1） 设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？ （2） 所有的函数都具有单调性吗？你能举例说明吗？ 2.单调区间的定义 如果函数在区间上________或________，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫作的单调区间. 微判断． （1） 函数在上单调递增，则函数的单调递增区间是.（ ） （2） 函数的单调递减区间是.（ ） 二、函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 ，都有________； ，使得________ ，都有________； ，使得________ 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在区间端点处取到. （2）开区间上的"单峰"函数一定存在最大值或最小值. 关键考点·核心突破 考点一 确定函数的单调性 例1 （1） （RA必修一P86T8改编）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. （2） （经典高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 随堂训练 1．下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）. A. B. C. D. 2．利用定义法，讨论函数在上的单调性. 高考导航·思维进阶 复合函数的单调性 思维进阶 1.复合函数单调性判定原则：同增异减. 2.设复合函数，是定义域的某个区间，是的值域： （1）若在上是增（减）函数，在上也是增（减）函数，则函数在上是增函数； （2）若在上是增（减）函数，而在上是减（增）函数，则函数在上是减函数. 典例 已知函数，，则的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 考点二 函数单调性的应用5年4考 考向1 利用单调性比较大小 例2 （经典高考真题）已知函数.记，，，则. A. B. C. D. 考向2 解不等式 例3 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 考向3 利用单调性求参数值（范围） 例4 （原创）已知函数. （1） 若其单调递增区间是，则实数的值为_ _ _ _ _ _ ； （2） 若其在区间上单调递增，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 随堂训练 1．已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立.设，，，则，，的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 高考导航·思维进阶 函数的值域、最值问题的解法 思维进阶 求函数值域的几类方法 （1）配方法：形如的函数的最值问题，可以考虑用配方法解决. （2）单调性法：求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，那么可以利用函数在给定区间上的单调性求值域. （3）分离常数法：对于形如的函数，可以变形为的形式，再利用反比例函数的性质求值域. （4）换元法：对于形如的无理函数，可以通过换元消去根式，转化为有理函数，间接地求解原函数的值域. （5）基本不等式法：通过对函数解析式变形，利用基本不等式求最值，进而求得值域. （6）数形结合法：对于分段函数，其值域是各分段区间上函数值范围的并集. 典例 按指定方法求解下列函数的值域或最值. （1） （配方法）函数，的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （单调性法）函数的最大值为_ _ _ _ . （3） （分离常数法）函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （4） （换元法）函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （5） （基本不等式法）若，则函数的最小值为_ _ _ _ . （6） （数形结合法）对于任意实数，，定义，设函数，，则函数，的最大值是_ _ _ _ . 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07课时 函数的单调性与最值（教师使用） 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数的最大值、最小值的概念以及它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 必备知识·逐点梳理 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当时，都有  ，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有  ，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 微思考． （1） 设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？ （2） 所有的函数都具有单调性吗？你能举例说明吗？ 【答案】（1） 不能.例如函数，取，，，，当 时，都有，但函数 在D上不具有单调性. （2） 并非所有的函数都具有单调性.如狄利克雷函数 它不具有单调性. （1）函数单调性的两个等价结论： ①若，，且，则 在区间 上单调递增. ②若，，且，则 在区间 上单调递减. （2）若函数，在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： ①当，都是增（减）函数时，是增（减）函数. ②若，则 与 的单调性相同；若，则 与 的单调性相反. ③函数 与，在公共定义域内的单调性相反. ④复合函数 的单调性与 和 的单调性有关，简记为"同增异减". 2.单调区间的定义 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫作的单调区间. 微判断． （1） 函数在上单调递增，则函数的单调递增区间是.（ ） （2） 函数的单调递减区间是.（ ） 【答案】（1） （2） （1）"函数 的单调递增区间是"是指函数 的单调递增区间恰好是，在其他的区间上，不是单调递增的；而"函数 在区间 上单调递增"是指函数 在区间 以外的区间或包含 的更大区间上也可能是单调递增的. （2）有多个单调区间时应分开写，不能用符号" "连接，也不能用"或"连接，只能用"，"或"和"连接. 二、函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 ，都有  ； ，使得   ，都有  ； ，使得   结论 是函数的最大值 是函数的最小值 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在区间端点处取到. （2）开区间上的"单峰"函数一定存在最大值或最小值. 关键考点·核心突破 考点一 确定函数的单调性 例1 （1） （RA必修一P86T8改编）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. （2） （经典高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】（1） 见解析 （2） C 【解析】 （1） 任取，，且， 则. 因为，所以，， 所以， 所以，即， 所以函数 在区间 上单调递增. （2） 对于A，在 上单调递增， 所以 在 上单调递减，故A错误； 对于B，在 上单调递增， 所以 在 上单调递减，故B错误； 对于C，在 上单调递减， 所以 在 上单调递增，故C正确； 对于D，在 上不是单调的，故D错误.故选C. 感悟提升 确定函数单调性（区间）的方法 （1）定义法：先求定义域，再设元 作差 变形 判断符号 得出结论. （2）图象法：若是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象确定单调性（区间）. （3）导数法：先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性（区间）. 随堂训练 1．下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对任意，，当 时，都有，则函数 在 上单调递减. 在 上单调递增，故A错误； 在 上单调递减，故B正确； 在 上不单调，故C错误； 在 上单调递增，故D错误.故选B. 2．利用定义法，讨论函数在上的单调性. 【解析】任取，，且，易知， 则. 当 时，，即，函数 在 上单调递减； 当 时，，即，函数 在 上单调递增. 高考导航·思维进阶 复合函数的单调性 思维进阶 1.复合函数单调性判定原则：同增异减. 2.设复合函数，是定义域的某个区间，是的值域： （1）若在上是增（减）函数，在上也是增（减）函数，则函数在上是增函数； （2）若在上是增（减）函数，而在上是减（增）函数，则函数在上是减函数. 典例 已知函数，，则的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】令，则 在 上单调递增，在 上单调递减，且. 在 上单调递减，在 上单调递增.故 的单调性是以"0"为界来划分的，的单调性是以"1"为界来划分的，由此可确定 的单调性.令，则.所以函数 的单调递减区间是，单调递增区间是. 考点二 函数单调性的应用5年4考 考向1 利用单调性比较大小 例2 （经典高考真题）已知函数.记，，，则. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数 是由函数 和函数 复合而成的复合函数，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以由复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 易知函数 的图象关于直线 对称，所以，又，所以，即，所以.故选A. 考向2 解不等式 例3 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数 是定义在区间 上的增函数，且，所以，解得.故选D. 考向3 利用单调性求参数值（范围） 例4 （原创）已知函数. （1） 若其单调递增区间是，则实数的值为_ _ _ _ _ _ ； （2） 若其在区间上单调递增，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 函数 图象的对称轴为直线，由，得. （2） 因为函数 图象的对称轴为直线，且函数 在区间 上单调递增，所以，解得，所以实数 的取值范围为. 感悟提升 函数单调性的应用策略 （1）比较大小：利用单调性比较函数值的大小，需将各自变量的值转化到同一单调区间上. （2）解不等式：关键是利用函数的单调性将""脱掉，使其转化为具体的不等式并求解，此时应特别注意函数的定义域. （3）求参数：利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较求参数. 随堂训练 1．已知函数的图象关于直线对称，当且，时，恒成立.设，，，则，，的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 当 且，时，恒成立，在 上单调递增. 的图象关于直线 对称，. ，，即.故选A. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为函数 在定义域 上单调递增，且，由，得，所以，解得 或. 3．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 在 上单调递增，且当 时，单调递增， 所以需满足 解得， 即 的取值范围是.故选B. 高考导航·思维进阶 函数的值域、最值问题的解法 思维进阶 求函数值域的几类方法 （1）配方法：形如的函数的最值问题，可以考虑用配方法解决. （2）单调性法：求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，那么可以利用函数在给定区间上的单调性求值域. （3）分离常数法：对于形如的函数，可以变形为的形式，再利用反比例函数的性质求值域. （4）换元法：对于形如的无理函数，可以通过换元消去根式，转化为有理函数，间接地求解原函数的值域. （5）基本不等式法：通过对函数解析式变形，利用基本不等式求最值，进而求得值域. （6）数形结合法：对于分段函数，其值域是各分段区间上函数值范围的并集. 典例 按指定方法求解下列函数的值域或最值. （1） （配方法）函数，的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ . （2） （单调性法）函数的最大值为_ _ _ _ . （3） （分离常数法）函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （4） （换元法）函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （5） （基本不等式法）若，则函数的最小值为_ _ _ _ . （6） （数形结合法）对于任意实数，，定义，设函数，，则函数，的最大值是_ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 1 （3） （4） （5） 1 （6） 1 【解析】 （1） ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，而，，，故其值域为. （2） 因为函数，在区间 上均单调递 增，所以函数 在 上单调递增，当 时，. （3） ，故值域为. （4） 设，则，且，令，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，从而当 时，取得最小值，，可得函数 的值域为. （5） 因为，所以，所以， 当且仅当，即 时，等号成立.因为 在定义域内，所以最小值为1. （6） 在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象， 依题意，的图象为如图所示的实线部分.易知点 为图象的最高点，因此 的最大值为. 第页/共页 学科网（北京）股份有限公司 $