专题6.1 用树状图或表格求概率（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题6.1 用树状图或表格求概率 教学目标 1.进一步理解频率的稳定性，区分频率与概率；掌握列表法、树状图法，能有序、不重不漏列举两步（及多步）等可能试验的全部结果，会用P(A)=m/n 计算概率。 2.能根据试验特点选择表格或树状图；能利用概率判断游戏是否公平；能区分放回试验与不放回试验，正确处理两种情境下的结果差异。 3.经历列举、对比、计算的过程，发展有序思考、数据分析观念；体会随机思想，能用概率模型解释、评判现实游戏问题。 教学重难点 1.重点 （1）用列表、画树状图列举两步试验所有等可能结果，计算随机事件概率。 （2）利用概率判断游戏规则是否公平。 （3）列表法适合两个因素；树状图适合两个或多个因素的试验。 2.难点 （1）保证列举结果不重不漏，理解两步试验结果的等可能性，避免主观合并结果（如容易把 “一正一反” 只算一种）。 （2）分清放回、不放回的区别，这是最容易错的地方。 （3）理解：列表/树状图求概率的前提——每一个结果发生的可能性相等。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及2个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图，也称树形图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 注意：（1）树状图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 注意：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法：游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 【即学即练】 1．（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同．(1)从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率．(2)先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 4．（26-27九年级上·山东济南·期中）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ；(2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 5．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．(1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率；(3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 题型01 等可能性（列举） 【典例1】（2025·浙江绍兴·校考一模）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【变式1】（25-26九年级上·成都·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【变式2】（2025·福建厦门·模拟预测）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 题型02 用树状图求概率 【典例1】（26-27九年级上·陕西·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．(1)若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为 ； (2)若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【变式1】（26-27九年级上·河南郑州·期中）某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·山东济南·期中）某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某社区举办“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有位居民参与游戏，按照（1）中的理论概率，预计有多少位居民获得奖品？ 题型03 用表格法求概率 【典例1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 【变式1】（26-27九年级上·江苏·期中）《列子》中有一则寓言故事：杨子的邻居走丢一只羊，于是他带着亲友，请了杨子的童仆一起找寻羊．杨子说：“走丢一只羊为什么要这么多人去找寻呢？”邻居说：“有许多岔路口……”如图，假设所有的岔路口都有2条新的小路，且走丢的羊走每条小路的可能性相同． (1)羊最后走到A处的概率是多少？(2)如果邻居独自一人随机地沿着某一条小路去找羊，能找到的概率是多少？(3)如果邻居和他儿子两人分别沿着不同的岔路随机地去找羊，能找到的概率是多少？ 【变式2】（26-27九年级上·成都·单元复习）如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 题型04 几何图形求概率 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【变式1】（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 题型05 概率的实际应用-游戏的公平性 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．(1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·成都·期中）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【变式2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【变式3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同）(1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率．(2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 题型06 概率的实际应用-修改游戏方案 【典例1】（25-26·四川成都·九年级阶段练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸．(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓球的概率；(2)他俩约定：若甲摸到的球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，设计一个公平的游戏方案． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【变式2】（25-26河北·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平． (2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可) 题型07 概率的实际应用-转盘游戏 【典例1】（25-26·江苏淮安·九年级期中）有两个构造完全相同 (除所标数字外) 的转盘 A、B．小红和小明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次， 两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 【变式2】（2026·山东·校考三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 题型08 概率的实际应用-跨学科问题 【典例1】（2026九年级上·成都·专题练习）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到杂种第一代豌豆，它们都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是Y，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．如图，第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y，y与母本的两个基因Y，y再随机配对，将产生4种等可能的结果，如图． (1)求第二代出现黄色豌豆的概率；(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄色豌豆出现的概率为，应如何配对？请画出相应的树状图． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 题型09 概率的实际应用-比赛问题 【典例1】（25-26江苏·九年级期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 题型10 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率 【典例1】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ___________．    【变式2】（25-26·武侯九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？ 1．（2026·广东模拟预测）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 4．（2026·重庆·模拟预测）从写有数字﹣2，﹣3，0，5的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被5整除的概率为_____． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 7．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 8．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 9．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率：(1)事件A：摸出1个红球，1个黑球．(2)事件B：摸出2个白球． 10．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 (1)填空：_______，_______，_______，_______ (2)运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 1．（25-26九年级下·山东·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 2．（2026九年级上·湖南邵阳·培优）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 3．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 4．（25-26·河南洛阳九年级期中）如图，两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘．转停北后，指针将指向一个扇形区域（指针指向区域分割线时重新转动转盘），则指针所指区域内的数字之和为4的概率是______． 5．（25-26九年级上·广东·期中）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 7.（2026·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y． (1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有可能出现的结果；(2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率． 8．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题：(1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法 （填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况，①请求出的取值范围；②请直接写出发生这种情况的概率是 ． 9．（26-27九年级上·成都·校考期中）王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；(2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 用树状图或表格求概率 教学目标 1.进一步理解频率的稳定性，区分频率与概率；掌握列表法、树状图法，能有序、不重不漏列举两步（及多步）等可能试验的全部结果，会用P(A)=m/n 计算概率。 2.能根据试验特点选择表格或树状图；能利用概率判断游戏是否公平；能区分放回试验与不放回试验，正确处理两种情境下的结果差异。 3.经历列举、对比、计算的过程，发展有序思考、数据分析观念；体会随机思想，能用概率模型解释、评判现实游戏问题。 教学重难点 1.重点 （1）用列表、画树状图列举两步试验所有等可能结果，计算随机事件概率。 （2）利用概率判断游戏规则是否公平。 （3）列表法适合两个因素；树状图适合两个或多个因素的试验。 2.难点 （1）保证列举结果不重不漏，理解两步试验结果的等可能性，避免主观合并结果（如容易把 “一正一反” 只算一种）。 （2）分清放回、不放回的区别，这是最容易错的地方。 （3）理解：列表/树状图求概率的前提——每一个结果发生的可能性相等。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及2个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图，也称树形图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 注意：（1）树状图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 注意：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率。 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法：游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 【即学即练】 1．（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠．故答案为：二． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同．(1)从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率．(2)先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 【答案】(1) (2)画树状图见解析； 【详解】（1）解：抽到红色卡片的概率 （2）解： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中符合题意要求的有10种， ∴抽到两张卡片颜色不同的概率是． 4．（26-27九年级上·山东济南·期中）济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ；(2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； （2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 5．小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子，若两人的点数之和是奇数，则小明积1分，若两人的点数之和是偶数，则小刚积1分，此游戏（    ） A．对小明有利 B．对小刚有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：解：设(x，y)表示小明抛掷骰子点数是x，小刚抛掷骰子点数是y，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是： (1， 1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即有36种基本事件， 其中点数之和为奇数的基本事件有： (1，2)， (1，4)， (1，6)，(2，1)， (2，3)， (2，5)， (3，2)， (3，4)， (3，6)，(4，1)， (4，3)， (4，5)，(5，2)， (5，4)， (5，6)，(6，1)， (6，3)， (6，5)，即有18种， 所以小刚得(1分)的概率是，则小明得(1分)的概率是， 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平．故选：C． 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．(1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率；(3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 【详解】(1)解：不同意，理由如下： ∵一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球， ∴搅匀后从中任意摸出一个球，白球概率是；红球概率是； ∵，∴摸出白球和摸出红球这两个事件不是等可能的； （2）解：树状图如图： ∴P（两个球都是白球）； （3）解：设应添加x个红球，由题意得：，解得， 经检验，是原方程的解；∴应添加5个红球． 题型01 等可能性（列举） 【典例1】（2025·浙江绍兴·校考一模）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口，∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE，故选B． 【变式1】（25-26九年级上·成都·期末）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果，故选：D． 【变式2】（2025·福建厦门·模拟预测）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；∴主动轴上可以有3个变速， ∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12，∴后轴上可以有4个变速， ∵变速比为2，1.5，1，3的有两组，又∵前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等， ∴共有3×4-4=8种变速，故选：B． 题型02 用树状图求概率 【典例1】（26-27九年级上·陕西·期中）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．(1)若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为 ； (2)若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； （2）解： “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 【变式1】（26-27九年级上·河南郑州·期中）某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中相邻的车位组合为：，，，，，，有种结果符合题意， ∴两人停在相邻车位的概率为． 【变式2】（26-27九年级上·山东济南·期中）某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：画树状图如下：∴经过两个十字路口共有9种等可能的结果， ∵两次都遇到绿灯的结果仅有1种，∴所求概率为 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某社区举办“垃圾分类，从我做起”主题宣传活动．活动设置了一个转盘游戏：转盘被分成个面积相等的扇形，上面分别标注“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．每位居民转动转盘两次，若两次指针所指垃圾类型相同，即可获得一份奖品． (1)用列表法或画树状图法求某位居民获得奖品的概率； (2)活动当天共有位居民参与游戏，按照（1）中的理论概率，预计有多少位居民获得奖品？ 【答案】(1)某位居民获得奖品的概率为(2)预计有位居民获得奖品 【详解】（1）解：将四类垃圾分别记为（可回收物）、（有害垃圾）、（厨余垃圾）、（其他垃圾），画出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次指针所指垃圾类型相同的结果有种， 某位居民获得奖品的概率为． （2）解：参与游戏的居民共位，获奖的理论概率为， 预计获奖人数为（位）．答：预计有位居民获得奖品． 题型03 用表格法求概率 【典例1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 【答案】(1)随机； (2) 【详解】（1）解：∵袋子中有标有“暨”的卡片，任意抽取一张时，可能抽到也可能抽不到， ∴抽中写有“暨”的卡片是随机事件； ∵共有4张除汉字外完全相同的卡片，其中写有“魅”的卡片有1张，∴抽中卡片上汉字为“魅”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： 魅 力 诸 暨 魅 （魅，力） （魅，诸） （魅，暨） 力 （力，魅） （力，诸） （力，暨） 诸 （诸，魅） （诸，力） （诸，暨） 暨 （暨，魅） （暨，力） （暨，诸） 共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果有4种，∴． 【变式1】（26-27九年级上·江苏·期中）《列子》中有一则寓言故事：杨子的邻居走丢一只羊，于是他带着亲友，请了杨子的童仆一起找寻羊．杨子说：“走丢一只羊为什么要这么多人去找寻呢？”邻居说：“有许多岔路口……”如图，假设所有的岔路口都有2条新的小路，且走丢的羊走每条小路的可能性相同． (1)羊最后走到A处的概率是多少？(2)如果邻居独自一人随机地沿着某一条小路去找羊，能找到的概率是多少？(3)如果邻居和他儿子两人分别沿着不同的岔路随机地去找羊，能找到的概率是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵一共有8种等可能的路线，其中最后走到A处的路线只有一种， ∴羊最后走到A处的概率是； （2）解：∵羊在8条路径中的某一条上，邻居随机选一条路径去走，能找到羊的情况只有一种， ∴邻居独自一人随机地沿着某一条小路去找羊，能找到的概率是； （3）解：走丢的羊走每一条小路的可能性都相同，将走丢的羊最终可能走的小路分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，假定羊位于标号为1的小路，等人来寻，邻居和其儿子两人分别沿不同的岔路口随机地去找，最终可能到达的小路情况如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 由表可知，共有56种等可能的结果，其中两人中有一人最终到达标号为1的小路的结果一共有14种， ∴邻居和他儿子两人分别沿着不同的岔路随机地去找羊，能找到的概率是． 【变式2】（26-27九年级上·成都·单元复习）如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C 1 白菜 茄子 辣椒 2 白菜 辣椒 茄子 3 茄子 白菜 辣椒 4 茄子 辣椒 白菜 5 辣椒 白菜 茄子 6 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有6种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的种植方案有2种（方案1，6），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 题型04 几何图形求概率 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴针尖落在阴影区域内的概率为．故答案为：。 【变式1】（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块，小球停在黑砖上的概率为． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为，中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为，平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ，“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 【变式3】（25-26八年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【详解】解：圆的面积为，正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 题型05 概率的实际应用-游戏的公平性 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮用质地均匀的材料做了一个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏．游戏规则是：每人可转动两次转盘，若两次转盘的指针指向的颜色可以配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则小明胜，否则小亮胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止．(1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)求出小明获胜的概率，并判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)根据题意，列表如下： 红 蓝 黄 红 （红，红） （红，蓝） （红，黄） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，黄） 黄 （黄，红） （黄，蓝） （黄，黄） (2)解：游戏不公平．理由如下：共有种等可能的结果，其中小明胜有种结果，小亮胜有种结果， （小明胜），（小亮胜），，游戏不公平． 【变式1】（26-27九年级上·成都·期中）小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【详解】解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为，∵，∴游戏对双方不公平． 【变式2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种，∴，， ∵ ，∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【变式3】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同）(1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率．(2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． (2)解：公平，理由如下：共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）；答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 题型06 概率的实际应用-修改游戏方案 【典例1】（25-26·四川成都·九年级阶段练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸．(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓球的概率；(2)他俩约定：若甲摸到的球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，设计一个公平的游戏方案． 【答案】(1) (2)不公平；可将规则改为：甲乙两人分别摸球，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢，否则乙赢 【解析】(1)解：由题意画树状图，如图所示： ∵共有12种等可能结果，其中摸到标有数字是3的乒乓球（记事件A）有3种情况：∴． (2)∵甲摸到的球面数字不小于乙摸到的数字的情况有7种，∴P（甲获胜），P（乙获胜）， ∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），∴这个规则不公平， 可将规则改为：甲乙两人分别摸球，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．（修改规则答案不唯一，只要概率相等即可） 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚 第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的，故选：A． 【变式2】（25-26河北·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平． (2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可) 【答案】(1)此游戏不公平，见解析 (2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢 【解析】（1）解：画树状图： 由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次， 故P(和为6)，P(和为7)．P(和为6)<P(和为7)，∴明明获胜的概率大，此游戏不公平； （2）解：如：“点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．”（答案不唯一）。由（1）树状图可知：点数之和等于6出现5次，点数之和等于8也出现5次， ∴P(和为6)，P(和为8) ，∴P(和为6)= P(和为8)，故游戏公平． 题型07 概率的实际应用-转盘游戏 【典例1】（25-26·江苏淮安·九年级期中）有两个构造完全相同 (除所标数字外) 的转盘 A、B．小红和小明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次， 两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大． 【答案】小红获胜的可能性大 【详解】根据题意可画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次转动后指针指向的数字之和为奇数的有5种情况，数字之和为偶数的有4种情况，∴．∴小红获胜的可能性大． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：转动转盘可以得到种等可能结果，其中停止后指针所指区域的数字是正数的结果有种， ∴停止后指针所指区域的数字是正数的概率为； （2）解：列表得： 结果 由表格可得共有种等可能结果，其中乘积为正数的有种， ∴a与b的乘积为正数的概率为． 【变式2】（2026·山东·校考三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析. 【详解】解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5， 两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率=，小亮胜的概率=， 而， 所以这个游戏对双方不公平． 题型08 概率的实际应用-跨学科问题 【典例1】（2026九年级上·成都·专题练习）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到杂种第一代豌豆，它们都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是，纯种绿豌豆的基因是，则杂种第一代豌豆的基因是，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是Y，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色．如图，第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y，y与母本的两个基因Y，y再随机配对，将产生4种等可能的结果，如图． (1)求第二代出现黄色豌豆的概率；(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄色豌豆出现的概率为，应如何配对？请画出相应的树状图． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：第二代共有4种情况：（，），（，），（，），（，），出现黄色豌豆的有（，），（，），（，）这3种情况，所以第二代出现黄色豌豆的概率为． （2）解：要使第三代黄色豌豆出现的概率为，则应用第二代中的与进行杂交，即选择、或、杂交．根据题意画出树状图如图： 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 【变式2】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种，∴所求概率为． 题型09 概率的实际应用-比赛问题 【典例1】（25-26江苏·九年级期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同 【答案】A 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 根据题意可知，第1题肯定能答对，第2题答对的概率为故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 画树状图如下：上层A、B表示第一题剩下的两个选项，下层A、B、C表示第二题剩下的三个选项， 共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项， 共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵＞∴两次求助都用在第1题，该选手通关的概率大，故选A. 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1)(2)甲 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【答案】小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【详解】解：由题意得，小明已得2分，小颖已得1分，先得3分者获胜，因此最多再掷2次硬币即可分出胜负．掷两次硬币，所有等可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种． 若第一次掷出正面，小明累计得3分直接获胜，对应（正，正）、（正，反）2种结果； 若第一次掷出反面，第二次掷出正面，小明累计得3分获胜，对应（反，正）1种结果； 若两次均掷出反面，小颖累计得3分获胜，对应（反，反）1种结果． ∴小明获胜的结果共3种，小颖获胜的结果共1种．∴（小明获胜），（小颖获胜）． 答：小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 题型10 将“非等可能”事件转化为“等可能”事件求概率 【典例1】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是，故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ___________．    【答案】 【详解】解：转盘B红色部分圆心角为，相当于2个蓝色部分，画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是．故答案为：． 【变式2】（25-26·武侯九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？ 【答案】游戏不公平，若两次转出的全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配成紫色，两个转盘重新转 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， 则小颖赢的概率是，小明赢的概率是，∵＞，∴游戏不公平， 若两次转出全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配成紫色，两个转盘重新转． 1．（2026·广东模拟预测）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种， ∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为．故选：A． 2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）有七张正面分别标有数字、、0、1、2、3、4的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是_________ ． 【答案】 【详解】解：∵方程有实数根，二次项系数为， ∴，整理得：，解得：， ∵的所有可能取值为、、0、1、2、3、4，共7种等可能情况，其中满足的情况有、0、1、2、3、4，共6种，∴记卡片上的数字为m，则使方程有实数根的概率是． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）向如图所示的区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在空白部分的概率是________． 【答案】 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，那么整个大正方形的总面积为 ． 如图，通过切割平移，阴影部分面积占4块． 空白部分面积 = 大正方形总面积 - 阴影面积 = ． 根据几何概型的概率公式，石子落在空白部分的概率为空白面积除以总面积，即 ． 4．（2026·重庆·模拟预测）从写有数字﹣2，﹣3，0，5的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被5整除的概率为_____． 【答案】 【详解】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，取出的两张卡片上的数字之和能被5整除的情况数为4种， 所以抽取的卡片上的数字之和能被5整除的概率为．故答案为：． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 【答案】 【详解】解：设三名男生分别为A、B、C，女生为D， 从4人中任选2人的所有等可能结果为，共6种， 其中恰好为一男一女的结果为，共3种，∴ 选出的恰好为一男一女的概率为． 6．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）初三学生小陈平时学业忙碌，这个周末他打算和好朋友来一场说走就走的“杭州”，顺便去各个景点打卡集章．为了给周末增加一点惊喜感，他们决定用抽签的方式，从杭州四个著名的打卡点中随机选择部分地点去游玩．这四个打卡点分别是：A．西湖，B．西溪国家湿地公园，C．良渚古城遗址公园，D．湘湖． (1)若小陈同学只选择一个打卡点去游玩，则他选择A．西湖的概率是______； (2)若小陈同学从A，B，C，D四个打卡点中，选一个作为上午游玩地点，再选剩下的一个作为下午游玩地点，共有多少种不同的游玩方案?请用画树状图或列表的方法说明理由． 【详解】（1）解： ∵ 从4个打卡点中随机选择1个，共有4种等可能的结果， 选择A西湖的结果有1种， ∴选择A西湖的概率为； (2)解：共有12种不同的游玩方案，理由如下：可画树状图如下： 由树状图可得，所有结果出现的可能性相等，因此共有12种不同的游玩方案． 7．（26-27九年级上·广东清远·阶段检测）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【答案】抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的情况有种， ∴抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为． 8．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种， 故. （2）解：由题意画出树状图如下： 共16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上实数之和为非负数的结果有10种，∴. 9．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率：(1)事件A：摸出1个红球，1个黑球．(2)事件B：摸出2个白球． 【答案】(1)事件A发生的概率为(2)事件B发生的概率为 【详解】（1）解：树状图如下： 总的情况数为25，事件A：摸出1个红球，1个黑球的情况数为4，∴事件A发生的概率为； （2）结合上述树状图可知：总的情况数为25，事件B：摸出2个白球的情况数为4， ∴事件B发生的概率为． 10．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）某学校新建了一个AI智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如下图表： 请根据上述信息解答下列问题： 类别 平均数/分 中位数/分 众数/分 数字人模型 7 AI助教模型 8 8 (1)填空：_______，_______，_______，_______ (2)运营商对“AI助教模型”优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，评分为6分的有3人（2男1女），现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请求出恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)；；；(2) 【详解】（1）解：，∴； 一共个数据，从小到大排列，第和个数据的平均数是中位数， 由条形统计图知第和个数据都是，∴中位数为，即； 由扇形统计图可知“助教模型”中分出现次数最多，∴； ∵扇形统计图中分占百分比为：， ∴，∴； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况有种，∴（抽到名男生）． 1．（25-26九年级下·山东·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 2．（2026九年级上·湖南邵阳·培优）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负，∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为，∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 3．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种，∴能让灯泡发光的概率为． 4．（25-26·河南洛阳九年级期中）如图，两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘．转停北后，指针将指向一个扇形区域（指针指向区域分割线时重新转动转盘），则指针所指区域内的数字之和为4的概率是______． 【答案】 【详解】解：如图，把第一个中“2”平均分成两部分， 用树状图表示如下： 共有6种情况，和为4的情况数有2种，所以概率为；故答案为： 5．（25-26九年级上·广东·期中）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 ________（填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞，∴不公平．故答案为不公平． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 【答案】 【详解】解：由题意，得天平恢复平衡的概率即选取两件砝码的重量之和为的概率， 列表如下：（单位：g） 第二件砝码 第一件砝码 10 20 30 40 10 20 30 40 由表可知，共有12种等可能的情况，其中两件砝码的重量之和为的情况有4种， 故天平恢复平衡的概率为． 7.（2026·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y． (1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有可能出现的结果； (2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，4）、（3，4）、（4，4） (2)点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率为 【解析】（1）解：列表得： 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 点M（x，y）所有可能出现的结果为：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，4）、（3，4）、（4，4）． （2）解∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）， ∴点M（x，y）满足y=-x+5的概率为：． 8．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次搅匀后从袋中任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，取出的号码即为得分，请回答下列问题：(1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”你认为乙的说法 （填正确或错误） (2)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况，①请求出的取值范围；②请直接写出发生这种情况的概率是 ． 【答案】(1)错误；(2)①；②． 【详解】（1）乙同学的说法错误．理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为，故乙同学的说法错误． （2）解：①前8次摸球得分的和为， 根据题意得：，解得：． ②列表得 第10次    第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 9．（26-27九年级上·成都·校考期中）王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；(2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 【答案】(1)画树状图如图． (2)公平．理由如下：∵两次正面朝上，一次正面朝下有3种结果，概率为；两次反面朝上，一次反面朝下有3种结果，概率为，∴P（去足球队）（去篮球队）．∴这个规则对两个球队公平． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $