1.4用一元二次方程解决问题(1)课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章　一元二次方程 1.4　用一元二次方程解决问题(1) 2026-2027学年苏科版数学九年级上册 学习目标 1.通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型. 2.会用列一元二次方程的方法解决几何问题. 3.经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在. 情境引入 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式： (1)一个矩形的面积为35 cm2，长比宽多2 cm，求这个矩形的长与宽； (2)把一块面积为54 cm2的长方形纸片的一边剪下5 cm，另一边剪下2 cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长； (3)一个直角三角形的斜边长是17 cm，两直角边之差为7 cm，求较短直角边长； (4)两数之差是2，平方和是52，求此两数； (5)小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件衬衫的钱数恰好是衬衫总件数的6倍还少5元，试求小明母亲买回衬衫的件数； (6)已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数. 用一元二次方程解决几何问题 问题　在劳动实践中，九年级(1)班想用长22 m的篱笆围成面积是30 m2的矩形菜园，九年级(2)班想用同样长的篱笆围成面积是32 m2的矩形菜园，他们可以做到吗？ 提示　设篱笆围成的矩形的一边为x m，则邻边为(11-x)m， 若要围成面积是30 m2的矩形菜园，则x(11-x)=30. 即x2-11x+30=0. 解这个方程，得x1=5，x2=6. 当一边为5 m时，邻边为11-5=6(m)； 当一边为6 m时，邻边为11-6=5(m). 所以可以围成面积是30 m2的矩形菜园. 若要围成面积是32 m2的矩形菜园， 则x(11-x)=32，化简，得x2-11x+32=0. 由b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7<0， 可得此方程没有实数根.所以不能围成面积是32 m2的矩形菜园. 例　(课本P25例1)如图，要在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5 400 cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？ 解　设纸边的宽为x cm， 则挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm. 根据题意，得(80+2x)(50+2x)=5 400， 化简，得x2+65x-350=0. 解这个方程，得x1=5，x2=-70(不合题意，舍去). 即金色纸边的宽应为5 cm. 反思感悟 列一元二次方程解决问题的一般步骤： 步骤 主要内容 ①审 审清题意，明确已知量、未知量，找出相等关系 ②设 设未知数有直接设和间接设(有时设辅助未知数)，写好单位名称 ③列 把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程(两边单位统一) ④解 根据方程的特点，选择适当的解法，求出未知数的值(x=a) ⑤验 既要检验是否满足原方程，又要检验在实际问题中是否有意义 ⑥答 写出实际问题的答案(注意单位) 跟踪训练　如图，有一块矩形硬纸板，长50 cm，宽30 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去的正方形边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600 cm2？ 解　设剪去的正方形边长为x cm， 则做成无盖长方体盒子的底面长为(50-2x)cm，宽为(30-2x)cm，高为x cm， 依题意，得2×[(50-2x)+(30-2x)]x=600， 整理，得x2-20x+75=0， 解得x1=5，x2=15， 当x=15时，30-2x=0，不符合题意，舍去. 即当剪去的正方形边长为5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为600 cm2. 课堂小结 用一元二次方程解决问题的一般步骤：①审，②设，③列，④解，⑤验，⑥答. 1.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程 A.x(15-x)=50 B.x(15+x)=50 C.x=50 D.x=50 √ 随堂演练 解析　设矩形的一边长为x米， 则另一边长为(15-x)米， 根据题意可列方程为x(15-x)=50. 2.小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是42 cm，宽是30 cm的矩形剪纸.小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是1 440 cm2，设留白部分的宽度是x cm，则可列方程是 A.(42+x)(30+x)=1 440 B.(42+2x)(30+x)=1 440 C.(42+2x)(30+2x)=1 440 D.(42-2x)(30-2x)=1 440 √ 随堂演练 解析　设留白部分的宽度是x cm， 塑封后整幅图的长为(42+2x)cm，宽为(30+2x)cm， 则(42+2x)(30+2x)=1 440. 3.一块长方形菜地的面积是150 m2，若长减少5 m，则菜地为正方形，则原菜地的长为　　　　m. 随堂演练 解析　∵长减少5 m，菜地就变成正方形， ∴设原菜地的长为x m，则宽为(x-5)m， 根据题意得x(x-5)=150， 解得x=-10(舍去)或x=15，故原菜地的长为15 m. 15 4.小李要做一个容积是1 500 cm3，高是10 cm，底面的长比宽多5 cm的长方体匣子，则这个匣子底面的长为　　　　cm，宽为　　　　cm. 随堂演练 解析　设底面宽为x cm，则长为(x+5)cm， 由题意得10x(x+5)=1 500， 解得x1=-15(舍去)，x2=10， 故底面宽为10 cm，长为15 cm. 15 10 5.用一根长12 cm的铁丝围成一个斜边长为5 cm的直角三角形，则这个直角三角形较短的直角边长为　 cm. 随堂演练 解析　设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(12-5-x)cm， 根据勾股定理得x2+(12-5-x)2=52， 解得x1=4，x2=3， ∴两直角边长分别为3 cm和4 cm， 这个直角三角形较短的直角边长为3 cm. 3 6.如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为　　　 　. 随堂演练 2(-1) 随堂演练 解析　如图，标记各点， ∵面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 由图形可知，DG=EG，DG+CF=GE+BF， DG+FG=DG+CF=AG=2， ∴CF=BF，FG=CF， 随堂演练 解析　∵△ABC等腰三角形， ∴AF⊥BC， 设DG=a，BF=CF=FG=b， ∴S△ABC=BC·AF=×2b(2+b)=4， ∴b2+2b-4=0，解得b=-1或b=--1(舍)， ∴BC=2b=2(-1)， 即该等腰三角形的底边长为2(-1). 7.如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长. 随堂演练 解　设矩形草坪AB边的长为x米， 则BC边的长为(26-2x)米， 根据题意得x(26-2x)=80， 整理得x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8， ∵26-2x≤12， ∴x≥7，∴x=8，即AB的长为8米. 迁移拓展 1.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　　　　　 　. (32-x)(20-x)=540 解析　如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧， 则图中空白部分就为草坪了， 由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米， 由矩形的面积公式可得(32-x)(20-x)=540. 迁移拓展 2.请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x-14=0，即x(x+5)=14的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为(x+x+5)2，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得x=2. 迁移拓展 任务：(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是　　　　 　　(从序号①②③中选择)； 迁移拓展 解　∵x2-4x-12=0， ∴x(x-4)=12. ∴应构造面积是(x+x-4)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x-4)=12，中间的小正方形面积为42， ∴大正方形的面积又可表示为4×12+42=64， ∴大正方形的边长为8，则x+x-4=8， ∴x=6，则正确构图是②. 迁移拓展 (2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解； 解　由题意，设长方形的宽为x米， ∴长为(x+2)米. ∴x(x+2)=15， 解得x=3或x=-5(负值舍去). 迁移拓展 (3)通过对上述材料的学习，尝试用几何法求解在第(2)题中你所列出的方程，并在图2的网格中设计正确的构图. 迁移拓展 解　由题意，首先构造如图所示的图形. 图中的大正方形面积是(x+x+2)2， 其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+2)=15， 中间的小正方形面积为22， ∴大正方形的面积又可表示为4×15+22=64， 进一步可知大正方形的边长为8. ∴x+x+2=8.∴x=3. 谢谢观看 $