专题6.2 用频率估计概率（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题6.2 用频率估计概率 教学目标 1.理解频率的稳定性；分清频率与概率的区别与联系；掌握 “大量重复试验下，频率稳定在概率附近”，会用稳定后的频率估计概率；知道什么时候适合用频率估计概率（结果无限、结果不等可能，不能用列表/树状图）。 2.会根据试验统计表，计算频率、观察频率变化趋势，估计概率；能设计简单替代模拟试验（摸卡片、随机数等）估计复杂事件概率（如生日相同问题）；能利用频率估计概率解决估算总体数量问题（如估计袋中球数）。 3.经历试验、统计、观察、归纳的过程，发展数据分析观念；体会统计估计思想，理解随机性与规律性。 教学重难点 1.重点 （1）理解频率稳定性，能用大量重复试验的稳定频率估计概率。 （2）区分两类求概率方法：列表/树状图（理论概率，等可能有限结果）和频率估计（试验估计，不等可能或无限结果）。 （3）读取频率表格，根据频率变化趋势估计概率。 2.难点 （1）理清：频率≠概率，频率是波动的试验值；概率是固定常数；只有试验次数足够多时，频率才适合作为概率的估计值，少量试验频率不能代表概率。 （2）理解模拟试验的原理，能合理设计替代试验，保证模拟条件一致。 （3）区分“一定发生”和“大概率发生”，避免把估计出来的概率当成确定性结论。 知识点01 用频率估计概率 1.频率及其稳定性：在n次重复试验中，随机事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 在试验次数很大时，某一事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性。 2.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生概率，记为P(A)。 3.概率与频率的关系:一般地，大量重复的试验中，常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 注意：事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 4.利用频率估计概率：对于某些随机事件，我们无法借助概率公式来计算其发生的概率，只能借助大量的重复试验，由频率的稳定值来估计概率。这种求概率的方法也就是频率估计概率法。 注意：用试验估计随机事件发生的概率，当试验次数很大时，结果将较为精确。 5．模拟试验：在用试验法求某些事件发生的概率时，若完成试验既费时又费力，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。 模拟试验的两种方法：①利用替代物模拟试验估计概率；②利用计算器模拟试验估计概率。 利用计算器产生随机数的步骤：①进入产生随机数状态；②输入所产生随机数的范围；③按键得出随机数。 【即学即练】 1.（25-26八年级下·陕西西安·期末）针对做“估计一个矿泉水瓶盖上抛后，落地时开口朝上的概率是多少”的试验，下列说法中，正确的是（   ）． A．开口朝上、开口朝下都有可能，所以开口朝上的概率是0.5 B．做20次试验，开口朝上出现8次，则可得出开口朝上的概率是0.4 C．为缩短试验时间，可采用多人分组试验，分组试验时可采用汽水瓶盖替代矿泉水瓶盖 D．在相同条件下，试验次数越多，开口朝上的频率就越稳定于开口朝上的概率 2.（2026·贵州遵义·二模）小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 题型01 求某事件的频率 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【变式1】（25-26九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为____． 【变式2】（25-26八年级下·浙江·期中）一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 题型02 关于频率与概率关系的辨析 【典例1】（25-26九年级上·重庆·期中）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【变式1】（25-26九年级下·广东·期中）下列语句中，关于频率与概率的说法正确的有（    ） ①频率就是概率；②概率是客观存在的，与试验次数无关；③当试验次数很大时，频率稳定在概率附近    ④试验得到的频率与概率不可能相等 A．①② B．②④ C．②③ D．②③④ 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期末）某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 【变式3】（2026·山东聊城·二模）某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 题型03 根据频率估计概率（1） 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·云南德宏·期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【变式3】（25-26九年级上·成都·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【变式4】（25-26九年级上·江苏·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 题型04 根据频率估计概率（2） 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·校考期中）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【变式1】（26-27九年级上·成都·校考期中）将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【变式2】（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【变式3】（25-26九年级上·成都·单元测试）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 题型05根据频率估计试验对象的个数 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 【变式4】（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 题型06 根据频率估计几何图形面积 【典例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·江苏常州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 题型07 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题：(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）；(2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）；(3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【变式1】（25-26八年级下·福建宁德·阶段检测）综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算：(1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________；(2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球；(4)在（3）条件下，小明说：取出4个白球（其他颜色球的数量没有改变），此时从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为．判断小明的说法对吗，并说出你的理由． 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：____，___，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 题型08 用频率估计概率·创新性问题 【典例1】（26-27九年级上·广东·校考期中）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【变式2】如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【变式3】某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？(2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？(3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？(4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（     ） A．4 B．6 C．9 D．12 4.（25-26八年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 5．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 6．（25-26八年级下·重庆·期末）据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 8.（25-26八年级下·江苏南京·期中）一只不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到黑球的频率接近__________；（精确到0.1）；(2)估算一下袋中黑球的个数；(3)若小明又将（为正整数）个相同的黑球放进了这只不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在__________左右．（用含的式子表示） 9．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    10．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】(1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 1．布袋里有除颜色外其他均相同的小球，从袋中随机摸出1个球，“摸到红球”的概率是，这句话理解正确的是（     ） A．布袋里只有3个红球，2个其他颜色的球 B．摸球5次，一定有3次摸到红球 C．摸球5次，一定有3次摸到的球不是红球 D．如果摸很多次的话，平均每5次就约有3次摸到红球 2.（25-26八年级下·陕西西安·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 3.（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 4．（2025·上海·模拟）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是____． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 6.（25-26九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是___________，估计袋中黑色围棋子的数量为___________枚． 7．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 8．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个． (2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 9．（25-26八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】（2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】（3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 10．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 用频率估计概率 教学目标 1.理解频率的稳定性；分清频率与概率的区别与联系；掌握 “大量重复试验下，频率稳定在概率附近”，会用稳定后的频率估计概率；知道什么时候适合用频率估计概率（结果无限、结果不等可能，不能用列表/树状图）。 2.会根据试验统计表，计算频率、观察频率变化趋势，估计概率；能设计简单替代模拟试验（摸卡片、随机数等）估计复杂事件概率（如生日相同问题）；能利用频率估计概率解决估算总体数量问题（如估计袋中球数）。 3.经历试验、统计、观察、归纳的过程，发展数据分析观念；体会统计估计思想，理解随机性与规律性。 教学重难点 1.重点 （1）理解频率稳定性，能用大量重复试验的稳定频率估计概率。 （2）区分两类求概率方法：列表/树状图（理论概率，等可能有限结果）和频率估计（试验估计，不等可能或无限结果）。 （3）读取频率表格，根据频率变化趋势估计概率。 2.难点 （1）理清：频率≠概率，频率是波动的试验值；概率是固定常数；只有试验次数足够多时，频率才适合作为概率的估计值，少量试验频率不能代表概率。 （2）理解模拟试验的原理，能合理设计替代试验，保证模拟条件一致。 （3）区分“一定发生”和“大概率发生”，避免把估计出来的概率当成确定性结论。 知识点01 用频率估计概率 1.频率及其稳定性：在n次重复试验中，随机事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 在试验次数很大时，某一事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性。 2.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生概率，记为P(A)。 3.概率与频率的关系:一般地，大量重复的试验中，常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 注意：事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近。可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 4.利用频率估计概率：对于某些随机事件，我们无法借助概率公式来计算其发生的概率，只能借助大量的重复试验，由频率的稳定值来估计概率。这种求概率的方法也就是频率估计概率法。 注意：用试验估计随机事件发生的概率，当试验次数很大时，结果将较为精确。 5．模拟试验：在用试验法求某些事件发生的概率时，若完成试验既费时又费力，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。 模拟试验的两种方法：①利用替代物模拟试验估计概率；②利用计算器模拟试验估计概率。 利用计算器产生随机数的步骤：①进入产生随机数状态；②输入所产生随机数的范围；③按键得出随机数。 【即学即练】 1.（25-26八年级下·陕西西安·期末）针对做“估计一个矿泉水瓶盖上抛后，落地时开口朝上的概率是多少”的试验，下列说法中，正确的是（   ）． A．开口朝上、开口朝下都有可能，所以开口朝上的概率是0.5 B．做20次试验，开口朝上出现8次，则可得出开口朝上的概率是0.4 C．为缩短试验时间，可采用多人分组试验，分组试验时可采用汽水瓶盖替代矿泉水瓶盖 D．在相同条件下，试验次数越多，开口朝上的频率就越稳定于开口朝上的概率 【答案】D 【详解】解：A．开口朝上、开口朝下都有可能，但开口向上的概率需要大量重复试验才能估计，此选项错误；B．做20次试验，开口朝上出现8次，此试验次数过少，不能估计开口向上的概率，此选项错误； C．分组试验需要在相同试验环境下进行，而且由于可乐盖与啤酒瓶盖结构有差异，不能估计啤酒瓶开口向上的概率，此选项错误； D．在相同条件下，试验次数越多，开口朝上的频率就越稳定于开口朝上的概率，此选项正确；故选：D． 2.（2026·贵州遵义·二模）小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则石块上的概率为0.35，∴估计石块的面积约是，故选：C． 4．（26-27九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 题型01 求某事件的频率 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件．分别计算各类别完播率如下： 航空航天：；科学实验：；电影评论：； 排球技巧：； ∵，∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 【变式1】（25-26九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为____． 【答案】 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为，故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·浙江·期中）一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是．故选：C 题型02 关于频率与概率关系的辨析 【典例1】（25-26九年级上·重庆·期中）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·广东·期中）下列语句中，关于频率与概率的说法正确的有（    ） ①频率就是概率；②概率是客观存在的，与试验次数无关；③当试验次数很大时，频率稳定在概率附近    ④试验得到的频率与概率不可能相等 A．①② B．②④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①频率就是概率，错误，不符合题意；②概率是客观存在的，与试验次数无关，正确，符合题意；③当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确，符合题意；④试验得到的频率与概率不可能相等，错误，不符合题意；综上分析可知，正确的是②③，故C正确．故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期末）某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 【答案】C 【详解】解：A、频率稳定在附近，只能估计这批种子发芽率约为，并非一定等于，故A错误； B、频率具有随机性，抽取粒种子时，发芽的种子数不一定为粒，故B错误； C、根据统计规律，当试验种子数量很大时，可用稳定的发芽频率估计种子的发芽概率，故C正确； D、频率具有随机性，再次试验得到的发芽频率不一定为，故D错误． 【变式3】（2026·山东聊城·二模）某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确；∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 题型03 根据频率估计概率（1） 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，试验次数为、、时，“个人中有个人同月过生日”的频率分别为、、，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该事件的概率（精确到）为. 【变式1】（25-26九年级上·云南德宏·期末）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值．观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近，∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 【变式3】（25-26九年级上·成都·月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【详解】解：折线图显示概率约，选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意；故选C． 【变式4】（25-26九年级上·江苏·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．故选：C． 题型04 根据频率估计概率（2） 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·校考期中）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 【答案】C 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意．故选：C． 【变式1】（26-27九年级上·成都·校考期中）将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【答案】A 【详解】解：选项A：在此条件下种植颗南瓜种子，发芽种子数为随机事件，无法确定一定为颗，表述错误. 选项B：随着种植种子数量增加，发芽率稳定在附近，可估计该条件下种子发芽概率为，表述正确. 选项C：实验次数越多，频率越接近概率，可用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，表述正确. 选项D：大量重复种植中，随着种植次数与种子数量增加，发芽频率会逐渐稳定，因此可用频率估计概率，表述正确. 【变式2】（26-27九年级上·北京·期中）林业部门考察某种幼树在一定条件下移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 【变式3】（25-26九年级上·成都·单元测试）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵，∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意；故选：C． 题型05根据频率估计试验对象的个数 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，，，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为，该数值最接近． 【变式1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：设红球和黑球共有个，∵摸到红球的频率稳定在，∴摸到红球的概率为， ∴，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，∴纸箱中红球和黑球共有个． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为，∴估计盒子里白球有个． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 【答案】2000 【详解】解：设鱼塘中有鱼条，根据题意得：，解得：， 经检验，为原方程的解，故鱼塘中估计约有2000条鱼． 【变式4】（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901，该值可作为发芽概率的估计值．因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为．故答案为∶． 题型06 根据频率估计几何图形面积 【典例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为，设不规则图案的面积为，则， ∴，∴不规则图案的面积大约为． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【详解】解：设这个“福”字的面积是，由题意可得，解得， ∴这个“福”字的面积是． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率．设不规则图案的面积为，则有，解得：， 即不规则图案的面积为．故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在 ，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为 ． 已知长方形面积为，因此椭圆面积为：．故选 ． 【变式4】（2026·江苏常州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 题型07 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题：(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）；(2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）；(3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)(2)(3)阴影部分的面积为平方米． 【详解】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近； （2）解：观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； （3）解：设封闭图形的面积为，根据题意得，解得，则（平方米） 答：阴影部分的面积为平方米． 【变式1】（25-26八年级下·福建宁德·阶段检测）综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算：(1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【答案】(1)，， 折线统计图如下： (2)0.25 (3)3 【详解】（1）解： （2）解：由题可知，小球落在不规则图案内频率稳定在， 则随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为； （3）解：长方形面积为，则估计此不规则图案的面积大约为． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________；(2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)若袋中有12个白球，估计袋中一共有多少个球；(4)在（3）条件下，小明说：取出4个白球（其他颜色球的数量没有改变），此时从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为．判断小明的说法对吗，并说出你的理由． 【答案】(1)0.59，116(2)0.6 (3)20个 (4)解：不对；理由：取出4个白球后，盒子中白球剩8个，总球数剩16个， 从盒子里随机摸出一个球是白球的概率为． 【详解】（1）解：，，故答案为：0.59，116； （2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近， 故“摸到白球”的概率的估计值是0.6，故答案为：0.6； （3）解：（个）， 答：估计袋中一共有20个球； （4）略 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：____，___，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【详解】（1）由题意得，，， 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为）， 落地时面朝上的点数小于的概率为，，故符合题意； B.某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为，，故不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，，故不符合题意； (3)不公平，理由如下：∵拿出个白球，那盒子中现在一共有球（个），现有白球（个），黑球（个）， ∴搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，小红胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵，∴游戏不公平． 题型08 用频率估计概率·创新性问题 【典例1】（26-27九年级上·广东·校考期中）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【答案】(1)4； (2)；；； (3)见解析 (4)当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【详解】（1）解：根据题意得：（次），， ∴抛掷完5次后，“出现正面”的次数为1次，“出现反面”的次数为4次， “出现反面”的频率为． （2）解：观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数为次，“出现正面”的频率是， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为：（次）， “出现反面”的频率为：， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为（次），“出现反面”的频率为． (3)可能会一模一样，也可能不会一模一样，因为“抛掷硬币”游戏中，出现正面还是反面是随机事件，所以每次抛掷出现的结果可能一样，也可能不一样，所以记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． （4）答：观察“出现正面”的频率条形统计图发现，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率基本稳定在左右， ∴当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803(2)(3)120(4)④ 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为，∴（次），估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 【变式2】如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；故答案为：①③． （2）解：，故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【变式3】某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？(2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？(3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？(4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4)见解析 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次，∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次，∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的，∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵，∴第一组的成功率最高； (4)完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 2．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， 可估计这种豆苗成活的概率约是． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（     ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为，∴估计摸到黄球的概率为， ∵盒子中共有个乒乓球，∴估计盒子中黄球的个数为． 4.（25-26八年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． 5．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为，可得该事件的概率约为； A：∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为 ，符合要求； B：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C：∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D：∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为 ，不符合要求． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）据气象预报，高新区未来天中“最高温度为”将出现天，那么这天中出现“最高温度为”的频率是________． 【答案】 【分析】根据频率的定义，确定出现目标情况的频数和总天数，代入频率公式计算即可． 【详解】解：“最高温度为”出现的频数为，数据总数为， 因此频率． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 【答案】 【详解】解：观察表格中的合格频率数据，当抽取件数为件、件时，合格频率均为，随着抽取样本量增大，合格频率逐渐稳定在附近，可估计这批衬衣的合格概率约为， 出售件衬衣时，合格产品的估计数量为件． 8.（25-26八年级下·江苏南京·期中）一只不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率接近__________；（精确到0.1）；(2)估算一下袋中黑球的个数； (3)若小明又将（为正整数）个相同的黑球放进了这只不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在__________左右．（用含的式子表示） 【答案】(1)0.5(2)25个(3) 【详解】（1）解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率接近0.5； （2）解：∵摸到黑球的频率会接近0.5，∴黑球数应为球的总数的一半，∴估计袋中黑球的个数为25个；（3）解：小明放入黑球x个，则黑球的频率稳定在左右． 9．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； （3）解：长方形的面积为，故不规则图案的面积大约． 10．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】(1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】(1)，(2)第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为(3)棵 【详解】（1）解：，； （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 1．布袋里有除颜色外其他均相同的小球，从袋中随机摸出1个球，“摸到红球”的概率是，这句话理解正确的是（     ） A．布袋里只有3个红球，2个其他颜色的球 B．摸球5次，一定有3次摸到红球 C．摸球5次，一定有3次摸到的球不是红球 D．如果摸很多次的话，平均每5次就约有3次摸到红球 【答案】D 【详解】解：∵概率是大量重复试验下摸到红球的频率稳定值，不代表布袋中一定是个红球和个其他颜色的球，∴A错误，不符合题意； ∵概率反映的是事件发生的可能性大小，不是确定的试验结果，摸次不一定恰好有次摸到红球，也不一定有次没摸到红球，∴B,C错误，不符合题意； ∵大量重复试验时，频率会趋近于概率，∴多次摸球时，平均每次约有次摸到红球，D正确，符合题意. 2.（25-26八年级下·陕西西安·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 【答案】D 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率约为，不合题意； C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意． 3.（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 4．（2025·上海·模拟）某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3．故答案为：3． 5．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 【答案】上 【详解】解：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近. 由表格数据可得， 随着累计抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在，“盖口向下”的频率稳定在， ，抛掷这一瓶盖，盖口向上发生的概率较大． 6.（25-26九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是___________，估计袋中黑色围棋子的数量为___________枚． 【答案】 140 【详解】解：摸出白色围棋子的频率． ∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率摸出白色围棋子的概率， ∴袋中围棋子总量（枚）， ∴黑色围棋子的数量（枚）．故答案为：，140． 7．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或）(2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种，（赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋），这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 8．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 (1)通过以上实验，摸到红球的概率估计为____（精确到0.1） ，盒子里红球的数量为____个． (2)若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 【答案】(1)0.3，6(2)6(3)1 【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3，20×0.3=6；故答案为：0.3，6 （2）解：因为“摸出黑球”为必然事件，∴袋子只有黑球， ∴需要拿出所有的红球，即x=6；故答案为：6 （3）解：由（1）知红球6个，黑球14个，拿掉x个红球，加入x个黑球后，则红球（6-x），依题意得： ，解得x=1，故红球取出1个． 9．（25-26八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 56 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 86 9 101 93 129 出现红花的频率（保留两位小数） 0.39 a 0.41 0.40 b （1）表中________，________； 【理论分析】（2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第________组的数据不适合用频率估计概率，理由是___________，你认为一株该植物开出红花的概率是________． 【实际应用】（3）某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】（1）；（2）二，试验的植株数太少，；（3）估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【详解】解：（1），；故答案为：； （2）第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少，除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且实数的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； 故答案为：二，试验的植株数太少，； （3）（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 10．（2026·安徽滁州·一模）为了解2025年前三季度“长三角”41市经济运行情况，兴趣小组通过网络查询得知，经济增速最高为，最低为．他们将经济增速按照查询的结果进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2025年前三季度“长三角”各市经济增速分布表： 分类 城市数量 增长率（精确到） A 7 B 14 C 11 D 9 b．B组具体数据如下表： 城市 南京 常州 嘉兴 六安 泰州 安庆 滁州 杭州 南通 扬州 蚌埠 池州 苏州 上海 增速 c．2025年前三季度，全国经济平均增速为． (1)本次调查中，经济增速的中位数落在___________组（填“A”“B”“C”或“D”）． (2)从表中数据可知，长三角41市中，前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为___________（精确到）； (3)现从B组增长率为的四个城市中，任选两个进行调查研究，通过画树状图或列表法求选中的两个城市是南京和六安的概率． 【答案】(1)B(2)(3) 【详解】（1）解：把41个数据按从小到大的顺序排列，最中间的是第21个数据， 而A类与B类数量和，所以，在本次调查中，经济增速的中位数落在B组； （2）解：前三季度经济增速超过全国平均水平的占长三角城市总数百分比为：； （3）解：分别用A、B、C、D表示南京、常州、嘉兴和六安，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中选中的两个城市是南京和六安的结果数有2种， 所以，选中的两个城市是南京和六安的概率为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $