重难点专题 切线长定理与三角形的内切圆（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
重难点专题 切线长定理与三角形的内切圆
题型1 切线长定理与切线长的最值
固定解题模型：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，把相等的线段用一个字母表示.
解题步骤：① 找出圆外一点引出的两条切线 ② 设相等的切线长为 x ③ 用周长或已知线段列方程求值.
核心数据：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两切线的夹角.
1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，，可得，证明，进一步可得结论．
【详解】解：∵、是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：连接，，，
，分别与相切，
，
同理，，
的周长为，
，
，
，
，
，
．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长．
【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的周长．
4．（26-27九年级上·全国·周测）如图，为的切线，，分别与相切于C，D点，若，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由切线长定理可得，，据此即可求出的长．
【详解】解：∵为的切线，，分别与相切于C，D点，
由切线长相等可知：，，
∴，
∴．
5．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长．
【答案】
【分析】根据切线长定理得到，根据得到为等边三角形，继而得到．
【详解】解：分别为的切线，
，
，
为等边三角形，
．
6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知及圆外一点P．
(1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长．
【答案】(1)
(2)截下的的周长为20
【分析】（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段，作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接、，、即为所求的两条切线，点A、B为切点．
（2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为，然后利用上面的相等关系进行替换即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点，
∵、是的两条切线，
∴．
∵是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上，
∴和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段，
∴，．
∴，，
的周长．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数．
【答案】．
【分析】连接，由切线长定理可得，则，再通过圆周角定理可得，然后求出，最后通过三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为．
8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：．
【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点，
根据切线长定理：，
∴
，
∴．
【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式．
【详解】略
9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，则．求出，即可得到，进而即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵和为的两条切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
10．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，点在的直径的延长线上，，与相切于点，，若，则__________．
【答案】
【分析】连接，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出的度数，再根据切线的性质得出，求出，最后利用切线长定理求出的度数．
【详解】解：连接．
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
与相切于点，
．
11．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____．
【答案】
【分析】对于第一空，由切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可；对于第二空，连接，由切线的性质和角平分线的判定定理可证明平分，平分，求出的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可．
【详解】解：由切线长定理得，，，
∴的周长
；
如图所示，连接，
由切线的性质可得，
又∵，
∴平分，平分，
∴；
∵，
∴，
∴．
12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长．
【答案】
【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点，
，
设，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
13．自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）；
②作直线，交于点C；
③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）；
④作直线．则直线即为所求．
(1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形；写出：是切线的理由；
(3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长．
【答案】(1)作图见解答过程
(2)证明见解答过程
(3)
【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质．
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接，先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线；
（3）由勾股定理求出，设，则，由勾股定理可得．由，得到，求得，然后利用四边形的周长解答即可．
【详解】（1）解：按照步骤完成作图如下．
（2）证明：由题意得：为的直径，
∴(直径所对的圆周角为)，
∴，
∵为的半径，
∴直线为的切线．
（3）解：连接．
，
，
在中，，
由图知为的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，即，
，
∴四边形的周长为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】连接，，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值．
【详解】解：如图，是的切线，连接，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴最短时，取得最小值，
∵当时，线段最短，
又∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查切线的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
15．如图，在平面直角坐标中，点P是半径为2的⊙M上一动点，M（3，4），过点P作半径为1的⊙O的切线，则切线长PQ的最大值为_____．
【答案】
【分析】连接OQ、OP，根据QP是⊙O的切线，可得，可知当OP最大时，QP最大，连接OM并延长交⊙M于点，当点P在点时，OP最大，据此即可求得．
【详解】解：如图：连接OQ、OP，
∵QP是⊙O的切线，
，
∴在中，，
∴当OP最大时，QP最大，
连接OM并延长交⊙M于点，
当点P在点时，OP最大，
此时，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，利用勾股定理求线段的最大值，找到OP最得最大值的位置是解决本题的关键．
题型2 三角形的内切圆与内心
固定解题模型：内切圆半径用面积法求，或者把三边拆成三组切线长，用半周长表示.
解题步骤：① 连内心与三个切点 ② 设一组切线长为 x，用半周长写出各段 ③ 用面积公式或直角三角形公式求半径.
核心数据：S＝sr，s 为半周长；直角三角形 r＝，a、b 为直角边，c 为斜边；内心到三边距离相等.
1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用面积法建立等式求解内切圆半径．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和，
由勾股定理得斜边长为，
如图，设该直角三角形内切圆的半径为，
该直角三角形的面积为，
该直角三角形的面积也为三个小三角形的面积和，即，
，
化简得，
解得．
2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：；
【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点，
∴，
∵，
∴即
∴．
【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解．
【详解】略
3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理得出，，根据，，利用线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵是的内切圆，，，为切点，
∴，，
∵，，
∴．
4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______．
【答案】7
【分析】根据切线长定理，可得，，，，再根据三角形周长公式即可求解．
【详解】解：如图，
∵、、、都和相切，
∴，，，，
∴，
∴
．
5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
(1)在图1中，过点C作的中线．
(2)在图2中，在内部画出点O，使点O到三边的距离相等，并直接写出的长．
【答案】(1)解：如图，点D即为所求；
(2)解：如图，点O即为所求，
．
【分析】（1）取格点并连接，根据矩形的性质，点为矩形对角线交点，则点为中点，则问题可解；
（2）取中点，连接，取格点，连接，由（1）可知点N为中点，连接交于点O，再证明即可求．
【详解】（1）略
（2）解：由题意，，且平分，
则，
则，
由（1）同理可知点N为中点，
故平分，，
∴点为内心，到三边的距离相等，
∵，，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积．
【答案】的面积
【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积．
【详解】解： 是的内切圆，切点为，
，
，
，
，
，
．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长．
【答案】15
【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：由切线长定理可得，
，
．
8．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论：
①；
②；
③的周长是6；
④的面积是3．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】证明四边形是正方形，可得，进一步可得①错误；证明，结合，可得②正确；利用内切圆的性质可得，进一步可得③正确；证明，可得，进一步求解即可．
【详解】解：∵是的内切圆，与边，分别切于点，．
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴不平行，故①错误；
∵是的内切圆，
∴平分，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵是的内切圆，记与切于点，如图，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵在中，，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴的周长是，故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误．
综上：正确的是②③．
9．如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【答案】（1）；；；；
（2）相等．
证明：∵，
∴，
∵
∴．
【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案；
（2）利用平方差公式证明即可得到相等．
【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
方法一：如图，连接，，，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴、、都是的切线，切点分别为点，，，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；；；；
（2）略．
【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10． 在学习了切线长定理及三角形内切圆后，数学老师给大家布置了一道课后习题：如图①，为的内切圆，且与直角边分别相切于点E，F，与斜边相切于点D．已知，求的面积．小英同学的解决方案如下：
解：设．根据切线长定理可得，．根据勾股定理，得，
整理，得，
…
(1)请将小英的解题过程补充完整．
(2)如图②，已知的内切圆与边相切于点D，．
①若，求的面积（用含a，b的代数式表示）；
②若，求证：．
【答案】(1)
解：
(2)①；
②证明：如图，设，则．
由，得，
整理，得，
．
根据勾股定理的逆定理，得．
故．
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理及逆定理、三角形面积公式，掌握切线长定理是解题的关键．
（1）接着小英的继续往后写，将展开可得，将代入即可；
（2）①设分别与相切于点，，；仿照例题利用勾股定理得，根据即可得到；
②由，得，进而得到，利用勾股定理逆定理可得．
【详解】（1）略
（2）①解：如图，设分别与相切于点，．
由题意，得．
设，则．
在中，根据勾股定理，得，
整理，得，
．
故．
②略
11．（25-26九年级上·江苏·寒假作业）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一．
情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录：
我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？
已思考（用时10秒）
好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用．
一、米勒圆模型的概念
1．核心问题（生活场景）：
假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？
这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”．
2．数学模型与结论：
米勒圆模型给出了这个问题的几何解答：
已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、．
问题：在直线上找一点，使得最大．
结论：
1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆．
2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点．
3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的．
3．米勒圆的方程（拓展理解）：
在平面直角坐标系中，对于两个定点,和,，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆．
二、经典例子与应用
我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型．
例题：
在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点，
（1）当时，求点的坐标．
（2）在轴上找一点，使得最大．
求使得最大的点．
根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求．
1．设圆心坐标：
由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上．
的垂直平分线为：．
设圆心的坐标为，半径为．
2．建立方程：
因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即．
又因为圆经过点，所以．
（2）
因此有方程：．
这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆．
情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交于点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究．
请根据以上情境，完成下列问题清单：
(1)接着情境二的图1，若，试求的最大值；
(2)接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值．
(3)数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明：
Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心．
Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长．
【答案】(1)1
(2)
(3)
Ⅰ．证明：如图，连接，，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点是的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴点是的外心．
Ⅱ
【分析】（1）根据题意先判定求的最小值，即取最大值，然后由米勒圆模型求出长度，即可根据中位线性质，通过求出的最小值．
（2）根据米勒圆模型求出米勒圆半径和正方形边长的数量关系，然后通过求出答案．
（3）Ⅰ．由垂直平分线的性质得出即可判定点为的外心；
Ⅱ．先判定点的运动轨迹为，然后通过米勒圆模型求出最大时米勒圆的半径大小，然后由平行线分线段成比例求出的大小．再根据求出和的长度，即可得到点的经过的路径长．
【详解】（1）解：由于，故求出的最小值，即可得出的最大值．
∵，
∴当取最大值时，取最小值，取最大值．
如图，连接，由，可知、、、四点共圆，则．
根据米勒圆模型，当的外接圆与相切时，即时，取最大值，
由垂径定理可知，
此时，
由勾股定理建立方程：，即，
解得，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴．
故的最大值为1．
（2）解：如图，过、两点的与相切，连接，，的延长线交于点，的延长线交于．
设正方形边长为，的半径为，
∴，，，
同理（1），在中，，即，
解得，
∴，
∵为的中位线，则，
∴．
（3）Ⅰ．略
Ⅱ．解：如图，连接，设点为的中点，过点作交于点，交于点，过点作于点，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，．
根据题意当点在上运动时，点在上运动，当运动到点时，为其在上的投射点，
从图中可以看出，在点从点向点运动时，点在从上先是从点向点运动，然后到达点后开始反向运动至点，
则点为点向方向到达的最远点，
∴点运动的路程为：．
根据米勒圆模型，当外接圆半径时，取最大值．
由于且，则，即此时取最大值，
∴，即取最小值时，取最大值．
设外接圆半径为，
在中，，，
则，，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
由可得，得，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
故点经过的路径长为．
【点睛】本题主要考查了米勒圆模型的应用，圆的性质，圆周角定理，正方形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，正确理解米勒圆模型，熟练掌握圆的性质，圆周角定理，正方形性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，与交于点A、B，的弦切于E，交于F，的延长线交于G，射线交于M、N，连接、．求证：点E为的内心．
【答案】
证明：连接，延长，交于点P，连接，如图所示：
∵弦切于E，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
同理可得，
连接，如图所示：
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，是的角平分线，
∴点E为的内心．
【分析】本题主要考查切线的性质、相似三角形的性质与判定、圆的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质、相似三角形的性质与判定、圆的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；根据切割线定理及相似三角形的性质可得，，则有，然后可得是的角平分线，是的角平分线，进而问题可求证．
【详解】略
13．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值．
【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，
由题得，，
∴的周长为．
以为底、为高，的面积为，
又∵的面积可表示为
，
∴联立等式，
得，
∴．
14．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”．
(1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有_______（填序号）：
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形．
(2)【探索本质】如图，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上．
①求的度数；
②若，求的半径．
【答案】(1)①③
(2)①；②⊙O的半径为
【分析】（1）设，点关于边的对称点为点，证明，可得，，由为的内心，可得，，得到，则，推出，得到四边形内接于，即点在上，得到当有一个内角为时，为其外接圆的“完美三角形”，即可得结论；
（2）①连接、、、，同理（1）即可得；②连接、，过作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：设， 点关于边的对称点为点，
由对称可得，，，
，，
，
，
，，
为的内心，
，分别平分，，
，，
，，
，
，
，
，
，
四边形内接于，即点在上，
当有一个内角为时，为其外接圆的“完美三角形”.
当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，至少有一个内角为，一定是的“完美三角形”，
故①③符合；
（2）①如图，连接、、、，
设，，
是的内心，
平分，平分，
，，
和关于对称，
，，
，，
，即，
，
，
；
②连接、，过作于点，则，
由①知，
，
，
，
即⊙O的半径为．
15．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)已知的半径是，，求的长．
【答案】(1)证明：∵为直径，
∴，
∵点P是的内心，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
(2)或
【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）连接，过点B作于H，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：连接，过点B作于H，如图所示：
∵是直径，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或．
16．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D．
(1)求证：．
(2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线．
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)证明：如图，连接，
由（1）知，
∴，
即是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是外接圆的切线．
【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可；
（2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线．
【详解】（1）略
（2）略
17．（2026·浙江丽水·二模）如图，中，．已知是的内切圆，点、、分别为切点，连接、、．连接分别与交于点，与交于点．
(1)求的度数．
(2)求证：．
(3)如果的半径长度为，且有一动点在内，满足．当距离最小时，求的值．
【答案】(1)；
(2)证明：连接，
，，，，
四边形是正方形，
，，为等腰直角三角形，，
由切线长定理得，，
为等腰三角形，，
由（1）可知，根据同弧所对的圆周角相等得，
，
，，
，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形内切圆的性质、切线长定理、圆周角的性质、勾股定理、全等三角形的判定以及相似三角形判定．
（1）利用四边形内角和为，结合圆切线的性质，可知的度数，再根据圆周角的性质即可求解；
（2）根据等腰直角三角形内切圆的性质，可求得，利用同弧所对的圆周角相等可知，从而判断；
（3）根据动点在内，满足，可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当距离最小，则需满足、、三点共线，从而求得，再根据勾股定理求得的大小．
【详解】（1）解：如图：连接、、，
，，
，
是的内切圆，点、、分别为切点，
，，
，
在四边形中，内角和为，可得，
根据圆周角定理可知同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
；
（2）略；
（3）解： ，，，，
四边形是正方形，
动点在内，满足，
，
且点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，要使距离最小，则需满足、、三点共线，如图，连接、、，
四边形是正方形，且、、三点共线，
，
在和中，
，
，
，
，
由切线长定理得，，
，
，
由正方形可知，
，
，
设，，，，
在中，，
解得，（舍）
过点作，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故．
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重难点专题 切线长定理与三角形的内切圆
题型1 切线长定理与切线长的最值
固定解题模型：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，把相等的线段用一个字母表示.
解题步骤：① 找出圆外一点引出的两条切线 ② 设相等的切线长为 x ③ 用周长或已知线段列方程求值.
核心数据：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两切线的夹角.
1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
4．（26-27九年级上·全国·周测）如图，为的切线，，分别与相切于C，D点，若，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长．
6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知及圆外一点P．
(1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数．
8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：．
9．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，点在的直径的延长线上，，与相切于点，，若，则__________．
11．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____．
12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长．
13．自从《义务教育数学课程标准（2022版）》实施以来，九年级的李老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点做与圆的切线”．在学习《切线的性质与判定》后，她布置一题；如图所示，及外一点P，求作：直线，使与相切于点Q．张明同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
①连接、分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B分别位于直线的上下两侧）；
②作直线，交于点C；
③以点C为圆心，为半径作弧，圆弧交于点Q（点Q位于直线的上侧）；
④作直线．则直线即为所求．
(1)请按照步骤完成作图．并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合图形；写出：是切线的理由；
(3)若半径为2，，交于点D．求四边形的周长．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
15．如图，在平面直角坐标中，点P是半径为2的⊙M上一动点，M（3，4），过点P作半径为1的⊙O的切线，则切线长PQ的最大值为_____．
题型2 三角形的内切圆与内心
固定解题模型：内切圆半径用面积法求，或者把三边拆成三组切线长，用半周长表示.
解题步骤：① 连内心与三个切点 ② 设一组切线长为 x，用半周长写出各段 ③ 用面积公式或直角三角形公式求半径.
核心数据：S＝sr，s 为半周长；直角三角形 r＝，a、b 为直角边，c 为斜边；内心到三边距离相等.
1．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________．
2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：；
3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的内切圆，点D、E分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为27，的长是10，则的周长是______．
5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
(1)在图1中，过点C作的中线．
(2)在图2中，在内部画出点O，使点O到三边的距离相等，并直接写出的长．
6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长．
8．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论：
①；
②；
③的周长是6；
④的面积是3．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
10． 在学习了切线长定理及三角形内切圆后，数学老师给大家布置了一道课后习题：如图①，为的内切圆，且与直角边分别相切于点E，F，与斜边相切于点D．已知，求的面积．小英同学的解决方案如下：
解：设．根据切线长定理可得，．根据勾股定理，得，
整理，得，
…
(1)请将小英的解题过程补充完整．
(2)如图②，已知的内切圆与边相切于点D，．
①若，求的面积（用含a，b的代数式表示）；
②若，求证：．
11．（25-26九年级上·江苏·寒假作业）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一．
情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录：
我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？
已思考（用时10秒）
好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用．
一、米勒圆模型的概念
1．核心问题（生活场景）：
假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？
这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”．
2．数学模型与结论：
米勒圆模型给出了这个问题的几何解答：
已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、．
问题：在直线上找一点，使得最大．
结论：
1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆．
2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点．
3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的．
3．米勒圆的方程（拓展理解）：
在平面直角坐标系中，对于两个定点,和,，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆．
二、经典例子与应用
我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型．
例题：
在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点，
（1）当时，求点的坐标．
（2）在轴上找一点，使得最大．
求使得最大的点．
根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求．
1．设圆心坐标：
由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上．
的垂直平分线为：．
设圆心的坐标为，半径为．
2．建立方程：
因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即．
又因为圆经过点，所以．
（2）
因此有方程：．
这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆．
情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交于点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究．
请根据以上情境，完成下列问题清单：
(1)接着情境二的图1，若，试求的最大值；
(2)接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值．
(3)数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明：
Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心．
Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长．
12．如图，与交于点A、B，的弦切于E，交于F，的延长线交于G，射线交于M、N，连接、．求证：点E为的内心．
13．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”．
(1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有_______（填序号）：
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形．
(2)【探索本质】如图，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上．
①求的度数；
②若，求的半径．
15．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点P是的内心，延长交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)已知的半径是，，求的长．
16．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D．
(1)求证：．
(2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线．
17．（2026·浙江丽水·二模）如图，中，．已知是的内切圆，点、、分别为切点，连接、、．连接分别与交于点，与交于点．
(1)求的度数．
(2)求证：．
(3)如果的半径长度为，且有一动点在内，满足．当距离最小时，求的值．
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