专题08 观察物体（三）（解决问题专项讲义）数学苏教版五年级上册（新教材）

专题08 观察物体（三）（解决问题专项讲义） 题型01 通过三视图会摆放立体图 题型02 移动、添加小正方体使看到的图形不变 题型01 通过三视图会摆放立体图 一、通过三视图会摆放立体图解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决根据三视图摆放立体图形的实际问题时，先根据题意分清三个视图各自管什么：从上面看到的图形管"哪些位置上有方块"，决定底层的摆放格局；从前面看到的图形管"每一列最高叠到几层"；从右面看到的图形管"每一排最高叠到几层"。再按"定底层—定层数—调位置—验结果"的顺序摆，最终得到符合三个方向共同约束的立体图形。比如从上面看是2行3列的布局，底层至少要摆6个方块；再从前面看左起第一列有2层，就要在这一列往上叠加。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目要求判断小正方体用几个时，可直接依托"一个视图定不了、两个视图定范围、三个视图定结果"的规律快速推算。例如只给从正面、左面两个视图，就先据上面的方格锁定底层的行数与列数，再按"每列、每排的最高层数"取交集口算：最少只要保证每个需要高层的位置各叠一个，最多则把所有位置都叠到允许的最高层，两个数据一次得出，比反复试摆更快。 ‌结果预判规律‌ 条件越全，答案越窄——只给一个视图，摆法有无数种；给两个视图，只能锁定数量的最大与最小值；给三个视图，通常才能唯一确定。解题前先预判题目给的是几个视图、答案该是"一种摆法"还是"一个范围"，避免出现"拿两个视图硬凑出唯一答案"或"忽略被上层挡住的底层方块、以为看到几个正方形就用几个方块"这类脱离条件的错误。 二、通过三视图会摆放立体图解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"给三视图摆物体"的场景，先用上面的视图摆出底层、再用前面的视图定列高、用右面的视图定排高；遇到"只给两个视图求最多最少"的场景，先摆出满足两视图的底层，再按"需要层数处必须叠够、不需要处绝不乱叠"的原则分别取极值；遇到"给视图判断摆法种数"的场景，先固定底层布局，再遍历每一处需要加高的位置。先锁定核心的"上面定位置、前后定高度"模块，再匹配对应的层数条件，不用摆完再推翻重来。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到"只给两个视图求所需小正方体个数范围"的题目，比如从正面看是2列1层、从左面看是2行1层，可先据两视图把底层确定为2行2列的田字格，再依据"需要层数处至少叠一个、其余位置可空可满"直接口算：最少3个（摆成L形）、最多4个（田字格摆满），比一个个试摆再数个数快得多。 ‌逆向推导技巧‌ 已知给出的视图和部分摆放条件，可反向依托"上面看管有没有、前面看管每列几层、右面看管每排几层"的分工反推某个位置该不该放、放几层。比如已知从上面看某一格有方块、从前面看它所在的那一列只有1层，就反推出这一格只能摆1个、不能再往上叠，验证完全符合三个方向的约束要求。 【典例1】请看以下相关信息，解决数学问题。 一个仓库里堆积着若干正方体货箱，这些箱子搬运比较困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是他将从正面、左面、上面看这堆货物，得到如下的平面图形，你能根据这幅图帮助他清点箱子的数量吗？你是怎么清点的，请把你的想法写下来。 【专项训练1】下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形，你能摆出这个几何体吗？                    从前面看         从左面看        从上面看 摆完后观察一下，说一说你有什么发现。 【专项训练2】如下图所示，保持从上面看到的图形不变的情况下： （1）如果有5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ （3）最多可以摆几个小正方体？ 【专项训练3】若干个大小相同的小正方体堆在一起，从前面、右面和上面三个方向观察得到如图所示的图形，请问：这些正方体有多少个？ 【专项训练4】一个几何体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是那么这个几何体至少由个小正方体组成，最多由个小正方体组成。 【专项训练5】一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭一搭，你用了几个小正方体？ 【专项训练6】用4个相同的正方体搭一个立体图形，从上面看是，有（        ）种搭法。画出其中两种搭法从正面和右面看到的形状。 【专项训练7】用4个同样大的正方体按要求摆一摆。 （1）从上面看是，有几种不同的摆法？ （2）从前面看是，请摆出四种。 【专项训练8】用6个小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状如图所示，请问一共有多少种搭法？请写出你的分析过程。若下图是用10个小正方体搭成，又有几种搭法，请直接写出结果。 【专项训练9】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。 （1）这个立体图形可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭这个立体图形，最多需要几个小正方体？最少需要几个小正方体？想一想，搭一搭。 题型02 移动、添加小正方体使看到的图形不变 一、移动、添加小正方体使看到的图形不变基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决移动、添加小正方体使图形不变的实际问题时，先根据题意明确"要守住哪个方向看到的图形"，再抓住这个方向的"投影"：从上面看，投影由底层占位的格子决定；从前面看，投影由每一列的最高层数决定；从右面看，投影由每一排的最高层数决定。然后按"新加的方块只落在已有方块投影之内""方块只移到与本位置投影重合处"的规则操作，最终得到视图不变的新图形。比如要让从上面看不变，就把方块叠到已有方格的正上方，俯视还是那几格。 ‌特殊速算技巧‌ 判断"加一个会不会改变视图"，可直接做"投影覆盖"口算——把落点沿要观察的方向投过去，看它是否落在已有方块已经形成的影子里，落在影子里视图就不变。比如要让从前面看不变，就把方块塞到已有方块的正后方，被前排挡住，正面看到的形状照旧；要让从右面看不变，就塞到同一排的后面去。一处重合，就守住一处。 ‌结果预判规律‌ 视图不变的本质是"投影不变"，所以能添加、能移动的位置是有限的几处，不是随便放；添加后总数变多、移动后总数不变；移动时起点和终点必须在要保护的视图方向上投影完全重合，否则该视图必变。解题前先预判"这道题守的是哪个视图、允许变的是哪个方向"，避免出现"把方块加在最高层上方导致图形变高""移动后从上面看的格子少了一个"这类错误。 二、移动、添加小正方体使看到的图形不变进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"添加使某视图不变"的场景，先找出该方向上被遮住的位置（前面有方块挡着、或上面有方块压着），再把方块放进去，放完原地回看一遍投影是否与原来重合；遇到"移动使某视图不变"的场景，先定投影重合的两处——同一列的不同排、同一排的不同列，或同一格子的上下层，再把方块由一处平移到另一处；遇到"多方向同时不变"的场景，先分别列出每个方向的约束，再取交集。先锁定核心的"投影不变"模块，再匹配对应的遮挡条件，不用摆完再推翻重来。 ‌特殊场景速算技巧‌ 只守一个方向时，可添加的位置往往就是"被挡住"的那几处，数一数有几处被遮点，就知道有几种加法，不必逐个试；三个方向都要求不变时，方块通常只能沿某方向"平移一格"或"上下加一个"，可行位置极少，直接口算排除即可。 ‌逆向推导技巧‌ 已知"移动或添加后视图不变"，可反向依托投影重合的规律反推方块原来的位置、落点或个数。比如移动前后从上面看都是3个格子，就反推出方块起点和终点在同一俯视格内，只能上下换层或原地平移；若添加后从前面看的层数没变高，就反推出新方块那列必有更高的方块挡着，验证完全符合"投影之内"的要求。 【典例2】有一个立体模型，一共由7个小正方体摆成。如果拿走1个小正方体，要保证从右面看到的图形不发生变化。说一说：什么样位置上的小正方体可以拿走？什么样的小正方体绝对不能拿走？ 【专项训练1】用同样的小正方体搭立体图形，在原有物体上再添1个小正方体，想要从右面看到的图形不变。请写出两种摆放这个新增小正方体的位置思路。 【专项训练2】现有一组立体图形，从上面看是5个正方形拼接而成。如果只移动第二层的1个小正方体，要保持从上面观察的图形不变，可以怎么移动？简述理由。 【专项训练3】用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（    ）个小正方体。 【专项训练4】操作。 （1）上面图中哪几个图形从上面看到的形状相同（    ）？（填序号）将看到的相同形状画在方格图中。 （2）给图②加一个相同的小正方体，使图①和图②从左面看到的形状相同，请在相应的位置标上“○”表示加上的小正方体。 【专项训练5】利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 【专项训练6】如图是由9个棱长是的小正方体搭成的立体图形。 （1）小飞和小红看到的图形的面积分别是多少？ （2）从图中标了序号的小正方体中取出一部分。 ①取走1号小正方体后，这个立体图形从（ ）面看到的图形不变； ②取走6号小正方体后，这个立体图形从（ ）面看到的图形不变； ③取走（ ）号小正方体后，这个立体图形从上面和左面看到的图形都不变。 （3）再增加1个同样的小正方体，要保证从上面看到的图形不变，一共有（    ）种摆法，请你写出两种与小飞不同的摆法？ 【专项训练7】下图是由9个相同的小正方体搭成的立体图形，请你先想一想，再填一填、画一画。（填序号） （1）仅移走一个小正方体，使从左面看到的图形是，应移走小正方体（ ）。 （2）仅移走一个小正方体，使从上面看到的图形是，应移走小正方体（ ）或（ ）。 （3）将小正方体⑤移到小正方体⑨的上面，请你在右面的方格图中画一画从左面和从正面看到的形状。 【专项训练8】操作。 （1）在方格图里分别画出如图组合图形从前面、左面、和上面看到的图形。 （2）如果要把上面的立体图形变成正方体，可以把它去掉（    ）个小正方体或至少加上（    ）个小正方体。 【专项训练9】（1）分别画出以下几何体从正面、上面、左面观察到的图形。 （2）要保证从正面和上面观察到的图形不变，可以去掉“（    ）”号小正方体。 （3）在“1”号或“2”号正方体上面增加一个小正方体，从（    ）面观察到的图形改变。（填“正”“上”或“左”）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 观察物体（三）（解决问题专项讲义） 题型01 通过三视图会摆放立体图 题型02 移动、添加小正方体使看到的图形不变 题型01 通过三视图会摆放立体图 一、通过三视图会摆放立体图解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决根据三视图摆放立体图形的实际问题时，先根据题意分清三个视图各自管什么：从上面看到的图形管"哪些位置上有方块"，决定底层的摆放格局；从前面看到的图形管"每一列最高叠到几层"；从右面看到的图形管"每一排最高叠到几层"。再按"定底层—定层数—调位置—验结果"的顺序摆，最终得到符合三个方向共同约束的立体图形。比如从上面看是2行3列的布局，底层至少要摆6个方块；再从前面看左起第一列有2层，就要在这一列往上叠加。 ‌特殊速算技巧‌ 当题目要求判断小正方体用几个时，可直接依托"一个视图定不了、两个视图定范围、三个视图定结果"的规律快速推算。例如只给从正面、左面两个视图，就先据上面的方格锁定底层的行数与列数，再按"每列、每排的最高层数"取交集口算：最少只要保证每个需要高层的位置各叠一个，最多则把所有位置都叠到允许的最高层，两个数据一次得出，比反复试摆更快。 ‌结果预判规律‌ 条件越全，答案越窄——只给一个视图，摆法有无数种；给两个视图，只能锁定数量的最大与最小值；给三个视图，通常才能唯一确定。解题前先预判题目给的是几个视图、答案该是"一种摆法"还是"一个范围"，避免出现"拿两个视图硬凑出唯一答案"或"忽略被上层挡住的底层方块、以为看到几个正方形就用几个方块"这类脱离条件的错误。 二、通过三视图会摆放立体图解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"给三视图摆物体"的场景，先用上面的视图摆出底层、再用前面的视图定列高、用右面的视图定排高；遇到"只给两个视图求最多最少"的场景，先摆出满足两视图的底层，再按"需要层数处必须叠够、不需要处绝不乱叠"的原则分别取极值；遇到"给视图判断摆法种数"的场景，先固定底层布局，再遍历每一处需要加高的位置。先锁定核心的"上面定位置、前后定高度"模块，再匹配对应的层数条件，不用摆完再推翻重来。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到"只给两个视图求所需小正方体个数范围"的题目，比如从正面看是2列1层、从左面看是2行1层，可先据两视图把底层确定为2行2列的田字格，再依据"需要层数处至少叠一个、其余位置可空可满"直接口算：最少3个（摆成L形）、最多4个（田字格摆满），比一个个试摆再数个数快得多。 ‌逆向推导技巧‌ 已知给出的视图和部分摆放条件，可反向依托"上面看管有没有、前面看管每列几层、右面看管每排几层"的分工反推某个位置该不该放、放几层。比如已知从上面看某一格有方块、从前面看它所在的那一列只有1层，就反推出这一格只能摆1个、不能再往上叠，验证完全符合三个方向的约束要求。 【典例1】请看以下相关信息，解决数学问题。 一个仓库里堆积着若干正方体货箱，这些箱子搬运比较困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是他将从正面、左面、上面看这堆货物，得到如下的平面图形，你能根据这幅图帮助他清点箱子的数量吗？你是怎么清点的，请把你的想法写下来。 【答案】11个；具体想法见详解 【分析】 根据从上面和从左面看到的图形可以知道第一排有1层，中间一排有3层，第三排有2层且中间那一排的中间没有货物；再根据从前面看到的图形知道中间那一排的左侧和右侧有3层，第三排的中间有1层，即（图形上的数字表示从上面看时，这个位置上箱子的个数），把从上面看到的图形上的数字相加即为箱子的总数量，据此解答。 【详解】根据从上面和左面看到的图形可以确定第一排，第二排，第三排的箱子层数分别是：1层，3层和2层并且第二排的中间是没有箱子的；再根据从前面和左边看到的图形可以知道第二排的左侧和右侧各有3层，第三排的中间只有1个箱子，左侧有2个箱子，因此从上面看时每个位置上箱子的个数如下： 把图形上的数字相加即为箱子的总数量：2＋1＋3＋3＋1＋1＝11（个） 答：一共有11个箱子。 【专项训练1】下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形，你能摆出这个几何体吗？                    从前面看         从左面看        从上面看 摆完后观察一下，说一说你有什么发现。 【答案】见详解 【分析】根据从前面看到的图形可知，这个几何体有一层2个小正方体；根据从左面看到的图形可知，这个几何体有两排2个小正方体；根据从上面看到的图形可知，这个几何体有两排3个小正方体，前排2个，后排1个且居左；据此得出这个几何体是由3个小正方体摆成，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体且居左。 【详解】结合从前面、左面和上面看到的平面图形，可以摆出这个几何体，如图： 我发现通过从三个方向看到的平面图形，能够确定这个几何体的形状。 【专项训练2】如下图所示，保持从上面看到的图形不变的情况下： （1）如果有5个小正方体，可以怎样摆？ （2）如果有6个小正方体，可以有几种不同的摆法？ （3）最多可以摆几个小正方体？ 【答案】（1）四种 （2）图见详解 （3）无数个 【分析】（1）根据从上面、正面和侧面看到的图形可知，底层有4个小正方体。如果是5个小正方体，要使从上面看到的图形不变，可以从第二层上任意放一个； （2）如果有6个小正方体，要使从上面看到的图形不变，可以从第二层上任意放两个； （3）要使从上面看到的图形不变，可以在底层的4个小正方体的上方加小正方体，可以加无数个。 【详解】（1）如果是5个小正方体，有四种摆法； （2）有10种摆法： （3）最多可以摆无数个小正方体。 【专项训练3】若干个大小相同的小正方体堆在一起，从前面、右面和上面三个方向观察得到如图所示的图形，请问：这些正方体有多少个？ 【答案】5个 【分析】通过从不同分析观察的图形来确定小正方体的数量。 观察可知小正方体一共摆了两层两排，从前面和上面看到的图可以知道第一层第一排有3个小正方体，第一层第二排有1个小正方体，从前面和右面看到的图可以知道第二层第二排有1个小正方体，一共有2＋2＋1＝5（个）。 【详解】根据分析，小正方体摆放可以如下图： 2＋2＋1＝5（个） 答：这些正方体有5个。 【专项训练4】一个几何体，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是那么这个几何体至少由个小正方体组成，最多由个小正方体组成。 【答案】6个；7个 【分析】根据从不同方位看到的几何体的形状可知：这个几何体的下层有4个小正方体，前面3个，后面1个靠左；上层至少有2个，最多有3个，在最左边一列的2个小正方体上放1个或2个，在最右边小正方体的上面放1个，据此解答。 【详解】 如图：，一个几何体，从正面看到的图形是，从上面看到的图形是，这个几何体最少由6个小正方体组成；最多由7个小正方体组成。 【专项训练5】一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。搭一搭，你用了几个小正方体？ 【答案】5个 【分析】根据从上面看到的形状，可以确定底层有4个小正方体，靠近观察者一排3个小正方体，后边靠左1个小正方体；根据从正面和左面看到的形状，可以确定一共搭了2层，上层在靠近观察者一排的最左侧1个小正方体，据此分析。 【详解】 如图，搭这个立体图形，用了5个小正方体。 【专项训练6】用4个相同的正方体搭一个立体图形，从上面看是，有（        ）种搭法。画出其中两种搭法从正面和右面看到的形状。 【答案】3；或或 【分析】从上面看是，说明这个几何体第一层有3个小正方体，第4个小正方体在这3个小正方体其中一个的上面。 【详解】这个立体图形有以下几种可能： 所以有3种搭法。 若选择的是上图中的第一种和第二种搭法，作图略。 若选择的是上图中的第一种和第三种搭法，作图略。 若选择的是上图中的第二种和第三种搭法，作图略。 【专项训练7】用4个同样大的正方体按要求摆一摆。 （1）从上面看是，有几种不同的摆法？ （2）从前面看是，请摆出四种。 【答案】（1）3种 （2）见详解 【分析】（1）根据题意可知，从上面看是横着的三个小正方形，要用4个同样大的正方体摆，则可以摆两层，下层一定是横着摆三个正方体，上层分别在最左边、中间和最右边都可以摆一个小正方体，据此解答即可。 （2）从前面看是横着的两个小正方体，要用4个同样大的正方体摆，则必须摆一层且最多两个小正方体横着摆在一起，据此画出符合的摆法即可。 【详解】 （1）如图： 答：有3种不同的摆法。 （2）如图：（答案不唯一） 【专项训练8】用6个小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状如图所示，请问一共有多少种搭法？请写出你的分析过程。若下图是用10个小正方体搭成，又有几种搭法，请直接写出结果。 【答案】10种； 用6个小正方体搭一个立体图形，底层有3个小正方体，则剩下的3个小正方体的摆法有： 当A上放3个时，B、C上放0个，即（3，0，0），有1种搭法； 当A上放2个时，摆成（2，1，0）、（2，0，1），有2种搭法； 当A上放1个时，摆成（1，2，0）、（1，0，2）、（1，1，1），有3种搭法； 当A上放0个时，摆成（0，3，0）、（0，0，3）、（0，2，1）、（0，1，2），有4种搭法； 一共有：1＋2＋3＋4＝10（种）； 36种 【分析】（1）用6个小正方体搭一个立体图形，根据从上面看到的形状可知，这个立体图形的底层有3个小正方体，那么还剩下的3个小正方体需放在这3个底层小正方体的上方。 把底层的3个小正方体设为A、B、C，分别考虑在A上放3个、2个、1个、0个小正方体时，B、C上放小正方体的情况，进而得出一共有几种搭法。 （2）从上一题中发现：n个小正方体搭成从上面看到的形状是的立体图形，搭法总数＝1＋2＋3＋…＋（n－3＋1），据此得出用10个小正方体搭这个立体图形的搭法。 【详解】如图： （1）用6个小正方体搭一个立体图形，底层有3个小正方体，则剩下的3个小正方体的摆法有： 当A上放3个时，B、C上放0个，即（3，0，0），有1种搭法； 当A上放2个时，摆成（2，1，0）、（2，0，1），有2种搭法； 当A上放1个时，摆成（1，2，0）、（1，0，2）、（1，1，1），有3种搭法； 当A上放0个时，摆成（0，3，0）、（0，0，3）、（0，2，1）、（0，1，2），有4种搭法； 一共有：1＋2＋3＋4＝10（种） 答：用6个小正方体搭一个立体图形，一共有10种搭法。 （2）用10个小正方体搭一个立体图形，底层有3个小正方体，则还剩下： 10－3＝7（个） 搭法一共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（种） 答：用10个小正方体搭一个立体图形，一共有36种搭法。 【点睛】通过用6个小正方体搭出符合要求的立体图形的搭法中得出规律，进而得出用10个小正方体搭这个立体图形的搭法。 【专项训练9】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。 （1）这个立体图形可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭这个立体图形，最多需要几个小正方体？最少需要几个小正方体？想一想，搭一搭。 【答案】（1） （2）最多需要7个小正方体，最少需要5个小正方体。 【分析】（1）依次观察四个立体图形从上面、左面看到的形状，找出同时和题目给出的两个视图完全一致的立体图形。 （2）由从上面看到的形状，可以确定底层固定有4个小正方体；根据左面视图可知，立体图形的后排可以有第二层的小正方体，后排的3个位置都可以摆第二层时数量最多，只摆1个第二层时数量最少。 【详解】（1） 从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意； 从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，符合题意； 从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意； 从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，不符合题意。 （2）最多：4＋3＝7（个） 最少：4＋1＝5（个） 答：最多需要7个小正方体，最少需要5个小正方体。 题型02 移动、添加小正方体使看到的图形不变 一、移动、添加小正方体使看到的图形不变基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决移动、添加小正方体使图形不变的实际问题时，先根据题意明确"要守住哪个方向看到的图形"，再抓住这个方向的"投影"：从上面看，投影由底层占位的格子决定；从前面看，投影由每一列的最高层数决定；从右面看，投影由每一排的最高层数决定。然后按"新加的方块只落在已有方块投影之内""方块只移到与本位置投影重合处"的规则操作，最终得到视图不变的新图形。比如要让从上面看不变，就把方块叠到已有方格的正上方，俯视还是那几格。 ‌特殊速算技巧‌ 判断"加一个会不会改变视图"，可直接做"投影覆盖"口算——把落点沿要观察的方向投过去，看它是否落在已有方块已经形成的影子里，落在影子里视图就不变。比如要让从前面看不变，就把方块塞到已有方块的正后方，被前排挡住，正面看到的形状照旧；要让从右面看不变，就塞到同一排的后面去。一处重合，就守住一处。 ‌结果预判规律‌ 视图不变的本质是"投影不变"，所以能添加、能移动的位置是有限的几处，不是随便放；添加后总数变多、移动后总数不变；移动时起点和终点必须在要保护的视图方向上投影完全重合，否则该视图必变。解题前先预判"这道题守的是哪个视图、允许变的是哪个方向"，避免出现"把方块加在最高层上方导致图形变高""移动后从上面看的格子少了一个"这类错误。 二、移动、添加小正方体使看到的图形不变进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到"添加使某视图不变"的场景，先找出该方向上被遮住的位置（前面有方块挡着、或上面有方块压着），再把方块放进去，放完原地回看一遍投影是否与原来重合；遇到"移动使某视图不变"的场景，先定投影重合的两处——同一列的不同排、同一排的不同列，或同一格子的上下层，再把方块由一处平移到另一处；遇到"多方向同时不变"的场景，先分别列出每个方向的约束，再取交集。先锁定核心的"投影不变"模块，再匹配对应的遮挡条件，不用摆完再推翻重来。 ‌特殊场景速算技巧‌ 只守一个方向时，可添加的位置往往就是"被挡住"的那几处，数一数有几处被遮点，就知道有几种加法，不必逐个试；三个方向都要求不变时，方块通常只能沿某方向"平移一格"或"上下加一个"，可行位置极少，直接口算排除即可。 ‌逆向推导技巧‌ 已知"移动或添加后视图不变"，可反向依托投影重合的规律反推方块原来的位置、落点或个数。比如移动前后从上面看都是3个格子，就反推出方块起点和终点在同一俯视格内，只能上下换层或原地平移；若添加后从前面看的层数没变高，就反推出新方块那列必有更高的方块挡着，验证完全符合"投影之内"的要求。 【典例2】有一个立体模型，一共由7个小正方体摆成。如果拿走1个小正方体，要保证从右面看到的图形不发生变化。说一说：什么样位置上的小正方体可以拿走？什么样的小正方体绝对不能拿走？ 【答案】可以拿走：被其他方块遮挡、不承担本列最高层数的小正方体；不能拿走：立体中决定右面每一列最高高度的小正方体，拿走它，对应列层数降低，右面看到的图形就改变。 【分析】从右面观察立体，会把立体分成靠前、靠后若干列，每一列只看这一列最高有几层。 右面看到的形状，就是由每一列的最高层数决定的。 可以拿走的方块：被遮挡、不决定最高高度。即在前后同一列里，同一个高度上，还有别的方块。这个方块被挡住了，它不是这一列里最高的那块。就算把它拿走，这一列最高高度没变，所以右面看到的样子不变。 不能拿走的方块：决定右面每一列最高高度的方块。这个方块是它所在前后列里最高位置的那块，它撑起了这一列的高度。一旦拿走它，这一列的最大高度就变矮了，右面看到的图形就少了一层，形状就变了，所以绝对不能拿。 【详解】答：可以拿走：被其他方块遮挡、不承担本列最高层数的小正方体；不能拿走：立体中决定右面每一列最高高度的小正方体，拿走它，对应列层数降低，右面看到的图形就改变。 【专项训练1】用同样的小正方体搭立体图形，在原有物体上再添1个小正方体，想要从右面看到的图形不变。请写出两种摆放这个新增小正方体的位置思路。 【答案】①任选原有立体图形中的一个小正方体，将新增小正方体摆放到它的左面位置，确保二者前后对齐、处于同一层； ②任选原有立体图形中的一个小正方体，将新增小正方体摆放到它的右面位置，确保二者前后对齐、处于同一层。 【分析】从右面观察立体图形时，视线沿左右方向，同一前后位置、同一高度的小正方体会在右面上形成重合的投影。要保证右面看到的图形不变，只需让新增小正方体的前后位置和高度与原有某个小正方体一致，可分别在左面或右面摆放。 【详解】略 【专项训练2】现有一组立体图形，从上面看是5个正方形拼接而成。如果只移动第二层的1个小正方体，要保持从上面观察的图形不变，可以怎么移动？简述理由。 【答案】可以将第二层小正方体移动到第一层任意一个小正方体的顶面。 理由：从上面看，只看底层方块分布，第二层方块落在第一层方块上方，不会改变俯视看到的轮廓图形。 【分析】从上面观察立体图形，看到的是立体图形的底层分布，只要有正方体堆叠，就显示为一个正方形，与正方体的层数无关。只要移动第二层的小正方体时，不让从上面看的正方形个数、排列发生变化，就是可行的移动方法。核心是：原位置拿走第二层正方体后仍有正方体（保证不缺正方形），新放的位置本来就是从上面看得到的正方形位置（保证不多正方形），这样从上面观察的图形就不变。 【详解】原图形从上面看有5个正方形，说明共有5列小正方体，每列至少有1个底层小正方体作为支撑。 移动第二层的1个小正方体时，要保持从上面看的图形不变，需保证列的数量和位置不变，因此将该小正方体移到5列中任意一列的最上面即可。 答：可以将第二层小正方体移动到第一层任意一个小正方体的顶面。理由：从上面看，只看底层方块分布，第二层方块落在第一层方块上方，不会改变俯视看到的轮廓图形。 【专项训练3】用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（    ）个小正方体。 【答案】（1） （2）4 【分析】（1）从正面看，有3层，最上层有1个正方形，中间层有2个正方形，下层有3个正方形，左齐； 从左面看，有3层，最上层有1个正方形，中间层有2个正方形，下层有3个正方形，左齐；据此画图； （2）把最上层和中间层的正方体都去掉，从上面看到的图形不变，据此解答。 【详解】（1）作图略； （2）1＋3＝4（个） 要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走4个小正方体。 【专项训练4】操作。 （1）上面图中哪几个图形从上面看到的形状相同（    ）？（填序号）将看到的相同形状画在方格图中。 （2）给图②加一个相同的小正方体，使图①和图②从左面看到的形状相同，请在相应的位置标上“○”表示加上的小正方体。 【答案】（1）①③④；图见详解 （2）图见详解 【分析】（1）将每个立体图形从上面看到的图形画出来，找到从上面看到的形状相同的即可，并把看到的形状画在方格图中。 （2）图①从左面看到的形状为，图②从左面看到的形状为，为使图②从左面看到的形状也为，则在图②后一行上加一个正方体即可。 【详解】 （1）①从上面看到的图形；②从上面看到的图形；③从上面看到的图形；④从上面看到的图形； 上面图中哪几个图形从上面看到的形状相同（①③④）？（填序号）将看到的相同形状画在方格图中。 （2）或 【专项训练5】利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 【答案】（1）10；图见详解 （2）12种 （3）见详解 【分析】 （1）根据如下可知，这个几何体有3层；从上面看到图形可知，这个几何体最下层需要7个小正方体纸箱；从前面和左面看到图形可知，这个几何体的中间层需要2个小正方体纸箱，最上层需要1个小正方体纸箱，一共需要（7＋2＋1）个小正方体纸箱。再用数字标出在“从上面看”的图形上标出对应位置如图：。 （2）可以把最上层的正方形纸箱也就是③放入其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变，或把从中间层左边的小正方体纸箱也就是②放到其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变；共有（6＋6）种方法，据此解答。 （3）把从前面看到图形的最下层最左边的小正方形（也就是从上面看到最左边的小正方形）也就是①移到从前面看的中间层的右边与中间层的小正方体挨着也就是与中间层①的位置，看到的图形和从左面看到的图形相同；据此解答。 【详解】（1）7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 如图： （2）6＋6＝12（种） 答：一共有12种移法。 （3）如图： 根据分析可知，把最上层左边①移到中间层①的位置，从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样。 【专项训练6】如图是由9个棱长是的小正方体搭成的立体图形。 （1）小飞和小红看到的图形的面积分别是多少？ （2）从图中标了序号的小正方体中取出一部分。 ①取走1号小正方体后，这个立体图形从（ ）面看到的图形不变； ②取走6号小正方体后，这个立体图形从（ ）面看到的图形不变； ③取走（ ）号小正方体后，这个立体图形从上面和左面看到的图形都不变。 （3）再增加1个同样的小正方体，要保证从上面看到的图形不变，一共有（    ）种摆法，请你写出两种与小飞不同的摆法？ 【答案】（1）； （2）上 左 3 （3）5种；放在1号小正方体的上面、放在2号小正方体的上面（答案不唯一） 【分析】小正方形的面积＝边长×边长，从左面、前面分别看到的正方形个数乘1就是分别看到的图形的面积； 1号正方体在最上层靠左，从上面看，取走前看到两行，后一行3个，前一行2个，取走后还是两行，后一行3个，前一行2个，正面、左面看层数都会变化； 6号正方体在最底层靠右，从左面看，取走前看到3层，取走后还是3层，每层个数不变，正面看第一层靠右会少一块，上面看后一行靠右会少一块； 取走3号后，从上面看不变，仍是两行，后一行3个，前一行2个，从左面看也不变，仍然是3层，每层个数不变； 要让从上面看图形不变，新正方体只能放在原有正方体的正上方，一共5个不同位置，分别是1号、2号、3号、5号、6号，因此共5种摆法，除了放在5号上方，任意选两种其他位置即可，答案不唯一。 【详解】（1）1×1＝1（cm2） 小飞：1×5＝5（cm2） 小红：1×6＝6（cm2） 答：小飞和小红分别看到的图形面积是5cm2和6cm2。 （2）根据分析，可得 ①取走1号小正方体后，这个立体图形从上面看到的图形不变； ②取走6号小正方体后，这个立体图形从左面看到的图形不变； ③取走3号小正方体后，这个立体图形从上面和左面看到的图形都不变； （3）新的1个正方体可以放在1号、2号、3号、5号、6号任意一个正方体上方，一共有5种摆法，除了放在5号上方，可以放在1号正方体上面、可以放在2号正方体上面、可以放在3号正方体上面、可以放在6号正方体上面，任意选两种即可，答案不唯一。 【专项训练7】下图是由9个相同的小正方体搭成的立体图形，请你先想一想，再填一填、画一画。（填序号） （1）仅移走一个小正方体，使从左面看到的图形是，应移走小正方体（ ）。 （2）仅移走一个小正方体，使从上面看到的图形是，应移走小正方体（ ）或（ ）。 （3）将小正方体⑤移到小正方体⑨的上面，请你在右面的方格图中画一画从左面和从正面看到的形状。 【答案】（1）① （2） ⑤ ⑨ （3） 【分析】先明确立体图形结构：一共3层，底层有5个小正方体（从左到右依次是⑤⑥⑦⑧⑨），中层有3个（②③④，分别在⑥⑦⑧的正上方），上层有1个（①，在③的正上方），所有小正方体沿前后方向排成1排。结合不同方向观察物体的规律，分析移走、移动小正方体带来的视图变化。 【详解】（1）原来从左面观察，前后只有1排，看到一列正方形，高度为立体图形最高层数3层，呈现3个正方形上下排列。想要观察到2个正方形上下排列，需要移走最高层的小正方体①，移走后立体图形最高层数变为2层，满足条件。 （2）原来从上面观察，可以看到一行5个正方形。想要观察到4个连续正方形，需要移除两端单独成列的小正方体，使剩余4列保持连续。⑤、⑨只在底层存在，移走后对应列不再有正方体，且处在两端，符合条件。应移走⑤或⑨。 （3）将⑤移到⑨的上方后： 从左面看：前后依旧只有1排，立体图形最高层数仍然是3层，看到的图形不变，是一列3个正方形上下排列。 从正面看：最左侧原本⑤所在的位置没有正方体，可视列数为4列；最右侧⑨所在列层数变为2层，其余各列层数不变。从左到右每列层数依次为2、3、2、2，画图时底部对齐，按层数画出正方形。 【专项训练8】操作。 （1）在方格图里分别画出如图组合图形从前面、左面、和上面看到的图形。 （2）如果要把上面的立体图形变成正方体，可以把它去掉（    ）个小正方体或至少加上（    ）个小正方体。 【答案】（1） （2）7；12 【分析】（1）组合图形从前面观察看到的是最上面一行左侧一个正方体，第二三行各有三个正方体；从左面观察看到的是最上面一行左侧一个正方体，第二行左侧两个正方体，第三行有三个正方体；从上面观察看到的是每行都有三个正方体共三行，据此解答。 （2）如果要把上面的立体图形变成正方体，可以变成棱长为2的正方体或变成棱长为3的正方体，结合正方体的体积公式，求出需要去掉或加上的小正方体个数，据此解答。 【详解】（1）画图略； （2）现有小正方体： 1＋5＋9 ＝6＋9 ＝15（个） 棱长为2的正方体应含有小正方体： 2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 去掉：15－8＝7（个） 棱长为3的正方体应含有小正方体： 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 加上：27－15＝12（个） 故如果要把上面的立体图形变成正方体，可以把它去掉7个小正方体或至少加上12个小正方体。 【专项训练9】（1）分别画出以下几何体从正面、上面、左面观察到的图形。 （2）要保证从正面和上面观察到的图形不变，可以去掉“（    ）”号小正方体。 （3）在“1”号或“2”号正方体上面增加一个小正方体，从（    ）面观察到的图形改变。（填“正”“上”或“左”）。 【答案】（1） （2）3     （3）正 【分析】（1）从正面可以看到三列，左边一列看到1个小正方形，中间一列看到3个小正方形，右边一列看到1个小正方形，底部对齐；从左面可以看到两列，左边一列看到3个小正方形，右边一列看到2个小正方形，两列小正方形底部对齐；从上面可以看到两行，上面一行看到2个小正方形，下面一行看到2个小正方形，上面一行左侧小正方形与下面一行右侧小正方形在同一列，据此解答。 （2）从正面和上面观察到的图形，去掉3号小正方体，对正面和上面的图形没有改变。 （3）若在“1”号正方体上面增加一个小正方体，从正面观察到的图形可以看出左边一列由原来1个小正方形增加为2个小正方形，中间一列看到3个小正方形，右边一列看到1个小正方形，上面和左面图形不变。若在“2”号正方体上面增加一个小正方体，从正面观察到的图形左边一列看到1个小正方形，中间一列看到3个小正方形，右边一列由原来1个小正方形增加为2个小正方形，上面和左面图形不变。 【详解】（1）作图略； （2）要保证从正面和上面观察到的图形不变，可以去掉3号小正方体。 （3）在“1”号或“2”号正方体上面增加一个小正方体，从正面观察到的图形改变。 学科网（北京）股份有限公司 $