精品解析：安徽省淮北市第一中学2026-2027学年高二上学期11月综合素质检测数学试卷

淮北一中2026年高二上学期11月综合素质检测 数学 （时长：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 6. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）有两个零点，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为R C. 在区间上单调递增 D. 的值为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 三、填空题（15分） 12. 若，则的所有可能取值为______． 13. 已知．若对任意恒成立，则的取值范围为___________． 14. 已知是单位圆的内接三角形，取sinA，sinB，sinC为边长构成新的，若的内角A，B，C满足，求内切圆半径的最大值______. 四、解答题（77分） 15. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z的共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 16. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. （1）若，求证：平面平面； （2）若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知为锐角，，. （1）为锐角，求的值； （2）若为锐角，求的值. （3）若角是第三象限角，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北一中2026年高二上学期11月综合素质检测 数学 （时长：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“商的关系”直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，再利用判别式可求得结果. 【详解】当时，不等式为对任意实数不是恒成立的，故舍去. 当时，函数的图像抛物线开口向上， 且即时符合题意，解得（舍去）或. 当时，函数的图像是开口向下的抛物线，函数值不可能恒为正，不符合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的单调性及余弦函数的性质即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B 5. 设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 6. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解. 【详解】 如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 7. 在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出球的半径，再根据直四棱柱的性质，求出圆心到侧面的距离，进而求出截面半径，最后根据弧长公式求解． 【详解】球的表面积， ， 设，底面为菱形， 是等边三角形，则菱形面积， 直四棱柱的体积，解得， 取的中点，连接，是等边三角形， ， 直四棱柱中底面，， 侧面， 侧面，则，即为点到侧面的距离， 球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得， 截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示， ， 为等边三角形，故， 交线长度，故D正确． 故选：D． 8. 已知函数（）有两个零点，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将有两个零点转化为与有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在和内,即可得到和,然后两式相加即可求得的范围. 【详解】因为有两个零点,，即与有两个交点， 由题意,分别画和的图像 由图可知：与在和内各有1个交点， 不妨设，， 可得,即，， 则 因为,则，即，可得， 所以. 故选：D . 【点睛】方法点睛：本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根. 二、多选题（18分） 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，，两边平方得到，进而求得求解. 【详解】解：由题意知，，， 所以，即， 所以； 又因为，且， 所以， 所以; 由，解得，. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为R C. 在区间上单调递增 D. 的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定函数，求出定义域、值域判断AB；求出函数的单调区间判断C；计算得出求解判断D. 【详解】对于A，由，得函数的定义域为，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，在区间上单调递增，C正确； 对于D，，又， 则，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立， 因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误； 对于D，由，得，又，所以，即，故D正确. 故选：BD 三、填空题（15分） 12. 若，则的所有可能取值为______． 【答案】2或0 【解析】 【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案. 【详解】①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去， ②当时，，此时集合为，符合题意， ③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去， 若，此时集合为，综上所述的可能值为2或0． 故答案为：2或0 13. 已知．若对任意恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件，求函数的解析式，判断函数的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式可得，分离变量，求函数的最小值，可得结论. 【详解】因为， 令，则，， 所以，， 令， ， 函数的定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， 又函数，都为R上增函数， 所以函数为增函数， 不等式可化为 ， 即， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 由已知对任意恒成立， 因为，故， 因为， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于求出函数的解析式，判断函数的解析式，结合函数性质化简不等式. 14. 已知是单位圆的内接三角形，取sinA，sinB，sinC为边长构成新的，若的内角A，B，C满足，求内切圆半径的最大值______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：由正弦定理可得，，，设的三边分别为：，，，利用余弦定理可得，令，其中，利用三角形的面积与内切圆半径的关系可得，求解即可.法二：与法一类似可得，利用基本不等式可得，利用三角形的面积与内切圆半径的关系可得，求解即可. 【详解】法一：应用正弦定理， 所以，，， 设的三边分别为：，，， 则，，， 所以与相似，且相似比为. 由，得， 即，所以，又，则. 所以， 所以的面积：， 的半周长：，由于， 令，其中， 化简得：， ， 代入内切圆半径的表达式：， 因为，所以. 当（即，此时，为等边三角形）时，取得最大值. 法二：应用正弦定理， 所以，，， 设的三边分别为：，，， 则，，， 又由，得， 即，所以， 所以，又，则. 所以，所以， 所以， ∴，∴，∴， 当且仅当时取等号，又，∴， ∴内切圆半径， ∴当时，取到最大值为. 四、解答题（77分） 15. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z的共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以共轭复数 【小问2详解】 ， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； 【小问3详解】 因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 16. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集； （2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围. 【小问1详解】 由题意得 所以，所以； 当时，在上单调增，则， ∴； 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则是的真子集. 当时，在上单调增， 则，所以，解得； 当时，，不符合题意； 当时，在上单调减，则，不符合题意； 综上，. 17. 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. （1）若，求证：平面平面； （2）若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 【答案】（1）证明:，， 四边形为平行四边形，，， 平面，平面，平面； ，， 平面，平面，平面； ，平面，平面平面. （2）为中点，证明如下： 设，取中点，连接， 四边形为平行四边形，为中点， 为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例和线面平行的判定定理可证得平行于平面，由面面平行的判定可证得结论； （2）当为中点时，取中点，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行性质可得结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当为中点时，平面，证明略. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间； （2）求在上的值域，依题意有且，代入可求实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 时，，， 若在上恒成立，则在上恒成立， 有且，即，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知为锐角，，. （1）为锐角，求的值； （2）若为锐角，求的值. （3）若角是第三象限角，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函数关系式和弦切互化计算即得； （2）利用角的拆分结合和差公式求解即得； （3）利用诱导公式化简函数式，再根据同角三角函数关系式代入计算即可. 【小问1详解】 由已知为锐角，， 所以. 【小问2详解】 由已知，为锐角，， 则，又，联立解得，， 又，由，可得， 则，由. 【小问3详解】 由， 又角是第三象限角，且，，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $